Vorkurs Inhaltsverzeichnis

Abteilung für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Dr. Sevtap Kestel
WS 2003
Vorkurs Inhaltsverzeichnis
1 . Kapitel
1.1 Die Zahlen . . . . . . . . . . .
1.2 Wichtige Identitäten . . . . .
1.3 Potenzen . . . . . . . . . . . .
1.4 Ungleichungen . . . . . . . . .
1.5 Intervalle und Absolutbeträge
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3
3
3
4
4
6
2 . Kapitel
2.1 Einfache Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Quadratische Gleichungen ax2 + bc + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
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3 . Kapitel
3.1 Summennotation . . . . . . . . .
3.2 Newtons Binomische Formeln
. .
3.3 Binomialkoeffizienten m
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k
3.4 Wesentliches aus der Mengenlehre
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4 . Kapitel
4.1 Funktionen einer Variablen und ihre Eigenschaften .
4.1.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Allgemeine quadratische Funktionen . . . . .
4.1.3 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Die Natürliche Exponentialfunktion (zur Basis
4.1.5 Logarithmus Funktion . . . . . . . . . . . . .
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8
8
9
9
10
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e)
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12
12
13
14
14
15
15
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5 . Kapitel
16
5.1 Neue Funktionen aus Alten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
• Textbuch zur Vorlesung:
Mathematik für Wirtschaftswissenschatler, Sydsaeter, Hammond, Pearson-Studium
2
1 . Kapitel
1.1 Die Zahlen
- Natürliche Zahlen: 1,2,3,4,...
- Ganze Zahlen: 0,±1,±2,...
- Die rationalen Zahlen sind Zahlen, die in der Form a/b geschrieben werden,
wobei a und b ganze Zahlen sind.
Beispiel:
3
4
1
3
= 0.75
11
70
= 0. 33333333
| {z }
wiederholt sich
√
2 = 1. 414213562
|
{z
} 6=
a
b
= 0. 1571428
| {z } 571428
| {z } ...
wiederholt
periodisch
ist eine der irrationalen Zahlen.
nicht periodisch
– Regel 1:
p
0
ist nicht definiert!
1.2 Wichtige Identitäten
Drei wichtige, quadratische Identitäten (binomische Formeln):
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3. (a + b)(a − b) = a2 − b2
4. (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
5. (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
3
1.3 Potenzen
−n
an = aa...a
=
| {z } ; a
1
,a
an
6= 0; ar as = ar+s ; (ar )s = ars
n Faktoren
r
a
b
=
ar
br
= ar br , b 6= 0
Dabei heißt a die Basis(Grundzahl) und n ist der Exponent (Hochzahl)
– Regel 2: a0 = 1
– Regel 3: 00 definiert als 1
– Regel 4: (a + b)r 6= ar + br
n-te Wurzeln a1/n =
√
a, n 6= 0
a = a1/2 , a ≥ 0
√
= a1/p = q ap , q 6= 0
Die Quadratwurzel:
– Regel 5: ap/q
√
n
p
Beispiel:
1.
pγ (pq)σ
p2γ+σ q σ−2
2.
q
√
5
−32 = 5 (−1)5 25 = (−1)5/5 25/5 = −2
=
pγ pσ q σ
p2γ pσ q σ q σ−2
=
q2
pγ
3. Eliminieren Sie die Quadratwurzel aus dem Nenner und vereinfachen Sie
dann:
√
√
54−
√ 24
6
√
=
√ √ √
54 √6−√ 24 6
6 6
√
=
√
54×6− 24×6
6
=
18−12
6
=1
4. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke, indem Sie die Quadratwurzel aus
dem Nenner eliminieren:
√
√
√
√
√
√
√ h √ = √ h √ = h( x+h+ h) = h( x+h+ h) =
x+h+ x
x+h−x
h
x+h− x
x+h− x
1.4 Ungleichungen
- a > b bedeutet a − b > 0
- a > b a ist strikt grosser als b
- Wenn a > b oder a = b, schreiben wir a ≥ b
4
- a ≥ b bedeutet a − b ≥ 0.
- > und < Strikte Ungleichungen
- ≥ und ≤ Schwache Ungleichungen
- Wenn die beide Seiten einer Ungleichung mit der positiven Zahl multipliziert
werden, bleibt dir Richtung der Ungleichung erhalten.
- Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert
werden, kehrt sich die Richtung der Ungleichung um.
Beispiel:
Man nehme a und b wobei a > b und multipliziere beide Seiten mit 2
⇒ 2a > 2b ⇒ 10 > 6
Multipliziere beide Seiten mit -2 ⇒ −2a > −2b ⇒ −10 < −6
Eigenschaften von Ungleichungen:
1. a > b und b > c ⇒ a > c
2. a > b und c > 0 ⇒ ac > bc
3. a > b und c < 0 ⇒ ac < bc
4. a > b und c > d ⇒ a + c > b + d
Dasselbe gilt für ≥ statt >
Beispiel:
Bestimmen Sie die Werte von x, welche die folgenden Ungleichungen erfüllen:
a. 3x + 5 < x − 13
3x − x < −5 − 13 ⇒ 2x < −18 ⇒ x < −9
b.
1
(1
3
− x) ≥ 2(x − 3)
(1 − x) ≥ 6(x − 3) ⇒ 6x + x ⇒ x ≤
c. 1 ≤ 13 (2x − 1) + 38 (1 − x) < 16
1 ≤ 2x
− 13 + 38 − 8x
< 16 ⇒ 1 ≤
3
3
i) 1 ≤
7
3
−
6x
3
⇒1−
ii) − 6x
< 16 −
3
7
3
7
3
7
3
−
4
7
6x
3
< 16
≤ − 6x
⇒ − 43 ≤ − 6x
⇒ −4 ≤ −6x ⇒ x ≤
3
3
⇒ − 6x
<
3
41
3
⇒ −6x < 41 ⇒ x > − 41
6
− 41
<x≤
6
5
4
6
4
6
1.5 Intervalle und Absolutbeträge
Notation
Name
Enthält x mit:
(a, b)
Offenes Intervall von a bis b
a<x<b
[a, b]
Abgeschlossenes Intervall von a bis b
a≤x≤b
(a, b]
Halboffenes Intervall von a bis b
a<x≤b
[a, b)
Halboffenes Intervall von a bis b
a≤b
Die Länge aller Intervalle von b − a. Alle Intervalle sind beschränkt.
Das Symbol ∞ für “Unendlich“
- [a, ∞) =alle Zahlen x mit x ≥ a
- (−∞, b) = alle Zahlen x mit x < b
- Das Intervall [a, ∞) hat keine obere Schranke.
- Das Intervall (−∞, b)hat keine untere Schranke.
- Die Menge aller reellen Zahlen ist: (−∞, ∞).
Absolutbetrag
Sei a reelle Zahl.
Der Abstand zwischen a und 0 heißt der Absolutbetrag von a.
Notation: |a|
(
|a| =
a falls a ≥0
b falls a <0
Eigenschaften des Absolutbetrag:
1. |a| ≥ 0
2. | − a| = |a|
3. |ab| = |a||b|
4. | ab | =
|a|
|b|
5. |a + b| ≤ |a| + |b| Dreiecksungleichung
Regel 6:
√
n
an = |a|
√
- Für ungerade n, n an = a
- Für gerade n,
6
Abstand zwischen zwei Punkten auf der Zahlengeraden:
- x1 − x2 wenn x1 ≥ x2 ; −(x1 − x2 ) wenn x1 < x2
- Somit ist der Abstand zwischen x1 und x2 : |x1 − x2 | = |x2 − x1 |.
- |x| < a bedeutet −a < x < a
- |x| ≤ a bedeutet −a ≤ x ≤ a
2 . Kapitel
2.1 Einfache Gleichungen
Beispiel: Lösen Sie die folgenden Gleichungen
2(x − 5) + 4 = 7x + 1 ⇒ 2x − 6 = 7x + 1 ⇒ 5x = −7 ⇒ x = − 75
2.2 Quadratische Gleichungen ax2 + bc + c = 0
1. Faktorenzerlegung:
Wenn ein Produkt von zwei Faktoren kann nur dann Null sein (ab = 0), wenn
mindestens einer der Faktoren null ist.
