Numerische Simulation mathematischer Modelle

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Institut für Numerische Mathematik und Optimierung
Numerische Simulation
mathematischer Modelle
Sommersemester 2014
Michael Eiermann
1
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Themen dieser Vorlesung
Die Vorlesung besteht aus zweiTeilen:
In Teil I werden Modelle der Populationsdynamik vorgestellt, die auf
gewöhnlichen Differentialgleichungen und Differenzengleichungen basieren.
Teil II ist der Untersuchung von Markoff-Ketten gewidmet, mit denen man
sehr viele Prozesse modellieren kann, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Wir
werden uns unter anderem mit Kapazitätsproblemen bei Netzwerken befassen.
In allen Teilen wird die numerische Behandlung der jeweiligen Modelle betont.
Organisation
Technische Universität Bergakademie Freiberg
2
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Literatur
• Edward Beltrami. Von Krebsen und Kriminellen. Mathematische
Modelle in Biologie und Soziologie. Friedr. Vieweg & Sohn
Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1993.
• Martin Braun. Differentialgleichungen und ihre Anwendungen.
Springer-Verlag, Berlin 1979.
• Andrew C. Fowler. Mathematical Models in the Applied Sciences.
Cambridge University Press, Cambridge 1997.
• Franz-Josef Fritz, Bertram Huppert und Wolfgang Willems.
Stochastische Matrizen. Springer-Verlag, Berlin 1979.
• Glenn Fullford, Peter Forrester und Arthur Jones. Modeling with
Differential and Difference Equations. Cambridge University Press,
Cambridge 1997.
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
• Guy Latouche und V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic
Methods in Stochastic Modeling. SIAM, Philadelphia (PA) 1999.
• C. C. Lin und L. A. Segal. Mathematics Applied to Deterministic
Problems in the Natural Sciences. SIAM, Philadelphia (PA) 1988.
• Douglas D. Mooney und Randall J. Swift. A Course in Mathematical
Modeling. The Mathematical Association of America, 1999.
• James D. Murray. Mathematical Biology, 2nd corrected edition.
Springer-Verlag, Berlin 1993.
• James R. Norris. Markov Chains. Cambridge University Press, Cambridge
1996.
• Thomas Sonar. Angewandte Mathematik, Modellbildung und
Informatik. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH,
Braunschweig 2001.
Organisation
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Leistungspunkte und Noten
Die Modulprüfung besteht aus einer Klausurarbeit im Umfang von 120
Minuten, die in der Prüfungsperiode nach dem Sommersemesters 2014 statt
findet [genauer Termin liegt noch nicht fest]. Eine weitere Klausur findet in der
Prüfungsperiode nach dem Wintersemester 2014/2015 statt.
Im Modul werden 6 Leistungspunkte erworben. Die Modulnote ergibt sich aus
der Note der schriftlichen Prüfung (Wichtung 1).
Der Zeitaufwand beträgt 180 h und setzt sich aus 60 h Präsenzzeit und 120 h
Selbststudium zusammen. Letzteres umfasst die Vor- und Nachbereitung der
Lehrveranstaltungen, Vorbereitung und Bearbeiten der Klausur sowie das
Lösen von Übungsaufgaben.
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
1
Mathematische Modellbildung und
numerische Simulation am Beispiel eines
Wasserkreislaufs
Simulation ist die Nachbildung eines dynamischen Prozesses in einem
”
Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit
übertragbar sind“ (VDI-Richtlinie 3633).
Zum einen ist die rechnerische Simulation dann unumgänglich, wenn reale
Experimente mit den Untersuchungsobjekten undurchführbar sind: Denken Sie
etwa an die Entstehung von Galaxien oder an Untersuchungsobjekte, die erst
geplant sind, also noch gar nicht existieren. Aber auch wenn reale Experimente
möglich sind, ist es oft kostengünstiger und ressourcenschonender, stattdessen
numerische Simulationen einzusetzen.
Modellbildung und numerische Simulation
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Modellbildung und numerische Simulation
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7
Numerische Simulation mathematischer Modelle
A. Physikalische Grundlagen.
Evangelista Torricelli (1608–1647):
Abflussgeschwindigkeit v =
p
2gh,
g = 9.81 (Gravitationsbeschleunigung),
h = Höhe des Wasserspiegels.
Abflussrate als Funktion des im Behälter befindlichen Wasservolumens V (falls
es sich um einen Zylinder mit Grundfläche A handelt)
p
p
√
mit c := a 2g/A .
f = a 2gV /A = c V
Der Parameter c kann über a variiert werden, wenn der Abfluss einen Hahn
besitzt. Wir sprechen von einem Steuerungsparameter.
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B. Mathematisches Modell.
U (t), V (t), W (t), R(t)
: Wassermengen zur Zeit t in den Behältern.
f1 , . . . , f 5
: Abflussfunktionen mit den Steuerungsparametern
c1 , . . . , c5 .
p = p(t)
: Pumpenfunktion“
”
Änderungsraten der Wasservolumina:
Zuflüsse weniger Abflüsse, d.h.
U 0 (t)
= p(t) − f1 (U (t)) − f2 (U (t))
V 0 (t)
= f1 (U (t)) − f3 (V (t)) − f4 (V (t))
0
W (t) = f2 (U (t)) + f4 (V (t)) − f5 (W (t))
R0 (t)
=
(1.1)
f3 (V (t)) + f5 (W (t)) − p(t).
Diese Gleichungen, sog. (gewöhnliche) Differentialgleichungen, heißen die
Kontinuitätsgleichungen unseres Systems.
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Anfangszustand: Wassermengen in Behältern zu einem festen Zeitpunkt,
etwa für t = 0.
Das Verhalten unseres Systems ist für alle Zeiten t > 0 durch die obigen
Differentialgleichungen eindeutig bestimmt. Die Aufgabe, eine Lösung des
Systems (1.1) zu bestimmen, welche gegebene Anfangsbedingungen erfüllt,
nennt man ein Anfangswertproblem.
Addiert man alle Gleichungen, so ergibt sich
U 0 (t) + V 0 (t) + W 0 (t) + R0 (t) = 0,
ein globales Erhaltungsprinzip, welches besagt, dass sich die
Gesamtwassermenge in unserer Apperatur nicht verändert. (Es handelt sich
hier um ein geschlossenes System.)
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10
Numerische Simulation mathematischer Modelle
C. Algorithmus.
Anfangswertprobleme lassen sich nur in Ausnahmefällen geschlossen lösen
(reine Mathematik: in unserem Fall gibt es genau eine Lösung).
Aufgabe der Numerik: Bereitstellung von Näherungslösungen.
Idee: Wir betrachten die Gleichungen nicht mehr für jeden beliebigen
Zeitpunkt, sondern nur noch zu bestimmten diskreten Zeitpunkten, etwa für
t0 = 0, t1 = 1, . . . (Diskretisierung).
Un := U (tn ), . . . , Rn := R(tn ) (Volumina, die sich zum Zeitpunkt tn in den
Behältern U, . . . , R befinden).
Änderungsrate U 0 (tn ) wird durch U (tn+1 ) − U (tn ) = Un+1 − Un approximiert
(wir nähern hier eine Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung an).
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Un+1
= Un + pn − f1 (Un ) − f2 (Un )
Vn+1
= Vn + f1 (Un ) − f3 (Vn ) − f4 (Vn )
Wn+1
= Wn + f2 (Un ) + f4 (Vn ) − f5 (Wn )
Rn+1
= Rn + f3 (Vn ) + f5 (Wn ) − pn .
(1.2)
Diese vier Gleichungen heißen die diskreten Kontinuitätsgleichungen unserer
Kreislaufs (System von vier Differenzengleichungen).
Addition liefert globales Erhaltungsprinzip
Un+1 + Vn+1 + Wn+1 + Rn+1 = Un + Vn + Wn + Rn .
Legt man noch einen Anfangszustand fest (etwa U0 = V0 = W0 = 0 sowie R0
= Gesamtwassermenge
= 100)
√ und wählt geeignete Werte für die Parameter,
√
etwa c1 = 12, c2 = c4 = 2, c3 = 1, c5 = 2 sowie p = 17, so können wir
unser Modell laufen lassen“.
”
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12
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100
Un
V
n
Wn
Rn
90
80
Wassermenge
70
60
50
40
30
20
10
0
0
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5
10
15
Zeit
20
25
30
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
D. Gleichgewichtswerte.
Simulation: Jede der Größen Un , Vn , Wn und Rn nähert sich mit
zunehmendem n einem Gleichgewichtswert U∞ , V∞ , W∞ , R∞ , wenn wir die
Steuerungsparameter nicht ändern.
Bestimme Gleichgewichtswerte ohne (zeitaufwendige) Simulation:
p
=
f1 (U∞ ) + f2 (U∞ )
f1 (U∞ )
=
f3 (V∞ ) + f4 (V∞ )
f5 (W∞ )
=
f2 (U∞ ) + f4 (V∞ ).
Die vierte Gleichung (p = f3 (V∞ ) + f5 (W∞ )) ist redundant.
Hier – im Gegensatz zur Praxis“ – Gleichungen einfach (Dreiecksform).
”
Vorsicht: Die theoretisch ermittelten Gleichgewichtswerte können, aber
müssen nicht im Fassungsbereich der Behälter liegen (Nebenbedingungen).
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
E. Steuerung.
Wesentliches Ziel von Simulationen: Optimierung des Systemverhaltens bzw.
Entscheidungshilfen für die Steuerung des Systems.
In unserem Beispiel etwa: Wie muss man die Steuerungsparameter wählen,
damit sich ein erwünschter (vorgegebener) Gleichgewichtszustand einstellt
(auch hier: Nebenbedingungen, man kann z.B. die Hähne nicht beliebig weit
öffnen).
Fixiert man p, so führt dies in unserem Fall zu drei Bedingungen für die fünf
Parameter c1 , . . . , c5 :
p
c1 = −c2 + p/ U∞
p
p
c4 = −c3 + c1 U∞ / V∞
p
p
p
p
c5 = c2 U∞ / W∞ + c4 V∞ / W∞ .
In realen Systemen ist ein solches Steuerungsproblem nicht explizit lösbar, man
wird es nur näherungsweise und iterativ lösen können.
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F. Kritik.
Realität → mathematisches Modell → Algorithmus
→ numerische Simulation der Realität.
Bei jedem dieser drei Übergänge haben wir Fehler begangen,
— Modellierungsfehler. Unser Modell setzt wirbelfreien Wasserfluss voraus;
in der Realität werden sich aber Wirbel bilden. Die Torricellische
Ausflussformel ist nur gültig, wenn sich die Spiegelhöhe langsam ändert
und keine Druckdifferenz zwischen Spiegel und Austrittsöffnung besteht,
Voraussetzungen, die in der Realität nicht immer erfüllt sind.
— Diskretisierungsfehler. Wir haben den stetigen Strom des Wassers durch
Durchschnittswerte“ (bez. Zeit und Raum) ersetzt.
”
— Rundungsfehler. Computer rechnen falsch“.
”
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
2
2.1
Populationsdynamik
Zwei einfache Modelle
Sei N (t) die Population einer Spezies zur Zeit t.
Alle Modelle basieren auf dem Erhaltungssatz
dN
= Geburten − Todesfälle + Migration.
dt
a. Das einfachste Modell (T. R. Malthus, 1766–1834)
Vernachlässige Migration. Geburts- und Todesfälle seien proportional zu N ,
d.h.
dN
= bN − dN = rN mit r = b − d.
(2.1)
dt
Die allgemeine Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung (gDG) ist
N (t) = N0 exp(rt)
Populationsdynamik
mit
N0 = N (0).
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Exponentielles Wachstum: N(t) = N0 exp(rt)
N
r>0
r=0
r<0
N0
0
t
Exponentielles Wachstum ist i. Allg. natürlich ziemlich unrealistisch und nur in
sehr speziellen Situationen zu beobachten (etwa bei Bakterienkulturen mit i.
W. unbeschränkten Ressourcen).
Populationsdynamik
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
b. Ein modifiziertes Modell (P. F. Verhulst, 1804–1849)
dN
N
= rN 1 −
mit positiven Konstanten r und K.
dt
K
(2.2)
K heißt Trägerkapazität und hängt etwa von den verfügbaren
Nahrungsressourcen ab.
Die Reproduktionsrate [hier r(1 − N/K)] ist jetzt von N abhängig:
(
> 0,
N < K,
N
r 1−
K
< 0,
N > K.
Die allgemeine Lösung von (2.2) ist
N (t) = N0
K exp(rt)
.
K + N0 (exp(rt) − 1)
Man spricht von logistischem Wachstum. Offenbar gilt: limt→∞ N (t) = K.
Populationsdynamik
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Logistisches Wachstum
N
K
K/2
N >K
0
K > N0 > K/2
N0 < K/2
t
Beachte, dass sich die Lösungen für 0 < N0 < K/2 und K/2 < N0 < K
qualitativ unterscheiden.
Populationsdynamik
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2.2
Elementares aus der Theorie gDGen
Wir betrachten Systeme von expliziten gDGen erster Ordnung:
y10 = f1 (t, y1 , y2 , . . . , yn )
y20 = f2 (t, y1 , y2 , . . . , yn )
(2.3)
..
..
. = .
yn0 = fn (t, y1 , y2 , . . . , yn )
mit den n unbekannten Funktionen y1 = y1 (t), y2 = y2 (t), . . . , yn = yn (t).
Sei I ein Intervall.
Jedes System von n Funktionen y1 = y1 (t), . . . , yn = yn (t) ∈ C 1 (I), das
(2.3) für alle t ∈ I erfüllt, heißt Lösung von (2.3) über I.
Populationsdynamik
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
(
Beispiel. Das System
y10
y20
=1
= 2y1
)
besitzt die Lösungen
y1 (t) = t + α, y2 (t) = t2 + 2αt + β
(α, β ∈ R)
über (−∞, ∞).
Für eine eindeutige Lösung sind Anfangsbedingungen erforderlich.
Z.B. y1 (0) = 1, y2 (0) = 2.
Dann ist y1 (t) = t + 1, y2 (t) = t2 + 2t + 2 die einzige Lösung.
Allgemein: Das Problem, eine Lösung von (2.3) zu finden, die die
Anfangsbedingung
y1 (t0 ) = y0,1 , . . . , yn (t0 ) = y0,n
(2.4)
erfüllt, heißt Anfangswertproblem (AWP) für die gDG (2.3).
Populationsdynamik
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22
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Mit


