Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie

Population und Stichprobe:
Wahrscheinlichkeitstheorie
4. Sitzung 22 S. Peter Schmidt/Gero
Schwenk 2001
Wahrscheinlichkeitstheorie
in den Sozialwissenschaften:
• Stichprobenziehung:
– Aussagen über die Wahrscheinlichkeit
Stichprobenzusammensetzung möglich
– Generalisierung von Stichprobendaten und
-kennwerten auf die Population
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Statistische Modelle
• Ermöglichen Prognosen über unsichere
Ereignisse
– Statistische Modelle werden formuliert,
indem Vorwissen und Annahmen der
Wahrscheinlichkeitstheorie kombiniert
werden
– z.B.: Vorwissen: Münze hat zwei Seiten
Annahme: Die Münze ist fair, d.h.
Kopf und Zahl sind auf
lange Sicht gleichverteilt
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Zufallsexperimente
• Definition Zufallsexperiment:
– Handlung oder Situtation deren Resultat unsicher
ist
– Formaler:
• Handlung oder Situation, die
(theoretisch) unter gleichen Bedingungen beliebig oft
wiederhohlbar ist,
deren Resultat genau eine von mehreren möglichen
Ereignissen des Ereignisraums ist,
deren Resultat vor dem Auftreten des Ereignisses
unbekannt ist
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Ereignisse
• Definition Ereignis:
– Resultat eines Zufallsexperiment
– Elementarereignisse sind Ereignisse die nicht
mehr in Teilereignisse zerlegt werden können
– Komplexe Ereignisse können in mehrere
Elementarereignisse zerlegt werden
(z.B. 2-maliges Werfen einer Münze)
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Ereignisraum
Ω):
• Definition Ereignisraum (Ω
– Gesamtheit aller bei einem Zufallsexperiment
möglichen Ereignisse
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Disjunkte und
Komplementäre Ereignisse
• Definition Disjunkte Ereignisse:
– Mehrere Ereignisse, die sich gegenseitig
ausschließen
• Definition Komplementäre Ereignisse:
– Der Ereignisraum (Ereignisuniversum) Ω setzt
sich aus dem realisierten Ereignis A und den nicht
realisierten Ereignissen nicht-A (¬A) zusammen.
¬A bildet hier das Komplementärereigniss.
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Verknüpfung von Ereignissen
• Verknüpfung (Vereinigung):
– Verknüpft elementare Ereignisse zum komplexen Ereigniss
– Ergibt die Vereinigungsmenge, die aus den verknüpften
Ereignissen besteht
– Nach dem Logischen Oprerator „∪“ auch „oder“
Verknüpfung genannt
– Beispiel:
A ∪ ¬A =Ω
Wobei: ∪ = „vereinigt mit“ (oder/und)
(A ∪ ¬A) = Menge, die A und non-A umfasst
Ω = Menge aller möglichen Ereignisse
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Überschneidung
von Ereignissen
• Überschneidung:
– Bildung der Schnittmenge mehrerer Ereignisse
– Dargestellt durch den Logischen
Operator ∩ („und“)
– Beispiel
A ∩ ¬A =
– wobei:
A ∩ ¬A = Menge die gleichzeitig A und non-A
umfasst
∩ = gleichzeitiges „und“ (sowohl als auch)
= Leere
Menge
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Wahrscheinlichkeiten und die
Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie
• Basis der Statistischen Modellierung:
– Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten P(A) zu
Ereignissen P des Ereignisraumes Ω
• Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie
– Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des
Ereignisses A liegt zwischen 0 und 1
•
0 ≤ P(A) ≤ 1
– Die Wahrscheinlichkeit des Universums (d.h. der
Summe der Ereigniswahrscheinlichkeiten ist 1
•
P(Ω) = 1
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Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie
• Die Vereinigung eines Ereignisses mit seinem
Komplementärereignis ergibt das Universum, dessen
Wahrscheinlichkeit 1 ist.
–
P(A ∪ ¬A) = P(Ω) = 1
• Die Wahrscheinlichkeit eines
Komplementärereignisses ist die Wahrscheinlichkeit
des Universums minus der Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses
–
P(¬A) = 1 - P(A)
• Die Wahrscheinlichkeit der Zusammenfassung
zweier Ereignisse ist gleich der Summe der
Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn die Summe
überschneidungsfrei, d.h. A ∩ B = ist
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
–
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Wahrscheinlichkeiten
Komplexer Ereignisse
• Additionstheorem
– Berechnung der Wahrscheinlichkeit des
Auftretens mindestens eines nicht-disjunkten
Ereignisses
•
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
wobei P(A ∩ B) = Überschneidungsmenge
von A und B (Spezialfall P=0
wenn A und B disjunkt)
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Wahrscheinlichkeiten
Komplexer Ereignisse
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten
– Änderung der Auftretenswahrscheinlichkeit von B
bei „vorherigem“ Auftreten von A
(A und B stochastisch unabhängig wenn
P(B | A) = P(B) )
• P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)
wobei P(B | A) = Bedingte Wahrscheinlichkeit
von B gegeben A (A und B stochastisch
unabhängig wenn
P(B | A) = P(B) )
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Wahrscheinlichkeiten
Komplexer Ereignisse
• Das Multiplikationstheorem
– Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame
(sowohl/als auch) Auftreten zweier Ereignisse
• P(A ∩ B) = P(B | A) * P(A)
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Wahrscheinlichkeiten
Komplexer Ereignisse
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Das Bayessche Theorem
Ziel
• Berechnung unbekannter Bedingter
Wahrscheinlichkeiten aus den
Elementarwahrscheinlichkeiten und der
„inversen“ bedingten Wahrscheinlichkeit
• Anwendung als Alternative zur klassischen
Statistik, Schlußfolgerungen auf komplexen
Wissensbeständen (z.B. komplexe
technische und medizinische Diagnosen,
Evaluationsforschung, Metaanalyse)
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Das Bayessche Theorem:
Herleitung
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Das Bayessche Theorem
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Das Bayessche Theorem
Beispiel
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Apriori- und A-posterori-Definition
von Wahrscheinlichkeit
• Bis jetzt haben wir nur die sog. Apriori-Definition von
Wahrscheinlichkeit verwendet, d.h. wir haben die Größe des
Ereignisraums bestimmt und für die Elementarereignisse eine
Gleichverteilung der Ereigniswahrscheinlichkeit angenommen
• Aber, ist die Gleichverteilungsannahme nicht korrekt, zum
Beispiel der Würfel gezinkt, werden sich empirisch andere
(Häufigkeits)Verteilungen ergeben.
• Der Schluß von diesen empirischen Häufigkeitsverteilungen auf
Auftretenswahrscheinlichkeiten wird A-posterori-Definition der
Wahrscheinlichkeit genannt
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Das (schwache) Gesetz der
Großen Zahl
• Angenommen wir wiederholen ein Zufallsexperiment
beliebig oft, so nähert sich die Empirische
Häufigkeitsverteilung immer mehr der geforderten
Wahrscheinlichkeitsverteilung im einfachen
Zufallsexperiment an.
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Wahrscheinlichkeiten als
Grenzwerte relativer Häufigkeiten
• Implikation der Gesetzes der großen Zahl:
– Wahrscheinlichkeiten können als Grenzwerte relativer
Häufigkeiten aufgefasst werden
• Sog. A-posterori-Definition der Wahrscheinlichkeit
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