Beispiel:
x2 − x − 6 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ x − 3 = 0 ⇒ x = 3 und (x + 2) = 0
⇒ x = −2
2. Methode der quadratischen √
Ergänzung
2
Wenn u = c, c > 0, dann u ± c
x2 + bx = c ⇒ x2 + bx +
⇒x+
b
2
=± c+
2 b
2
2
b
2
=c+
2
b
⇒ x+
2 2
b
⇒x=± c+
2
−
b
2
2
=c+
2
b
2
b
2
Beispiel:
i) (x − 3)2 = 16
√
(x − 3)2 = 16 ⇒ x − 3 = ± 16 ⇒ x − 3 = ±4
x = 1 oder x = 7
ii) x2 − 6x − 5 = 0
√
x2 − 6x = 5 ⇒ x2 − 6x + 32 = 5 + 32 ⇒ (x − 3)2 = 14 ⇒ x = 3 ± 14
7
3.Quadratische Formel
ax2 + bx + c = 0
Beispiel:
2x2 + 3x√− 1 = 0
32 −4·2·1
x = −3± 2·2
=
−3±1
4
⇒ x = −0.5 oder x = 1
3 . Kapitel
3.1 Summennotation
Allgemein:
Pn
N1 + N2 + ... + Nn =
i=1
Ni
Beispiel: N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 =
P6
i=1
Ni
i Summationsindex
-
Pp
i=1
ai = ap + ap+1 + ap+2 + ... + aq
Beispiel:
Berechnen Sie die folgenden Summen:
a.
P5
b.
P3
c.
m=0 (2m
+ 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
2
2
2
i=0 (2i + x) = x + (2 + x) +
P2
2m
= 21 + 22 + 24 = 70
m=0 2
(4 + x)2 + (6 + x)2 = 4x2 + 24 + 56
Rechenregeln für Summen
-
Pn
Pn
i=1 bi Additivität
i=1 ai +
i=1 (ai + bi ) =
Pn
Pn
i=1 ai Homogenität
i=1 cai = c
-
Pn
-
Pn
i=1
c = nc
Beispiel: Beweisen Sie, dass
P8
− ak ) = 8k=1 ak+1 − 8k=1 ak
= (a2 + a3 + ... + a8 + a9 ) − (a1 + a3 + ... + a8 ) = a9 − a1
P
k=1 (ak+1
P
Beispiel: Berechnen Sie
P12
k+1
k=1 (3
− 3k ) =
P12
k=1
3k+1 −
P12
k=1
Nützliche Formeln:
-
Pn
i=1
= 1 + 2 + ... + n = 21 n(n + 1)
8
3k = 313 − 31 = 3(312 − 1)
- Summenformel für arithmetische 
Reihe:
Pn−1
i=0
(a + id) = na +
n(n−1)d
2
=
n
2



a + [a + (n − 1)d]
|
{z
}
z
a:AnfangsPn−1
i=0
z:Schlussglied
(a + id) = n2 (a + z)
Summe der Quadratzahlen
Pn
1
2
2
2
2
2
i=1 i = 1 + 2 + 3 + ... + n = 6 n(n + 1)(2n + 1)
Summe der Kubikzahlen
h
i2
Pn
1
3
3
3
3
3
i=1 i = 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 n(n + 1)
3.2 Newtons Binomische Formeln
- (a + b)1 = a + b
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
- (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
Allgemein:
- (a + b)m = am +
m
1
am−1 b + ... +
3.3 Binomialkoeffizienten
m = 1, 2, ...
-
m
k
=
m
1
m
m−1
abm−1 +
m
k
k = 0, 1, 2, ..., m
m(m−1)...(m−k+1)
, m0
k!
- k! = 1 · 2 · ... · k
-
= m,
m
m
0! = 1
= 1,
m
k
=
=1
(k Fakultät)
m!
,
k!(m−k!)
9
m
k
=
m
m−k
m
m
bm
Pascalsches Dreieck
Beispiel:
¨Überprüfen Sie durch direkte Berechnung, dass 83 = 85
und
8+1
3+1
=
=
=
8
3
8+1
3+1
8
4
8·7·6·4
4·3!
8
3
8!
5!3!
=
+
und
9!
5!4!
8!
4!4!
+
=
=
8
3+1
.
=
8
5
8!
3!5!
9·8·7·6·5!
5!4·3!
=
9·8·7·6
4!
=
=
8·7·6·5!
5!3!
+
8
3
+
=
8·7·6·4
(4
4!
8·7·6·5
4·3!
8
4
+ 5) =
8
3
=
8!
5!3!
8·7·6·5·4!