y1
 . 
..  ,
y := 


yn


f1
 . 
..  ,
f := 


fn


y0,1
 . 
.. 
y0 := 


y0,n
führen wir für (2.3), (2.4) folgende Kurzschreibweise ein:
y0
= f (t, y ),
y (t0 ) = y0 .
Populationsdynamik
(2.3’)
(2.4’)
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 2.1 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf)
Gegeben ist das AWP (2.3’), (2.4’).
f sei stetig im ‘Quader’ Q := {(t, y ) : |t − t0 | ≤ a, ky − y0 k ≤ b} ⊆ Rn+1
und es sei M := max{kf (t, y )k : (t, y ) ∈ Q}.
Außerdem erfülle f in Q die Lipschitz-Bedingung
e )k ≤ Lky − y
e k ∀ (t, y ), (t, y
e ) ∈ Q.
kf (t, y ) − f (t, y
(2.5)
Dann besitzt das AWP genau eine Lösung über I := [t0 − α, t0 + α], wobei
α = min{a, b/M }.
Populationsdynamik
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24
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Bemerkungen.
1. Das AWP (2.3), (2.4) besitzt in [t0 − a, t0 + a] eine eindeutige Lösung,
wenn f die Lipschitz-Bedingung (2.5) in
e = {(t, y ) : |t − t0 | ≤ a, ky k < ∞} erfüllt.
Q
2. Ist f auf Q bez. y stetig differenzierbar und bezeichnet
fy0 = [∂fi /∂yj ]1≤,i,j≤n die zugehörige Jacobi-Matrix, dann folgt aus dem
Mittelwertsatz, dass die Voraussetzungen von Satz 2.1 erfüllt sind mit
L = sup kfy0 (t, y )k < ∞.
(t,y )∈Q
Populationsdynamik
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Satz 2.2 (Stetige Abhängigkeit von den Daten)
Die Voraussetzungen von Satz 2.1 seien erfüllt.
Sind y , z Lösungen der AWPe y 0 = f (t, y ), y (t0 ) = y0 , bzw. z 0 = g (t, z ),
z (t0 ) = z0 über I (g sei stetig in Q) und gilt
ky0 − z0 k ≤ γ sowie kf (t, y ) − g (t, y )k ≤ δ
(∀ (t, y ) ∈ Q),
dann folgt für t ∈ I
δ
ky (t) − z (t)k ≤ γ eL(t−t0 ) +
eL(t−t0 ) − 1 .
L
Die folgenden Seiten behandeln ein wichtiges Beispiel für gDGen...
Populationsdynamik
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2.2.1
Lineare Systeme von gDGen mit konstanten Koeffizienten
y 0 = Ay + b(t) mit A = [ai,j ] ∈ Rn×n (unabhängig von t).
(2.6)
Das System heißt homogen, falls b = 0 , sonst inhomogen.
Es gelten:
• Sind b1 (t), b2 (t), . . . , bn (t) stetig in I = [t0 − a, t0 + a], dann besitzt (2.6)
mit der Anfangsbedingung y (t0 ) = y0 genau eine Lösung in I.
• Sind y und z zwei Lösungen von (2.6), dann löst w = y − z das
homogene System y 0 = Ay .
• Die Lösungen von y 0 = Ay bilden einen Vektorraum der Dimension n.
Populationsdynamik
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Noch spezieller (n = 2):
"
#
a b
0
y = Ay mit A =
∈ R2×2
c d
bzw.
Die Eigenwerte von A sind
p
(a + d) ± (a + d)2 − 4 det A
λ1,2 =
2
y10
= ay1 + by2 ,
y20
=
cy1 + dy2 .
(2.7)
(det A = ad − bc).
Lösungen (und ihr Verhalten in der Phasenebene = (y1 , y2 )-Ebene):
Fall 1: A besitzt zwei linear unabhängige Eigenvektoren v1 , v2 (z.B. wenn die
Eigenwerte λ1 , λ2 von A verschieden sind).
Die allgemeine Lösung der gDG (2.7) ist dann
y (t) = α exp(λ1 t)v1 + β exp(λ2 t)v2
Populationsdynamik
(α, β ∈ R).
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Fall 1a: λ1,2 sind verschieden und reell und haben das gleiche Vorzeichen.
Sei etwa λ2 < λ1 < 0. Jede Lösung strebt gegen 0 (für t → ∞) und, wenn
α 6= 0,
"
#
y1 (t)
y (t) =
∼ α exp(λ1 t)v1
(t → ∞).
y2 (t)
D.h.: Genügend nahe am Ursprung streben alle Lösungen gegen (0, 0) entlang
sign(α)v1 (in der Phasenebene), falls α 6= 0. Wenn α = 0 und β 6= 0, streben
sie auf sign(β)v2 gegen (0, 0). Wir sprechen von einem Knotenpunkt (Typ I).
Ist λ2 < λ1 ≤ 0, so ist der Knotenpunkt stabil, weil alle Kurven
(y1 (t), y2 (t))0≤t<∞ gegen (0, 0) streben für t → ∞.
Ist λ1 > λ2 > 0, so ist der Knotenpunkt instabil, denn
(y1 (t), y2 (t))0≤t<∞ → (∞, ∞) für t → ∞.
Populationsdynamik
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Fall 1b: λ1,2 sind reell und haben verschiedene Vorzeichen.
Sei etwa λ1 < 0 < λ2 . Dann exp(λ1 t)v1 → 0 für t → ∞ und
exp(λ2 t)v2 → ∞ für t → ∞. D.h. y (t) → ∞ für t → ∞ (entlang v2 ), falls
β 6= 0. Wenn β = 0 und α 6= 0, dann y (t) → 0 für t → ∞ auf v1 . Man
spricht von einem Sattelpunkt. Er ist immer instabil.
Fall 1c: λ1,2 = λ sind gleich und damit reell (es gibt aber zwei linear
unabhängige Eigenvektoren).
In diesem Fall ist A = λI2 und jeder Vektor v 6= 0 ist ein Eigenvektor von A.
Die Lösungen streben für t → ∞ auf Geraden gegen (0, 0), falls λ < 0
(stabiler Fall), bzw. von (0, 0) weg, falls λ > 0 (instabiler Fall). Man spricht
von einem Stern.
Populationsdynamik
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Sind λ1,2 = µ1 ± iµ2 (µ1 , µ2 ∈ R) konjugiert komplex, so ist die obige
Lösungsformel zwar korrekt, liefert aber komplexe (d.h. für uns unbrauchbare)
Lösungen.
Ist v1 = w1 + iw2 (w1 , w2 ∈ R2 ) Eigenvektor von A zum Eigenwert
λ1 = µ1 + iµ2 , dann ist v2 = w1 − iw2 Eigenvektor zu λ2 = µ1 − iµ2 .
Damit konstruieren wir eine reelle Basis des Lösungsraums und erhalten als
allgemeine Lösung von (2.7) (mit α, β ∈ R)
y (t) = exp(µ1 t) {α [cos(µ2 t)w1 − sin(µ2 t)w2 ] + β [sin(µ2 t)w1 + cos(µ2 t)w2 ]} .
Fall 1d: λ1,2 = µ1 ± iµ2 sind konjugiert komplex mit µ1 6= 0.
Man spricht von einem Strudelpunkt, der stabil ist für µ1 < 0 und instabil für
µ1 > 0.
Populationsdynamik
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31
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Fall 1e: λ1,2 = µ1 ± iµ2 sind konjugiert komplex mit µ1 = 0 (µ2 6= 0).
Die Singularität ist weder stabil noch instabil. Man nennt sie manchmal
neutral stabil und spricht von einem Zentralpunkt. Die Phasenkurven sind
Ellipsen mit Mittelpunkt (0, 0).
Fall 2: A besitzt nur einen linear unabhängigen Eigenvektor (und folglich nur
einen Eigenwert λ).
Die allgemeine Lösung von (2.7) ist in diesem Fall
y (t) = α exp(λ1 t)v1 + β exp(λ1 t) (tv1 + v2 )
(α, β ∈ R).
Dabei ist v1 ein Eigenvektor von A (Av1 = λv1 ) und v2 ein zugehöriger
Hauptvektor (Av2 = λv2 + v1 ).
Man spricht von einem Knotenpunkt (Typ II), der stabil (λ1 < 0) oder instabil
(λ1 ≥ 0) sein kann.
Populationsdynamik
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32
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.2.2
Phasenportraits
Knotenpunkt (Typ I), hier stabil
y2
v1
v2
y2
y1
v1
v2
Strudelpunkt, hier stabil
y2
y1
y1
Zentralpunkt (immer neutral stabil)
y2
Knotenpunkt (Typ II), hier stabil
y2
y1
Populationsdynamik
Sternpunkt, hier stabil
Sattelpunkt (immer instabil)
y2
y1
v
1
y1
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33
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.2.3
Gleichgewichtslösungen
dN
dt
Beim logistischen Wachstumsmodell
= rN 1 −
e (t) ≡ 0 und N1 (t) ≡ K.
ausgezeichnet: N
N
K
sind zwei Lösungen
Man nennt sie die Gleichgewichtslösungen (GGL) oder Gleichgewichtspunkte
N
e ist eine instabile
und erhält sie durch Lösen der Gleichung rN (1 − K
) = 0. N
e , so strebt die Lösung weg von N
e ). N1 ist eine stabile GGL
GGL (stört man N
(stört man N1 , so strebt die Lösung wieder gegen N1 ).
Für das allgemeinere Populationsmodell
dN
= f (N )
dt
mit einer (nichtlinearen) Funktion f
(2.8)
(man spricht hier von einer autonomen gDG, d.h. f hängt nicht explizit von t
ab) ist N ∗ eine GGL, wenn f (N ∗ ) = 0. Sie ist instabil, wenn f 0 (N ∗ ) > 0 gilt,
und stabil, wenn f 0 (N ∗ ) < 0 gilt.
Populationsdynamik
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34
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Allgemein heißt eine beliebige Lösung N = N (t) von (2.8) stabil, wenn für
e , die zur Zeit t = 0 genügend nahe bei N (t) startet, für t → ∞
jede Lösung N
gegen N (t) strebt.
e von (2.8) mit
Genauer: ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0, so dass für alle Lösungen N
e (0)| < δ immer |N (t) − N
e (t)| < ε ∀t ∈ I folgt.
|N (0) − N
Satz 2.3 (Stabilität bei linearen gDGen)
Es gelten:
• Jede Lösung von y 0 = Ay ist stabil, wenn alle Eigenwerte von A negativen
Realteil haben.
• Jede Lösung von y 0 = Ay ist instabil, wenn mindestens ein Eigenwert
von A positiven Realteil hat.
Populationsdynamik
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35
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.2.4
Qualitative Analyse in Rezeptform
Wir betrachten die autonome gDG y 0 = f (y ). Sie ist i.a. n-dimensional, wir
konzentrieren uns hier auf den Fall n = 2:
du
= f (u, v)
dt
und
dv
= g(u, v).
dt
(2.9)
1. Bestimme Gleichgewichtslösungen (Gleichgewichtspunkte), d.h. die
Lösungen von (2.9), die nicht mit t variieren.
Löse das Gleichungssystem (in zwei Unbekannten)
f (u, v) = 0
und
g(u, v) = 0.
2. Sind die Gleichgewichtspunkte stabil?
Besitzen f und g stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung bez. u und v in
einer Umgebung von (u∗ , v ∗ ), dann gibt es eine stetige Funktion H : R2 → R2
Populationsdynamik
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36
Numerische Simulation mathematischer Modelle
mit limx →0 H(x )/kx k = 0 und
"
# "
#
"
#
∗
∗
∗ ∗
f (u + h, v + k)
f (u , v )
h
=
+
A
+H
∗
∗
∗ ∗
g(u + h, v + k)
g(u , v )
k
Dabei ist

A = A(u∗ , v ∗ ) = 
∂f (u∗ ,v ∗ )
∂u
∂f (u∗ ,v ∗ )
∂v
∗
∗
∗
∂g(u ,v )
∂u
∗
∂g(u ,v )
∂v
"
h
k
#!
.

.
(2.10)
Für uns bedeutet das, dass sich die Lösungen von (2.9) in einer Umgebung von
(u∗ , v ∗ ) im wesentlichen wie die von y 0 = Ay verhalten.
Populationsdynamik
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37
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 2.4 (Stabilität von Gleichgewichtslösungen)
Unter den obigen Voraussetzungen sei (u∗ , v ∗ ) eine Gleichgewichtslösung von
(2.9).
• (u∗ , v ∗ ) ist stabil, wenn alle Eigenwerte von A(u∗ , v ∗ ) negativen Realteil
haben.
• (u∗ , v ∗ ) ist instabil, wenn mindestens ein Eigenwert von A(u∗ , v ∗ ) positiven Realteil hat.
• Im nichtlinearen Fall sind keine Aussagen möglich, wenn alle Eigenwerte einen Realteil ≤ 0 besitzen, aber mindestens einer verschwindenden
Realteil besitzt.
Um den Charakter des Gleichgewichtspunktes beim Übergang von y 0 = Ay
nach y 0 = f (y ) zu erhalten (Knotenpunkt, Sattelpunkt etc.), müssen die
Voraussetzungen an f verschärft werden (vgl. die folgenden Beispiele).
Populationsdynamik
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38
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3. Phasenportrait.
Bestimme Bahnen oder Trajektorien {(u(t), v(t))}t≥0 , wobei u, v Lösungen
von (2.9) sind, über
g(u, v)
dv
=
.
du
f (u, v)
Satz 2.5 (Eigenschaften von Bahnen)
Es gilt
• Durch jeden Punkt (u0 , v0 ) läuft eine Bahn (außer durch Gleichgewichtspunkte, für die die Bahnen zu einem Punkt degenerieren). Haben zwei
Bahnen einen gemeinsamen Punkt, so sind sie identisch.
• Kehrt eine Bahn nach einer Zeit T > 0 zu ihrem Ausgangspunkt zurück,
dann ist sie geschlossen (d.h. die zugehörigen Lösungen sind periodisch).
Populationsdynamik
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39
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 2.6 (Satz von Poincaré-Bendixson.)
Bleibt eine Lösung (u, v) von (2.9) in einem beschränkten Gebiet der Ebene,
das keine stabilen Gleichgewichtspunkte von (2.9) enthält, dann dreht sich ihre
Bahn in eine einfach geschlossene Kurve hinein, die Bahn einer periodischen
Lösung von (2.9) ist.
Populationsdynamik
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40
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.3
Western spruce budworm (choristoneura occidentalis)
einer der gefährlichsten Nadelwaldschädlinge in Nordamerika; periodische
Ausbrüche (etwa alle 40 Jahre) mit dramatischen Folgen für die
Forstwirtschaft.
Populationsdynamik
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41
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.4
Modell für Populationswachstum
dN
= rB N
dt
N
1−
KB
− p(N )
mit
BN 2
p(N ) = 2
.
A + N2
(2.11)
B ist ein Mass für die Räuber-Effektivität der Vögel, A heißt Schalterwert.
B
p(N)
B/2
0
Populationsdynamik
0
A
N
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42
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Dieses Problem enthält vier Parameter:
A, KB [Einheit von N ], rB [1/t], B [Einheit von N/t].
Obligatorisch: Transformation auf dimensionslose Größen (dazu später mehr).
Setze hier: u =
N
A,
r=
ArB
B ,
q=
KB
A ,
τ=
Bt
A .
Einsetzen liefert:
du
u
u2
= ru 1 −
−
= f (u; r, q).
dτ
q
1 + u2
Gleichgewichtslösungen:
f (u; r, q) = 0 ⇒ ru(1 − uq ) =
u2
1+u2
⇒ u = 0 ∨ r(1 − uq ) =
u
1+u2 .
r/(1−u/q)
r
f(u;r,q)
u/(1+u2)
(q,r)=(8,0.4)
(q,r)=(8,0.5)
(q,r)=(8,0.6)
0
0
Populationsdynamik
N1
N1
N2
N3
q
u
0
N2
N3
u
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43
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Quelle: James D. Murray. Mathematical Biology, 2nd corrected edition.
Springer-Verlag, Berlin 1993
Hysterese Effekt: Fixiere q und variiere r entlang ABCD: Die
Gleichgewichtswerte springen“ in C. Variiert man r entlang DCBA, so findet
”
ein Sprung bei B statt.
Populationsdynamik
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44
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.5
Modelle für zwei Populationen
Genauer: Populationen, deren Größen N und P sich wechselweise beeinflussen.
• Räuber-Beute-Modelle,
• Wettbewerbs-Modelle,
• Symbiose-Modelle.
Umberto d’Ancona stellt 1925 den prozentualen Anteil der Haie am
Gesamtfang (Speisefische und Haie) im Hafen von Triest fest:
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
1923
Benachteiligt eingeschränkter Fischfang (1. Weltkrieg) die Speisefische?
Populationsdynamik
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45
Numerische Simulation mathematischer Modelle
N (t): Beutepopulation zur Zeit t (Speisefische),
P (t): Räuberpopulation zur Zeit t (Haie).
Annahmen (Volterra-Lotka-Modell):
• Ohne Räuber würde die Beute exponentiell wachsen.
• Räuber reduzieren Beute proportional zu N (t)P (t).
• Ohne Beute würden die Räuber exponentiell abnehmen.
• Räuber profitieren von der Beute proportional zu N (t)P (t).
dN
= a N (t) − b N (t)P (t)
dt
dP
= −c P (t) + e N (t)P (t)
dt
Populationsdynamik
(mit Konstanten a, b > 0)
(2.12)
(mit Konstanten c, e > 0)
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46
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Transformation
τ = at, u(τ ) =
eN (t)
bP (t)
c
, v(τ ) =
, α=
c
a
a
liefert dimensionslose Form
du
= u(1 − v),
dτ
dv
= αv(u − 1).
dτ
(2.13)
Wir bestimmen die Bahnen von (2.13), d.h. die Lösungen von
dv
v(u − 1)
=α
du
u(1 − v)
bzw.
1−v
u−1
dv = α
du
v
u
(gDG mit getrennten Variablen) und erhalten
log(v) − v + H = αu − α log(u)
bzw.
αu + v − log(uα v) = H (2.14)
mit einer Konstanten H.
Populationsdynamik
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47
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Es gelten:
• Die Gleichung (2.14) hat nur für H ≥ 1 + α positive Lösungen u und v.
• (2.14) beschreibt für H > 1 + α eine geschlossene Kurve in der
Phasenebene. Folglich sind die Lösungen von (2.13) periodisch.
(Beachte auch: u(τ ) = 1 ⇒ v 0 (τ ) = 0 und v(τ ) = 1 ⇒ u0 (τ ) = 0.)
• Ist T die gemeinsame Periodenlänge von u bzw. v, dann
Z T
Z T
1
1
u(τ ) dτ = 1 und
v(τ ) dτ = 1.
T 0
T 0
Gleichgewichtslösungen:
f (u, v) =
g(u, v)
Populationsdynamik
=
u(1 − v)
=
0
αv(u − 1)
=
0
⇒
(u, v) = (0, 0) oder (u, v) = (1, 1).
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48
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Lineare Stabilitätsanalyse:
 ∂f

∂u
∂f
∂v
∂g
∂u
∂g
∂v

=
Das bedeutet
 ∂f ∂f 
∂u

∂g
∂u


∂f
∂u
∂g
∂u
"
∂v
∂g
∂v
=

∂f
∂v
∂g
∂v
"
1−v
−u
αv
α(u − 1)
#
.
#
1
0
0
−α
mit Eigenwerten 1 und − α.
(u,v)=(0,0)


"
=
0
−1
α
0
#
mit Eigenwerten ±
√
αi.
(u,v)=(1,1)
Also ist ein (0, 0) ein (instabiler) Sattelpunkt und (1, 1) ein Zentralpunkt.
Populationsdynamik
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49
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Rücktransformation ergibt für (2.12) die Bahnen
eN + bP − log(N c P a ) = K
und die Mittelwerte
Z
1 T
c
N (t) dt =
T 0
e
1
und
T
Z
0
T
a
P (t) dt = .
b
Phasenebene
Räuber
N(t)
c/e
Mittelwert
a/b
a/b
P(t)
c/e
Beute
Populationsdynamik
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50
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Berücksichtige Fischfang:
dN
= a N − b N P − f N = (a − f ) N − b N P,
dt
dP
= −c P + e N P − f P = −(c + f ) P + e N P
(f > 0).
dt
Gleiches System mit neuen Koeffizienten: a → a − f und c → c + f .
Mittelwerte: (c + f )/e > c/e (Beute), (a − f )/b < a/b (Räuber).
ohne
mit
Raeuber
Fischfang
a/b
(a−f)/b
c/e (c+f)/e
Populationsdynamik
Volterras Prinzip:
Angemessener
Fischfang
(f < a) steigert die durchschnittliche Zahl der Speisefische und reduziert die
durchschnittliche Zahl der
Haie.
Beute
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51
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Ein realitätsnäheres Räuber-Beute-Modell hat die Form
N
kN P
dN
= Nr 1 −
−
(r, K, k, D > 0),
dt
K
N +D
dP
hP
= Ps 1 −
(s, h > 0).
dt
N
Nach Substitution u(τ ) = N (t)/K, v(τ ) = hP (t)/K, τ = rt, a = k/(hr),
b = s/r, d = D/K ergibt sich
auv
dv
v
du
= f (u, v) = u(1 − u) −
und
= g(u, v) = bv 1 −
.
dτ
u+d
dτ
u
(2.15)
Der einzige Gleichgewichtspunkt mit positiven Komponenten ist
p
1 − a − d + (1 − a − d)2 + 4d
∗ ∗
∗
∗
(u , v ) mit u = v =
.
2
Populationsdynamik
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52
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Die zugehörige Funktionalmatrix ist
 ∂f ∂f 
∂u

∂g
∂u
∂v
∂g
∂v

u∗

=

h
∗
au
(u∗ +d)2
i
−1
−au
u∗ +d
−b
b
(u,v)=(u∗ ,v ∗ )
∗


.
(u∗ , v ∗ ) ist genau dann instabil, wenn die Parameter (a, b, d) in der skizzierten
Teilmenge des R3 liegen:
1
0.8
b=1/a
b=2a−1
b
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
2
1/2
d(a)=(a +4a)
0.3
−(1+a)
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
d
Populationsdynamik
0
0.5
1
1.5
2
2.5
a
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53
Numerische Simulation mathematischer Modelle
a = 1, b = 0.05, d = 0.2 liefert z.B. ein instabiles Gleichgewicht
u∗ = v ∗ ≈ .36:
1
0.9
0.8
0.7
u
.7
0.6
g<0
g>0
0.5
0.4
v*
0.3
f<0
0.2
f>0
v
0.1
τ=rt
0
0
Populationsdynamik
u*
.8
1
0
0
50
100
150
200
250
300
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54
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.6
Ein Konkurrenzmodell
dN1
= r1 N1 1 −
dt
dN2
= r2 N2 1 −
dt
wird dimensionslos durch u1 =
1
b2 = a2 K
r2 :
N1
− a1 N1 N2
K1
N2
− a2 N1 N2
K2
N1
K1 ,
u2 =
N2
K2 ,
(r1 , K1 , a1 > 0),
(r2 , K2 , a2 > 0)
τ = r1 t, ρ =
r2
r1 ,
2
b1 = a1 K
r1 ,
du1
= f (u1 , u2 ) = u1 (1 − u1 ) − b1 u1 u2 ,
dτ
du2
= g(u1 , u2 ) = ρu2 (1 − u2 ) − ρb2 u1 u2 .
dτ
Wir betrachten den Fall b1 > 1 und b2 > 1 (es gibt drei weitere Fälle, vgl.
Übungsaufgaben).
Populationsdynamik
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55
Numerische Simulation mathematischer Modelle
1. Gleichgewichtspunkte
1
u1 (1 − u1 ) − b1 u1 u2 = 0 ⇔ u1 = 0 ∨ u2 =
(1 − u1 ) ,
b1
ρu2 (1 − u2 ) − ρb2 u1 u2 = 0 ⇔ u2 = 0 ∨ u2 = 1 − b2 u1 .
Das bedeutet: Im ersten Quadranten gibt es vier Gleichgewichtspunkte; (0, 0),
(1, 0), (0, 1) und einen weiteren mit positiven Komponenten (der Schnittpunkt
b2 −1
der Nulllinien), nämlich ( b1b1b2−1
,
−1 b1 b2 −1 ).
2. Stabilität

