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Stichwortsammlung zur Vorlesung Mathematik I/1 für die Fakultät Maschinenwesen gehalten im WS 2005/06 von Prof. Dr. A. Fischer Angaben ohne Anspruch auf Vollständigkeit 1. Zahlen (a) Natürliche Zahlen Peano Axiome, vollständige Induktion (b) Ganze Zahlen (c) Rationale und reelle Zahlen (d) Komplexe Zahlen Real- und Imaginärteil, konjugiert komplexe Zahl, Betrag, Rechenregeln, imaginäre Einheit, Gaußsche Zahlenebene, Darstellung mittels kartesischer Koordinaten bzw. Polarkoordinaten, Argument und Hauptwert, Eulersche Formel, trigonometrische Darstellung, Multiplikation mittels Polarkoordinaten, n-te Potenz und n-te Wurzel, de Moivresche Formeln, Polynome über C, Fundamentalsatz der Algebra, Linearfaktoren und Nullstellen eines Polynoms, Vielfachheit von Nullstellen, konjugiert komplexe Nullstellenpaare bei Polynomen mit reellen Koeffizienten, Hornerschema 2. Funktionen (a) Grundlagen Begriff der Funktion/Abbildung, Schreibweisen, Definitionsbereich, Bildmenge, Wertebereich, Urbildmenge, injektiv, surjektiv, bijektiv, reellwertige Funktionen einer reellen Variablen, Umkehrfunktion, Verkettung/Zusammensetzung von Funktionen, Beschränktheit,Montonie, (strenge) Konvexität und Konkavität, gerade und ungerade Funktionen, periodische Funktionen, gebrochen rationale Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Potenzfunktionen, Winkel- und Hyperbelfunktionen sowie ihre Umkehrfunktionen, Potenz- und Logarithmengesetze (b) Grenzwerte und Stetigkeit reellwertiger Funktionen einer rellen Variablen δ-Umgebung, innerer Punkt, Häufungspunkt, Randpunkt, Zahlenfolge, Teilfolge, Grenzwert und Konvergenz einer Zahlenfolge, Nullfolge, Divergenz und bestimmte Divergenz, Cauchy-Folge, Cauchysches Konvergenzkriterium, nach unten bzw. oben beschränkte Zahlenfolge, Infimum, Supremum, Satz von Bolzano-Weierstraß, Monotonie von Zahlenfolgen, Konvergenzeigenschaften monotoner Zahlenfolgen, (links- und rechtsseitiger) Grenzwert bei Funktionen, Rechnen mit Grenzwerten, Stetigkeit von Funktionen, hebbare Unstetigkeitsstellen, Sprungstellen, Unstetigkeitsstellen 2. Art, Nullstellen und deren Existenz, Zwischenwertsatz, Stetigkeit elementarer Funktionen, “Vererbung” der Stetigkeit, Maximum und Minimum, Maximalstelle, Minimalstelle, Satz von Weierstraß (c) Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen einer reellen Variablen Differenzenquotient, Differentialquotient und Differenzierbarkeit, rechts- und linksseitige Differenzierbarkeit, stetige Differenzierbarkeit, Differentiationsregeln, Ableitung mittels Umkehrfunktion, logarithmisches Differenzieren, Ableitungen von Grundfunktionen, höhere Ableitungen, lineare Approximation einer Funktion an einer Stelle, Fehlerrechnung und -fortpflanzung, absoluter und relativer Fehler, Mittelwertsatz der Differentialrechnung und verallgemeinerter Mittelwertsatz, Regel von Bernoulli-l’Hospital, Taylorpolynom, Taylorscher Satz, Restglied in Lagrange-Form, Charakterisierung von Konvexität und Monotonie mittels Ableitungen, lokale Extremstellen und dafür notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen, globale Extremstellen und dafür hinreichende Optimalitätsbedingungen (d) Fixpunkte und Nullstellen Begriff des Fixpunktes, Banachscher Fixpunktsatz inkl. Fixpunktverfahren, Intervallhalbierungsverfahren, Newtonverfahren und dessen lokale Konvergenzeigenschaften, globale Konvergenzaussage für das Newtonverfahren bei konvexen Funktionen 3. Integralrechung für reellwertge Funktionen einer reellen Variablen (a) Unbestimmtes Integral Begriff des unbestimmten