I Komplexe Zahlen Teil 3

I Komplexe Zahlen
Teil 3
Dr. Laura Keller
12. März 2016
8 Wurzeln aus komplexen Zahlen
Quadratwurzeln
Die Lösungen der Gleichung
z 2 = r eϕj
lauten
√
z1,2 = ± r ejϕ/2
Allgemeine n.-te Wurzeln
Für n ∈ N sind die Lösungen der Gleichung
z n = r eϕj
gegeben durch
zk = r 1/n ej(ϕ/n+k2π/n) ,
k = 0, . . . , n − 1
Die Menge all dieser Lösungen fassen wir zusammen
√
n
z = {z0 , . . . , zn−1 }
Einheitswurzeln
Die Lösungen der Gleichung
zn = 1
heissen n.-te Einheitswurzeln, und wir bezeichnen sie mit ξk .
Graphische Veranschaulichung:
Regelmässiges n-Eck, wobei eine Ecke bei z = 1 liegt.
9 Fundamentalsatz der Algebra
Anwendung des Wurzelziehens: Lösen quadratischer Gleichungen
Problem: Gesucht sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
az 2 + bz + c = 0,
wobei a, b und c komplexe Zahlen sind.
Lösung : Formel
z1,2 =
−b ±
√
b 2 − 4ac
2a
Spezialfall: a, b und c sind reell.
Beobachtung: Die Diskriminante D := b 2 − 4ac ist reell (positiv
oder negativ).
D > 0 Der Ausdruck unter der Wurzel ist positiv und reell. Die
beiden Lösungen lauten also
√
−b ± D
.
z1,2 =
2a
D = 0 Der Ausdruck unter der Wurzel ist null. Die beiden Lösungen
fallen zusammen (doppelte Lösung)
z1,2 =
−b
.
2a
D < 0 Der Ausdruck unter der Wurzel ist negativ und reell. Die
beiden Lösungen lauten also
√
−b ± −Dj
z1,2 =
.
2a
Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom
n
p(z) = an z + an−1 z
n−1
· · · + a1 z + a0 =
n
X
k=0
vom Grad n > 0 hat eine Nullstelle in C.
ak z k ,
ak ∈ C
Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom
p(z) = an z n + an−1 z n−1 · · · + a1 z + a0 =
n
X
ak z k ,
ak ∈ C
k=0
kann in n Linearfaktoren faktorisiert werden, d.h. geschrieben
werden als
p(z) = an (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn−1 )(z − zn ).
Die Zahlen zk sind also gerade die Nullstellen von p(z) (mit
Vielfachheit).
Allgemeine Merkregel
Die nicht-reellen Nullstellen eines Polynoms mit reellen
Koeffizienten treten in komplex konjugierten Paaren auf.
Zusammenfassung
I
Was sind Einheitswurzeln und allgemeine Wurzeln?
Welche Rechenregeln gelten?
→ Aufgaben 3.2 und 3.3
I
Geometrische Veranschaulichungen
→ Aufgaben 3.4 und 3.5
I
Was besagt der Fundamentalsatz der Algebra und was
bedeutet er?
→ Aufgaben 3.6 - 3.8