4!4!
=
8·7·6·5!
5!3!
=
8·7·6·5!
5!3!
und
=
9·8·7·6·4
4!
3.4 Wesentliches aus der Mengenlehre
Elemente einer Menge
- x∈S
x ist ein Element von S
- x∈
/S
x ist kein Element von S, z.B. d ∈
/ a, b, c
- A ⊆ B : A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B liegt.
- A⊆A
- Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn A ⊆ B und A ⊆ A.
Mengenoperatoren
10
Notation
Name
A∪B
A Vereinigung B
A∩B
A Durchschnitt B
A\B
A minus B
Menge besteht aus den Elementen
die zu wenigstens einer der Mengen A und B gehören.
die zu A und B gehören.
die zu A, aber nicht zu B gehören.
- A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B}
- A ∩ B = {x : x ∈ Aoder x ∈ B}
- A\B = {x : x ∈ A oder x ∈
/ B}
- Zwei Mengen A und B heißen DISJUNKT, wenn sie keine gemeinsame Elemente haben.
- Das Symbol ∅ bezeichnet die Menge, die keine Elemente enthält, die LEERE
Menge.
- Die Mengen A und B sind genau dann disjunkt, wenn A ∩ B = ∅
- Familie von Mengen, alle Mengen dieser Familie seien Teilmengen der GRUNDMENGE Ω
- Ω\A = CA = AC = Ae = A KOMPLEMENT von A
- A ∪ (A ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C
- A ∩ (B ∪ C) 6= (A ∩ B) ∪ C
Beispiel:
Die Grundmenge Ω = {1, 2, 3..., 12}.Definieren Sie A = {1, 4, 6} und B = {2, 11, 12}.C
seinen die ungeraden Zahlen in Ω Bestimmen Sie Ω = {1, 2, 3, ..., 12}. A ∩ B; A ∪
B; Ω\B; Ac ; (A ∩ B) ∪ C, A ∩ (C ∪ C).
- A ∩ B = ∅ disjunkt, n(A ∩ B) = 0
- A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 11, 12}, n(A ∪ B) = 6 (n ist die Anzahl der Elemente der
Menge)
- Ω\B = B c = {1, 3, ...10}, n(Ω\B) = 9
- (A ∩ B) ∪ C = ∅ ∪ C = C
- A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12} ∪ {1, 4, 6} = {1}
- Ac = {2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, n(Ac ) = 9
Beispiel:
Die Grundmenge seien die reellen Zahlen Ω = {x : −∞ < x < ∞}. Definieren Sie
A = {x : x > 34}, B = {x : 8 < x < 65}. Bestimmen Sie A ∩ B; A ∪ B; Ω\B; Ac .
- A ∩ B = {x : 34 < x < 65}, n(A ∩ B) = ∞
- A ∪ B = {x : 8 < x < ∞}, n(A ∪ B) = ∞
11
- ΩB = B c = {x : x ≤ 8 und x ≥ 65}, n(Ω\B) = ∞
- Ac = {x : x ≤ 34}, n(Ac ) = ∞
4 . Kapitel
4.1 Funktionen einer Variablen und ihre Eigenschaften
f (x): Gelesen f von x oder f x
– f Symbol für die Funktion
– f (x) Wert der Funktion f an der Stelle x
y = f (x)
– x ist die unabhängige Variable oder Argument (die exogene Variable).y ist die
abhängige Variable (endogene Variable). Der Definitionsbereich(Domain) der
Funktion f ist die Menge der möglichen Werte der unabhängigen Variablen.
Der Wertebereich(Range) der Funktion f ist die Menge der möglichen Werte
der abhängigen Variablen
Beispiel:
1. f (x) = 1 −
√
x
Df : [0, ∞) Rf : (−∞, ∞)
2. F (t) =
1√
1+ t
Df : [0, ∞) Rf : (1, ∞)
3. g(z) =
√ 1
4−z 2
Df : (−2, 2) Rf : (0, ∞)
4. F (t) =
1
√
t
Df : (0, ∞) Rf : (0, ∞)
Definition: Eine Funktion f heißt MONOTON WACHSEND, wenn aus x1 < x2
folgt, dass f (x1 ) ≤ f (x2 ) und STRENG MONOTON WACHSEND, wenn aus x1 <
x2 folgt, dass f (x1 ) < f (x2 ).Die Begriffe MONOTON FALLEND und STRENG
MONOTON FALLEND werden entsprechend definiert.
