PDF-Folien aus der Vorlesung

Elementarmathematik vom höheren Standpunkt: Grundbegriffe der der Analysis WS 0809 Zahlen und Folge – früher und heute
FIGURIERTE ZAHLEN UND ANDERE BILDER
Geometrie motiviert Arithmetik
Jahrhundertelang haben Menschen bereits ohne unsere heutige, uns oft
selbstverständlich erscheinende, elegante Notation, die uns ein effizientes
Kalkül ermöglicht, allgemeine (arithmetische) Aussagen bewiesen.
In der Ebene ...
¾ Dreieckzahlen: 1, 3, 6, 10, 15
...
¾ Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25
¾ noch mehr Vieleckzahlen
... und im Raum ...
Problemlösungen mit Zahlen hat man oft in Bildern gedacht:
¾ Würfelzahlen: 1, 8, 27, 64, 125
¾ Tetraederzahlen: 1, 4, 10, 20, 35
Mathematik ist die Wissenschaft von Mustern und Strukturen,
die von Menschen ge„macht“ wird.
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Elementarmathematik vom höheren Standpunkt: Grundbegriffe der der Analysis WS 0809 Zahlen und Folge – früher und heute
Zusammenhang zwischen Arithmetik und Geometrie
Elementarmathematik vom höheren Standpunkt: Grundbegriffe der der Analysis WS 0809 Zahlen und Folge – früher und heute
Auch im Raum
Wie viele Münzen liegen da?
Geben Sie möglichst viele unterschiedliche Zahlenterme an, die die
geomerische Situation beschreiben.
Dazu können wir geometrische und arithmetische Muster in Beziehung setzen!
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Wie sieht es aus bei beliebiger Breite, Höhe, Tiefe?
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(nach: HERGET et al. 2001)
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Zwei wichtige Aspekte
Elementarmathematik vom höheren Standpunkt: Grundbegriffe der der Analysis WS 0809 Zahlen und Folge – früher und heute
Darstellungen und Vorstellungen von Mathematik
¾ Mathematisch: Ein solches Denken in Bildern ist enorm leistungsfähig
und macht auch vor Aussagen wie »Die Differenz der Quadrate zweier
aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine Kubikzahl« nicht halt.
¾ Didaktisch: Unterschiedliche Menschen bevorzugen unterschiedliche
Darstellungen von Mathematik. Sie stellen damit unterschiedliche
Fragen und geben unterschiedlichen Antworten!
Vor diesem Hintergrund ist eine Beschäftigung mit alten Aufgaben
nicht nur von mathematikhistorischem Interesse.
Wir können an diesen über Denken nachdenken.
In der Mathematik verwenden
wir Zeichen und Symbole (mit Spielregeln).
k : x 2 + y2 = 1
Kreis
„Die Menge aller Punkte, die
von einem gegebenen Punkt den
gleichen Abstand haben.“
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Bilder? – Darstellungen reflektieren!
Darstellungen und Vorstellungen
Ceci n’est pas un cercle!
¾
¾
¾
¾
Über Darstellungen
werden Vorstellungen
von idealen, mathematischen Objekten und ihren Eigenschaften
kommuniziert:
Person A
Person B
Darstellung
Vorstellung A
Konkretes Objekt
Vorstellung B
Zeichen
Symbol
„Gemeintes“
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„Gesagtes“
„Gehörtes“
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„Aufgefasstes“
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Darstellungsmöglichkeiten beeinflussen die Mathematik
Formale, visuelle und konzeptuelle Denkstile
z. B. Fragen rund um Kreisfläche und –umfang
Unterschiedliche Menschen denken Mathematik unterschiedlich!
¾ Ägyptische Kreisflächenberechnung (in heutiger Notation!):
1 2
F = ⎛⎜d − d ⎞⎟
⎝
9 ⎠
Wie präzise ist das Ergebnis?
Warum haben die Ägypter diese Vorschrift gewählt?
Felix KLEIN unterschied
¾ Analytiker (die mit Formeln operieren)
¾ Geometer (die sehen, was sie denken)
¾ Philosophen (die begrifflich arbeiten)
Leone BURTON hat diese Denkstile
bei Mathematikerinnen und Mathematikern empirisch erfasst:
¾ 66 % denken visuell (in Bildern, oft dynamisch)
¾ 37 % denken formal, symbolisch
¾ 47 % denken konzeptuell, begrifflich in Ideen, klassifizierend
60% haben zwei Zugänge, 36% einen und 4% alle drei.
Unterschiedliche Denkstile können zu unterschiedlichen mathematischen
Interessen führen. Das macht den Reichtum der Mathematik aus.
¾ Warum steht das gleiche π (heute?)
in den Formeln für Kreisfläche und –umfang?
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Das Zusammenspiel der
Denkstile – ein Beispiel
Lösung(en)
Formal-algebraisch
Ungleichung vom arithmetischen
und geometrischen Mittelwert
1
x
≥
2
x2 + 1
≥
2x
x 2 − 2x + 1
≥
0
(x − 1)2
≥
0
x+
x +y
A(x, y) :=
2
G(x, y) := xy
Geometrischer Beweis nach PAPPUS (ca. 250 – 350 n. Chr.)
Algebraischer Beweis? Begriffliche Argumentationen?
(vgl. LAMBERT & HERGET 2005)
Aufgabe:
Die Summe aus einer positiven Zahl und ihrem Kehrwert ist mindestens 2 .
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Binomische Formeln! Warum?
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| ⋅x
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Lösungen !
Lösungen !
Noch eine Möglichkeit
Noch eine andere Möglichkeit: Über Geometrie zum Graph
Über Algebra zur Analysis
> t:=x->x+1/x;
t := x → x +
1
x
> Ableitung:=diff(t(x),x);
ZweiteAbleitung:=diff(Ableitung,x);
1
2
Ableitung := 1 − 2 ZweiteAbleitung := 3
x
x
> Extremstelle:=solve(Ableitung=0,x);
Extremstelle := 1, -1
¾
t(1);
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Kann man das auch ohne Analysis sehen?
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Eine andere Unterscheidung
Und welchen Zugang haben Sie zur Mathematik?
Prädikativ oder funktional?
Prädikativ
Funktional
Formal
Visuell
Begrifflich
Weitere wichtige Dimension: externalisierend vs. internalisierend
(SCHWANK 1998)
Vielfältige und abwechslungsreiche Darstellungsformen ermöglichen nicht
nur im Mathematikunterricht Kommunikation zwischen verschiedenen
Zugängen.
(vgl. Lambert 2003)
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