1 Begriffe und Grundlagen - koppatz

1 Begriffe und Grundlagen
1.Summand + 2. Summand = Summenwert
Summe
Minuend - Subtrahend = Differenzwert =Abweichung= Unterschied
Differenz
a + a + a …….+ a = n * a (Produkt)
Produktrechnung:
Multiplikant * Multiplikator = 1.Faktor * 2.Faktor = Produktwert
Produkt
Kommutativgesetz :
(Vertauschungsgesetz)
a+b = b+a
Assoziativgesetz
:
(Verbindungsgesetz)
a+(b+c) = (a+b)+c
a * a * a …….* a= an (Potenz)
1*2*3*4*5*6*7* …*n = n! (Fakultät);
n!*(n+1) = (n+1)!
Potenzrechnung:
am * an=am+n (Bei gleicher Basis wird aus Produkt eine Addition der Exponenten)
am /an=am-n
(Bei gleicher Basis wird aus Quotient eine Subtraktion der Exponenten)
(am)n = am*n Bei gleicher Basis wird aus Potenz ein Produkt der Exponenten)
1/(a)n = a-n
a1 / n = n a ; ( a1 / 2 = a )
a m / n = (n a )m = n a m
(a*b)n = an * bn
Binomische Formeln:
(a+b)2
= a2 + 2ab + b2
(a-b)2
(a+b)(a-b)
= a2-2ab+b2
= a2-b2
Formeln für besondere Zahlen
Ganze oder natürliche Zahlen:
Ungerade Zahlen:
Gerade Zahlen:
k
2k-1 oder 2n+1
2k
Bruchrechnung:
Bruch =
Zähler
Nenner
Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht (Nenner gleich) und
die Zähler addiert bzw. subtrahiert.
Brüche werden mit einander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner
multipliziert. Brüche werden durch einander dividiert, indem man mit dem Kehrwert
multipliziert
Kreisumfang: U = 2*π*radius =π*durchmesser
Kreisfläche: A = π(radius)2
Kreiskegel = Kegel, dessen Grundfläche ein Kreis ist
Oberflächeninhalt = Mantelflächeninhalt + Grundflächeninhalt (Fläche = Inhalt = Idioten)
Verhältnis (Dreisatz, Ähnlichkeit, Proportionalität):
A
A
Dreisatz : 1 = 2
B1 B2 ; in Worten A verhält sich zu B wie A zu B
1
1
2
2
Strahlensatz: Ist Dreisatz bei geometrischen Figuren
Verhältnis (Inneres-, Äußeres Verhältnis):
a
0
b
2
1
4
4
3
6
5
7
c
Inneres Verhältnis: a:b=4:3 (a=4; b=3; c=a+b=7)
äußeres Verhältnis: a:c = 4:7
Inneres in Äußeres umrechnen : 4:3 => 4:(4+3) =4:7
Äußeres in Inneres umrechnen : 4:7 => 4:(7-4) =4:3
Prozentrechnung:
12 % von A = 0,12*A
1,2 % von A = 0,012*A
A um 12 % vergrößert = 1,12*A
A um 12 % vergrößert = 1,012*A
Wenn A 87 % von B (=100%) ist, dann gilt: A=B*0,87 => B=A/0,87
Wenn A 187 % von B (=100%) ist, dann gilt: A=B*1,87 => B=A/1,87
Absoluter Fehler = Korrekter Wert – fast richtigem Wert
Relativer Fehler (in %) = ((Korrekter Wert – fast richtigem Wert)/Korrekter Wert)*100% dh.
100% ist der korrekte Wert
„1“
sin
Trigonometriche Begriffe:
Gegenkathe te
sin =
Hypotenuse
tan
Ankathete
cos =
cos
Hypotenuse
Gegenkathe te
tan =
Ankathete
Ankathete
cot = 1/tan =
„1“
Gegenkathe te
Umrechnung Grad in Rad:
Grad Rad
=
360
2 *π
Funktionen
Funktionen verheiraten zwei Zahlen miteinander zu einem Zahlenpaar.
Exponentielle Funktion:
Exponential Funktion:
y= xa
y= ax
Nullstelle: Wenn die grafische Darstellung der Funktion y = f(x) die x-Achse (dort ist y=0)
schneidet oder berührt. Dort hat die Funktion eine Nullstelle. Mathematisch: y = f(x 0) = 0; x0
heißt Nullstelle.
Mit x = 0 d.h. y0 = f(0) berechnet man die Schnittstelle mit der y-Achse (= Achsabschnitt)
Wertetabelle immer mit x = 0 berechnen, weil dieser Wert einem bei Berechnung fast geschenkt
wird und sofort den Achsabschnitt ergibt.
Es gibt mehrere Schreibweisen bei Funktionen. Y= f(x) beschreibt einen Kurvenzug, dagegen ist
Y1 = f(x1) = f(7) ein Festwert.
Wahre Aussagen liegen auf der „Kurve“.
Intervall
(Ab)Geschlossenes Intervall
offen Intervall
links offenes Intervall
rechts offenes Intervall
Vorsicht beim Ausklammern
25-8ax2-16ax≠25-8ax(x-2) sondern 25-8ax(x+2)= 25+8ax(-x-2)
Koordinatensystem
y-Achse heißt auch 0rdinate
2. Winkelhalbierende: y=-x
liegt im 2.+4. Quadranten
1. Winkelhalbierende: y=x
liegt im 1.+3. Quadranten
2. Quadrant
1. Quadrant
3. Quadrant
4. Quadrant