A(u1 , u2 ) = 
"
A(0, 0) =
1
0
0
ρ
∂f
∂u1
∂f
∂u2
∂g
∂u1
∂g
∂u2


1 − 2u1 − b1 u2
−b1 u1
=
#
.
−ρb2 u2
"
, A(1, 0) =

−1
0
ρ(1 − 2u2 − b2 u1 )
#
"
−b1
1 − b1
, A(0, 1) =
ρ(1 − b2 )
−ρb2
0
#
−ρ
Also ist (0, 0) instabil, während (1, 0) und (0, 1) stabil sind.
Populationsdynamik
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.
56
Numerische Simulation mathematischer Modelle
A
b1 − 1
b2 − 1
,
b1 b2 − 1 b1 b2 − 1
1
=
1 − b1 b2
"
b1 − 1
b1 (b1 − 1)
ρb2 (b2 − 1)
ρ(b2 − 1)
#
mit Eigenwerten λ2 < 0 < λ1 .
Es handelt sich also um einen instabilen Sattelpunkt.
Interpretation: Die beiden Spezies konkurrieren so aggressiv, dass eine von
beiden ausstirbt (Ausschluss durch Konkurrenz).
Es gibt eine Bahn (Separatrix), die (theoretisch) gegen das instabile
Gleichgewicht strebt. Alle anderen Punkte liegen im Einzugsbereich eines der
beiden Attraktoren (1, 0) (d.h. Spezies 2 stirbt aus) oder (0, 1) (d.h. Spezies 1
stirbt aus).
Populationsdynamik
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57
Numerische Simulation mathematischer Modelle
1
1/b_1
u_2*
0
0
Populationsdynamik
u_1*
1/b_2
1
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58
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.7
Diskrete Modelle
Für viele Arten ist es sinnvoll anzunehmen, dass die Population in diskreten
Zeitschritten wächst:
Nt+1 = f (Nt ), hier f (Nt ) = Nt · F (Nt ).
(2.16)
(Oft ergibt sich die diskrete Form aber auch durch Diskretisierung einer gDG.)
Beispiele sind:
Nt+1 = rNt (für r > 0) ⇒ Nt = rt N0 (diskretes exponentielles Wachstum),
Nt
Nt+1 = rNt 1 − K (für r > 0, K > 0) (diskretes logistisches Wachstum).
Nachteil des letzten Modells: Nt+1 < 0, wenn Nt > K.
Gleichgewichtspunkte erhält man als Schnittpunkte N ∗ von Nt+1 = f (Nt ) mit der
ersten Winkelhalbierenden“ Nt+1 = Nt .
”
Der Gleichgewichtspunkt N ∗ ist stabil, wenn |f 0 (N ∗ )| < 1 gilt, und instabil, wenn
|f 0 (N ∗ )| > 1 gilt. Im Fall von |f 0 (N ∗ )| = 1 spricht man von einem
Verzweigungspunkt.
Populationsdynamik
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59
Numerische Simulation mathematischer Modelle
((
(
!
!
"
"
x1
x2
x3
0 < f 0 (N ∗ ) < 1
Populationsdynamik
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60
Numerische Simulation mathematischer Modelle
c
c
Q
Q
Q
x1
HH
HH
aa
aa
x3
a
HH
x2
−1 < f 0 (N ∗ ) < 0
Populationsdynamik
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61
Numerische Simulation mathematischer Modelle
AA
A
A
TT
T
S
S
e
e
e
@
@
e
e
e
x2
x1
S
S
x3
|f 0 (N ∗ )| > 1
Populationsdynamik
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62
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2.8
Ein chaotisches“ Beispiel
”
Normiere das diskrete logistische Modell durch ut =
ut+1 = rut (1 − ut )
Nt
K :
(mit r > 0)
und wähle u0 ∈ (0, 1).
Gleichgewichtspunkte (bestimme Lösungen u∗ von f (u) = ru(1 − u) = u),
Stabilität (bestimme λ = f 0 (u∗ )):
r−1
r−1
= 2 − r. (2.17)
u∗1 = 0, λ1 = f 0 (0) = r, und u∗2 =
, λ2 = f 0
r
r
Populationsdynamik
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63
Numerische Simulation mathematischer Modelle
1. Für r ∈ (0, 1) ist u∗1 = 0 der einzige realistische (positive)
Gleichgewichtspunkt,
2. Erster Bifurkationspunkt r = 1.
3. Für r ∈ [1, 3) ist u∗2 ein (realistischer) stabiler Gleichgewichtspunkt.
0.7
1 <= r <= 3
1
0.6
0.5
0.4
r = 0.5
r = 1.0
r = 2.0
r =2.8
0.3
ut+1
0.2
0.1
u
0
0
Populationsdynamik
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
0
t
1
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64
Numerische Simulation mathematischer Modelle
4. Zweiter Bifurkationspunkt r = 3.
5. Für r ∈ [3, r4 ) existiert ein stabile 2-periodische Gleichtgewichtlösung.
Betrachte ut+2 = f 2 (ut ) = r(rut (1 − ut ))(1 − rut (1 − ut )). Diese
Iteration hat vier Gleichgewichtspunkte: u∗1,2 (beide instabil) und
u∗3,4
(r + 1) ± [(r + 1)(r − 3)]1/2
=
>0
2r
mit |(f 2 )0 (u∗3,4 )| < 1.
1
r = 3.3
r = 3.0
r = 3.3
r = 3.5
0.9
1
0.8
0.7
ut+2
0.6
0.5
0.4
0.3
0
Populationsdynamik
5
10
15
20
25
30
35
40
0
0
ut
1
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65
Numerische Simulation mathematischer Modelle
6. Der dritte Bifurkationspunkt r4 ist der (kleinste) Wert von r mit
(f 2 )0 (u∗3,4 ) = −1.
7. Zwischen r4 und r8 gibt es eine stabile 4-periodische Gleichgewichtslösung
u∗5,6,7,8 bis (f 4 )0 (u∗5,6,7,8 ) = −1.
8. Dieser Prozess (aus einer 2k -periodischen Gleichgewichtslösung wird eine
2k+1 -periodische) setzt sich fort bis zum Wert rc .
r=r
c
1
r = rc
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
0.1
Populationsdynamik
0
10
20
30
40
50
60
70
0
1
80
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Populationsdynamik
66
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
Populationsdynamik
67
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68
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Ein Modell für Masernepidemien
Die Kinderkrankheit Masern wird durch Viren übertragen. Ein typischer
Krankheitsverlauf stellt sich (leicht vereinfacht) wie folgt dar: Ein Kind, das
sich angesteckt hat, durchläuft zunächst eine einwöchige Inkubationszeit, in
der es weder sichtbar krank ist noch andere Kinder anstecken kann. Danach
wird es für eine Woche infektiös (d.h. es kann die Krankheit übertragen).
Danach wird es sichtbar krank (Exanthem), aber nicht mehr (in Wirklichkeit
deutlich weniger) infektiös, erholt sich wieder und ist in Zukunft immun gegen
Masern.
Man hat beobachtet, dass es in Industrieländern (U.S.A., U.K.) alle zwei bis
drei Jahre zu epidemischen Ausbrüchen dieser Krankheit kommt. In sog.
Dritte-Welt-Ländern ist der Zeitraum zwischen zwei Epidemien wesentlich
kürzer. Warum?
Populationsdynamik
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69
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Sei Sn die Anzahl der gesunden, aber nicht immunen Kinder in der Woche n.
Sei In die Anzahl der infektiösen Kinder in der Woche n. Sei B > 0 die Anzahl
der Neugeborenen pro Woche. Sei µ > 0 der Anteil der Kinder (aus Sn ), die
pro Woche von einem infektiösen Kind angesteckt werden.
In = f (In−1 , Sn−1 ) = µIn−1 Sn−1
Sn = g(In−1 , Sn−1 ) = Sn−1 − µIn−1 Sn−1 + B.
Populationsdynamik
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70
Numerische Simulation mathematischer Modelle
I0 = 20, S0 = 30000, µ = 0.3 · 10−4 , B = 120 (U.K.):
4
3.8
x 10
3.6
S
n
3.4
3.2
3
2.8
0
50
100
150
200
250
300
150
200
250
300
700
600
500
In
400
300
200
100
0
Populationsdynamik
0
50
100
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71
Numerische Simulation mathematischer Modelle
I0 = 20, S0 = 30000, µ = 0.3 · 10−4 , B = 360 (Nigeria):
4
4.5
x 10
4
Sn
3.5
3
2.5
0
50
100
150
200
250
300
200
250
300
2000
In
1500
1000
500
0
Populationsdynamik
0
50
100
150
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72
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Wir berechnen die Gleichgewichtspunkte aus
f (I, S) = I und g(I, S) = S.
Als einziger realistischer Gleichgewichtspunkt ergibt sich (I ∗ , S ∗ ) = (B, 1/µ),
der wegen
 ∂f ∂f 
"
#
∂I
∂S
1
µB


=
∂g
∂g
−1 1 − µB
∂I
∂S
(I,S)=(I ∗ ,S ∗ )
ein Zentralpunkt ist (falls µB ≤ 4 sind die Eigenwerte der Funktionalmatrix
konjugiert komplex und vom Betrag 1). Wir beobachten eine periodisches
Verhalten mit Periodenlänge ≈ 126 im Fall B = 120 bzw. Periodenlänge ≈ 73
im Fall B = 360.
Populationsdynamik
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73
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3
Markoff-Ketten
3.1
Zwei Zufallsprozesse
a. Rekursionen mit Zufallsmatrizen.
Wähle
•
•
•
•
•
k ∈ N, k ≥ 2,
ein Wahrscheinlichkeitsmaß π = [π1 , π2 , . . . , πk ] auf {1, 2, . . . , k},
k Matrizen A1 , A2 , . . . , Ak ∈ R2×2 ,
k Vektoren b1 , b2 , . . . , bk ∈ R2 ,
und einen Startvektor x0 ∈ R2 .
Dann führe folgenden Algorithmus aus
for m = 1 : M (M groß, z.B. M = 10000)
wähle j ∈ {1, 2, . . . , k} nach π
xm = Aj xm−1 + bj
end
Plotte xm , m = m0 , m0 + 1, . . . , M (mit z.B. m0 = 100).
Markoff-Ketten
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74
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Ein Farnblatt
k = 2, π = [.2993, .7007],
"
#
+.4000 −.3733
A1 =
,
+.0600 +.6000
"
#
+0.3533
b1 =
,
+0.0000
"
#
−.8000 −.1867
A2 =
,
+.1371 +.8000
"
#
+1.1000
b2 =
.
+0.1000
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
75
Numerische Simulation mathematischer Modelle
k = 3,
Sierpinski-Dreieck
π = [1, 1,
"
#
1 0
1
A1 = 2
,
0 1
"
#
0
b1 =
,
0
1]/3,
A2 = A1 ,
"
#
1
b2 =
,
0
A3 = A1 ,
"
b3 =
Markoff-Ketten
1
2
1
1
#
.
Technische Universität Bergakademie Freiberg
76
Numerische Simulation mathematischer Modelle
b. Irrfahrt eines Springers.
Stelle einen Springer in die Ecke eines ansonsten leeren Schachbretts und
wähle zufällig einen der nach den Regeln erlaubten Züge. Jeder der möglichen
Züge werde mit der gleichen Wahrscheinlickeit ausgewählt.
Markoff-Ketten
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77
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Natürliche Fragen:
1. Wieviele Züge sind durchschnittlich notwendig, bis der Springer zu seiner
Ausgangsposition zurückkehrt?
2. Wieviele Züge sind durchschnittlich notwendig, bis der Springer alle 64
Felder besucht hat?
Um ein Gefühl für diese Größen zu entwickeln, simulieren wir 100 solche
Irrfahrten mit dem Zufallszahlengenerator rand von Matlab. In genau 35
dieser Experimente ist der Springer nach weniger als 50 Zügen zu seiner
Ausgangsposition zurückkehrt, während er in genau einem Experiment dazu
k ∈ [1050, 1100) Züge benötigt. Die durchschnittliche first return time unserer
Stichprobe ist 191.78, aber wir werden später beweisen, dass diese Frage ohne
numerische Experimente beantwortet werden kann (der Erwartungswert der
first return time beträgt 168).
Eine ähnliche Simulation (mit wieder 100 Experimenten) liefert als Antwort
auf die zweite Frage nach der cover time den Durchschnittswert 556.9 (auch
hier kann die Antwort ohne numerische Experimente gegeben werden).
Markoff-Ketten
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78
Numerische Simulation mathematischer Modelle
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
15
12
9
6
3
1
Markoff-Ketten
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
x10
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x102
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79
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3.2
Elementares aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
Wir untersuchen folgendes Spiel: Nach Zahlung eines Einsatzes darf mit drei
Würfeln gewürfelt werden. Für jede 4 wird 1 Euro, für jede 5 bzw. 6 werden 2
bzw. 3 Euro ausgezahlt.
Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
zugehöriger Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , W ):
• Ergebnisraum Ω := {(w1 , w2 , w3 ) : wj ∈ {1, 2, ..., 6}}
(63 = 216 Elementarereignisse),
• Ereignisalgebra A := {A : A ⊆ Ω}
(Potenzmenge von Ω, 2216 ≈ 1065 Ereignisse),
• Wahrscheinlichkeitsmaß W (A) =
Markoff-Ketten
1
216
card(A), A ∈ A .
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80
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Zufallsvariable X : Ω → R : Wurf 7→ Auszahlung,
P
P
P
X((w1 , w2 , w3 )) = wj =4 1 + wj =5 2 + wj =6 3.
Offenbar: X(Ω) = {0, 1, ..., 9}.
diskrete Dichtefunktion f (Wahrscheinlichkeitsverteilung)
f (x) := W (X = x) = W ({(w1 , w2 , w3 ) ∈ Ω : X((w1 , w2 , w3 )) = x}),
P9
x ∈ {0, 1, ..., 9}. Beachte x=0 f (x) = 1.
Im folgenden steht χ für eine Augenzahl zwischen 1 und 3.
Markoff-Ketten
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81
Numerische Simulation mathematischer Modelle
x
Markoff-Ketten
W (X = x)
0
(χ, χ, χ) [27|216]
27/216
1
(χ, χ, 4) [27|216]
27/216
2
(χ, 4, 4) [9|216]; (χ, χ, 5) [27|216]
36/216
3
(4, 4, 4) [1|216]; (χ, 4, 5) [18|216]; (χ, χ, 6) [27|216]
46/216
4
(4, 4, 5) [3|216]; (χ, 4, 6) [18|216]; (χ, 5, 5) [9|216]
30/216
5
(4, 4, 6) [3|216]; (4, 5, 5) [3|216]; (χ, 5, 6) [18|216]
24/216
6
(4, 5, 6) [6|216]; (5, 5, 5) [1|216]; (χ, 6, 6) [9|216]
16/216
7
(4, 6, 6) [3|216]; (5, 5, 6) [3|216]
6/216
8
(5, 6, 6) [3|216]
3/216
9
(6, 6, 6) [1|216]
1/216
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82
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Verteilungsfunktion F
F (y) := W (X ≤ y) = W ({(w1 , w2 , w3 ) ∈ Ω : X((w1 , w2 , w3 )) ≤ y})
P
= x≤y f (x), y ∈ R.
Beachte limy→−∞ F (y) = 0, limy→+∞ F (y) = 1, F (y1 ) ≤ F (y2 ) für y1 ≤ y2 .
Erwartungswert von X
P9
E(X) = x=0 xf (x) = 3, d.h. 3 Euro Einsatz ⇒ faires Spiel.
Markoff-Ketten
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83
Numerische Simulation mathematischer Modelle
F(x)=W(X <= x)
f(x)= W(X=x)
0.25
1
0.2
0.8
0.15
0.6
0.1
0.4
0.05
0
0.2
0
Markoff-Ketten
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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84
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Warteschlangen
Zu den zufälligen Zeitpunkten t0 = 0, t1 , t2 , ... treffen Kunden in der
Warteschlange vor einem Bedienungssystem ein. Wir setzen
Sn := tn − tn−1 (n = 1, 2, ...)
(Zwischenankunftszeiten).
Die Zufallsvariablen Sn seien unabhängig und identisch verteilt (iid).
Ihre Verteilung sei F (x) = W (Sn ≤ x). Beliebt ist die Exponentialverteilung
F (x) = Eλ (x) := 1 − exp(−λx), x ≥ 0 (mit einem Parameter λ > 0).
Fλ (x) besitzt eine Dichtefunktion, nämlich fλ (t) = λ exp(−λx) (für x ≥ 0)
Rx
(Fλ (x) = 0 fλ (t)dt).
Die Exponentialverteilung besitzt kein Gedächtnis“:
”
W (X > x + y | X > x) = W (X > y), x, y ≥ 0,
was später noch sehr wichtig wird.
Markoff-Ketten
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85
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Exponentialverteilung
Dichte der Exponentialverteilung
1
2
0.9
1.8
λ=2
0.8
1.6
0.7
1.4
0.6
1.2
0.5
1
0.4
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
0
0
0.5
Markoff-Ketten
1
λ=2
0.8
λ = .75
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0
λ = .75
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
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86
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Zurück zur Warteschlange: Die wartenden Kunden werden vom
Bedienungssystem in der Reihenfolge ihres Eintreffens bedient. Durch Tn wird
die Bedienungszeit des Kunden n bezeichnet. Diese Zufallsvariable besitze
die Verteilung G. Auch die Tn seien iie und unabhängig von Sn .
Wir interessieren uns für die Länge der Warteschlange X(t). Sind auch die Tn
exponentialverteilt (mit Parameter µ), spricht man von einem
M/M/1/∞-System ( 1“ bedeutet: ein Server, ∞“ bedeutet: unendlich
”
”
grosser Warteraum).
Markoff-Ketten
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87
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Warteschlange
X(t)
2
1
0
0
Markoff-Ketten
1
2
3
4
5
t
6
7
8
9
10
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88
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3.3
Diskrete Markoff-Ketten
Ein System S , das sich in genau einem von n Zuständen Z1 , Z2 , . . . , Zn (oder
kürzer 1, 2, . . . , n) befinden kann, wird einem stochastischen Prozess A
unterworfen. Bekannt sind die Übergangswahrscheinlichkeiten
A
ai,j = W i −→ j
(1 ≤ i, j ≤ n).
ai,j hänge nicht davon ab, wie S in den Zustand i kam. Der zukünftige
Zustand des Prozesses hängt also nur vom gegenwärtigen, aber nicht von den
vergangenen ab (Markoff-Eigenschaft).
Das Paar (S , A ) heißt (zeit-) diskrete homogene (d.h. ai,j ist zeitunabhängig)
Markoff-Kette (mit endlichem Zustandsraum {1, 2, . . . , n}). Wir werden nur
solche Markoff-Ketten betrachten.
Die Übergangsmatrix A = [ai,j ] ∈ Rn×n beschreibt diesen Prozess.
A ist eine stochastische Matrix, d.h. A ist nichtnegativ (ai,j ≥ 0, 1 ≤ i, j ≤ n)
Pn
mit Zeilensummen gleich 1 ( j=1 ai,j = 1, 1 ≤ i ≤ n, oder Ae = e mit
e = [1, 1, . . . , 1]T ∈ Rn ).
Markoff-Ketten
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89
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Zusammengesetzte Prozesse
Sind A und B stochastische Vorgänge im System S mit den
Übergangsmatrizen A bzw. B, dann besitzt der zusammengesetzte Prozess
C = B ◦ A die Übergangsmatrix C = AB. (Insbesondere ist das Produkt
zweier stochastischer Matrizen wieder stochastisch.)
Hier sollen Prozesse A m mit den Übergangsmatrizen Am
(m-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten) und ihr Verhalten für m → ∞
untersucht werden:
A
A
A
A
S −→ S −→ · · · −→ S −→ · · ·
Wird das System S im Zeitpunkt m = 0 durch das Wahrscheinlichkeitsmaß
(0)
(0)
(0)
(die Ausgangsverteilung) π (0) = [π1 , π2 , . . . , πn ] beschrieben
(Wahrscheinlichkeitsvektoren sind hier stets Zeilenvektoren), dann beschreibt
π (m) = π (0) Am das System S im Zeitpunkt m ≥ 0.
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
90
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Beispiel. Eine 1-bit Nachricht ( ja“ oder nein“ bzw. wahr“ oder falsch“
”
”
”
”
bzw. 0“ oder 1“) wird z.B. mündlich über viele Zwischenstationen verbreitet
”
”
und dabei möglicherweise verfälscht: Mit Wahrscheinlichkeit p (0 ≤ p ≤ 1)
wird 0“ als 1“ weitergereicht und folglich ist die Wahrscheinlichkeit 1 − p,
”
”
dass 0“ korrekt als 0“ wiedergegeben wird. Die
”
”
Verfälschungswahrscheinlichkeit von 1“ sei q (0 ≤ q ≤ 1) und deshalb wird
”
1“ mit Wahrscheinlichkeit 1 − q als 1“ weitergegeben.
”
”
Markoff-Ketten
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91
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Unser Übertragungssystem besteht also aus zwei Zuständen, nämlich 0 und 1,
und wird durch die vier Übergangswahrscheinlichkeiten
W (0 → 0) = 1 − p,
W (1 → 0) = q,
W (0 → 1) = p,
W (1 → 1) = 1 − q
beschrieben, die wir in der Übergangsmatrix
"
#
1−p
p
A=
∈ R2×2
q
1−q
zusammenfassen.
Drei Fälle:
1. p = q = 0, dann Am = I2 ∀ m und limm→∞ Am = I2 .
2. p = q = 1, dann A2m+1 = A, A2m = I2 ∀ m und limm→∞ Am existiert
nicht.
3. 0 < p, q < 1, dann limm→∞ Am =
Markoff-Ketten
1
p+q
[ qq pp ].
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92
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Im Fall von p = q ∈ (0, 1) (unparteiische Verfälschung) ist


