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Fakultät IV - Wirtschaft und Informatik
Prof. Dr. Jörg Stephan
Carsten Krupp
Übungsblatt 1 zum Propädeutikum
1. Gegeben seien die Mengen A = {3, 4, 6, 7}, B = {3, 5, 6} und C = {4, 5, 2, 1}.
Bilden Sie die Mengen A  B, A  C, (A  B)  C, (A  C)  B und geben Sie
diese in aufzählender Form an.
2. Geben Sie alle Teilmengen der Menge {rot, gelb, blau} in aufzählender Form an.
Wieviel Teilmengen sind es?
3. Wieviele Teilmengen hat eine n-elementige Menge? (Begründung?)
4. Durch welche charakterisierende Eigenschaften kann die Menge
{2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} beschrieben werden?
5. Gegeben sei die Menge M = {x  -3 < x < 4}. Beschreiben Sie die Menge M in
aufzählender Form
a) in der Grundmenge der natürlichen Zahlen
b) in der Grundmenge der ganzen Zahlen.
6. Welche Beziehung besteht zwischen den Mengen aus Aufgabe 5a) und 5b)?
7. Geben Sie die Menge der Buchstaben des Wortes Mengenlehre in aufzählender
Form an.
8. Für eine natürliche Zahl n bezeichne Tn die Menge aller natürlichen Zahlen, die n
ohne Rest teilen. So ist beispielsweise T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Beschreiben Sie die Mengen T20 , T30 , T20  T30 , und T20  T30 durch
Aufzählung ihrer Elemente. Gibt es natürliche Zahlen a, b mit T a = T20  T30 bzw.
Tb = T20  T30, wenn ja , welche?
9. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus
a) 5(a+b-c)
b) -3(x-2y+3z)
c) (2a  3b)  (a)
d) (3a  b)  (10  a  b)
10. Verwandeln Sie in ein Produkt
a) 2ax  3bx  6 x 2
c) 10 xu  6 xw  15 yu  9 yw
11. Vereinfachen Sie
a) 2-4(3-2(8-7(5-4)+2)-9)
b) 4 x  [2 y  (4 x  6 y)  7 x]  6 y
b) ac  bc  ad  bd
d) 5u(2 x  3 y)  2 x  3 y
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Übungsblatt 2 zum Propädeutikum
1. Kürzen Sie die folgenden Brüche
100
144
33ax  6bx
a)
b)
c)
168
60
27ay  9by
3au  4av  6bu  8bv
e)
av  3au  2bv  6bu
2. Berechnen Sie
4 3 5
a)  
5 4 6
a b
c) 
b a
15 25
e)

96 18
d)
 x  2a
 2a  x
4 3 5
b) (  ) 
5 4 6
2 x  5 5x  3
d)

2 x  3 5x  7
3. Vereinfachen Sie
1 1

a
b
b)
1 1

a b
a
b 2c
24 x
a) ( 
 )
4 x 3x 3x 3a  4b  8c
4. Stellen Sie die folgenden Brüche als Dezimalzahlen dar:
4
11
27
;
;
3
5
125
8
5. Berechnen Sie
6
4
a)
k2
k 0
b)
5
 (2k  1)
c)
k 1
i 1
 i 1
i 0
6. Schreiben Sie unter Verwendung des Summenzeichens
1 2 3 4 5 6
a) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16
b)     
2 3 4 5 6 7
7. Berechnen Sie
9
3
a)
 (1) k  (2k  1)
k 0
b)

k 1
k 1
k
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Übungsblatt 3 zum Propädeutikum
1. Vereinfachen Sie
m
m4
a) ( ) 3  5
n
n
b)
m n4
m n 5
c) (
a 3 b 2 2 b 3 1
) ( 5 )
c
a c
2. Berechnen Sie (ohne Taschenrechner)
10
a)
3
8
b) 64 60
c)
b)
c)
10
45
d)
10
3 20
3. Vereinfachen Sie
a)
3
a2 3 2
 ab
b5
x x x
1
a
n 1

2
a
n2

a 1
an
4. Erweitern Sie den Bruch so, daß der Nenner ganzzahlig wird
1
3 2 5 3
2 2
a)
b)
c)
5 6
2 2
a2 1  a
5. Lösen Sie die Klammern auf
1
a) (3 a  4 b ) 2
1
b) (a 5  b 2 ) 2
c) (22 a  33 b )  (22 a  33 b )
6. Berechnen Sie ohne Taschenrechner folgende Logarithmen
a) log 5 25
b) log 2 1024
c) ln(e  3 e )
7. Schreiben Sie als Summen von Produkten
a  b2
a 1
a) ln(
b) ln(
)
)
4
1 a
c
8. Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmus zusammen
1
2
a) 2 ln u  3 ln v
b) ln x 2  ln y  ln z
3
5
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Übungsblatt 4 zum Propädeutikum
Für alle Aufgaben seien die reellen Zahlen die Grundmenge.
1. Berechnen Sie x aus
a) 5x + 14 = 21 – 2x
b) 3x – 0,75x – 15/4 = x/4 + 0,25
c) 2(4x + 3) – 3(4 - x) = x – 5(3 – 2x) + 9
2. Lösen Sie
1
2
a)

x5 x2
b)
x5 x4

x3 x7
c)
1
4
16

 2
x3 x3 x 9
3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichungen
a) 4 x 2  12 x  9  0
b) x 2  4 x  1  0
c) 4 x 2  12 x  14  0
4. Stellen Sie die folgenden Terme als Produkt dar
a) x 2  5x  6
b) x 2  6 x  7
5. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen
a) 8x  7  3  2 x
b) x 4  13x 2  36  0
x  1 2x  4
x 2  6x  1
2x  8 7x  4
c)
d)