Höhe ist kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Gerade
Tips zum Auflösen von Gleichungen
Kreativmethode nutzen:
Geordnete oder Verfahrennutzen:
Wenn beim ersten Schritt alles klar ist
Wenn mehr als zwei Unbekannte
Wenn möglich, beide Gleichungsseiten nur mit einer Zahl
multiplizieren
Für Vorzeichen einen extra Schritt machen
8 1/4 = 8 + ¼
5x = 5*x
Oberflächeninhalt = Grundflächeninhalt + Mantelflächeninhalt
3. Zu Parabeln
- Parabeln setzten sich aus Punkten zusammen, wie eine Kette aus Perlen.
- Die Lage dieser Punkte werden in einem Koordinatensystem durch Koordinaten beschrieben
- Die Parabelfunktion “verheiratet“ die x und die y Koordinaten der Parabelpunkte
Beispiel:
1.1
3y = 2y + 2x²- 5x + 3x² + 8 – 7x
Durch umformen kann man alle Prabelfunktionen “aufräumen“, so dass sie übersichtlich werden.
1.Schritt: Aufräumen durch sortieren nach y, x², x und dem Rest:
3y – 2y = 7x² + 3x² - 5x – 7x + 8
2. Schritt: Zusammenfassen durch ausrechnen:
y = 10x² - 12x + 8
Alle quadratischen Parabelfunktionen lassen sich auf diese aufgeräumte Form
Y = ax² + bx + c mit (a,b,c, € R)
bringen.
Damit kann man prima rechnen. Wenn ich wissen will, ob ein Punkt ein Teil dieser Parabel ist,
gehe ich zum “Standesamt“ setzte mich an den “Computer“ (=Parabelfunktion) und frage, ob
seine Koordinaten miteinander verheiratet sind. Wahre Aussagen (verheiratete Zahlen) liegen auf
der „Kurve“.
Beispiel:
Liegt der Punkt P(1/6) auf der Parabel?
Dazu setzte ich in die Parabelfunktion f(x) den x-Wert “1“ ein (das schreibt man f(1):
Y = f(x) = 10x² - 12x² + 8
f(1) = 10 * 1² - 12 * 1 + 8 = 6
Das bedeutet x = 1 und y = 6 sind miteinander “verheiratet“. Damit ist der Punkt P (1/6) ein Teil
der Parabel, die durch die Parabelfunktion (Verheiratungsfunktion) beschrieben wird.
Y=f(x)= ax² + bx + c; Y=f(x)= A(x-Xs)+Ys und Y=f(x)= ... kann die Koordinaten aller Punkte
aller Parabeln, die es auf der Welt gibt, beschreiben. Die Darstellungsformen sind äquivalent, d.h.
lassen sich ineinander umrechnen, eine Standardaufgabe für Schüler.
Parabeln der Welt eine ganz bestimmte ausgewählt. Es ist eine häufig von Lehrern gestellte
Aufgabe, für eine ganz bestimmte Parabel, die durch Eigenschaften beschrieben wird, die
Koeffizienten zu ermitteln. Drei Informationen bzw. Angaben sind erforderlich, um die drei
Parameter zu bestimmen. Das kann der Ausdruck Normalparabel (a = A = 1), die Nullstellen, der
Scheitelpunkt, der Maximal- oder Minimalwert oder ….. sein. Der Erfindungsreichtum der
Lehrer ist nahezu unbegrenzt.
Mitternachtsformel für y = 0 Nullstellen einer quadratischen Parabel:
y = f ( x ) = ax 2 + bx + c
b
b
c
b
± ( )2 − = −
± D
2a
2a
a
2a
b
c
D = ( ) 2 − = Diskri min ante
2a
a
Wenn D > 0 => zwei Lösungen; D = 0 => genau eine Lösung; D < 0 => keine Lösung dh. Keine
Nullstelle
x1 / 2 = −
4. Wachstum
Linear:
Alle Wachstumsarten lassen sich in einem XY-Diagramm als Funktion darstellen. Linearem
Wachstum entspricht eine lineare Funktion. Eine lineare Funktion erkennt man an einem
geradenförmigen Verlauf.
Abhängig
Veränderliche y
Unabhängig Veränderliche x
Lineares Wachstum: An allen Stellen der unabhängig Veränderlichen x ist die Steigung gleich.
Wenn die Steigung m=3/5 beträgt und immer gleich ist, bedeutet das, wenn ich 5 Schritte auf der
x - Achse nach rechts gehe, muß ich auf der unabhängig Veränderlichen y-Achse 3 Schritte nach
oben gehen. Die lineare Geradengleichung lautet:
y = f ( x ) = m * x + C = m * n + B ( 0)
y = Funktionswert = abhängig Veränderliche
x = unabhängig Veränderliche
C = Achsabschnitt = Anfangswert (bei x=0) =Anfangswert bei 1. Wachstumsschritt
Lineares
Wachstum
(Dreisatz)
Exponentielles
Wachstum
Begrenztes
Wachstum
„normale“ Funktion
y = f ( n ) = B ( 0) + m * n
B(0) = c
c ist Achsabschnitt für n=0
Dgln. (Verzinsung, radioaktiver Zerfall):