lim Am = 
m→∞
1
2
1
2
1
2
1
2
 =: A∞ .
Nach einer langen Reihe von Zwischenträgern kann die Ankunft der
unverfälschten Ausgangsnachricht nur mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 erwartet
werden (und zwar unabhängig vom Wert von p = q).
Was lange“ bedeutet, hängt aber vom Wert von p = q ab:
”
kAm − A∞ k∞ = |1 − 2p|m ,
d.h. die Konvergenz ist umso schneller, je näher p bei 1/2 liegt.
(Interessante Beobachtung: A besitzt die Eigenwerte 1 und 1 − 2p.)
Markoff-Ketten
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93
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Markoff-Ketten können alternativ durch eine Folge {Xt }t=0,1,... von
Zufallsvariablen beschrieben werden. Dabei ist Xt der Zustand, in dem sich
das System zum Zeitpunkt t befindet.
Die Markoff-Eigenschaft ist dann
W (Xt+1 = it+1 |Xt = it , Xt−1 = it−1 , . . . , X0 = i0 ) = W (Xt+1 = it+1 |Xt = it ).
Die Einträge der Übergangsmatrix A können als bedingte Wahrscheinlichkeiten
ai,j = W (Xt+1 = j|Xt = i)
interpretiert werden.
Unter der Bedingung Xt = i besitzt die Zufallsvariable Xt+1 die
Wahrscheinlichkeitsverteilung {W (Xt+1 = j) = ai,j }j=1,2,...,n .
Xt+1 ist stochastisch unabhängig von X0 , X1 , . . . , Xt−1 .
Markoff-Ketten
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94
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Beliebte Beispiele für Markoff-Ketten sind Irrfahrten wie die des Springers aus
dem 1. Abschnitt. Dort besteht der Zustandsraum aus 64 Elementen, den
Feldern des Schachbretts.
Die folgenden Abbildungen zeigen die Übergangsmatrix für zwei
Nummerierungen der Zustände (Felder). Bei der lexikografischen Ordnung
werden die Felder von links unten (a1) nach rechts oben (h8) zeilenweise
durchnummeriert. Bei der Schwarz/Weiss-Ordnung“ nummeriert man erst
”
alle schwarzen und danach alle weissen Felder (jeweils lexikografisch).
Lexikographische Ordnung
"Schwarz/Weiß"−Ordnung
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
0
10
Markoff-Ketten
20
30
nz = 336
40
50
60
0
10
20
30
nz = 336
40
50
60
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95
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Klassifizierung von Zuständen (und Markoff-Ketten)
Erinnerung: Mit Am
i
h
(m)
= ai,j
1≤i,j≤n
Am
(m)
ist W i −→ j = ai,j .
Der Zustand j heißt vom Zustand i aus erreichbar (i → j), wenn es ein m ∈ N
(m)
gibt mit ai,j > 0. Gilt i → j und j → i, so kommunizieren die Zustände i
und j (i ↔ j).
↔“ ist eine Äquivalenzrelation auf dem Zustandsraum {1, 2, . . . , n} und
”
zerlegt ihn damit in Äquivalenzklassen (sog. Kommunikationsklassen).
{1, 2, . . . , n} = K1 ∪ K2 ∪ · · · ∪ Ks ,
Kk 6= ∅, Kk ∩ K` = ∅ für k 6= `,
wobei alle Zustände in Kk miteinander kommunizieren und kein Zustand aus
Kk mit einem Zustand kommuniziert, der außerhalb von Kk liegt.
Die Markoff-Kette heißt irreduzibel, wenn alle ihre Zustände miteinander
kommunizieren, d.h. wenn es nur eine Kommunikationsklasse gibt. Sonst heißt
sie reduzibel.
Markoff-Ketten
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96
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3.4
Reduzible und irreduzible Matrizen
Ist π eine Permutation der Indexmenge {1, 2, . . . , n} dann ist die zugehörige
Permutationsmatrix P = Pπ = [pi,j ] ∈ Rn×n durch
(
1,
falls j = π(i),
pi,j =
0,
falls j 6= π(i),
definiert. Es gilt Pπ−1 = Pπ−1 = PπT .
Ist A = [ai,j ] ∈ Cn×n mit den Zeilen z1T , . . . , znT und Spalten s1 , . . . , sn , so
T
T
besitzt P A die Zeilen zπ(1)
, . . . , zπ(n)
und AP T die Spalten sπ(1) , . . . , sπ(n) .
Insbesondere ist P AP T = [aπ(i),π(j) ].
Markoff-Ketten
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97
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Eine Matrix A ∈ Cn×n heißt reduzibel (zerlegbar), falls eine
Permutationsmatrix P existiert, so dass
"
#
A1,1
O
T
P AP =
A2,1 A2,2
mit quadratischen Matrizen A1,1 , A2,2 der Ordnung p > 0 und q > 0
(p + q = n). A heißt irreduzibel, wenn A nicht reduzibel ist.
Wir ordnen der Matrix A = [ai,j ] ∈ Cn×n n Knoten N1 , N2 , . . . , Nn zu. Für
jedes Element ai,j 6= 0 wird Ni mit Nj durch eine gerichtete Kante verbunden.
Falls ai,i 6= 0 ist, so wird Ni mit einer geschlossenen Schleife versehen.
Die Gesamtheit der Knoten und Kanten bildet den gerichteten Graph G(A)
von A.
Markoff-Ketten
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98
Numerische Simulation mathematischer Modelle

0
0
1

 0
0 1/2

A=
 1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 0
0


1/2 

0 

173
N2
N1
I
6
@
[email protected]
@
@
@
@
⇒ G(A) :
@
@
?
@
R
@
- N3
N4 Ein gerichteter Graph heißt vollständig zusammenhängend, wenn es für jedes
geordnete Paar (Ni , Nj ) von Knoten einen gerichteten Weg (d.h. eine Folge
von gerichteten Kanten) gibt, der von Ni nach Nj führt.
Markoff-Ketten
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99
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 3.1 (Charakterisierung von Irreduzibilität)
Die folgenden Aussagen sind einander äquivalent:
1. Die Markoff-Kette (S , A ) ist irreduzibel.
2. Die zugehörige Übergangsmatrix A ist irreduzibel.
3. Der gerichtete Graph von A ist vollständig zusammenhängend.
Äquivalent: A = [ai,j ] ist genau dann irreduzibel, wenn es für jede beliebige
Zerlegung Z = S ∪ T der Indexmenge (hier: des Zustandraums)
Z := {1, 2, . . . , n} mit S ∩ T = ∅, S 6= ∅, T 6= ∅ ein Element ai,j 6= 0 gibt
mit i ∈ S und j ∈ T .
Markoff-Ketten
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100
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Zu jeder Matrix A ∈ Cn×n gibt es

A1,1

A2,1


>
P AP = 
A3,1
 .
 ..

Ak,1
eine Permutationsmatrix P ∈ Rn×n , so dass

0
··· ···
0

A2,2
0
0 

.. 
A3,2 A3,3
. 

.. 
..
.
. 

Ak,2 Ak,3 · · · Ak,k
untere Blockdreiecksform besitzt. Die quadratischen Diagonalblöcke Aj,j
(j = 1, 2, . . . , k) sind dabei entweder irreduzibel oder eindimensionale
Nullmatrizen (Normalform einer reduziblen Matrix).
Markoff-Ketten
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101
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Sei (S , A ) eine Markoff-Kette mit Zustandsraum {1, 2, ..., n} .
Die Zufallsvariable Tj sei die Zeit, zu der der Prozess zum ersten Mal in den
Zustand j kommt und fi,j (k) = W (Tj = k|X0 = i) sei die Wahrscheinlichkeit,
dass der Prozess, wenn er im Zustand i startet, zur Zeit k zum ersten Mal
nach j kommt. Dann gelten





k = 1,
ai,j ,
δi,j (Kronecker-δ), k = 1,
X
(k)
k
X
fi,j (k) =
und
a
=
i,j
(k−l)
ai,` f`,j (k − 1), k ≥ 2,


f
(`)a
,
k ≥ 2,


i,j
j,j

l6=j
`=1
Aus der ersten Formel folgt für k ≥ 2
X
fi,j (k) =
ai,`1 a`1 `2 · · · a`k−1 ,j ,
wobei über alle (k − 1)-Tupel (`1 , `2 , . . . , `k−1 ) summiert wird mit `s 6= j für
alle s = 1, 2, . . . k − 1.
P∞
∗
Weiter ist fi,j = k=1 fi,j (k) die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess
ausgehend vom Zustand i in endlich vielen Schritten nach j kommt.
Markoff-Ketten
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102
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Der Zustand i heißt rekurrent, wenn fii∗ = 1, d.h. wenn mit Wahrscheinlichkeit
1 der Prozess ausgehend von i irgendwann wieder nach j zurückkehrt.
Der Zustand i heisst transient, wenn fii∗ < 1, d.h. es gibt eine positive
∗
Wahrscheinlichkeit (1 − fi,i
> 0) dafür, dass der Prozess nie mehr nach i
zurückkehrt.
Ein rekurrenter Zustand i heißt periodisch mit Periode p, falls
(m)
p = ggT{m : ai,i > 0}. Ist p = 1, so heißt der Zustand aperiodisch.
Sei Ni die Anzahl, wie oft der Prozess in den Zustand i zurückkehrt, wenn er
dort gestartet wird (Startpunkt wird mitgezählt.) Die Zufallsvariable Ni is
geometrisch verteilt:
∗ m−1
∗
W (Ni = m) = fi,i
(1 − fi,i
)
(m = 1, 2, . . .).
Das bedeutet:
W (Ni < ∞) =
∞
X
m=1
Markoff-Ketten
W (Ni = m) =
∞
X
m=1
∗ m−1
fi,i
∗
(1 − fi,i
)=
(
∗
0, fi,i
= 1,
∗
1, fi,i
= 0.
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103
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Ein transienter Zustand i ist also dadurch charakterisiert, dass der Prozess mit
Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft nach i zurückkehrt, während ein
rekurrenter Zustand mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft besucht wird.
Satz 3.2 (Klasseneigenschaften bei (endlichen) Markoff-Ketten)
1. Nicht alle Zustände können transient sein.
2. Angenommen, die Zustände i und j kommunizieren.
Dann gelten die Solidaritätsprinzipien:
a) Ist i rekurrent, so auch j.
b) Ist i transient, so auch j.
c) Ist i aperiodisch, so auch j.
d) Ist i periodisch mit Periode p ≥ 2, so auch j.
3. Jede (endliche) Markoff-Kette besitzt mindestens eine Kommunikationsklasse, in der alle Zustände rekurrent sind.
4. Ist die endliche Markoff-Kette irreduzibel, so sind alle Zustände rekurrent.
Markoff-Ketten
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Numerische Simulation mathematischer Modelle
104
Wir beschreiben die Struktur der Übergangsmatrix A:
Der Zustandsraum von (S , A ) zerfalle in r1 rekurrente und r2 transiente
Kommunikationsklassen.
Dann kann A nach geeigneter Umnummerierung der Zustände in der folgenden
Form dargestellt werden:


0
0
A1,1
0


..


.






0
Ar1 ,r1
0
0


A = 

 Ar1 +1,1 · · · Ar1 +1,r1 Ar1 +1,r1 +1

0




..
..
..
..
..


.
.
.
.
.


Ar1 +r2 ,1 · · · Ar1 +r2 ,r1 Ar1 +r2 ,r1 +1 · · · Ar1 +r2 ,r1 +r2
#
"
O
AR,R
.
=
AT,R AT,T
Markoff-Ketten
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105
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Die quadratischen Matrizen Ak,k (1 ≤ k ≤ r1 ) sind irreduzible stochastische
Matrizen. Insbesondere besitzen sie alle den Spektralradius 1.
Die quadratischen Matrizen Ak,k (r1 + 1 ≤ k ≤ r1 + r2 ) sind entweder
Nullmatrizen der Dimension 1 × 1 oder sie sind irreduzibel und
substochastisch, d.h. ihre Zeilensummen sind ≤ 1, wobei für mindestens eine
Zeile strikte Ungleichheit gilt. Das bedeutet, dass die Spektralradien ρ(Ak,k )
echt kleiner als 1 sind und daher limm→∞ Am
k,k = 0 gilt
(r1 + 1 ≤ k ≤ r1 + r2 ). Daraus folgt: limm→∞ Am
T,T = 0.
Markoff-Ketten
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106
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3.5
Stationäre Verteilungen
Sei (S , A ) eine diskrete Markoff-Kette mit Zustandsraum {1, 2, . . . , n} und
Übergangsmatrix A.
Ein Wahrscheinlichkeitsvektor π heißt stationär (invariant) bez. (S , A ), wenn
π = πA
gilt.
Äquivalent: π ist linker Eigenvektor von A zum Eigenwert 1.
Äquivalent: π T löst das homogene LGS (In − AT )x = 0 .
Äquivalent: π T liegt in N (In − AT ), dem Nullraum von (In − AT ).
Markoff-Ketten
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107
Numerische Simulation mathematischer Modelle
• Existiert π = limm→∞ π 0 Am (für eine beliebige Anfangsverteilung π 0 ),
dann ist π stationär.
• Existiert limm→∞ Am = A∞ , dann ist π 0 A∞ stationär für jede Verteilung
π0 .
(m)
• Gilt limm→∞ ai,j = πj (für alle i und j), m.a.W.: konvergiert die j-te
Spalte von Am gegen πj e (m → ∞) für alle j, dann ist
π = [π1 , π2 , . . . , πn ] stationär.
Satz 3.3 (Satz von Perron (1908) und Frobenius (1912))
Ist A ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel, so gelten:
1. Der Spektralradius ρ(A) = max{|λ| : λ ist Eigenwert von A} > 0 ist
ein (algebraisch) einfacher Eigenwert von A.
2. Der (bis auf skalare Vielfache eindeutige) Eigenvektor von A zum Eigenwert ρ(A) kann positiv gewählt werden.
3. Gilt Ax = λx für ein x ≥ 0 , x 6= 0 , so folgt λ = ρ(A).
Markoff-Ketten
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108
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 3.4 (Satz von Perron-Frobenius, Teil II)
Ist A = [ai,j ] ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel, so gelten:
1. Besitzt A genau p verschiedene Eigenwerte λ1 , . . . , λp vom Betrag ρ(A), dann folgt
(nach einer geeigneten Umnummerierung)
2πj
i
(j = 1, . . . , p).
λj = ρ(A) exp
p
λ1 , . . . , λp sind einfache Eigenwerte von A. Außerdem ist das Spektrum von A
( = Menge aller Eigenwerte) invariant unter der Drehung um den Winkel 2π/p.
2. Ist p > 1, so gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ Rn×n mit


O
A1,2




O
A
2,3




.
.
>


.
.
P AP = 
.
.




O Ap−1,p 


Ap,1
O
(die Nulldiagonalblöcke sind quadratisch).
3. Ist wenigstens ein Diagonalelement von A positiv, so folgt p = 1.
4. Gibt es i, j ∈ {1, . . . , n} mit ai,j aj,i > 0, so folgt p ≤ 2.
Markoff-Ketten
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109
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Sei A ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel. p sei die Anzahl der Eigenwerte
von A vom Betrag ρ(A). Ist p = 1, so heißt A primitiv. Ist p > 1, so heißt A
zyklisch vom Index p.
Eine nichtnegative irreduzible Matrix A ∈ Rn×n ist genau dann primitiv, wenn
es eine Potenz m gibt, so dass Am nur positive Einträge besitzt.
Sei A zyklisch vom Index p. Liegt A in der Normalform von Satz 3.4 vor, so
folgt:


B1




B2




..
Ap = 

.