Beispiel:
√
g(x) = 2x + 4
Df = [−2, ∞) Rf : [0, ∞)
Man wähle (x1 , x2 ) so,
√ dass x1 < x
√2 .
√
√
−1 < 0 ⇒ f (−1) = 2 < f (0) = 4 0 < 3 ⇒ f (0) = 4 < f (3) = 16,
also streng monoton wachsend
12
4.1.1 Lineare Funktionen
y = ax + b (a und b Konstante)
Der Graph dieser Gleichung ist eine Gerade
f : x 7→ y
f (x) = ax + b und f heißt eine Lineare Funktion.
f (x + 1) − f (x) = a(x + 1) + b − ax − b = a
Die Konstante a misst die Änderung des Funktionswertes, wenn x um eine Einheit zunimmt. Daher heißt a die Steigung der Geraden und Steigung der Funktion. Definition: Wenn x = 0 ist, so ist y = ax + b = b und b heißt der yACHSENABSCHNITT oder Achsenabschnitt.
Bestimmung der Steigung:
Definition: Die Steigung einer Geraden l ist
a=
y2 −y1
,
x2 −x1
x1 6= x2
wenn (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) zwei verschiedene Punkte auf der Geraden l sind.
Beispiel:
1. f (x) = x + 1 Steigung a = 1, y-Achsenabschnitt b = 1
Df : (−∞, ∞) Rf : (−∞, ∞)
Man wähle 2 Punkte in x:
Wenn x1 = 3 ⇒ f (3) = 4 = y1
Wenn x2 = 5 ⇒ f (5) = 6 = y2
Steigung: a =
y2 −y1
x2 −x1
=
∆y
∆x
=
6−4
5−3
=1
2. f (x) = 3 − 2x a = −2 b = 3
Df : (−∞, ∞) Rf : (−∞, ∞)
x1 = 3 ⇒ f (3) = −3
x2 = 5 ⇒ f (5) = −7
= −4
= −2
a = −7−(−3)
5−3
2
13
4.1.2 Allgemeine quadratische Funktionen
f (x) = ax2 + bx + c (a,b und c Konstante, a 6= 0)
Der Graph von f heißt Parabel
Gestalt: ∩ wenn a < 0 und ∪ wenn a > 0
Der Graph ist symmetrisch
Übung: Für welche x ist ax2 + bx + c = 0?. Welches sind die Koordinaten im
Punkt P , in dem Maximum oder Minimum angenommen wird. Dieser Punkt heißt
SCHEITELPUNKT (vertex).
Nullstellen der allgemeinen quadratischen Funktion f (x) = ax2 + bx + c
Lösungen der quadratischen Gleichung: ax2 + bx + c = 0. Wenn b2 − 4ac und a 6= 0
gilt:
ax2 + bx + c = 0 ⇐⇒ x1,2 =
√
−b± b2 −4ac
2a
x1 und x2 sind Lösungen der quadratischen Gleichung und die Nullstellen der
quadratischen Funktion f (x) = ax2 + bx + c. Es gilt:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
4.1.3 Polynome
Kubische Funktion: f (x) = ax2 + bx + cx + d (a,b,c,d Konstante: a 6= 0)
Allgemein: Polynome vom Grade n
P (x) = anx + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 an 6= 0
a0 , a1 , ..., an Koeffizienten (an führender Koeffizient)
Anmerkung: Der Unterschied zu der Exponentialfunktion f (x) = ax hat die Potenzfunktion g(x) = xa einen konstanten Exponenten und eine variierende Basis.
Bei der Exponentialfunktion ist es genau umgekehrt (Exponent variiert; Basis konstant)
Beispiel:
1. f (x) = 2x Df : (−∞, ∞) Rf : [0, ∞) a = 2
2. f (x) = x2 Df : (−∞, ∞) Rf : [0, ∞) a = 2
3. f (x) = x−5 Df : (−∞, 0) ∪ (0, ∞) Rf : [0, ∞)
4. f (x) = −5x Df : (−∞, ∞) Rf : (−∞, ∞)
14
4.1.4 Die Natürliche Exponentialfunktion (zur Basis e)
Jede Basis a in f (x) = Aax ergibt eine andere Exponentialfunktion. Welche Werte
von a sind wichtig? −a = 2odera = 10?. Die wichtigste Basis ist sicherlich:
e = 2.718281828459045...