y ' = f ' ( n ) = k * f (t )
Lösung:
p n
y = f ( n) = B (0) * (1 +
)
100
oder auch
y = f (t ) = C * a t = C * e kt ;
C Integrationskonstante
mit k=ln(a)
Dgln. (Wasserbecken):
y ' = f ' ( n) = k * [ S − f (t )]
y = f ( n) = S − c * e − k*t
c > 0 beschränktes
Wachstum streng monoton
steigend
„rekursive“ Funktion
n ist das
Inkrement
(Einheit
z.B. Zeit;
Meter;
...) in der
y wächst
n ist das
Inkremen
t (Einheit
z.B. Zeit;
Meter;
...) in der
Begrenztes
Wachstum
Logistisches
Wachstum
c < 0 beschränkter Zerfall
streng monoton fallend
C Integrationskonstante
Schrittweiten 1,2,3,4 keine
Einheiten Monat K oder
Personen
Schrittweiten 1,2,3,4 keine
Einheiten Monat Km, oder
Personen
y wächst
B (t + 1) = B (t ) + K * [ S − B (t )]t
t ist die
Stufe mit
der
Breite …
t t ist die
B (t + 1) = B (t ) + K * B (t ) * [ S − B (t )]
Stufe mit
der
Breite …
2 Funktionen - > Schaubilder -> Graphen
Nomenklatur :
Definitionsmenge: Die Menge der Zahlen, die für x eingesetzt werden darf (oder soll).
Wozu dient sie?
1. Wenn nach der (maximalen) Definitionsmenge gefragt wird, dann gibt es Werte für x, die
nicht eingesetzt werden dürfen, z.B. bei einer gebrochen rationalen Funktion (f(x) =
Zähler/Nenner) die Nullstellen des Nenners (Polstellen) oder wenn ln(x) (ist nur für x > 0
definiert) in der Funktion enthalten ist.
2. Wenn der Lehrer die Betrachtung der Funktion auf einen bestimmten Bereich
einschränken will z.B. für x> 0 oder -10 ≤ x≤10
3. Wenn nur eine bestimmte Zahlen z.B. ganze Zahlen (…, -2,-1,0,1,2,…) betrachtet werden
soll (meist bei Folgen & Reihen)
Wertemenge oder Wertebereich: Die Menge der Zahlen, die für y bzw. f(x) rauskommt.
Wozu dient sie?
Der Lehrer will wissen, ob Du eine Vorstellung hast, was für Werte die Funktion liefert
z.B. y=f(x)=cos(x). Die Wertemenge ist -1≤y=f(x)≤1. Meist ist das sogar eine
Unterstützung zur weiteren Lösung der Aufgabe.
N:
Z oder Ga:
Q oder Ra:
R oder Re:
Menge der natürlichen Zahlen
{0,1,2,3,…}
Menge der ganzen Zahlen
{…,-2,-1,0,1,2,3, …}
Menge der rationalen Zahlen
{…,-2.5,-1,-¼,0,¼1,2,3, …}
Menge der reellen Zahlen, irrationale Zahlen {…,-1,-¼,0,¼1,
Allgemein: Verschiebung in x-Achsenrichtung durch Ersetzen von x durch (x-Verschiebung)
Weitere Definitionen:
Relatives Maximum ist der größte Wert in seiner unmittelbaren Umgebung
Absolutes Maximum ist der größte Wert im gesamten Definitionsbereich
Relatives Minimum ist der kleinste Wert in seiner unmittelbaren Umgebung
Absolutes Minimum ist der kleinste Wert im gesamten Definitionsbereich
10
8
6
4
2
0
-5
-3
-1
-2
1
3
5
-4
-6
-8
-10
2.1 Lineare Funktion
Lineare Funktion
Schaubild (Graph)
Formel:
Gerade
y = f(x) = m*x+C
Schnittpunkt mit y-Achse
(Achsabschnitt)
y0= f(0) = m*0+C=C
Schnittpunkt mit x-Achse
(Nullstellen)
0 = f(x0) = m*x0+C
=> x0=-C/m
Steigung:
y’ = f ’(x) = ∆y/∆x = m
m: Steigung;
C: Verschiebung auf y-Achse
Koordinaten Achsabschnitt:
Koo.Pkt. = (0 | C)
{genau ein Punkt}
Koordinaten Nullstelle
{genau ein Punkt}:
Koo.Pkt. = (-C/m | 0)
Eine Gerade die orthogonal (senkrecht, 90°, ⊥) auf einer Gerade mit der Steigung m steht hat die
Steigung -1/m.
Allgemein gilt übrigens:
Ein Graph S mit yS = fS(x), der an der Stelle x S orthogonal (senkrecht, 90°, ⊥) auf einem Graph O
mit yO= fO(x) steht hat dort (an der Stelle x S ) die Steigung yS’ = fS’(xS) = - 1/ fO’(xS)
m*x+C
α
Gerade:
tan(α) = ∆y/∆x
Senkrechte: tan(β) = cot(α)=∆y⊥/∆x⊥= -∆x/∆y
α
∆y
∆y⊥
∆x
β
∆x⊥
2.2
Quadratische Funktion
Quadratische Funktion
Schaubild (Graph)
Formel (1):
Formel (2):
Schnittpunkt mit y-Achse
(Achsabschnitt)
Parabel
g = f(x) = ax2 + bx + c oder
g = f(x) = A (x-B)2 +C
y0= f(0) = c
y0=f(0) = A*B2 + C
Schnittpunkt mit x-Achse
(Nullstellen)
0 = ax2+bx+c =>
2
 b 
 b  c
− ±   −
 2a  a
x1/2 =  2a 
B±
C
A
x1/2 =
y’ = f ’(x) = 2ax + b oder
y’ = f ’(x) = 2A(x – B)
Steigung:
Min/Max/Extremum
y’ = 0 = x = -b/2a
y’ = 0 = x = B
Möglich ist: 1. Keine Nullstelle
2. Eine Nullstelle
3. Zwei Nullstellen
2 Möglichkeiten
Koordinaten Achsabschnitt:
Koo.Pkt. = (0 | C) oder
(0; AB2 + C) {genau ein
Punkt}
Nullstellen :
Keine, eine oder zwei
B: Verschiebung auf x-Achse
Parabel:
y = f(x) = A*(x-B)2 + C
A: Streckungsfaktor
C: Verschiebung auf y-Achse
2.2.1 Quadratische Gleichungen mit Substitution
Oft kommt es vor, dass eine kompliziert aussehende Gleichung durch Substitution in zwei
Schritten einfach gelöst werden kann
Beispiel:
e 2 x − 2e x+1 − 2e = 0; Substituti on : z = e x => z 2 − 2e * z x * −2e = 0 => z = e ± (e) 2 + 2e 2 = e ± e 1 + 2
Substituti onrückgani gmachen
z = e x = e(1 ± 3 ) => x = ln(e(1 + 3 )) = ln(e) + ln(1 + 3 ) = 1 + ln(1 + 3 );−vor 3entfällt
Statt ex könnten auch sin(7x+2), cos(..) oder Sonstiges substituiert werden müssen.
2.3 Transzendente Gleichungen
x auf einer Seite isolieren und dann Äquivalenzoperationen durchführen
Beispiel:
e ( 2 x + 35) / 7 = −e x +1 + 9a − 2e 20
2.4 Trigonometrische Funktionen (sin ;cos)
Trigonometrische Funktionen (sin ; cos)
Schaubild (Graph)
Formel:
Welle
y = f(x) = A. sin [b . (x-c)] +d
Schnittpunkt mit y-Achse
(Achsabschnitt)
y0= f(0) = A . sin [b . (-c)] +d
Schnittpunkt mit x-Achse
0 = f(x0) = A. sin [b . (x-c)]+d
x = 1/b*arcsin(-A/d) +c
(Nullstellen)
[b . (x[b . (x[b . (xX ∈R
Max
Min
Extremum
Definitionsmenge oder bereich
Wertemenge oder -bereich
Koordinaten Achsabschnitt:
Koo.Pkt.=(0;Asin[-(b . c)]+d)
{genau ein Punkt}
Koordinaten Nullstelle:
Koo.Pkt.=
(1/b*arcsin(-A/d)+C | 0)
Anz. Nullstellen: unendlich
Anz.Nullstellen in Periode: 2
±
±2
±
-A+d ≤ y ≤ A+d
Hängt von A un d ab
T=1/b
2*A
d
t
c
c: Verschiebung auf x-Achse
Parabel:
y = f(x) = A. sin [b . (x-c)] +d
A: Amplidude
y-Strecken
d: Verschiebung auf y-Achse
b: Frequenz 1/T (x-stauchen)
Besondere Punkte:
Nullstellen
Maximum
Minimum
A. sin [b . (x-c)] +d
mit GTR
mit GTR
y=d+A
( 4k + 1)π
x=
+c
2b
y=d−A
( 4k + 3)π
x=
+c
2b
A. cos [b . (x-c)] +d
mit GTR
mit GTR
y=d+A
2 kπ
x=
+c
b
y=d−A
( 2k + 1)π
x=
+c
b
Wendepunkt
steigend
Wendepunkt
fallend
Schnittpunkt
mit y=d
2 kπ
+c
b
( 2k + 1)π
x=
+c
b
Wendepunkte
( 4k + 3)π
+c
2b
( 4k + 1)π
x=
+c
2b
Wendepunkte
d
x=
x=
d
Wendepunkte
d
d
Wendepunkte
2.4.1 Trigonometrische Gleichung lösen:
2.4.1.1 Erste Möglichkeit
1) Basislösung finden:
sin[b(x-c)] = cos[b(x-c)] =
0
1/2
1
1
2
2
1
tan[b(x-c)] =
1
1
2
3
1
2
2
cot[b(x-c)] =
0
3
2
1/2
0
1
--3
3
3
1
3
---
1
1
3
0
3
[b(x-c)]
[Rad]
0
π/6
[b(x-c)]
[Grad]
0
30°
π/4
45°
2π/6 = π/3
60°
π/2
90°
2) Gleichung auflösen: [b(x-c)] = … => x = 1/b*(…) + c
3) Periode berechnen: p = 2π/b
4) Periode addieren und subtrahieren solange Ergebnisse in Intervall fällt
2.4.1.2 Zweite Möglichkeit
1) Bei exotischen Zahlen z.B. sin[b(x-c)]=0,27458 oder mechanischem Vorgehen normal
auflösen, das heißt
2) Außer für arcsin(x)=1 und arccos(x)=1 haben die beiden Funktionen immer zwei
Lösungen, nämlich die Hauptlösung xH (zeigt der Rechner an) und eine Nebenlösung x N =
180°-xH bzw. xN = π-xH für arcsin und xN = 360°-xH bzw. xN = 2π-xH für arccos.
3) Durch intelligentes Ausprobieren alle k ermitteln, bei denen die Lösung noch in das
erlaubte Intervall fällt.
sin(x)
Integrieren
Differenzieren
-cos(x)
cos(x)
- sin(x)
2.5 Gebrochenrationale Funktionen
Nomenklatur :
N:
Menge der natürlichen Zahlen
Z oder Ga:
Menge der ganzen Zahlen
Q oder Ra:
Menge der rationalen Zahlen
R oder Re:
Menge der reellen Zahlen
f ( x) =
{1,2,3,…}
{…,-2,-1,0,1,2,3, …}
{…,-2.5,-1,-¼,0,¼1,2,3, …}
{…,-1,-¼,0,¼1,
an ∗ x n + an−1 ∗ x n−1 + ... + a0
( x − Z n ) * ( x − Z n−1 )......( x − Z1 )
=
m
m−1
bm ∗ x + bm−1 ∗ x + ... + b0 ( x − N m ) * ( x − N m−1 )......( x − N1 )
Zn sind Nullstellen im Zähler
Nm sind Nullstellen im Nenner