B


p−1
Bp ,
mit Bj = Aj,j+1 Aj+1,j+2 · · · Ap,1 A1,2 A2,3 · · · Aj−1,j .
Alle Bj , j = 1, 2, . . . , p, sind quadratisch, nichtnegativ, irreduzibel und
primitiv.
Markoff-Ketten
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110
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 3.5 (Romanovsky, 1936)
Es sei G(A) der gerichtete Graph einer nichtnegativen irreduziblen Matrix
A ∈ Rn×n . Für jeden Knoten Nj von G(A) sei Sj die Menge aller gerichteten
Wege, die Nj mit sich selbst verbinden. Die Länge `(w) eines gerichteten Wegs
w sei die Anzahl der beteiligten Kanten. Wir setzen
pj = ggT {`(w) : w ∈ Sj }.
Dann gilt p1 = p2 = · · · = pn =: p und p ist die Anzahl der Eigenwerte von
A vom Betrag ρ(A), d.h. A ist zyklisch vom Index p.
Markoff-Ketten
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111
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Synopsis
Sei A = [ai,j ] ∈ Rn×n die Übergangsmatrix der Markoff-Kette (S , A ).
1. Immer existiert
m
1 X k
A .
P := lim
m→∞ m + 1
k=0
P ist stochastisch. Außerdem ist P eine Projektion, die mit A
kommutiert, genauer: P = P 2 = P A = AP . Es gilt
M
N (P ) =
N ((A − λI)n ).
λ∈Λ(A)\{1}
π 0 P ist stationär für jede Verteilung π 0 . Insbesondere besitzt jede
Markoff-Kette (unter den hier üblichen Voraussetzungen) eine
stationäre Verteilung.
Markoff-Ketten
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112
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2. Wenn
Q := lim Am
m→∞
existiert, so gilt Q = P .
3. Ist A primitiv, dann gibt es genau einen Vektor z = [z1 , z2 , . . . , zn ]> ∈ Rn
mit z > 0 , kz k1 = 1 und z > A = z > .
Der Grenzwert Q = limm→∞ Am existiert und es gilt


z1 z2 · · · zn


 z1 z2 · · · zn 


Q= .
.
.
.
..
.. 
 ..


z1 z2 · · · zn
Ist (S , A ) irreduzibel und aperiodisch, dann existiert genau eine
stationäre Verteilung π. Jede Komponente von π ist positiv. Die
Kette strebt für jede Ausgangsverteilung gegen π.
Markoff-Ketten
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113
Numerische Simulation mathematischer Modelle
4. Ist A zyklisch vom Index p ≥ 2, so existiert limm→∞ Am nicht.
Ist (S , A ) irreduzibel und periodisch, dann existiert genau eine
stationäre Verteilung π, aber die Kette strebt nicht für jede
Ausgangsverteilung gegen π.
5. Die (eindeutig bestimmte) stationäre Verteilung π einer p-periodischen
Kette lässt sich wie folgt bestimmen:
Ap = diag(B1 , B2 , . . . , Bp ) besitzt Blockdiagonalform (vgl. die Aussage
auf Seite 109). Die Diagonalblöcke Bj sind stochastisch und primitiv, d.h.
sie besitzen eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung π (j) , die nach
Punkt 3 bestimmt werden kann. Es gilt
h
i
π = p1 π (1) , π (2) , . . . , π (p) .
Jede Komponente von π ist positiv.
Markoff-Ketten
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114
Numerische Simulation mathematischer Modelle
6. Ist A reduzibel mit Normalform

A1,1

 A2,1

SAS T =  .
 ..

Ak,1




,


A2,2
..
Ak,2
.
···
Ak,k
so existiert Q = limm→∞ Am genau dann, wenn jeder Diagonalblock Ai,i
primitiv ist, für den ρ(Ai,i ) = 1 gilt.
limm→∞ Am existiert genau dann, wenn jede rekurrente
Kommunikationsklasse aperiodisch ist.
Markoff-Ketten
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115
Numerische Simulation mathematischer Modelle
7. Andere Formulierung: Die Übergangsmatrix A einer reduziblen Kette
besitzt die Normalform

0
0
A1,1
0

..

.



0
Ar1 ,r1
0
0

A = 
 Ar1 +1,1 · · · Ar1 +1,r1 Ar1 +1,r1 +1
0


..
..
..
..
..

.
.
.
.
.

Ar1 +r2 ,1 · · · Ar1 +r2 ,r1 Ar1 +r2 ,r1 +1 · · · Ar1 +r2 ,r1 +r2
#
"
O
AR,R
,
=
AT,R AT,T













wenn die Kette r1 rekurrente und r2 transiente Kommunikationsklassen
besitzt.
...
Markoff-Ketten
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116
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Der Grenzwert limm→∞ Am existiert genau dann, wenn alle rekurrenten
Kommunikationsklassen aperiodisch sind, d.h. genau dann, wenn alle Ak,k
(1 ≤ k ≤ r1 ) primitiv sind.
Dann gelten: limm→∞ Ak,k = Qk (1 ≤ k ≤ r1 ), d.h.
limm→∞ Am
R,R = QR,R := diag(Q1 , Q2 , . . . , Qr1 ) und
#
"
O
QR,R
lim Am =
.
−1
m→∞
(I − AT,T ) AT,R QR,R O
Markoff-Ketten
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117
Numerische Simulation mathematischer Modelle
8. Eine reduzible Markoff-Kette besitzt i.a. (unendlich) viele stationäre
Verteilungen. Zerfällt sie in r1 rekurrente und r2 transiente
Kommunikationsklassen und sind π (1) , π (2) , . . . , π (r1 ) die (eindeutig
bestimmten) stationären Verteilungen der rekurrenten Klassen, so sind




π(α) = α1 π (1) , α2 π (2) , . . . , αr1 π (r1 ) , 0 , 0 , . . . , 0 
{z
}
|
r2 Nullvektoren
(αj ≥ 0,
Kette.
Pr1
j=1
αj = 1) genau die stationären Verteilungen der gesamten
...
Markoff-Ketten
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118
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Sind alle rekurrenten Kommunikationsklassen aperiodisch, dann gilt für
die Anfangsverteilung




(r )
(2)
(1)
π 0 (α) = α1 π 0 , α2 π 0 , . . . , αr1 π 0 1 , 0 , 0 , . . . , 0 
|
{z
}
r2 Nullvektoren
(k)
(π 0 ist eine beliebige Anfangsverteilung in der rekurrenten
Pr1
Kommunikationsklasse Kk und αj ≥ 0, j=1 αj = 1) die Grenzbeziehung
lim π 0 (α)Am = π(α).
m→∞
Markoff-Ketten
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119
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3.6
Absorbierende Ketten und Übergangszeiten
Erinnerung: Tj ist die Zeit, in der die Kette zum ersten Mal in den Zustand j
kommt und fi,j (k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies zur Zeit k
geschieht, unter der Bedingung, dass der Prozess im Zustand i gestartet wird.
P∞
∗
fi,j = k=1 fi,j (k) ist die Wahrscheinlichkeit mit der ein Übergang von i
nach j in endlicher Zeit stattfindet.
Sei jetzt A eine Teilmenge des Zustandsraums, d.h. A ⊆ {1, 2, . . . , n}. Wir
definieren
TA := min{n ≥ 0 : Xn ∈ A}
∗
sowie fi,A
:= W (TA < ∞ | X0 = i).
Die Zufallsvariable TA (erstmalige Übergangszeit, hitting time) gibt an, wann
∗
der Prozess zum ersten Mal einen der Zustände aus A erreicht. fi,A
ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Prozess — ausgehend von i — in endlich
vielen Schritten A erreicht. Ist A eine rekurrente Kommunikationsklasse, so
∗
nennt man fi,A
eine Absorptionswahrscheinlichkeit (wenn diese Klasse erreicht
ist, kann sie mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht mehr verlassen werden).
Markoff-Ketten
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120
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Besteht eine rekurrente Klasse aus genau einem Zustand j, so nennt man
diesen absorbierend. Äquivalent: Ein Zustand j ist genau dann absorbierend,
wenn aj,j = 1 gilt, d.h. wenn er mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht mehr verlassen
werden kann.
Schließlich ist (falls A von i aus erreichbar ist)
ki,A = E(TA | X0 = i) =
∞
X
k W (TA = k | X0 = i)
k=0
die durschschnittliche Zeit, die der Prozess benötigt, um von i erstmalig nach
A zu kommen (mittlere (erstmalige) Übergangszeit). Ist A eine rekurrente
Kommunikationsklasse, nennt man die durchschnittliche Zeit bis zur
Absorption in A auch Kettenlänge.
Markoff-Ketten
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121
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Im Folgenden sei A immer eine rekurrente Kommunikationsklasse. Ist i
rekurrent, so gilt offenbar
(
1, i ∈ A,
∗
fi,A
=
und
ki,A = 0, wenn i ∈ A.
0, i 6∈ A,
Bevor wir diese Größen für transiente i bestimmen, betrachten wir einen
wichtigen Spezialfall:
Sei zunächst (S , A ) eine absorbierende Kette, d.h.
• sie besitzt s ≥ 1 absorbierende Zustände,
• die n − s nicht-absorbierenden Zustände sind transient,
• alle transienten Zustände kommunizieren miteinander.
Markoff-Ketten
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122
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Die Übergangsmatrix hat (nach eventueller Umnummerierung der Zustände)
die Form
"
#
Is O
A=
C B
(In−s − B ist invertierbar) und es gilt
"
lim A
m→∞
m
=
Is
(In−s − B)
O
−1
C
O
#
.
Bezeichnet A = {1, 2, . . . , s} die Menge der absorbierenden Zustände, so gilt
∗
fi,A
= 1 für alle i. (Die Wahrscheinlichkeit einer endgültigen Absorption ist 1.)
Markoff-Ketten
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123
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Kanonische Fragestellungen bei absorbierenden Markoff-Ketten
Frage 1. i und j seien transiente Zustände. ti,j bezeichne die
durchschnittliche Anzahl, wie oft der Zustand j erreicht wird, wenn in i
gestartet wird (der Ausgangszustand wird mitgezählt, falls i = j).
Antwort: Setze T = [ti,j ]s+1≤i,j≤n ∈ R(n−s)×(n−s) , dann gilt
T = (In−s − B)−1 .
Frage 2. Der Prozess werde im transienten Zustand i gestartet. Wie groß ist
die durchschnittliche Kettenlänge ki,A , das ist die durchschnittliche Anzahl der
Schritte bis zur Absorption?
Antwort: Setze e = [1, 1, . . . , 1]T ∈ Rn−s , dann gilt
Pn
ki,A = j=s+1 ti,j = [T e]i (i = s + 1, s + 2, . . . , n).
Frage 3. Der Prozess werde im transienten Zustand i gestartet. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit qi,j für Absorption im Zustand j (j ≤ s)?
Antwort: Setze Q = [qi,j ]s+1≤i≤n,1≤j≤s ∈ R(n−s)×s , dann gilt
Q = (I − B)−1 C.
Markoff-Ketten
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124
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Beispiel 1 (Vererbung bei reiner Inzucht [Pharaonen]) Eine vererbliche
Eigenschaft werde durch zwei Gene (a und b) bestimmt. Jeder Mensch habe
zwei solche Gene, was 6 Zustände bei der Genverteilung eines Paares ergibt:
1: aa × aa
2: aa × ab
3: aa × bb
4: ab × ab
5: ab × bb
6: bb × bb
Beim Erbvorgang bekommt das Kind je ein Gen von beiden Eltern, und zwar
jedes der Gene mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Mit den Mendelschen Gesetzen
ergibt sich
aa × aa 7→ aa
ab × ab 7→
1
4
aa +
1
2
ab +
1
4
bb
aa × ab 7→
1
2
aa +
1
2
ab
aa × bb 7→ ab
ab × bb 7→
1
2
ab +
1
2
bb
bb × bb 7→ bb
Die erstgeborene Tochter und der erstgeborene Sohn bilden das nächste
Pharaonenpaar. (Wir nehmen an, dass es immer mindestens eine Tochter und
einen Sohn gibt.)
Markoff-Ketten
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125
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Wir erhalten als Übergangsmatrix

1
0

 1/4 1/2

 0
0

A=
 1/16 1/4


0
 0
0
Markoff-Ketten
0
0
0
0
0


0 1/4
0
0 

0
1
0
0 


1/8 1/4 1/4 1/16 


0
1/4 1/2 1/4 
0
0
0
1
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126
Numerische Simulation mathematischer Modelle
bzw. nach der Permutation (1, 6, 2, 3, 4, 5)

1
0
0
0
0
0

 0
1
0
0
0
0

 1/4
0
1/2
0 1/4 0

A=
 0
0
0
0
1
0


 1/16 1/16 1/4 1/8 1/4 1/4
0
Markoff-Ketten
1/4
0
0
1/4



 "

I2

=

C



O
B
#
.
1/2
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127
Numerische Simulation mathematischer Modelle
1. Durchschnittliche Anzahl der Besuche in j, wenn in i gestartet wird
und
2. Kettenlänge `i bei Start in i.
Markoff-Ketten
i/j
aa × ab
aa × bb
ab × ab
ab × bb
aa × ab
8
3
1
6
4
3
2
3
29
6
= 4.83 . . .
aa × bb
4
3
4
3
8
3
4
3
20
3
= 6.66 . . .
ab × ab
4
3
1
3
8
3
4
3
17
3
= 5.66 . . .
ab × bb
2
3
1
6
4
3
8
3
29
6
= 4.83 . . .
`i
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128
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3. Wahrscheinlichkeit für Absorption im Zustand j, wenn in i gestartet
wird.
Markoff-Ketten
i/j
aa × aa
bb × bb
aa × ab
3
4
1
4
aa × bb
1
2
1
2
ab × ab
1
2
1
2
ab × bb
1
4
3
4
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129
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Beispiel 2 (Bankrott eines Spielers)
Zwei Spieler spielen mit einem Geldvorrat von insgesamt n Euro. Pro Spiel
wird um einen Euro gespielt, der den Besitzer wechselt. Dabei gewinnt Spieler
1 mit Wahrscheinlichkeit p > 0, Spieler 2 mit Wahrscheinlichkeit
q = 1 − p > 0. Der Zustand j liegt vor, wenn der erste Spieler genau j Euro
besitzt. Das Spiel endet, wenn einer der Spieler bankrott ist.
Markoff-Ketten
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130
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Die Übergangsmatrix

1

 q

 0


 0

A= .
 ..


 0


 0
0
ist
0
0
0
···
···
0
p
0
q
0
0
..
.
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0









 ∈ R(n+1)×(n+1) .







0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
..
.
0
..
.
···
0
p
0
0
···
q
0
p
0
···
0
0
1
..
.
Die Zustände 0 und n sind absorbierend, alle anderen sind transient und
kommunizieren miteinander.
Markoff-Ketten
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131
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Es gilt

lim A
m
m→∞
1

 s1


 s2
=
 ..
 .

 s
 n−1
0
0
0
···
···
0
..
.
0

0
1 − s1
0
..
.
1 − s2
..
.











0
0
···
0
1 − sn−1
0
···
0
1
mit
sj = t
n−1
X
q
p
k
"
und
t 1+q
1. Fall: p = q = 1/2. Dann folgt sj =
Markoff-Ketten
q
p
k
#
= q.
k=2
k=j
2. Fall: p 6= q. Setze r =
n−1
X
q
p.
n−j
n .
Dann folgt sj =
r n −r j
r n −1 .
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132
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Interpretation: Sei Spieler 2 die Bank. Sie sorgt dafür, dass r (leicht) größer als 1 ist
(Roulette). Die Bank beginne mit k Euro, Spieler 1 mit n − k Euro. Die
Wahrscheinlichkeit für den Ruin von Spieler 1 ist also
sn−k
rn − rn−k
rk − 1
.
=
>
rn − 1
rk
(rk−1)/rk
1
r=1.001
0.9
r=1.0001
0.8
0.7
r=1.01
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
Bei gegebenem r > 1 kann die Bank also ihren Geldvorrat k so bestimmen, dass die
Wahrscheinlichkeit für den Ruin des Spielers deutlich höher als 1/2 ist (und zwar
unabhängig vom Anfangskapital n − k des Spielers!).
Markoff-Ketten
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133
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 3.6 (Mittlere Übergangszeiten)
Der Vektor [ki,A ]1≤i≤n der mittleren Übergangszeiten ist die minimale nichtnegative Lösung de linearen Gleichungssystems
(
0,
i∈A
ki,A =
P
1 + j6=A ai,j kj,A ,
i 6= A.
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
134
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 3.7 (Mittlere Übergangszeiten bei rekurrenten Zuständen)
Sei
"
#
O
AR,R
A=
AT,R AT,T
die Übergangsmatrix einer reduziblen Kette mit s rekurrenten und t transienten Zuständen (d.h. AR,R ∈ Rs×s und AT,T ∈ Rt,t ).
Die mittlere Übergangszeit von einem transienten Zustand i in die VerPs+t
einigung A aller rekurrenten Klassen ist ki,A =
j=s+1 ti,j . Dabei ist
T = [ti,j ]s+1≤i,j≤s+t = (I − AR,R )−1 .
Die mittlere Übergangszeit von einem transienten Zustand i in eine feste rePs+t
P
kurrente Klasse K ist ki,K = ai,K j=s+1 ti,j . Dabei ist ai,K = j∈K ai,j .
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
135
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Beispiel 3 (Irrfahrt auf Graphen)
Unter einem Graph verstehen wir jetzt einen vollständig zusammenhängenden
ungerichteten Graphen mit n Knoten {1, 2 . . . , n} ohne Schleifen, also ohne
Kanten, die einen Knoten mit sich selbst verbinden. Mit deg(i), dem Grad des
Knoten i, bezeichnen wir die Anzahl der Kanten in i. In der Irrfahrt wechseln
wir von einem Knoten i zu einem der Nachbarknoten über mit
Wahrscheinlichkeit 1/deg(i), also zu jedem der Nachbarknoten mit gleicher
Wahrscheinlichkeit. Der Prozess befindet sich im Zustand i, wenn die Irrfahrt
im Knoten i angelangt ist.
Ein solcher Markoff-Prozess ist irreduzibel, besitzt also eine eindeutig
bestimmte stationäre Verteilung, nämlich
π=
1
d
[deg(1), deg(2), . . . , deg(n)] mit d =
n
X
deg(i) = 2 card{Kanten}.
i=1
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
136
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Die Irrfahrt des Springers aus Abschnitt 3.1 ist beispielsweise eine Irrfahrt auf
einem Graphen. Die Knoten des Graphen sind die Felder des Schachbretts.
Zwei Felder sind durch eine Kante verbunden, wenn der Springer von einem
dieser Felder zum anderen ziehen kann. (Die zugehörige Markoff-Kette ist
periodisch mit der Periode 2.)
Satz 3.8 (Mittlere Rückkehrzeit)
Sei π = [π1 , π2 , . . . , πn ] die stationäre Verteilung einer irreduzibeln MarkoffP∞
Kette. Die mittlere Rückkehrzeit in den Zustand i, also
k=1 k W (Ti =
k | X0 = i), hat den Wert 1/πi .
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
137
Numerische Simulation mathematischer Modelle
2
3
4
4
4
4
3
2
3
4
6
6
6
6
4
3
4
6
8
8
8
8
6
4
4
6
8
8
8
8
6
4
4
6
8
8
8
8
6
4
4
6
8
8
8
8
6
4
3
4
6
6
6
6
4
3
2
3
4
4
4
4
3
2
Die mittlere Rückkehrzeit für den Springer in eine der vier Ecken des
P64
Schachbretts ist also i=1 deg(i)/2 = 336/2 = 168.
Markoff-Ketten
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138
Numerische Simulation mathematischer Modelle
3.7
Geschwindigkeit der Konvergenz zum Gleichgewicht.
A sei die Übergangsmatrix einer Markoff-Kette.
reduzibel
irreduzibel
primitiv
irreduzibel
zyklisch
limk→∞ P k = ?
∃ limk→∞ P k
6 ∃ limk→∞ P k
Frage: Angenommen A ist primitiv (wird ab jetzt immer vorausgesetzt), d.h.
A∞ = limm→∞ Am = eπ existiert (π bezeichnet die eindeutig bestimmte
stationäre Verteilung der Kette), wie schnell konvergiert dann Am gegen A∞ ?
Oder: Wie schnell strebt die Markoff-Kette gegen ihre stationäre Verteilung?
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
139
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Irrfahrt auf Cn , dem zyklischen Graph mit n Knoten
Zeit 0: W (X0
Zeit 1: W (X1
W (X1
W (X1
Zeit 2: W (X2
W (X2
W (X2
W (X2
W (X2
= 0) = 1.
= n − 1) = 1/3,
= 0) = 1/3,
= 1) = 1/3.
= n − 2) = 1/9,
= n − 1) = 2/9,
= 0) = 3/9,
= 1) = 2/9,
= 2) = 1/9.
Offensichtlich ist die stationäre Verteilung π die Gleichverteilung
π=
1
n
[1, 1, . . . , 1].
Wie schnell strebt π m = π 0 Am (π 0 = [1, 0, . . . , 0]) gegen π?
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
140
Numerische Simulation mathematischer Modelle
n=100, m=100
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0
20
60
80
100
n=100, m=1000
0.05
0
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
20
40
60
0
20
80
100
0
40
60
80
100
80
100
n=100, m=2000
0.05
0.04
0
Markoff-Ketten
40
n=100, m=500
0.05
0
20
40
60
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141
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Sei E := A − A∞ . Dann (beachte A∞ = A∞ A∞ = AA∞ = A∞ A)
m
Am − A∞ = (A − A∞ )
= Em
(m = 1, 2, . . .).
Seien π die stationäre Verteilung der Kette, π 0 eine beliebige
Anfangsverteilung und π m = π 0 Am die Verteilung nach Schritt m. Dann
(beachte A∞ = eπ)
π m − π = π 0 (Am − A∞ ) = π 0 E m
(m = 1, 2, . . .).
Messe Abstand von Verteilungen durch
kπ m − πk := sup {|π m (X) − π(X)| : X ⊆ {1, 2, . . . , n}} = 21 kπ m − πk1
(total variation distance). Beachte außerdem
kM k = max kσM k = kM k∞ .
kσk=1
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
142
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Das bedeutet: Für jede Anfangsverteilung π 0 ist
kπ m − πk = kπ 0 E m k ≤ kπ 0 kkE m k∞ = 12 kE m k∞
und es gibt ein π 0 (worst case), so dass hier Gleichheit gilt.
Die Abschätzung
kπ m − πk ≤ 21 kE m k∞ ≤ 12 kEkm
∞
ist oft zu grob, um brauchbar zu sein. Bei der Irrfahrt auf Cn gilt
beispielsweise kEk∞ = 2 − n6 ≈ 2.
Markoff-Ketten
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143
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 3.9
Es seien A die Übergangsmatrix einer aperiodischen Kette mit stationärer
Wahrscheinlichkeitsverteilung π, d.h. limm→∞ Am = eπ, und E = eπ − A.
Dann folgt Λ(E) = {0} ∪ (Λ(A) \ {1}).
Setzt man γ(A) := ρ(E) = max{|λ| : λ ∈ Λ(A) \ {1}}, dann gilt
lim kπ m − πk1/m ≤ γ(A),
m→∞
wobei für fast alle π 0 Gleichheit gilt.
Die Markoff-Kette strebt also asymptotisch linear mit Konvergenzfaktor
γ(A) gegen ihre stationäre Verteilung.
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
144
Numerische Simulation mathematischer Modelle