Integrals/der Stammfunktion, Stammfunktionen einiger elementarer Funktionen, Linearität des unbestimmten Integrals, Substitutionsregeln, partielle Integration, Partialbruchzerlegung und Integration gebrochen rationaler Funktionen, (b) Bestimmtes Integral Riemannsche Summen, Riemannsches Integral, Integrierbarkeit (stückweise stetiger) Funktionen, Mittelwertsätze der Integralrechnung, Rechenregeln für bestimmte Integrale, erster und zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern, Parameterabhängige Integrale und ihre Differentiation, LeibnizRegel (c) Uneigentliche Integrale Begriff des uneigentlichen Integrals, notwendige Bedingung für Konvergenz, Majorantenund Minoranten-Kriterium, Potenzfunktionen als Majoranten bzw. Minoranten, absolute Konvergenz (d) Numerische Integration Idee zur Gewinnung von Quadraturformeln, (zusammengesetzte) Trapez- und Simpsonregel, Fehler bei zusammengesetzter Trapez- und Simpsonregel (e) Interpolation Grundaufgabe der Interpolation, Polynominterpolation, Lagrangesche und Newtonsche Form des Interpolationspolynoms, Ausblick auf Spline-Interpolation 4. Lineare Algebra (a) Vektorräume Definition eines Vektorraumes, Nullvektor, Linearkombination, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit, Dimension und Basis eines Vektorraumes und speziell des Rn , Koordinatendarstellung eines Vektors, Unterraum, Skalarprodukt und seine Eigenschaften, Euklidischer Raum, der Rn als Euklidischer Raum mit Standardskalarprodukt, Betrag eines Vektors und nichtorientierter Winkel zwischen zwei Vektoren in einem Euklidischen Raum, Orthogonalität, orthogonales Komplement (b) Matrizen Definition des Begriffs, quadratische Matrix, transponierte Matrix, symmetrische Matrix, adjungierte Matrix, selbstadjungierte Matrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Regeln für das Rechnen mit Matrizen, Kronecker-Symbol, Hauptdiagonale, obere und untere Dreiecksmatrizen, inverse Matrix, invertierbare/reguläre Matrizen, Rang einer Matrix, Zeilen- und Spaltenrang, Vollrang, Umformungen einer Matrix mit Rangerhaltung, (c) Lineare Gleichungssysteme Gaußscher Algorithmus, Eliminationsschritt und seine Produktdarstellung, Rückrechnung, Spaltenpivotisierung, Anwendung des Gaußschen Algorithmus auf lineare Gleichungssysteme mit regulären quadratischen bzw. rechteckigen Matrizen, LU-Faktorisierung einer regulären Matrix, Lösung linearer Gleichungssysteme mittels LU-Faktorisierung, homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme, erweiterte Koeffizientenmatrix, Lösbarkeitskriterien für lineare Gleichungssysteme, Lösungsmenge eines homogenen und eines inhomgenen Gleichungssystems mit gleicher Koeffizientenmatrix (d) Determinanten Determinante einer quadratischen Matrix über R oder C, Adjunkte, Entwicklungssatz, Eigenschaften der Determinante, Determinantenmultiplikationssatz, Unterdeterminanten (e) Eigenwerte und Eigenvektoren Definition der Begriffe, charakteristische(s) Gleichung (Polynom), Eigenraum, algebraische und geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes und Beziehungen zwischen diesen Vielfachheiten, lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten, Ähnlichkeitstransformation von Matrizen, Invarianz des charakteristischen Polynoms bei Ähnlichkeitstransformation, Eigenwerte von Dreiecksmatrizen und in weiteren speziellen Fällen, Eigenwerte symmetrischer reeller Matrizen, Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bei einer symmetrischen reellen Matrix, Diagonalisierung symmetrischer reeller Matrizen, quadratische Form und ihre Hauptachsen, Quadrik Fortsetzung im SS 2006