f(x) ist am größten wenn der Zähler groß und der Nenner klein ist, f(x) ist am kleinsten wenn der
Zähler klein und der Nenner groß ist.
Die Definitionsmenge ergibt sich zu Re\{Nm, Nm-1, …N0}
An den ausgenommenen Stellen {N m, Nm-1, …N0} hat f(x) eine Definitionslücke.
f(x) hat überall dort Nullstellen, wo das Zählerpolynom Nullstellen hat (notwendige Bedingung)
und das Nennerpolynom keine Nullstelle hat.
f(x) hat überall dort einen Pol mit orthogonaler (senkrechter) Asymptote (x Asympthote= Nm), wo
das Nennerpolynom Nullstellen hat (notwendige Bedingung) und das Zählerpolynom keine
Nullstelle hat.
An allen Stellen, an denen Zähler- und Nennerpolynom gleichzeitig eine Nullstelle haben ist die
Definitionslücke auf dem grafischen Taschenrechner nicht zu erkennen, deshalb spricht man auch
von (be)hebbarer Lücke. Zähler und Nenner werden an dieser Stelle ja gleichzeitig sehr klein.
Diese punkte müssen genauer untersucht werden:
Vorgehen wenn Pole und Nullstellen gesucht werden sollen:
1) Nullstellen des Nenners ermitteln
2) Durch Einsetzen in Zählerpolynom gemeinsame Nullstellen mit Zähler ermitteln.
3) Soweit wie möglich kürzen, d.h. es gibt keine Stellen mehr an denen Zähler und Nenner
gleichzeitig Null wird.
4) Die übrig bleibenden Nullstellen im Zähler sind echte Nullstellen und die Nustellen des
Nenners echte Pole.
Tip: Schritt 3+4 kann man sich bei Zeitnot schenken, wenn man annimmt, dass im Abbi keine
Aufgaben mit mehrfachen gemeinsamen Nullstellen im Zähler- und Nennerpolynom
vorkommen. Sicher ist das aber nicht!
Verhalten für x -> ±
i) n < m: Wenn der Zählergrad n kleiner als der Nennergrad m ist, dann ist y=0 die waagerechte
Asymptote
ii) n = m: Wenn der Zählergrad n gleich dem Nennergrad m ist, ist y=a/b die waagerechte
Asymptote
iii) n +1 = m: Wenn der Zählergrad n um 1 größer ist als der Nennergrad m, ist
a
an ∗ x + n−1
bm waagerechte Asymptote
y
=
Asymtote
iv) n +2
keine Asymptote
Formen von y = axn
2.6 Funktionen allgemein
Symmetrie y-Achse (d.h. x = 0): Eine Funktion, die zur y-Achse (spiegel)symmetrisch ist, nennt
man gerade.
Mathematisch: f(x) = f(-x)
Beispiele:
y-Achse
y-Achse
f(x) = f(-x)
f(x) = f(-x)
x-Achse
Symmetrie zum Ursprung = Punkt (0|0): Eine Funktion, die zum Ursprung punktsymmetrisch ist,
nennt man ungerade.
Mathematisch: f(x) = - f(-x)
Beispiele:
Ungerade =>
Weder gerade
Noch ungerade
Verallgemeinerung
Bei geraden Funktionen hat man sich eine besondere Achse (x=0) und bei ungeraden Funktionen
einen besonderen Punkt P(0|0), den Koordinatensystemursprung, ausgesucht. Symmetrie gibt es
auch zu beliebigen Achsen x=a oder Punkten P(b|c). Die Funktionen nennt man dann aber nicht
gerade oder ungerade
Symmetrie zu einer Achse x=a weist man folgendermaßen nach: f(a+h)- f(a-h) = 0
Plausibilitätserklärung: Der y-Wert=f(x) ist im gleichen Abstand von a gleich.
y-Achse
f(a+h) = f(a-h)
a
Symmetrie zu einem Punkt P(a|b) weist man folgendermaßen nach: f(a+h)+ f(a-h)=2b
Plausibilitätserklärung: Der y-Wert=f(a+h) ist um den gleichen Betrag ∆x größer als b wie der yWert=f(a-h) kleiner als b ist. Deshalb gilt: f(a+h)=b+∆x und f(a-h)=b-∆x. Zusammen ergibt sich
dann f(a+h)+ f(a-h)=b+∆x+b-∆x=2b.
y-Achse
f(a+h) + f(a-h) =2b
b
a
x-Achse
2.6.1 Definitionen Berühren und Schneiden
Umgangssprachlich Berühren:
Die Schaubilder haben einen gemeinsamen Punkt und kreuzen sich nicht.
Mathematisch Berühren:
a) Die Schaubilder zweier Funktionen f(x) und g(x) haben einen gemeinsamen Punkt P(x b|
f(xb)=g(xb)) und ihre Ableitung ist im Berührungspunkt gleich (notwendige
Bedingung).[!wichtig!]
b) Für die Schaubilder gilt in einer beliebig kleinen Umgebung um den Berührpunkt f(x) >
g(x), d.h. wenn f(x) unmittelbar vor dem Berührpunkt die größere Funktion war, ist sie es
auch unmittelbar danach. Die Größenverhältnisse wechseln beim Berühren nicht, im