Sn = 


1

1
..
.


ωn0
ωn1






 = Fn 

1


..
.
ωnn−1


h
i
 −1
(i−1)(j−1)
 F , F = ωn

1≤i,j≤n

Sn ∈ Rn×n heißt zirkulanter Shift. Fn ∈ Cn×n ist die Fourier-Matrix.
Die Eigenwerte von Sn sind die n-ten Einheitswurzeln:
ωnj = exp(i 2 π nj ) = cos(2 π nj ) + i sin(2 π nj )
(j = 0, 1, . . . , n − 1)
ω6
ω26
2 π/6
ω06=1
ω36=−1
ω46
Markoff-Ketten
ω5
6
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145
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Eine Matrix A ∈ Cn×n heißt zirkulant, wenn sie die Form
A
= p(Sn ) = α0 In + α1 Sn + α2 Sn2 + · · · + αn−1 Snn−1


α0
α1 · · · αn−2 αn−1


 αn−1 α0
αn−3 αn−2 


 ..
.
.
..
.. 
=  .





α3
α0
α1 
 α2
α1
α2
αn−1
α0
besitzt, d.h. wenn sie ein Polynom in Sn ist.
Die Eigenwerte λj von A sind dann
λj = p(ωnj ) = α0 +α1 ωnj +α2 ωn2j +· · ·+αn−1 ωn(n−1)j
Markoff-Ketten
(j = 0, 1, . . . , n−1).
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146
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Die Übergangsmatrix A der Irrfahrt auf Cn ist 13 (I + Sn + Snn−1 ), besitzt also
die Eigenwerte
(n−1)j
λj = 13 (1 + ωnj + ωn
) = 13 (1 + 2 Real(ωnj )) = 13 (1 + 2 cos(2π nj )). Das
2
bedeutet γ(A) = 1 − 38 nπ2 + O( n14 ) (n → ∞).
Für die Irrfahrt auf Cn kann man zeigen:

1/2
n−1
X
√
j
m
m
2m 
1
1 
1
1
nγ(A)
.
γ(A)
≤
kπ
−
πk
≤
|
(1
+
2
cos(2π
))|
≤
m
2
2
3
n
2
j=1
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
147
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Irrfahrt auf C , n=100
n
0
log of total variation distance
10
untere Schranke
Fehlerasymptotik
obere Schranke
schärfere obere Schranke
Abstand
−1
10
−2
10
−3
10
0
Markoff-Ketten
500
1000
1500
2000
2500
m
3000
3500
4000
4500
5000
Technische Universität Bergakademie Freiberg
148
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Irrfahrt auf HN , dem Hyperkubus in N Dimensionen
Zeit 0: W (X0
Zeit 1: W (X1
W (X1
W (X1
W (X1
Zeit 2: W (X2
W (X2
W (X2
W (X2
W (X2
W (X2
W (X2
= (0, 0, 0)) = 1.
= (0, 0, 0)) = 1/4,
= (1, 0, 0)) = 1/4,
= (0, 1, 0)) = 1/4,
= (0, 0, 1)) = 1/4.
= (0, 0, 0)) = 2/8,
= (1, 0, 0)) = 1/8,
= (0, 1, 0)) = 1/8,
= (0, 0, 1)) = 1/8,
= (1, 1, 0)) = 1/8,
= (1, 0, 1)) = 1/8,
= (1, 1, 0)) = 1/8.
Die Kette besitzt n = 2N Zustände. Die stationäre Verteilung ist die
Gleichverteilung.
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
149
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Ein cutoff“-Phänomen
”
N=8, n=256
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
4
6
8
N=512, n=1.340781e+154
1
0
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
500
1000
0
1500
0
50
100
N −−> ∞
1
0.8
0
Markoff-Ketten
2
N=64, n=1.844674e+019
1
0
n log(n)/4
n log(n)/2
Technische Universität Bergakademie Freiberg
150
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Semilogarithmisch
N=8, n=256
N=64, n=1.844674e+019
0
10
0
−1
10
10
−1
10
γ = .969...
γ = .777...
0
2
4
6
8
0
50
100
N=512, n=1.340781e+154
0
10
−1
10
γ = .996...
0
Markoff-Ketten
500
1000
1500
Technische Universität Bergakademie Freiberg
151
Numerische Simulation mathematischer Modelle
kπ − π m k/kπ − π m−1 k
N=8, n=256
1
N=64, n=1.844674e+019
1
0.99
0.9
0.98
0.8
0.97
0.96
0.7
0.6
0.95
0
2
4
6
8
0.94
0
50
100
N=512, n=1.340781e+154
1
0.999
0.998
0.997
0.996
0.995
0.994
0.993
0
Markoff-Ketten
500
1000
1500
Technische Universität Bergakademie Freiberg
152
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Die Anzahl der Zustände = dim(An ) = 2N = n wächst zu schnell mit N , um die
Irrfahrt auf HN (selbst für moderate Werte von N ) nach dem klassischen
Strickmuster analysierenzu können.
Bilde durch Aggregation neue Kette mit nur (N + 1) neue Zuständen:
Zj := {Knoten ∈ HN , deren Koordinaten genau j 1-Komponenten enthalten}
N
(card(Zj ) = j ). Liegt ein Knoten in Zj , so bedeutet das: Er hat j Nachbarn in
Zj−1 , keine Nachbarn (außer sich selbst) in Zj und N − j Nachbarn in Zj+1 .
Offensichtlich sind von Zj aus nur Übergänge nach Zj−1 , Zj und Zj+1 möglich. Die
Übergangsmatrix der aggregierten Kette ist also
 1

N
N +1
BN +1
Markoff-Ketten
 1
 N +1



=





N +1
1
N +1
2
N +1
N −1
N +1
1
N +1
N −2
N +1
..
..
.
.
N −1
N +1
..
.
1
N +1
N
N +1





 ∈ R(N +1)×(N +1) .



1 
N +1 
1
N +1
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153
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Formale Bestimmung von BN +1 , zum Beispiel für N = 3, d.h. n = 8:


1

1
 1
4
 0
0
|
3

0
0
1
2
2
1

0 

1 

1
}
0 3
{z
BN +1
=


 0



 0


0
|
0
0
0
0
0
1
3
1
3
1
3
0
0
0
0
0
0
1
3
1
3
1
3
0
0
0
0
0
0
{z
N +1
In
0


0 



0 


1
}

1
1
1
1
0
0
0
0






1

4






1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1

0 

0 


0 


1 

1 


1 
0
0
0
0 1
{z
1
1
1
|
Markoff-Ketten
0
1

An
 















} |

1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1

0 

0 


0 
.

0 

0 


0 
0
0
0
1
{z
n
IN
+1
}
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154
Numerische Simulation mathematischer Modelle
n
Allgemein: BN +1 = InN +1 An IN
+1 mit der Klassen-Inzidenzmatrix
(
1
vi ∈ Zj
n
n×(N +1)
IN +1 = [ki,j ] ∈ {0, 1}
,
ki,j =
0
sonst
und der Klassen-Wahrscheinlichkeitsmatrix
(
InN +1
(N +1)×n
= [`i,j ] ∈ R
,
`i,j =
1/card(Zi )
0
vj ∈ Zi
sonst
.
Es gelten
n
n
N +1
InN +1 IN
= P ∈ Rn×n ist blockdiagonal,
+1 = IN +1 und IN +1 In
genauer P = diag(P1 , P2 , . . . , PN +1 ) mit
Pj =
1
T
ee
∈R
N
N
N
×
j
j
.
j
Insbesondere ist P eine Projektion (P 2 = P ), die mit An kommutiert (An P = P An )
n
n
N +1
und P IN
P = InN +1 erfüllt.
+1 = IN +1 sowie In
Markoff-Ketten
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155
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Weiter gelten:
P ist eine Orthogonalprojektion (P = P T ) und R(P ) besteht aus genau den
Vektoren, die in jeder Klasse Zj konstant sind (also im Fall N = 3 die Form
[a, b, b, b, c, c, c, d] haben).
m
n
m
N +1
n
= InN +1 Am
BN +1 = In An IN +1
n IN +1 ,
h i
π (B) = 2−N N0 , N1 , . . . , N
.
N
(A)
Ist schließlich π 0 ∈ Rn eine Ausgangsverteilung, die auf jeder Klasse Zj
(A)
(A)
konstant ist (d.h. für die π 0 = π 0 P gilt), und ist
(B)
(A) n
(B)
N +1
π 0 = π 0 IN
∈
R
(beachte,
dass
π
ein Verteilungsvektor ist), so
0
+1
gilt
(A)
(B)
kπ (A) − π 0 Am k = kπ (B) − π 0 B m k
(m = 0, 1, 2, . . .).
Markoff-Ketten
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156
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Beispiele
Irrfahrt auf einer Geraden mit absorbierenden Rändern.
Hier (aber nicht nur hier) treten tridiagonale
Übergangswahrscheinlichkeitsmatrizen der Form


1


 p1 q1 r1





p2 q2
r2



 ∈ R(n+1)×(n+1)
A=
..
..
..

.
.
.





pn−1 qn−1 rn−1 


1
auf.
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
157
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Nach der üblichen Umnummerierung (absorbierende Zustände zuerst) ist
"
#
I2 0
A=
C B
mit





C=



Markoff-Ketten

q1
0

0
..
.
0
..
.
0
0
0
rn−1


 p2





 und B = 







p1
r1

q2




.




p3
r2
..
.
..
.
..
.
qn−2
rn−2
pn−1
qn−1
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158
Numerische Simulation mathematischer Modelle
A∞ = limm→∞ Am existiert beispielsweise, wenn pi > 0, ri > 0 (i = 1, 2, . . . , n − 1)
gilt. Dann ist
#
"
I2 0
∞
mit S = (I − B)−1 C.
A =
S 0
Da A∞ stochastisch ist, besitzt S die Form

s1
1 − s1

 s2
1 − s2

S= .
..
 ..
.

sn−1 1 − sn−1




.


Ein Koeffizientenvergleich in S = (I − B)−1 C bzw. in S − BS = C liefert
Markoff-Ketten
s1
=
p1 + q1 s1 + r2 s2 ,
sj
=
pj sj−1 + qj sj + rj sj+1
sn−1
=
pn−1 sn−2 + qn−1 sn−1 .
(j = 2, 3, . . . , n − 2),
Technische Universität Bergakademie Freiberg
159
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Pn−1
Setzt man jetzt sj = k=j tk , d.h. tn−1 = sn−1 und tj = sj − sj+1
(j = 1, 2, . . . , n − 2), so folgt (mit pj + qj + rj = 1)
Pn−1
(1 − q1 )t1 + p1 k=2 tk = p1 ,
rj tj
= pj tj−1
(j = 2, 3, . . . , n − 1),
was für j = 2, 3, . . . , n − 1 wiederum
pj
pj pj−1
pj pj−1 · · · p2
tj = tj−1 =
tj−2 = · · · =
t1
rj
rj rj−1
rj rj−1 · · · r2
impliziert. Den Wert von t1 bestimmt man aus
Pn−1 p2 ···pk t1 1 − q1 + p1 k=2 r2 ···rk = p1 .
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
160
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Zwei Spieler spielen mit n ≥ 2 Karten. Im Elementarprozess wird eine dieser
Karten (gleichverteilt) zufällig ausgewählt, die dann ihren Besitzer wechselt.
Der Zustand j liegt vor, wenn der erste Spieler genau j Karten auf der Hand
hat (der zweite Spieler hat dann also n − j Karten). Das Spiel endet, wenn
einer der Spieler keine Karten mehr besitzt.
Die Übergangsmatrix ist

1

 1/n
0
(n − 1)/n


2/n
0
(n − 2)/n

A=
..
..

.
.



(n − 1)/n

Markoff-Ketten

..
0
.





 ∈ R(n+1)×(n+1) .



1/n 

1
Technische Universität Bergakademie Freiberg
161
Numerische Simulation mathematischer Modelle
sj = t1
Pn−1
2·3···k
k=j (n−2)(n−3)···(n−k)
mit t1 (1 +
1
n
Pn−1
2·3···k
k=2 (n−2)(n−3)···(n−k) )
=
1
n
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Spieler alle seine Karten verliert
unter der Bedingung, dass er das Spiel mit j ≥ 1 Karten beginnt.
Für große n ist sj , nahezu unabhänig von j, etwa gleich 1/2:
n+4
1
3
1
≤ sj ≤
= +
2
2n + 2
2 2n + 2
Markoff-Ketten
(1 ≤ j <
n
)
2
Technische Universität Bergakademie Freiberg
162
Numerische Simulation mathematischer Modelle
n=10
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
1
2
3
4
5
n=20
0.56
6
7
8
9
0.54
0.52
0.5
0.48
0.46
2
4
6
8
10
n=30
12
14
16
18
0.52
0.5
0.48
Markoff-Ketten
5
10
15
20
25
Technische Universität Bergakademie Freiberg
163
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Warteschlangen. Ein Sessellift kann pro Zeiteinheit eine Person
abtransportieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Zeiteinheit j Personen
P∞
in der Talstation ankommen, sei pj ( j=0 pj = 1). Der Wartesaal fasse
maximal n Personen. Personen, die einen vollen Wartesaal antreffen, kehren
um. Der Zustand j liegt vor, wenn sich am Ende einer Zeiteinheit, d.h. in dem
Moment, in dem der Lift abfährt, genau j Personen im Wartesaal aufhalten.
Die Übergangsmatrix hat Hessenberg-Form

p0 + p1 p2 · · · pn−1


p0
p1 · · · pn−2


p0 · · · pn−3


A=
..
..
.
.



p0

pn
pn−1
pn−2
j=n+1 pj
P∞
j=n pj
P∞
j=n−1 pj
..
.
p1
p0
Markoff-Ketten
P∞
P∞
j=2
P∞
j=1
pj






.





pj
Technische Universität Bergakademie Freiberg
164
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Um die Rechnung einfach zu halten, nehmen wir an, dass pj = qpj
P∞
(j = 0, 1, . . .) gilt für ein p mit 0 < p < 1. (Aus der Normierung j=0 pj = 1
P∞
ergibt sich q = 1 − p.) Es folgt j=k pj = pk , so dass A jetzt eine einfachere
Form besitzt:


2
n−1
n
n+1
q + qp qp · · · qp
qp
p


n−2
n−1
n


q
qp · · · qp
qp
p




q
· · · qpn−3 qpn−2 pn−1 

A=
.. 
..
..

.
.
.