Definition: Die Exponentialfunktion zur Basis e f (x) = ex . heißt (natürliche) Exponentialfunktion.
Rechenregeln für die e-Funktion
(a) es et = es+t
(b)
es
et
= es−t
(c) (es )t = est
Notation: exp(u) statt eu
4.1.5 Logarithmus Funktion
elna = a (a ist eine beliebige positive Zahl)
lna ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um a zu erhalten.
Regeln für den natürlichen Logarithmus
(a) ln(xy) = lnx + lny
(b) ln xy = lnx − lny
(c) lnxp = plnx
(d) ln1 = 0, lne = 1, x = elnx , lnex = x
MERKE: lnex = x, elny = y (y > 0)
BEACHTE: ln(x+y) 6= lnx+lny. Es gibt keine einfachen Formeln für ln(x+y)
und ln(x − y).
Beispiel:
√
1. f (t) = (3ln 3 t2 − 1) − ln(t + 1) = 3ln(t2 − 1)1/3 − ln(t + 1)
= 33 ln(t2 − 1) − ln(t + 1)
=ln
t2 −1
t+1
= ln
(t−1)(t+1)
t+1
= ln(t + 1)
15
2. g(x) = ln(8x + 4) − 2ln2
= ln(23 x + 22 ) − 2ln2
= ln(22 [2x + 1]) − 2ln2
= ln22 + ln(2x + 1) − 2ln2
= 2ln2 + ln(2x + 1) − 2ln2
g(x) = ln(2x + 1)
x
3. g(x) = ln(ee ) = ex
2
4. h(x) = ln(e2lnx ) = ln(elnx ) = lnx2
5. Man schreibe y als Funktion von x
ln(1 − 2y) = t
eln(1−2y) = et
1 − 2y = et
y=
1−et
2
Die Funktion g(x) = ln(x)
Definition: Die Funktion g(x) = ln(x) (x > 0) heißt die natürliche Logarithmusfunktion. Es gilt:
g(1) = 0
g(x) < 0 falls 0 < x < 1
g(x) > 0 falls x > 1
g(x) → −∞ falls x → 0
g(x) → ∞ falls x → ∞
5 . Kapitel
5.1 Neue Funktionen aus Alten
Summen und Differenzen
Seien f und g Funktionen definiert in einer Menge A von reellen Zahlen. Es gilt:
F (x) = f (x) + g(x)
SUMME von f und g F = f + g
F (x) = f (x) − g(x)
DIFFERENZ von f und g F = f − g
Produkte und Quotienten
16
f und g definiert in A
F (x) = f (x) · g(x)
Produkt von f und g F = f · g
F (x) = f (x)/g(x) (g(x) 6= 0) Quotient von f und g F = f /g
Beispiel:
√
- f (x) = √ x + 1 Df : [0, ∞) Rf : [1, ∞)
g(x) = x − 1 Dg : [1, ∞) Rg : [0, ∞)
√
√
√
- (f + g)(x) = x + 1 + x − 1 Df +g : [1, ∞) Rf +g : [ 2, ∞)
√
√
- (f · g) = ( x + 1)( x − 1) = [(x + 1)(x − 1)]1/2 = (x2 − 1)1/2
(−∞, −1] ∪ [1, ∞) Rf ·g : [0, ∞)
-
f (x)
g(x)
=
x+1
x−1
=
x+1
x−1
Df ·g :
Df /g : (1, ∞) Rf /g : (0, ∞)
Verkettung von Funktionen
Wenn y eine Funktion von u und u eine Funktion von x, dann ist auch y eine
Funktion von x. Dann ist y eine verkette Funktion.
y = f (x) u = g(x)
y = f (g(x))
Die Funktion f (äußere) und g (innere) werden hintereinander geschaltet, erst g,
dann f . Die Notation ist hierbei f ◦ g (“f von g oder f nach g“).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) (g ◦ f )(x) = g(f (x))
Beispiel:
√
– f (x) = √ x + 1
g(x) = x − 1
(f ◦ g)(x) =
(g ◦ f )(x) =
q√
q√
x−1+1
Df ◦g : [2, ∞)
Rf ◦g : [2, ∞)
x+1−1
Dg◦f : [0, ∞)
Rg◦f : [0, ∞)
17
5.2 Eigenschaften von Funktionen
Symmetrie
Definition: Wenn f (−x) = f (x) für alle x aus dem Definitionsbereich von f , so
heißt f eine gerade (even) Funktion oder man sagt f ist SYMMETRISCH zur
y-Achse Beispiel:
g(x) = x4 + 3x2 − 1
g(−x) = x4 + 3x2 + 1
Definition: wenn f (−x) = −f (x) für alle x aus dem Wertebereich von f , so heißt f
eine ungerade (odd) Funktion oder man sagt f ist SYMMETRISCH zum Ursprung.