Gegensatz zum schneiden (nicht abiturrelevant).
Definition Schneiden:
Umgangssprachlich Schneiden:
Die Schaubilder haben einen gemeinsamen Punkt und kreuzen sich.
Mathematisch Schneiden:
Die Schaubilder zweier Funktionen f(x) und g(x) haben einen gemeinsamen Punkt
P(xb|f(xb)=g(xb)) und berühren sich nicht (d.h. kreuzen sich, Ableitung in der Regel verschieden,
Größenverhältnisse wechseln)
2.6.2 Tangente an Schaubild berechnen
Eine Tangente ist eine Gerade. Die Tangentengleichung hat daher auch die Form einer
Geradengleichung nämlich:
yGerade = f Gerade ( x ) = m * x + C
yt
xt
Angenommen der Berührpunkt Pt ist bekannt, dann würde die Tangentengleichung durch den
Berührpunkt lauten:
y = f ( xt ) = m * xt + Ct
C = f ( xt ) − m * xt
f’(xt) = m = Tangentensteigung; Ct berechnen: t
=> t
eingesetzt in die Geradengleichung ergibt sich:
y = f ( x ) = f ' ( xt ) * x + f ( xt ) − m * xt = f ' ( xt ) * ( x − xt ) + f ( xt )
Für die Geradengleichung der Normale in diesem Kurvenpunkt ergibt sich übrigens analog:
1
1
( x − xN )
y = f ( x) = −
* x + f ( xN ) +
* xN = −
+ f ( xN )
f ' ( xN )
f ' ( xN )
f ' ( xN )
Beispiel für gegebenen Tangentenpunt Pt(4|f(xt)):
y = f ( x ) = ( x − 3) 2 + 5 ; P (4|f(x ))= P (4|(x -3)2+5))= P (4|6)
t
t
t
t
t
yGerade = f Gerade ( x ) = m * x + C = f ' ( xt ) * ( x − xt ) + f ( xt )
f ' ( xt ) = 2 * ( xt − 3) = 2 * ( 4 − 3) = 2
yGerade = f Gerade ( x ) = f ' ( xt ) * ( x − xt ) + f ( xt ) = 2 * ( x − 4) + 6 = 2 x − 2
Ist der Berührpunkt Pt unbekannt und stattdessen ein extern liegender Punkt gegeben, gilt das
Gleiche, nur muß jetzt zusätzlich x t bestimmt werden, um f’(x t) = m bestimmen zu können.
Beispiel für gegebenen externen Punkt Pextern durch den Tangente Schaubild berührt:
y = f ( x ) = ( x − 3) 2 + 5 ; P
extern(1|-2)
yGerade = f Gerade ( x ) = m * x + C = f ' ( xt ) * ( x − xt ) + f ( xt )
f ' ( xt ) = 2 * ( xt − 3)
yGerade = f Gerade ( x ) = f ' ( xt ) * ( x − xt ) + f ( xt ) = 2 * ( xt − 3) * ( x − xt ) + ( xt − 3) 2 + 5
Das gilt noch für jeden beliebigen Punkt Pextern. Der Bedingung, dass die Tangente durch
Pextern(1|-2) gehen soll ergibt sich durch Einsetzen
yGerade = −2 = f Gerade (1) = f ' ( xt ) * (1 − xt ) + f ( xt ) = 2( xt − 3)(1 − xt ) + ( xt − 3) 2 + 5
yGerade = −2 = f Gerade (1) = ( 2 xt − 6)(1 − xt ) + ( xt − 3) 2 + 5 = 2 xt − 2 xt − 6 + 6 xt + xt − 6 xt + 9 + 5
2
2
yGerade = −2 = f Gerade (1) = − xt + 2 xt + 8
x
2 x 10 0
=> t − t − = =>
2
2
xt1 / 2 = 1 ± 12 + 10 =1 ± 11 = 4,32 ∨ ( −2,32) => Zwei Tangenten möglich
Jetzt können die Tangentensteigungen berechnet werden:
f ' ( xt1 / 2 ) = 2( xt1 / 2 − 3) = 2 * ( 4,32 − 3) ∨ 2 * ( −2,32 − 3) = 2,64 ∨ ( −10,64)
Jetzt können die Tangentengleichungen berechnet werden:
yGerade1 = f Gerade1 ( x ) = f ' ( xt ) * ( x − xt ) + f ( xt ) = 2,64( x − 4,32) + ( 4,32 − 3) 2 + 5 = 2,64 x − 4,66
yGerade2 = f Gerade2 ( x ) = f ' ( xt ) * ( x − xt ) + f ( xt ) = −10,64( x + 2,32) + ( −2,32 − 3) 2 + 5 = −10,64 x + 8,62
yt
xt
Pexte
rn
3 Differential- und Integralrechnung
Tips zum Ableiten:
Ableiten von ausmultiplizierten Produkten ist oft einfacher als Anwendung der Produktregel.
Differenzieren und Integrieren sin(x) und cos(x)
sin(x)
Differenzieren
Integrieren
-cos(x)
cos(x)
- sin(x)
Grundintegrale bzw. Ableitungen
F(x)
1/(r-1)xr+1
ex
f (x)
xr
ex
ax
f’ (x)
rxr-1
ex
ax *ln(a)
ln[f(x)]
½*[f(x)]2
ln(x)
alog(x)
tan(x)
1/f(x)
-f’(x)/f(x)
f’(x)*f(x)
1/x
1/x*ln(a)
1/cos2(x)
-f’(x)/[f(x)]2
Optimierungsaufgaben:
Wann ist eine abhängig veränderliche Größe y (Fläche, Volumen, Geld …) extremal (dh. nimmt
ein Maximum. oder Minimum an), abhängig von der Veränderung einer anderen Größe X? Oft
darf diese veränderliche Größe (unabhängige Variable) nur in bestimmten Grenzen (Intervall [x l,
xr]) verändert werden.
Vorgehen:
1. Eine Formel aufstellen mit der der gesuchte Wert (Fläche, Volumen) in Abhängigkeit von