. 



q
qp
p2 


q
p
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
165
Numerische Simulation mathematischer Modelle
A ist primitiv, d.h. es gibt eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung
π = [π0 , π1 , . . . , πn ]. Ein Komponentenvergleich in π = πA ergibt
π0
=
(q + qp)π0 + qπ1 ,
πj
= qpj+1 π0 + qpj π1 + · · · + qpπj + qπj+1
πn
= pn+1 π0 + pn π1 + · · · + pπn−1 + pπn .
(j = 1, 2, . . . , n − 1),
Durch vollständige Induktion erhält man
πj =
Markoff-Ketten
p
j+1
qj
π0
h
(j = 1, 2, . . . , n) und π0 = 1 +
2
p
q
+
3
p
q2
+ ··· +
p
n+1
qn
i−1
.
Technische Universität Bergakademie Freiberg
166
Numerische Simulation mathematischer Modelle
n=20, p=0.5
0.1
0.08
0.06
0.04
0
2
4
6
0
2
4
6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
8
10
12
14
16
18
20
8
10
12
14
16
18
20
0.08
n=20, p=0.505
0.06
0.04
0.02
0.08
n=20, p=0.50845395...
0.06
0.04
0.02
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
167
Numerische Simulation mathematischer Modelle
n=20, p=0.51
0.08
0.06
0.04
0.02
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0.2
10
12
14
16
18
20
10
12
14
16
18
20
n=20, p=0.55
0.15
0.1
0.05
0
pn+1
≤1
(1 − p)n
pn+1
≥1
n
(1 − p)
Markoff-Ketten
⇒ leerer Wartesaal ist am wahrscheinlichsten
⇒ voller Wartesaal ist am wahrscheinlichsten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
168
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Lagerhaltung. Ein Lager fasst n Maschinen. Im Laufe einer Woche werden
mit Wahrscheinlichkeit pj genau j Maschinen abgerufen (j = 0, 1, . . . , n − 1).
Mit Wahrscheinlichkeit pn werden n oder mehr Maschinen nachgefragt
Pn
( j=0 pj = 1). Sei m eine feste Zahl zwischen 1 und n. Im Lager wird
folgende Strategie verfolgt. Sind zu Beginn einer Woche m + 1 oder mehr
Maschinen vorhanden, so werden die im Laufe der Woche eingehenden
Aufträge (soweit es möglich ist) erledigt. Sind am Anfang der Woche aber nur
m oder weniger Maschinen verfügbar, so wird das Lager zunächst auf n
Maschinen aufgefüllt und dann die Abrufe (soweit es möglich ist) bedient.
Der Zustand j liege vor, wenn am Ende einer Woche genau j Maschinen
(j = 0, 1, 2, . . . , n) im Lager sind.
Die Übergangsmatrix hat die Blockstruktur
"
#
A1,1 A1,2
A=
∈ R(n+1)×(n+1)
A2,1 A2,2
mit
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
169
Numerische Simulation mathematischer Modelle
A1,1
=

pn
pn−1
···






pn
..
.
pn−1
..
.
···
pn
pn−1
···

A1,2
=






1

1
..
.

h

 pn−m−1


pn−m


1

pn−m
..
.
 
 
 
=
 
 
1
..
.

h

 pn


pn−m
pn−m−2
···
pn−m
i
∈ R(m+1)×(m+1) ,
1
···
p0
i
∈ R(m+1)×(n−m) ,
1

A2,1
Markoff-Ketten
=
Pm+1

 Pm+2


..

.

Pn
pm
···
p1




(n−m)×(m+1)
,
∈R


pm+1
..
.
···
p2
..
.
pn−1
···
pn−m
Technische Universität Bergakademie Freiberg
170
Numerische Simulation mathematischer Modelle

A2,2
=






p0
p1
pn−m−1
Dabei ist Pj :=
Pn
k=j

···
0
p0
..
.
..
pn−m−2
···

0 

(n−m)×(n−m)
.
∈R


p0
0
.
pk (j = m + 1, m + 2, . . . , n).
Setzt man pj > 0 voraus (j = 1, 2, . . . , n), so ist A irreduzibel und primitiv. Es
existiert eine (eindeutigh bestimmte) station
äre Verteilung π = [πj ]0≤j≤n , die wir in
i
π (2) (mit π (1) ∈ Rm+1 und π (2) ∈ Rn−m )
Pm+1
zerlegen. Außerdem setzen wir t := j=0 πj = kπ (1) k1 .
zwei Teilvektoren π =
Markoff-Ketten
π (1)
Technische Universität Bergakademie Freiberg
171
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Aus π = πA folgt
π (1)
= π (1) A1,1 + π (2) A2,1 = t[pn , . . . , pn−m ] + π (2) A2,1 ,
π (2)
= π (1) A1,2 + π (2) A2,2 = t[pn−m−1 , . . . , p0 ] + π (2) A2,2 .
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich
π (2) = t[pn−m−1 , . . . , p0 ](In−m − A2,2 )−1 (beachte ρ(A2,2 ) = p0 < 1, so dass
In−m − A2,2 invertierbar ist). Einsetzen in die erste Gleichung liefert
π (1) = t[pn , . . . , pn−m ] + t[pn−m−1 , . . . , p0 ](In−m − A2,2 )−1 A2,1 . Schließlich
ergibt sich t aus
(t)
1 − t = π 2 e = t[pn−m−1 , . . . , p0 ](In−m − A2,2 )−1 et =: tγ
(beachte, dass
P
−1
γ = [pn−m−1 , . . . , p0 ](In−m − A2,2 ) e = j=0 [pn−m−1 , . . . , p0 ]Aj2,2 e eine
positive Zahl ist und dass damit t = 1/(γ + 1) ∈ (0, 1) gilt.)
Für die Beispielrechnung setzen wir pj = qpj (j = 0, 1, . . . , n).
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
172
Numerische Simulation mathematischer Modelle
n=20, m=5, p=.5
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.1
n=20, m=10, p=.5
0.05
0
0.2
n=20, m=15, p=.5
0.15
0.1
0.05
0
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
173
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Labyrinthe. Gegeben ist ein Labyrinth, das aus n Kammern besteht. Die Kammer j
besitzt wj > 0 Türen, die in beide Richtungen passierbar sind. Im Labyrinth befindet
sich eine Maus. Der Zustand j liegt vor, wenn sich die Maus in Kammer j aufhält.
Im Elementarprozess verweilt die Maus mit Wahrscheinlicheit b, 0 ≤ b < 1, in der
Kammer, in der sie gerade ist, oder sie geht (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) durch
eine der verfügbaren Türen.
Die Übergangsmatrix A = [ai,j ] ist


i = j,

b,
ai,j = (1 − b)/wi , falls es zwischen i und j eine Tür gibt,


0
sonst.
Ein Labyrinth heißt zusammenhängend, wenn jede Kammer von jeder anderen
Kammer aus erreichbar ist (also genau dann, wenn A irreduzibel ist). A ist dann
entweder primitiv (sicher dann, wenn b > 0) oder zyklisch vom Index 2 (genau dann,
wenn man die Kammern in zwei disjunkte Klassen K1 und K2 zerlegen kann, so dass
von Kammern aus K1 nur direkte Übergange nach K2 und von Kammern aus K2
nur direkte Übergange nach K1 möglich sind). Die stationäre Verteilung ist
P
(unabhängig von b) π = [w1 w2 · · · wn ] / n
j=1 wj .
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
174
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Mischen von Spielkarten.
Gegeben sind N Karten, der einfach halber seien sie von 1 bis N durchnummeriert.
Als Zustände betrachten wir die n = N ! verschiedenen Reihenfolgen
(Permutationen), in der diese Karten angeordnet werden können. Der Zustandsraum
entspricht also der symmetrischen Gruppe SN , d.h. der Menge aller Permutationen
{τ1 , τ2 , . . . , τn } von N Objekten (zusammen mit der üblichen Komposition von
Abbildungen).
Ist etwa N = 3, so besteht der Zustandsraum aus den n = 3! = 6 Permutationen
τ1 = [1 2 3], τ2 = [1 3 2], τ3 = [2 1 3], τ4 = [2 3 1], τ5 = [3 1 2], τ6 = [3 2 1].
Sei außerdem p eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf SN , d.h. p : SN → [0, 1] mit
P
) = 1. (Man kann p = [pi ]1≤i≤n , pi = p(τi ), als nichtnegativen Vektor
τ ∈SN p(τ P
aus Rn mit n
i=1 pi = 1 auffassen.).
Die Übergangswahrscheinlichkeit ai,j wird jetzt wie folgt definiert: Es gibt genau eine
Permutation τ ∈ SN , die die Reihenfolge i (repräsentiert durch die Permutation τi )
in die Reihenfolge j (repräsentiert durch die Permutation τj ) überführt, nämlich
τ = τj τi−1 . Wir setzen ai,j = p(τ ).
Markoff-Ketten
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175
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Setzt man in unserem Beispiel p = 16 [3 1 0 0 1 1],

3 1 0 0

 1 3 0 0


0 1 3 1
1
A= 
6
 1 0 1 3

 0 1 1 1

1 0 1 1
so erhält man die Übergangsmatrix

1 1

1 1 


1 0 
.

0 1 

3 0 

0 3
A ist offensichtlich (und dies bezieht sich auf den allgemeinen Fall) doppelt
stochastisch, d.h. wenn der Grenzwert limm→∞ Am existiert, so ist


1 1 ··· 1



 1 1
1
1 T
1

m
.
lim A = ee =  .
.. 
..
m→∞

n
n  ..
. . 

1 1 ··· 1
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
176
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Ein Mischverfahren (definiert durch p) heißt fair, wenn limm→∞ Am existiert
(und der Mischprozess damit automatisch gegen die Gleichverteilung
konvergiert).
T (p) := {τ ∈ SN ; p(τ ) > 0} ⊆ SN
heißt Träger von p.
Markoff-Ketten
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177
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 3.10
Mit den oben eingeführten Bezeichungen gilt:
• A ist genau dann irreduzibel, wenn jede Permutation aus SN ein Produkt
von Permutationen aus T (p) ist.
(Man sagt dann, dass T (p) die Gruppe SN erzeugt.)
• Ist A irreduzibel, so ist A entweder primitiv oder zyklisch vom Index 2.
• Ist A zyklisch vom Index 2, so enthält T (p) nur ungerade Permutationen.
Schließlich sind die folgenden Aussagen einander äquivalent:
• Das Mischverfahren ist fair.
• A ist primitiv.
• T (p) erzeugt SN und enthält mindestens eine gerade Permutation.
Markoff-Ketten
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178
Numerische Simulation mathematischer Modelle
In unserem Beispiel ist
T (p) = {[1 2 3], [1 3 2], [3 1 2], [3 2 1]}.
T (p) erzeugt S3 ([2 1 3] = [3 1 2] ◦ [3 2 1], [2 3 1] = [1 3 2] ◦ [3 2 1]) und
enthält gerade Permutationen ([1 2 3] und [3 1 2]). Unsere Mischverfahren ist
daher fair.
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
179
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Für ein (etwas realistischeres) Beispiel sei T die Menge aller Permutationen, die wie
folgt entstehen. Wir zerlegen die N Karten 1, 2, . . . , N in zwei oder drei Teilpakete
(stets sei N ≥ 3):
1, . . . , k1 , k1 + 1, . . . , N ,
| {z } |
{z
}
1. Teilpaket 2. Teilpaket
oder
1, . . . , k1 , k1 + 1, . . . , k2 , k2 + 1, . . . , N .
{z
} |
{z
}
| {z } |
1. Teilpaket 2. Teilpaket 3. Teilpaket
Im Fall von drei Teilen legen wir das oberste (erste) Paket zuunterst, darauf das
mittlere und schließlich darauf das letzte:
k2 + 1, . . . , N , k1 + 1, . . . , k2 , 1, . . . , k1 .
|
{z
} |
{z
} | {z }
3. Teilpaket 2. Teilpaket 1. Teilpaket
Im Fall von zwei Teilen wird das untere auf das obere Paket gelegt. Mit anderen
Worten, wir erlauben alle Permutationen der Form
[k2 + 1, . . . , N, k1 + 1, . . . , k2 , 1, . . . , k1 ] oder [k1 + 1, . . . , N, 1, . . . , k1 ]
mit 1 < k1 < k2 < N (und nur diese).
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
180
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Diese Menge T erzeugt SN . Sei 2 ≤ j ≤ N − 2:
[1, . . . , j − 1, j , j + 1, . . . , N ]
|
{z
} |{z} |
{z
}
1. TP
↓
2. TP
3. TP
τ1
[j + 1, . . . , N , j , 1, . . . , j − 1] = [j + 1, . . . , N, j , 1, . . . , j − 1]
{z
} |{z} |
{z
}
|
{z
} |
{z
}
|
3. TP
↓
2. TP
1. TP
1. TP
2. TP
τ2
[1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , N, j ] = [1, . . . , j − 1, j + 1, j + 2, . . . , N , j ]
|
{z
} |
{z
}
{z
} |
{z
} |{z}
|
2. TP
↓
1. TP
2. TP
3. TP
τ3
[
j , j + 2, . . . , N , 1, . . . , j − 1, j + 1] = [j, j + 2, . . . , N , 1, . . . , j − 1, j + 1]
|{z} |
{z
} |
{z
}
|
{z
} |
{z
}
3. TP
↓
1. TP
2. TP
1. TP
1. TP
2. TP
τ4
[1, . . . , j − 1, j + 1, j, j + 2, . . . , N ] = [1, . . . , j − 1, j + 1, j, j + 2, . . . , N ].
{z
} |
{z
}
|
2. TP
Markoff-Ketten
1. TP
Technische Universität Bergakademie Freiberg
181
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Wir haben gezeigt, dass die Vertauschung (j, j + 1) = τ4 ◦ τ3 ◦ τ2 ◦ τ1 als Produkt von
Permutationen aus T geschrieben werden kann (die Beweise für die Vertauschungen
(1, 2) und (N − 1, N ) sind leichte Modifikationen des vorgestellten Verfahrens). Die
Vertauschungen der Form (j, j + 1), 1 ≤ j ≤ N − 1, erzeugen aber die Gruppe SN .
Die Permutation τ , die dem Abheben der obersten N − 2 Karten entspricht,
τ = [3, 4, . . . , N, 1, 2] ∈ T , ist gerade.
Bemerkungen.
1. Lässt man zur Menge T alle Permutationen zu, die sich bei der Aufteilung der
Karten in irgendeine Anzahl von Teilpaketen (nach dem oben skizzierten
Verfahren) ergeben, so ist dieser Mischprozess erst recht fair.
2. Ist N ≥ 5, so kommt man — um einen fairen Mischprozess zu definieren — mit
den Permutationen aus, die sich aus der Aufteilung der Karten in drei Pakete
ergeben.
3. Ein Verfahren mit T = {[2, 1, 3, . . . , N ], [2, 3, . . . , N, 1]} ist fair, wenn N
ungerade ist. Ein Verfahren mit T = {[2, 1, 3, . . . , N ], [1, 3, . . . , N, 2]} ist fair,
wenn N gerade ist.
Markoff-Ketten
Technische Universität Bergakademie Freiberg
182
Numerische Simulation mathematischer Modelle
4
4.1
Nichtnegative Matrizen
Der Ergodensatz
Problem: Sei A ∈ Cn×n . Wann existieren die Grenzwerte
lim Am
m→∞
und
Bezeichnung. (Jordan-Block)

λ




J = J(λ) = 



m−1
1 X j
lim
A ?
m→∞ m
j=0

1
λ
1
..
.
..
.
λ




 ∈ Cn×n


1
λ
Nichtnegative Matrizen
Technische Universität Bergakademie Freiberg
183
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Lemma 1 [Konvergenz von Jordan-Blöcken].
(a) Sei |λ| < 1. Dann gilt limm→∞ mk [J(λ)]m = O für jedes k ∈ N0 .
(b) Der Grenzwert limm→∞ [J(λ)]m existiert genau dann, wenn die beiden
folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. |λ| ≤ 1,
2. Für |λ| = 1 muss λ = 1 und n = 1 folgen, d.h. J(λ) = 1(∈ R1×1 ).
Lemma 2 [Permanenz der Cesàro-Mittel].
Sei {Am }m≥0 eine Folge aus Cn×n . Existiert limm→∞ Am , dann existiert
Pm−1
1
auch limm→∞ m j=0 Aj und es gilt
m−1
1 X
lim
Aj = lim Am .
m→∞ m
m→∞
j=0
Nichtnegative Matrizen
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184
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Lemma 3 [Cesàro-Mittel für Potenzen von Jordan-Blöcken].
Pm−1
1
(a) Ist |λ| < 1, dann gilt limm→∞ m j=0 [J(λ)]j = O.
(b) Sind |λ| = 1 und n = 1 (d.h. J(λ) ist ein Skalar vom Betrag 1), dann gilt
(
m−1
0,
falls λ 6= 1,
1 X
lim
[J(λ)]j =
m→∞ m
1,
falls λ = 1.
j=0
1
limm→∞ m
Pm−1
j
(c) Ist |λ| ≥ 1 und existiert
[J(λ)]
, dann gelten |λ| = 1
j=0
und n = 1, d.h. J(λ) ist ein Skalar vom Betrag 1.
Bezeichnungen. Für A ∈ Cn×n heißen Λ(A) := {λ ∈ C : det(A − λI) = 0}
das Spektrum von A und ρ(A) := max{|λ| : λ ∈ Λ(A)} der Spektralradius
von A.
Nichtnegative Matrizen
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185
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 4 [Ergodensatz, Teil I].
Die Matrix A ∈ Cn×n besitze die Jordansche Normalform


J1 (λ1 )




J2 (λ2 )


T −1 AT = 

..


.


Jr (λr )


λk 1


r
.. ..


X
.
.


nk = n.
mit Jk (λk ) = 
 ∈ Cnk ×nk ,


λk 1 
k=1

λk
Für λ ∈ Λ(A) sei d(A, λ) := max{nk : λ = λk , k = 1, 2, . . . , r} die
Dimension des größten Jordan-Blocks zum Eigenwert λ. Dann gelten:
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186
Numerische Simulation mathematischer Modelle
(a) Ist ρ(A) < 1, dann folgt für alle k ∈ N0
lim mk Am
m→∞
m−1
1 X j
A = O.
= lim
m→∞ m
j=0
(b) Ist ρ(A) > 1, dann divergieren die beiden Folgen {Am }m≥0 und
Pm−1 j
1
{m
j=0 A }m≥1 .
(c) Ist ρ(A) = 1, dann existiert limm→∞ Am genau dann, wenn λ = 1 der
einzige Eigenwert von A mit |λ| = 1 ist und darüberhinaus d(A, 1) = 1
gilt.
Pm−1 j
1
(d) Ist ρ(A) = 1, dann existiert limm→∞ m
j=0 A genau dann, wenn
d(A, 1) = 1 für alle λ ∈ Λ(A) mit |λ| = 1 gilt.
Nichtnegative Matrizen
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187
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 5 [Ergodensatz, Teil II].
Für die Matrix A ∈ Cn×n existiere P = limm→∞
Dann gelten:
1
m
Pm−1
j=0
Aj .
(a) P 2 = P = P A = AP , d.h. der Grenwert P ist eine Projektion, die mit A
kommutiert.
(b)
R(P ) = N (A − I) = N ((A − I)m ) für alle m = 1, 2, . . . ,
M
N ((A − λI)n ) .
N (P ) =
λ∈Λ(A)\{1}
Nichtnegative Matrizen
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188
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Lemma 6 [Approximation des Spektralradius durch Matrixnormen].
Sei A ∈ Cn×n . Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine Matrixnorm k · k = k · kε auf
Cn×n mit
kAk − ε ≤ ρ(A) ≤ kAk.
Es gibt genau dann eine Matrixnorm k · k auf Cn×n mit kAk = ρ(A), wenn
d(A, λ) = 1 für alle λ ∈ Λ(A) mit |λ| = ρ(A) erfüllt ist. Das ist insbesondere
dann der Fall, wenn A diagonalisierbar ist.
Satz 7 [Ergodensatz, Teil III].
Bezeichne k · k eine Matrixnorm auf Cn×n und sei A ∈ Cn×n mit kAk ≤ 1.
Dann gelten:
Pm−1 j
1
(a) Der Grenzwert P = limm→∞ m j=0 A existiert.
(b) Enthält die Menge {ζ ∈ C : |ζ| = 1} \ {1} keine Eigenwerte von A, dann
existiert auch limm→∞ Am .
Nichtnegative Matrizen
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189
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Lemma 8 [Satz von Gerschgorin].
Für A = [ai,j ] ∈ Cn×n sind die Gerschgorin-Kreisscheiben durch