Beispiel:
1. f (x) = x3 f (x) = x2n+1 n ganze Zahl
2. f (x) = x−5 =
f (−x) =
1
x5
−1
x5
−f (x) = − x15
3. g(x) =
g(−x)
−g(x)
x
x2 −1
= x−x
2 −1
−x
= x2 −1
Symmetrie zur Geraden x = a
Die Funktion f ist symmetrisch zur Geraden x = a, wenn f (x + a) = f (x − a) für
alle x gilt.
Umkehrbar eindeutige Funktionen
Definition: Sei f eine Funktion mit Definitionsbereich Df = A. Der Wertebereich
f ist dann B = Rf = {f (x) : x ∈ A} = f (A). Die Funktion f ist eine EINS zu
EINS (one to one) oder UMKEHRBAR EINDEUTIGE (bijektive) Funktion in A,
wenn f niemals denselben Wert hat für zwei verschiedene Punkte in A.
Oder: Für jedes y ∈ B gibt es genau ein x ∈ A, so dass y = f (x) gilt.
f ist eine umkehrbar eindeutige Funktion in A,
wenn aus x1 ∈
/ x2 immer folgt f (x1 ) ∈
/ f (x2 )
Beispiel:
1. g(x) = lnx (eins zu eins)
2. f (x) = x2 (nicht eins zu eins)
18
Inverse Funktionen
Satz: Sei f eine Funktion mit Definitionsbereich A und Wertebereich B. Genau
dann hat f eine inverse Funktion g mit Definitionsbereich B und Wertebereich
A, wenn f umkehrbar eindeutig ist. Die Funktion g ist durch die folgende Regel
definiert: Für jedes y ∈ B ist g(y) diejenige Zahl x in A, fr̈ die f (x) = y gilt. Dann
gilt:
g(y) = x ⇐⇒ y = f (x)
(x ∈ A, y ∈ B)
Folgerung: g(f (x)) = x (In Worten: g macht rückgängig, was f mit x tat.
√
Beispiel(Textbuch S.185): Sei f (x) = 4lm( x + 4 − 2). Man finde die Formel für
die Inverse.
√
√
y = 4ln( x + 4 − 3) ⇐⇒ ln( x + 4 − 2) = y/4
√
√
x + 4 − 2 = ey/4 ⇐⇒ x + 4 = 2 + ey/4
⇒ x + 4 = (2 + ey/4 )2 = 4 + 4ey/4 + ey/2
x = x4ey/4 + ey/2 Definiert auf (−∞, ∞) mit Werten in (0, ∞).
1. f (x) = x2 − 2x + 1
y = (x − 1)2
√
y =x−1
√
x = y + 1 Dx : [0, ∞)
√
f −1 = y = x + 1
2. f (x) =
y=
1
x1/3
1
x3
6= 0
⇒ x3 =
f −1 (x) =
Rx : [1, ∞)
1
x13
1
y
⇒x=
1
y 1/3
Df −1 : (−∞, ∞) ∪ (0, ∞)
Rf −1 : (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
√
Definition: Sei x y = 2 eine Gleichung in zwei Variablen x und y. Eine Lösung
solch einer Gleichung ist ein geordnetes Paar (a, b), so dass die Gleichung erfüllt
ist, wenn wir x durch a und y durch b ersetzen. Die Lösungsmenge der Gleichung
ist die Menge aller Lösungen. Die Darstellung aller Paare der Lösungsmenge in
einem kartesischen Koordinatensystem heißt der Graph der Gleichung.
Beispiel(Textbuch S. 187):
√
x y = 2 =⇒ y = 4x2 . Wertetabelle:
x 1 2
y 4 1
19
4
6
1/4 1/9