dieser veränderlichen Größe dargestellt wird.
2. Prüfen, welche Werte Y an den Intervallgrenzen [x l, xr] annimmt.
3. Formel ableiten und nach Extremum suchen
4. Werte an der Stelle von Extremum berechnen
5. Entscheiden, welcher Wert der richtige ist (relative Extrema oder die Ränder)
Verbale Zuordnung ( trifft oft zu aber nicht immer)
f(x)
f’(x)
f’’(x)
Anzahl (Bakterien,
Zunahme, Zuwachs,
Beschleunigung. Maximaler
Flüssigkeit, Geld)
Zulauf-Rate, allg.-Rate,
Zuwachs/Schwund)
Wegstrecke
Schwund, Abnahme,
Geschwindigkeit
Angekommen Personen
Ankommende Personen
Besondere Punkte für Kurvenvergleiche
Besondere Punkte für Kurvenvergleiche
f(x)
f’(x)
f’’(x)
Maximum
< 0 statt
=0∧
Vorzw. + -> - Vorzw.
Minimum
> 0 statt
=0∧
f’’’(x)
-------
Wendepunkt
Sattelpunkt =
Wendepunkt
mit Steigung 0
Vorzw. - -> +
Max. ∨ Min
=0
Vorzw.
=0∧
Vorzw.
=0∧
Vorzw.
≠ 0 statt
Vorzw.
≠ 0 statt
Vorzw.
Rechtskrümmung: Kurve wird immer weniger steil dh. 2-te Ableitung (Steigung der Ableitung)
ist negativ.
y’= 1.Ableitung = const
y’’= 2.Ableitung = 0
=> gerade Strecke
=> kein Nachlenken
y’= 1.Ableitung wird
immer größer
y’’= 2.Ableitung > 0
=> Linkskurve
=> Nachlenken
y’= 1.Ableitung wird
immer kleiner
y’’= 2.Ableitung < 0
=> Rechtskurve
=> Nachlenken
Linkskrümmung: Kurve wird immer steiler dh. 2-te Ableitung (Steigung der Ableitung) ist
positiv.
Volumen von Rotationskörpern berechnen mit Rotationsformel:
Wenn die Funktion f(x) um die x-Achse (y=0) rotiert, dann schließt sie ein Volumen von
V = π ∫ f ( x ) 2 dx
ein.
Wenn die Funktion f(x) um die parallele zur x-Achse y=c rotiert, dann schließt sie ein Volumen
V = π ∫ [ f ( x ) − c ]2 dx
von
ein. Das heißt man muß die Funktion erst auf die x-Achse
„runterholen“.
Wenn die Funktion f(x) um eine Gerade y=mx+c rotiert, dann schließt sie ein Volumen von
V = π ∫ [ f ( x ) − ( mx + c )]2 dx
ein. Das heißt man muss die Funktion erst auf die x-Achse
„runterholen“.
Bestimmtes Integral:
b
∫ f ' ( x)dx =
f (b ) − f ( a )
a
wird evtl gebraucht um von der Ableitung auf die Stammfunktion zu
schließen.
Beispiel: Ist f(0) > f(x 1); Nein weil zwischen 0 und x1 die Ableitung überall größer als 0 ist, die
Stammfunktion also steigt. Wie viel größer f(0) als f(x 1) ist lässt sich berechnen aus dem
b
bestimmten Integral
f ( x1 ) = ∫ f ' ( x ) dx + f ( a ) = Fläche + f ( a )
a
4 Vektorrechnung
Die Spurpunkte einer Ebene sind deren Schnittpunkte mit den Achsen x 1, x2 und x3 des
Koordinatesystems. Man erhält sie z.B. für x 1 indem man in die Ebenengleichung für x 2 und x3
Null einsetzt. Genauso verfährt man mit den anderen Achsen x 2 und x3.
E(x1,0,0)=0 => Spurpunkt x1-Achse (x1,0,0)
E(0,x2,0)=0 => Spurpunkt x2-Achse (0,x2,0)
E(0,0,x3)=0 => Spurpunkt x3-Achse (0,0,x3)
4.1 Geraden
Geradengleichung
Gerade _ A : x A = p A + s * u A
Gerade _ A : x B = p B + t * u B
Lage zweier Geraden zueinander: Parallel, Identisch (ist auch parallel), Windschief, schneiden
sich
(Übungsaufgaben: Duden Abiturhilfen Lineare Algebra S.40+41)
1. Parallel (echt parallel und unecht parallel)
Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind linear abhängig, d.h Nachweis:
u A = k *uB;k ∈ R
2. Identisch (ist auch parallel, unecht parallel)
Die Geraden müssen Parallel sein und haben mindestens einen Punkt gemeinsam.
Wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben, haben sie alle Punkte gemeinsam.
Nachweis: a) Gerade _A und Gerade_B sind Parallel (s. Punkt 1)
b) Beliebigen Punkt z.B. pA in Geradengleichung der Gerade _B einsetzen und
kontrollieren, ob auf Gerade_B liegt.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Windschief
Geraden sind nicht parallel und schneiden sich nicht
Nachweis: wie bei 4. nur kein Schnittpunkt
4. Schneiden sich (in genau einem Schnittpunkt)
Bsp:
5
1
 4
 3
 
