Übungen zu Mathematische Modellierung

Heilbronn, den 12.5.2006
Prof. Dr. V. Stahl
WS 06/07
Übungen zu Mathematische Modellierung
Blatt 8
Zu bearbeiten bis 19.5.2006
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 1. Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung folgender Funktionen:
2
f (x) = e(x )
f (x) = sin(x) cos(x2 )
√
f (x) = x x
(3x − 1)2
f (x) =
ex
Prüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Maple, versuchen Sie’s aber zunächst von Hand.
Aufgabe 2. Berechnen Sie die ersten paar Ableitungen und dann allgemein die n-te
Ableitung folgender Funktionen:
= e−ax
= sin(x)
1+x
=
1−x
f (x)
f (x)
f (x)
Aufgabe 3. Berechnen Sie alle lokalen Extrempunkte zu folgenden Funktionen und
entscheiden Sie anhand der zweiten Ableitung ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind.
f (x)
f (x)
f (x)
= x3 − 3x2
= sin(x)
= xex
Aufgabe 4. Berechnen Sie das Taylor Polynom vom Grad 1 und Grad 4 zum Entwicklungspunkt x̂ = 0 und zum Entwicklungspunkt x̂ = 1 zu folgenden Funktionen.
Zeichnen Sie die entstehenden Polynome und die Funktion in ein Schaubild.
Rechnen Sie zunächst von Hand und prüfen dann Ihr Ergebnis mit Maple (siehe
Funktion taylor und coeftayl). Um lange Ausdrücke zu vermeiden dürfen
Sie auch mit gerundeten Kommazahlen rechnen.
f (x)
f (x)
f (x)
= e−x
= sin(x)
= sin(x) cos(x)
1
Aufgabe 5. Taylor Polynome der Sinusfunktion zum Entwicklungspunkt x̂ = 0 erhält
man in dem man die Reihe
x−
x3
x5
x7
x9
+
−
+
...
3!
5!
7!
9!
irgendwo abschneidet. Finden Sie eine ähnliche allgemeine Formel für die Cosinusund die Exponentialfunktion. Versuchen Sie geometrisch zu erklären, weshalb
die Koeffizienten zu geraden Exponenten bei der Sinusapproximation immer
Null sind und weshalb die Koeffizienten zu ungeraden Exponenten bei der Cosinusapproximation immer Null sind.
Aufgabe 6. Welche Eigenschaft muss eine Funktion f ∈ R → R erfüllen, damit für
jeden Entwicklungspunkt x̂ ein Taylorpolynom vom Grad n existiert? Bis zu
welchem Grad kann man ein Taylorpolynom der Funktion
f (x) = sign(x)x2
zum Entwicklungspunkt x̂ = 0 berechnen? Hinweis: Ersetzten Sie die sign
Funktion durch eine Fallunterscheidung und prüfen dann Differenzierbarkeit bei
0.
Aufgabe 7. Wie hoch muss der Grad des Taylorpolynoms p(x) der Sinusfunktion zum
Entwicklungspunkt 0 sein, damit der Fehler
2
(sin(x) − p(x))
für x = 5 nicht größer als 0.1 ist? Verwenden Sie hierzu Maple. Hinweis: Der
Grad ist nicht besonders hoch, man kann’s durch Probieren rauskriegen. Zeichnen Sie das Polynom im Intervall von −6 bis 6 – zwischen −π und π sieht es
fast wie eine richtige Sinusfunktion aus. Wie groß ist der Fehler mit diesem Taylorpolynom für x = 10?
Aufgabe 8. Taylorpolynome sind besonders dann nützlich, wenn man Grenzwerte einer Funktion an einer Stelle x̂ berechnen will - schließlich ist das Taylorpolynom
eine gute Approximation an die Funktion insbesondere in der Nähe von x̂. Um
z.B. den Grenzwert
lim sin(x)/x
x→0
zu berechnen kann man so vorgehen, dass man zunächst eine Taylorentwicklung
von sin(x) zum Entwicklungspunkt x̂ = 0 berechnet, das entstehende Polynom
durch x dividiert und dann den Grenzübergang x → 0 durchführt. Versuchen
Sie dies für eine Taylorentwicklung vom Grad 1 und 3. Berechnen Sie auf die
gleiche Weise durch Taylorentwicklungen geeigneten Grades:
√
lim sin(x)/ x
x→0
ex − 1
x→0
x
(ex − 1)2
lim
x→0
x
lim
2
Aufgabe 9. Finden Sie ein Polynom p(x) geeigneten Grades, das sich an die Funktion
f (x) = cos(x) in der Nähe von x = 0 annähert und zwar indem es folgende
Bedingungen erfüllt:
p(−1)
p(1)
p0 (0)
p00 (0)
=
=
=
=
f (−1)
f (1)
f 0 (0)
f 00 (0)
Zeichnen Sie p(x) und sin(x) mit Maple in ein gemeinsames Bild. Hinweis: Zur
Lösung des entstehenden linearen Gleichungssystem dürfen Sie Maple verwenden.
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