n


X
Di := ζ ∈ C : |ζ − ai,i | ≤
|ai,j |
(i = 1, 2, . . . , n)




j=1
j6=i
definiert. Dann gilt
Λ(A) ⊆
n
[
Di .
i=1
Sind k der Gerschgorin-Kreisscheiben,
etwa D1 , D2 , . . . , Dk , disjunkt von den
restlichen n − k, d.h. ∪ki=1 Di ∩ ∪ni=k+1 Di = ∅, so enthält ∪ki=1 Di genau k
Eigenwerte von A (algebraische Vielfachheiten mitzählen!).
Nichtnegative Matrizen
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190
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 9 [Ergodensatz für stochastische Matrizen].
Es sei A = [ai,j ] ∈ Rn×n eine stochastische Matrix. Dann gelten:
(a) 1 ∈ Λ(A) und ρ(A) = 1.
(b) Die Matrix P = limm→∞
1
m
Pm−1
j=0
Aj existiert und ist stochastisch.
(c) Ist λ = 1 der einzige Eigenwert von A mit |λ| = 1, dann existiert auch
limm→∞ Am , und es gilt limm→∞ Am = P .
(d) Gilt ai,i > 0 für i = 1, 2, . . . , n, dann ist λ = 1 der einzige Eigenwert von
A mit |λ| = 1.
(e) Ist N (A − I) eindimensional, dann gilt P = ey T . Dabei ist
e = [1, 1, . . . , 1]T ∈ Rn und y ∈ Rn , y ≥ 0 , ist eindeutig bestimmt durch
y T A = y T und ky k1 = 1.
(f) Ist N (A − I) eindimensional und ist A doppelt-stochastisch (d.h. A
und AT sind stochastisch), dann gilt P = n1 ee T .
Nichtnegative Matrizen
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191
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 10 [Ergänzung zum Satz von Gerschgorin].
Es sei A ∈ Cn×n irreduzibel. Mit D1 , D2 , . . . , Dn werden die zugehörigen
Gerschgorin-Kreisscheiben bezeichnet.
Liegt ein Eigenwert λ von A auf dem Rand der Vereinigung aller
Gerschgorin-Kreisscheiben, so liegt λ auf dem Rand jeder
Gerschgorin-Kreisscheibe:


n
[
λ ∈ Λ(A), λ ∈ δ 
Dj  ⇒ λ ∈ δDj ∀ j = 1, 2, . . . , n.
j=1
Korollar. Die Matrix A = [ai,j ] ∈ Cn×n heißt irreduzibel diagonaldominant,
wenn
(a) A irreduzibel ist und
Pn
(b)
j=1,j6=i |ai,j | ≤ |ai,i | für alle i = 1, 2, . . . , n gilt, wobei für
mindestens ein i Ungleichheit vorliegt.
Für eine solche Matrix gilt dann ρ(A) kAk∞ .
Nichtnegative Matrizen
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192
Numerische Simulation mathematischer Modelle
4.2
Die Perron-Frobenius-Theorie nichtnegativer Matrizen
Bezeichnungen. Für A = [ai,j ], B ∈ Cm×n seien
A ≥ O :⇔ ai,j ≥ 0 (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n),
A > O :⇔ ai,j > 0 (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n),
A ≥ B :⇔ A − B ≥ O,
A > B :⇔ A − B > O.
Außerdem setzen wir |A| = [|ai,j |] ∈ Rm×n (Betrag von A).
Lemma 11. Es seien A, B, C, D ∈ Cm×n . Dann gelten:
(a) |A| = O ⇔ A = O.
(b) |αA| = |α||A| ≥ O ∀ α ∈ C.
(c) |A + B| ≤ |A| + |B|.
(d) A, B ≥ O und α, β ≥ 0 ⇒ αA + βB ≥ O.
(e) A ≥ B und C ≥ D ⇒ A + C ≥ B + D.
(f) A ≥ B und B ≥ C ⇒ A ≥ C.
Lemma 12. Es seien A, B, C, D ∈ Cn×n und x , y ∈ Cn . Dann gelten:
(a) |Ax | ≤ |A||x |.
(b) |AB| ≤ |A||B|, insbesondere |Am | ≤ |A|m .
Nichtnegative Matrizen
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193
Numerische Simulation mathematischer Modelle
(c) O ≤ A ≤ B, O ≤ C ≤ D ⇒ O ≤ AC ≤ BD,
insbesondere O ≤ Am ≤ B m .
(d) A > O, x ≥ 0 , x 6= 0 ⇒ Ax > 0 .
(e) A ≥ O, x > 0 , Ax = 0 ⇒ A = O.
(f) |A| ≤ |B| ⇒ kAkF ≤ kBkF .
(g) kAkF = k|A|kF .
Satz 13. Es seien A, B ∈ Cn×n mit |A| ≤ B. Dann gilt
ρ(A) ≤ ρ(|A|) ≤ ρ(B).
Korollar. Ist B eine beliebige Hauptuntermatrix der nichtnegativen Matrix
A = [ai,j ] ∈ Rn×n , so folgt ρ(B) ≤ ρ(A). Insbesondere gilt ai,i ≤ ρ(A) für
i = 1, 2, . . . , n.
Sind A, B ∈ Rn×n mit O ≤ A < B, so folgt ρ(A) < ρ(B).
Nichtnegative Matrizen
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194
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Lemma 14. Sei A ∈ Rn×n , A ≥ O. Sind die Zeilensummen von A alle
identisch, dann gilt kAk∞ = ρ(A). Sind die Spaltensummen von A alle
identisch, dann gilt kAk1 = ρ(A).
Satz 15. Sei A = [ai,j ] ∈ Rn×n nichtnegativ. Dann gelten
min
1≤i≤n
min
1≤j≤n
Nichtnegative Matrizen
n
X
j=1
n
X
i=1
ai,j ≤ ρ(A) ≤ max
n
X
1≤i≤n
ai,j ≤ ρ(A) ≤ max
1≤j≤n
ai,j
j=1
n
X
und
ai,j .
i=1
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195
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 16 [Quotientensatz von Collatz].
Seien A = [ai,j ] ∈ Rn×n nichtnegativ und x = [x1 , . . . , xn ]> ∈ Rn positiv.
Dann gelten
Pn
Pn
a
x
[Ax ]i
[Ax ]i
j=1 ai,j xj
j=1 i,j j
= min
≤ ρ(A) ≤ max
= max
min
1≤i≤n xi
1≤i≤n xi
1≤i≤n
1≤i≤n
xi
xi
und
Pn
min xj
1≤j≤n
j=1 ai,j
xi
Pn
≤ ρ(A) ≤ max xj
1≤j≤n
j=1
xi
ai,j
.
Lemma 17. Ist A ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel, dann ist (I + A)n−1
positiv.
Nichtnegative Matrizen
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196
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Lemma 18. Es seien A ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel und
M := {x ∈ Rn : x 6= 0 , x ≥ 0 }. Für x ∈ M definieren wir
Pn
[Ax ]i
j=1 ai,j xj
g(x ) := min
= min
.
xi 6=0
xi 6=0 xi
xi
Dann existiert r = maxx ∈M g(x ).
Satz 19. [Satz von Perron (1908) und Frobenius (1912)]
Ist A ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel, so gelten:
(a) Die Zahl r = maxx ∈M g(x ) (vgl. Lemma 18) ist positiv. Außerdem ist r
ein (algebraisch) einfacher Eigenwert von A und es gilt r = ρ(A).
(b) Gilt r = g(y ) für ein y ≥ 0 , so folgt y > 0 und Ay = ry . Der (bis auf
skalare Vielfache eindeutige) Eigenvektor von A zum Eigenwert r kann
also positiv gewählt werden.
(c) Gilt Ax = λx für ein x ≥ 0 , x 6= 0 , so folgt λ = r = ρ(A).
Nichtnegative Matrizen
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197
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Korollar. Seien A ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel und B ∈ Cn×n mit
|B| ≤ A. Gilt ρ(A) = ρ(B), so gibt es einen Winkel ϕ ∈ [0, 2π) und eine
Diagonalmatrix D = diag(δ1 , . . . δn ) ∈ Cn×n mit |δj | = 1 (j = 1, . . . , n), so
dass
B = eiϕ DAD−1
gilt (insbesondere folgt |B| = A).
Satz 20. Ist A = [ai,j ] ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel, so gelten:
(a) Besitzt A genau k verschiedenen Eigenwerte λ1 , . . . , λk vom Betrag
ρ(A), dann folgt (nach einer geeigneten Umnummerierung)
2πj
i
(j = 1, . . . , k).
λj = ρ(A) exp
k
λ1 , . . . , λk sind einfache Eigenwerte von A. Außerdem ist das Spektrum
von A invariant unter der Drehung um den Winkel 2π/k,
2π
Λ(A) = Λ(A) exp
i .
k
Nichtnegative Matrizen
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198
Numerische Simulation mathematischer Modelle
(b) Ist k > 1, so gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ Rn×n mit


O
A1,2




O
A2.3




.
.
..
..
P AP > = 





O Ak−1,k 

Ak,1
O
(die Diagonalblöcke sind quadratisch).
(c) Ist wenigstens ein Diagonalelement von A positiv, so folgt k = 1.
(d) Gibt es i, j ∈ {1, . . . , n} mit ai,j aj,i > 0, so folgt k ≤ 2.
Sei A ∈ Rn×n nichtnegativ und irreduzibel. k sei die Anzahl der Eigenwerte
von A vom Betrag ρ(A). Ist k = 1, so heißt A primitiv. Ist k > 1, so heißt A
zyklisch vom Index k.
Nichtnegative Matrizen
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199
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 21 [Romanovsky, 1936].
Es sei G(A) der gerichtete Graph einer nichtnegativen irreduziblen Matrix
A ∈ Rn×n . Für jeden Knoten Pj von G(A) sei Sj die Menge aller gerichteten
Wege, die Pj mit sich selbst verbinden. Die Länge `(w) eines gerichteten Wegs
w sei die Anzahl der beteiligten Kanten. Wir setzen
kj = größter gemeinsamer Teiler von {`(w) : w ∈ Sj }.
Dann gilt k1 = k2 = · · · = kn =: k und k ist die Anzahl der Eigenwerte von A
vom Betrag ρ(A).
Lemma 22. Seien A ∈ Rn×n nichtnegativ und m ∈ N. Der gerichtete Graph
G(Am ) von Am enthält die Kante Pi Pj genau dann, wenn es in G(A) einen
gerichteten Weg der Länge m gibt, der von Pi auf Pj führt.
Lemma 23. Sei A ∈ Rn×n nichtnegativ. A ist genau dann primitiv, wenn es
ein m ∈ N gibt mit Am > O. (Die kleinste Zahl m = m(A) mit Am > O heißt
Primitivitätsindex von A.)
Nichtnegative Matrizen
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200
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Bemerkung: m(A) ≤ n2 − 2n + 2 und diese Abschätzung ist scharf.
Satz 24. Sei A ∈ Rn×n primitiv. Seien z = [z1 , . . . , zn ]> und
y = [y1 , . . . , yn ]> positive linke bzw. rechte Eigenvektoren von A zum
Eigenwert r = ρ(A) mit y > z = 1 (Az = rz und y > A = ry"> ). Dann folgen:
#
z1 y1 ··· z1 yn
(a) P = limm→∞ r−m Am existiert und es gilt P = zy > =
..
.
..
.
.
zn y1 ··· zn yn
n
(b) Für beliebige nichtnegative Vektoren v , w ∈ R \ {0 } gelten
y >v
[Am v ]j
= >
lim
m→∞ [Am w ]j
y w
(j = 1, 2, . . . , n)
und
yi
[Am v ]i
lim
=
m→∞ [Am v ]j
yj
Nichtnegative Matrizen
(i, j = 1, 2, . . . , n).
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201
Numerische Simulation mathematischer Modelle
4.3
Stochastische Komplemente
Gegeben ist eine Markoff-Kette mit n = k1 + k2 + · · · + k` Zuständen, die wir
zu ` Aggregaten zusammenfassen,
z1 , . . . , zk , zk +1 , . . . , zk2 , . . . zk`−1 +1 , . . . , zk` ,
| {z 1} | 1 {z
}
|
{z
}
Z1
Z2
Z`
und der irreduziblen Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix A ∈ Rn×n .
Als Beispiel betrachten wir im folgenden immer








A=







Nichtnegative Matrizen

.85
.0
.149
.0009
.0
.00005
.0
.00005
.1
.65
.249
.0
.0009
.00005
.0
.1
.8
.0996
.0003
.0
.0
.0001
.0
.0004
.0
.7
.2995
.0
.0001
.0005
.0
.0004
.399
.6
.0001
.0
.0
.00005
.0
.0
.00005
.6
.2499
.00003
.0
.00003
.00004
.0
.1
.8

.00005 


.0



.0


.0



.15


.0999 
.0
.00005
.0
.0
.00005
.1999
.25
.55
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202
Numerische Simulation mathematischer Modelle
mit den drei Aggregaten Z1 = {1, 2, 3}, Z2 = {4, 5}, Z3 = {6, 7, 8}.
Aggregation führt innerhalb der Aggregate auf ` Ketten mit ÜWM’n
Sj := A(Kj , Kj ) + A(Kj , Lj )(I − A(Lj , Lj ))−1 A(Lj , Kj ),
wobei Kj := [kj−1 + 1 : kj ] (k0 := 0) und Lj := [1 : n] \ Kj (j = 1, 2 . . . , `)
(stochastisches Komplement von A(Kj , Kj ) in A).
In unserem Beispiel

0.8503

S1 = 
 0.1003
0.1001

0.6000

S3 = 
 0.1000
0.1999
Nichtnegative Matrizen
0.0004
0.1493


0.6504 0.2493 
 , S2 =
0.8002 0.0997

0.2499 0.1500

0.8000 0.0999 
.
0.2500 0.5500
"
0.7003
0.2997
0.3995
0.6005
#
,
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203
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 25.
Sj , j = 1, 2, . . . , `, ist stochastisch und irreduzibel. Sj besitzt daher eine
(eindeutig bestimmte) stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung
h
i
(j)
(j)
(j)
π (j) = πkj−1 +1 , πkj−1 +2 , . . . , πkj .
Bemerkung. Ist A primitiv, so ist Sj nicht notwendig primitiv. Ist aber
A(Kj , Kj ) primitiv (z.B. wenn mindestens ein Hauptdiagonalelement von 0
verschieden ist), so ist auch Sj primitiv.
Nichtnegative Matrizen
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204
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Zwischen den Aggregaten wird eine Markoff-Kette mit ÜWM


(1)
(1)
(1)
π A(K1 , K1 )e π A(K1 , K2 )e . . . π A(K1 , K` )e
 (2)

π A(K2 , K1 )e π (2) A(K2 , K2 )e . . . π (2) A(K2 , K` )e 


C=

..
..
..


.
.
.


π (`) A(K` , K1 )e π (`) A(K` , K2 )e . . . π (`) A(K` , K` )e
(Koppelungsmatrix) induziert. In

9.9911 · 10−1

−4
C=
6.1433
·
10

5.5556 · 10−5
Nichtnegative Matrizen
unserem Beispiel
7.9083 · 10−4
9.9929 · 10
−1
4.4444 · 10−5
1.0000 · 10−4
1.0000 · 10



−4 
9.9990 · 10−1
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205
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 26 [Koppelungssatz].
C ist stochastisch und irreduzibel. C besitzt daher eine (eindeutig bestimmte)
stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung
γ = [γ1 , γ2 , . . . , γ` ] .
Die stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung von A ist durch
h
i
(1)
(2)
(`)
γ1 π , γ2 π , . . . , γ` π
gegeben.
Abweichung von der vollständigen Reduzibilität:
δ(A) := 2 max kA(Kj , Lj )k∞
1≤j≤`
In unserem Beispiel: δ(A) = 2 max{10−3 , 10−3 , 10−4 } = 2 · 10−3 .
Nichtnegative Matrizen
Technische Universität Bergakademie Freiberg
206
Numerische Simulation mathematischer Modelle
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Nichtnegative Matrizen
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207
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Λ(A)
Λ(S1)
Nichtnegative Matrizen
Λ(S2)
Λ(S3)
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208
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Satz 27. Sei
S := diag(S1 , S2 , . . . , S` ) ∈ Rn×n
mit Eigenwerten
λ1 = λ2 = · · · = λ` = 1 > |λ`+1 | ≥ |λ`+2 | ≥ · · · ≥ |λn |.
Dabei seien alle Si primitiv und S sei diagonalisierbar
(T −1 ST = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn )). Seien τ (0) eine beliebige Anfangsverteilung
und τ (m) = τ (0) Am (m = 1, 2, . . . ). Außerdem sei







X (0)
X (0)
X (0)
(1)
(2)
σ := 
τj  π , 
τj  π , . . . , 
τj  π (`) 
j∈K1
=
j∈K2
j∈K`
lim τ (0) S m .
m→∞
Dann gilt für alle m = 1, 2, . . .
kτ (m) − σk1 ≤ mδ(A) + cond∞ (T )|λ`+1 |m .
Nichtnegative Matrizen
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209
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Dynamik einer fast vollständig reduziblen Kette (δ(A) ‘klein’)
Kurzfristig: Falls |λ`+1 |m 1 und m 1/δ(A):
h
i
X
(m)
(1)
(2)
(`)
τ
≈ σ = β1 π , β2 π , . . . , β` π
mit βj :=
τν(0) .
ν∈Kj
Kurzfristiges Stabilitätsintervall (Niveau ε):
n
o
I(ε) := m : kτ (m) − σk1 < ε
wird geschätzt durch E(ε) := {m : f (m) < ε} mit
f (x) := δ(A)x + cond∞ (T )|λ`+1 |x :
log(ε/(2cond∞ (T )))
ε
m :
<m<
⊆ E(ε) ⊆ I(ε).
log |λ`+1 |
2δ(A)
Nichtnegative Matrizen
Technische Universität Bergakademie Freiberg
210
Numerische Simulation mathematischer Modelle
τ(m)./σ, (m=0,2,...,10)
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
Nichtnegative Matrizen
1
2
3
4
5
6
7
8
Technische Universität Bergakademie Freiberg
211
Numerische Simulation mathematischer Modelle
Mittelfristig: Sei ε > 0 mit I(ε) 6= ∅. Dann gibt es zu jedem
m ≥ m0 := {k : k ∈ I(ε)} Konstanten α1 (m), α2 (m), . . . , α` (m) mit
h
i
(m)
− α1 (m)π (1) , α2 (m)π (2) , . . . , α` (m)π (`) < ε.
τ
1
Dies gilt etwa für
α
bj (m) =
X
τν(m−m0 ) (j = 1, 2, . . . , `).
ν∈Kj
Langfristig: Falls A primitiv,
lim α
bj (m) = γj (j = 1, 2, . . . , `)
m→∞
(linear mit asymptotischem Konvergenzfaktor max{|λ| : λ ∈ Λ(A) \ {1}}
= 0.9998 in unserem Beispiel).
Nichtnegative Matrizen
Technische Universität Bergakademie Freiberg
212
Numerische Simulation mathematischer Modelle
0.55
0.5
n=∞
n=10
n=100
n=1000
n=10000
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
Nichtnegative Matrizen
1
2
3
4
5
6
7
8
Technische Universität Bergakademie Freiberg
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