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2 2.4 Kubikwurzeln Astrid bastelt Würfel aus Papier. 169 Berechne die Volumina ihrer Würfel! a 2 cm V=a 170 8 cm 3 3 cm 4 cm 5 cm 3 Berechne die dritte Potenz der Zahlen! a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a3 171 Denise behauptet: „Ich habe einen Würfel mit 216 cm3 Volumen gebastelt!“ Welche Seitenlänge hat ihr Würfel? Wenn du die dritte Potenz einer Zahl berechnest, so kubierst du diese Zahl. a • a • a = a3 sprich: „a hoch 3“ 3 8 (__ 23 )3 = __ 233 = __ 27 23 = 8 Taschenrechner: z. B. 43 ^ 3 = 4 Die Umkehroperation heißt Kubikwurzelziehen. 3 __ √ √ 8 = 2 x 3 __ Taschenrechner: 3 ___ z. B. √ 64 sprich: „Kubikwurzel aus x“ oder „3. Wurzel aus x“ ___ 3 √ __ 8 8 8 __ 27 = ____ 3 √___ = __ 27 3 √ 27 _ √ 3 2nd ^ 64 = x Du kannst auch aus negativen Zahlen die Kubikwurzel ziehen. 172 3 ___ √ –8 = –2 z. B. (–2)3 = –8 Berechne die Kubikwurzeln! a 3 __ 1 –1 8 –8 27 –27 64 –64 125 –125 216 –216 1 000 –1 000 √ a 173 Berechne mit dem Taschenrechner, runde auf 2 Dezimalstellen, falls nötig! ____ __ ___ √ a) __ 18 3 3 ______ b) √ –6 859 174 3 _____ d) √ 3 375 3 _____ 3 ___ e) √ 4 913 √_____ 8 h) √ –_____ 1 000 27 g) ___ 125 3 3 f) √ 11 3 _______ 3 ______ i) √ –15,625 j) √ –0,125 Überprüfe, ob die Rechnungen stimmen! Was fällt dir auf? 3 ___ (√ 64 ) 3 = 64 175 √ 3 1 c) __ 64 3 __ 3 a) (√ 8 ) 3 = 8 ___ b) (√ 27 ) 3 = 27 3 ____ c) (√ 125 ) 3 = 125 Berechne die Kantenlänge eines Würfels, wenn du das Volumen kennst! Verwende den Taschenrechner! a) V = 3 375 dm3 34 genialMathematik_4_k2.indd 34 b) V = 1 331 cm3 c) V = 15,625 mm3 d) V = 1 953,125 m3 Genial! Mathematik 4 27.07.11 12:47 2 2.4 Kubikwurzeln Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Kubikwurzel? 3 ____ 3 ___ a) _____ < √ 100 < _____ 3 ____ 3 ___ c) _____ < √ 450 < _____ b) _____ < √ –7 < _____ 176 3 ____ 3 ___ 3 __ √ 6 3 __ 1 < √ 6 < 2 e) _____ < √ 200 < _____ d) _____ < √ –80 < _____ H f) _____ < √ 15 < _____ weil: 13 < 6 < 23 1<6<8 Ergänze die Tabelle und formuliere mit eigenen Worten, welche Gesetzmäßigkeit dir auffällt! a 400 40 4 0,4 0,04 177 0,004 H a3 Ergänze die Tabelle und formuliere mit eigenen Worten, welche Gesetzmäßigkeit dir auffällt! a 8 000 000 __ 3 8 000 8 0,008 178 H 0,000008 √ a Berechne ohne Taschenrechner! __ 3 3 a) 3 • (√ 5 ) 3 179 __ 3 b) 5 • (√ 2 ) 3 ___ 3 c) 10 • (√ 27 ) 3 ____ d) 9 • (√ 125 ) 3 3 H __ 5 • (√ 8 ) 3 = 5 • 8 = 40 Berechne im Kopf! Kontrolliere mit dem Taschenrechner! __ 3 3 2 __ d) ( 3 • __ 4 ) 3 __ e) (__ 5x • 3√ –x ) 3 __ f) (__ 3x • 3√ x ) 3 __ √ a) (__ 56 • √ 4 ) 3 3 3 __ b) (__ 34 • √ 4 ) 3 __ 3 1 1 __ c) ( 2 • __ 4 ) 3 √ Ergänze die Tabelle! a b c 2 3 4 1 4 –2 2 10 0,1 –1 5 0,2 3 __ a • (√ b ) 3 180 __ H __ 8 5 (__ 23 • √ 4 ) 3 = (__ 23 )3 • (√ 4 ) 3 = __ 27 • 4 = 1 __ 27 3 3 __ 3 √ b • ( c ) 3 __ 3 √ c • ( a ) 3 3 __ a3 • b3 • (√ c ) 3 Die Masse eines Würfels beträgt 10 kg. Berechne die Kantenlänge des Würfels! a) Goldwürfel (ρ = 19 300 kg/m3) 181 H 182 H b) Glaswürfel (ρ = 2 400 kg/m3) c) Fichtenholzwürfel (ρ = 500 kg/m3) d) Korkwürfel (ρ = 300kg/m3) e) Erkläre, warum der Holzwürfel schwimmt und der Metallwürfel sinkt! Forsche im Internet nach, welcher in Wien lebende Rechenmeister das Zeichen √ als Erster in einem Buch vewendete! Genial! Mathematik 4 genialMathematik_4_k2.indd 35 35 27.07.11 13:18 Zahlenrätsel Trage die Zahlen von 1 bis 19 derart in die Sechsecke ein, dass die Summe der Zahlen jeder Reihe, die mit einem Pfeil markiert ist, 38 ergibt! Versuche die Zahlen von 1 bis 12 so auf die Kreise des Sterns zu verteilen, dass die Summe jeder der insgesamt sechs Reihen 26 beträgt! 38 genialMathematik_4_k2.indd 38 Genial! Mathematik 4 27.07.11 12:48 Unser Taschenrechner 1a 1 Berechne! a) (+15) – (+7) 1b b) 24,3 + (–14,9) c) (–1,5) • (–2,5) d) 7,2 : (+4) 1c 1d 2a 2 Berechne! 2b b) (– __ 37 ) • (+ __ 25 ) a) (+ __ 23 ) • (– __ 46 ) d) (– __ 29 ) : (+ __ 18 ) 20 c) (+ __ 19 ) : (– __ 23 ) 2c 2d 3a Berechne im Kopf! 3 a) (+5) b) (–6) 2 ____ 3b _____ c) √ 169 2 d) √ 1 600 3c 3d 4a 4 Vereinfache! _____ a) √ 16 • 3 ___ b) √ 3x2 __ __ c) 2 √ 7 + 3 √ 7 __ __ d) 2 √ x + 3 √ x 4b 4c 4d 5 Ordne die Wurzeln richtig zu! __ __ __ __ ___ ___ ___ ___ ___ √ 2 ; √ 3 ; √ 4 ; √ 9 ; √ 12 ; √ 16 ; √ 25 ; √ 32 ; √ 36 5 rationale Zahlen irrationale Zahlen Berechne! 6 7 ___ 8 a) __ 27 √ 6a __ b) __ 18 √ 3 3 3 ___ ____ 3 c) (√ –8 ) 3 d) √ –125 6b 6c 6d 7a Berechne! a) [(– __ 16 ) + (– __ 13 )] • [(– __ 38 ) – (– __ 14 )] b) (–1,4) – (–1,6) • (–0,3) 7b 8a 8 Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen! (x, y > 0) ____ ___ ____ 64x a) √ 50 b) √ 128 c) ____ 31y2 _____ 2 d) _____ 200x xy2 √ √ 36xy a) _____ ___ √ 6xy 8c 8d 9a Mache den Nenner rational! (x, y, z > 0) 9 8b 9y2 b) ____ __ √ 3y __ c) ______ 1 + __ 3 √ √ 2 9b 9c 10 10 Beschreibe mit eigenen Worten die Eigenschaften der irrationalen Zahlen und nenne Beispiele! 11a Berechne! 11 __ a) (__ 16 • √ 5 ) 3 3 __ b) (__ 23 • √ 4 ) 3 3 3 ____ c) 8 • (√ 125 ) 3 11b 11c Kontrolliere die Ergebnisse auf den Ergebnis-Seiten und kreuze die richtig gelösten Beispiele im Balken an! Genial! Mathematik 4 genialMathematik_4_k2.indd 39 39 27.07.11 12:48 5 5 Gleichungen ▶ Löse die Gleichungen durch Überlegen! ▶ Schreibe als Formel an! Schreibe für Mädchen M, Hund H, Katze K und Geldsack G! __________ = __________ + __________ __________ = __________ __________ = 1H __________ + __________ = _______________________ 84 genialMathematik_4_k5.indd 84 Genial! Mathematik 4 27.07.11 13:15 5 Gleichungen 5 ▶ Gib alle gefundenen Lösungsmöglichkeiten als Formel an! ▶ Erkläre, wie du vorgegangen bist 1 M = _____________________ 1 M = _____________________ 1 M = _____________________ 1 M = _____________________ + _____________________ 1 H = _____________________ 2 H = _____________________ 2 H = _____________________ 4 K = _____________________ 4 K = _____________________ 6 G = _____________________ 6 G = _____________________ Genial! Mathematik 4 genialMathematik_4_k5.indd 85 85 27.07.11 13:15