 2 

x2 x3
( x  2)  ( x  3)
2x  4 4x  2
6. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichung mit Hilfe der
Polynomdivision
x 3  6 x 2  11x  6  0
7. Die Gleichung x 4  5x 3  19 x 2  65x  150  0 hat die Lösungen x1  2 und
x 2  5 . Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung.
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Übungsblatt 5 zum Propädeutikum
1. Lösen Sie die folgenden Gleichungen (Grundmenge reelle Zahlen)
a) 3 2 x 1  7 x 3
b) a 3 x 1  b 5 x 4
c) ln 5 x  ln 2 x  2
2. Eine Firma produziert ein Gut und benötigt für die pro Tag herzustellende Menge
5 Maschinen, die dafür rund um die Uhr laufen müssen. Wieviele Maschinen
werden für die Herstellung der Tagesmenge benötigt, wenn die Betriebszeit der
Maschinen auf 7 bis 21 Uhr eingeschränkt wird?
3. Der Kurs einer Aktie steigt von 70 Euro auf 100 Euro. Wieviel Prozent
Kurssteigerung entspricht dies?
4. Eine Kapitalanlage von 2000 Euro wird drei Jahre lang mit 4% pro Jahr verzinst
(die Zinserträge werden nicht ausgezahlt, sondern wieder angelegt). Wie hoch ist
der Endbetrag des Kapitals nach 3 Jahren?
5. Ein Mann benötigt für das Umgraben seines Gartens 3 Stunden. Seine Frau
braucht für die gleiche Arbeit 4 Stunden. Wie lange benötigen sie, wenn sie
zusammen arbeiten?
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Übungsblatt 6 zum Propädeutikum
Grundmenge für die folgenden Aufgaben sind die reellen Zahlen.
1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen
2x  4
1
a) 5x  4  3x  1
b)  3
c)
1
x
x5
2. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen
a) x 2  100
b) 4 x 2  1  0
c) 2 x 2  3x  2  0
d)  0,5x 2  x  4  0 e) x 2  2 x  3  0
f)  x 2  3x  2,5  0
g) 4 x 2  12 x  9  0
3. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit einer geeigneten
Methode
2x  3y  3
8x  6 y  5
4x  6 y  8
a)
b)
c)
10 x  7,5 y  8
5 x  7,5 y  10
3x  4 y  4
2x  5 y  2
d)
3x  5 y  3
4. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme und geben Sie die Lösungsmenge
an
x  5y  0
x50
x2  y2  4
a)
b)
c)
2
x  10 y  3  0
y2  4y  2  0
y  2x  1  0
x y 3
d)
y 4  3 y  3x  0
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Übungsblatt 7 zum Propädeutikum
1. Stellen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte P und Q auf
a) P(1,2); Q(-2,3)
b) P(5,3); Q(-2,3)
2. Zeichnen Sie die Geraden g und h in ein Koordinatensystem. Rechnen Sie den
Schnittpunkt durch Lösen des linearen Gleichungssystems aus
a) g: y = -2x + 1
h: y = 3x – 2
b) g: y = 0,5x –2
h: y = 0,5x +3
3. Wie lautet die Gleichung der Geraden, die auf der Geraden g: y = -2x + 1
senkrecht steht und durch den Punkt P(4,3) geht.
4. Berechnen Sie die Länge der Hypothenuse und den Flächeninhalt eines
rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b.
a) a = 5 cm; b = 8 cm
b) a = 3 cm; b = 4 cm
5. Berechnen Sie die Höhe und den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit
der Seitenlänge a.
6. Um die Erdkugel werde am Äquator ein Seil , das 5 m länger als der Erdumfang
ist, aufgespannt und zwar so, daß alle Punkte des Seils den gleichen Abstand
von der Erdoberfläche haben. Berechnen Sie diesen Abstand für den Idealfall,
das die Erde eine Kugel ist. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn Sie statt der
Erde einen Ball mit Radius 30cm nehmen.
Hinweis: Bezeichnen Sie den Radius der Erdkugel mit R, den gesuchten Abstand
mit h und fertigen Sie eine Skizze an.
7. Geben Sie folgende Winkel (in Grad) in Bogenmaß an
a) 45
b) 270
c) 1
d) -90
8. Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels mit der
Kantenlänge a.