 
 
 
Gerade _ g : x =  4  + k * 1,5 ; Gerade _ h : x =  2  + l *  4 
11
2
8
5
 
 
 
 
1. Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind linear unabhängig, weil es kein m ∈ R
 1   3
   
m * 1,5  =  4 
 2  5
    erfüllt. Deshalb sind g und h weder echt noch unecht parallel.
gibt, dass
Deshalb Untersuchung auf windschief oder schneiden in 2.
5
1
 4
 3
 
 
 
 
Gerade _ g =  4  + k * 1,5  = Gerade _ h =  2  + l *  4 
11
2
8
5
 
 
 
 
5
 1   4
 3
 5−4 
 3
 1   1   3l − k 
 
   
 


 
    

 4  + k * 1,5  =  2  + l *  4  =>  4 − 2  = l *  4  − k * 1,5  =  2  =  4l − 1,5k 
11
 2  8
5
11 − 8 
5
 2   3   5l − 2k 
   
 


 
    

2.  
=> k=3l-1 => 2=4l-[1,5*(3l-1)] => 2=-0,5l+1,5 => 0,5=-0,5l => l = -1 => k= -4
Wenn jetzt auch die noch nicht benutzte Gleichung für die 3. Koordinate für k = -4 und l
= -1 richtig (erfüllt) ist, dann schneiden sich die Geraden. Wenn die Gleichung nicht
richtig ist, dann sind die Geraden windschief.
Gleichung für 3 Koordinate: 3=5l-2k=5*(-1)-2*(-4)=3 => Gleichung gilt und der
Schnittpunkt lautet:
5
1  1 
 4
 3  1 
 
   
 
   
Gerade _ g : x =  4  + ( −4) * 1,5  =  − 2 ; Gerade _ h : x =  2  + ( −1) *  4  =  − 2 
11
2  3 
8
5  3 
 
   
 
   
Es ist also gleich, welche Geradengleichung man zum Ausrechnen des Schnittpunktes
benutzt.
3. Abstand zwischen echt parallelen und windschiefen Geraden g und h ermitteln
i) Ebene E durch Gerade g parallel zu h legen
ii) beliebigen Punkt A von h auswählen
d(A, E) =
iii) Abstand von A und Ebene E berechnen [
4.2 Ebenen
Ebenenbeschreibung in drei Formen
n* A− c
n
]
Parameterf orm : x = p + s * u + t * v
Normalenfo rm : ( x − p ) * n = 0
Hessesche _ Normalform : ( x − p ) *
n
n
= 0;
Koordinate nform : x1 * n1 + x2 * n2 + x3 * n3 = const .; kommt _ von : ( x − p ) * n = 0 ⇒ x * n = p * n
Frage:
Lage der Ebenen zueinander: 1. Schneiden sich
2. Parallel
2a. parallel und nicht identisch
2b. parallel und identisch
4.3
Abstände berechnen
4.3.1 Punkt - Punkt
Abstand D zweier Punkte P1(x1|y1|z1)und P2(x2|y2|z2):
d = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
4.3.2 Punkt - Gerade
Abstand Punkt Q mit Ortsvektor q von Gerade g: x = p + s * u
P
( p − q)
Q
u
d
d = ( p − q ) 2 − [( p − q ) *
u
u
]2
Phytagoras: d 2 + [( p − q ) * u ]2 = ( p − q ) 2
4.3.3 Punkt – Ebene
x * n = x1 * n1 + x2 * n2 + x3 * n3 = b
Abstand Punkt P mit Ortsvektor p von Ebene E:
mit
Normalenvektor n :
d=
n1 * p1 + n2 * p2 + n3 * p3 − b
n12 + n22 + n32
4.3.4 Gerade – Gerade parallel
Beliebigen Punkt auf einer Geraden auswählen und dann Punkt Gerade Kap. 4.3.2 anwenden
4.3.5 Gerade – Gerade windschief
Abstand windschiefer Geraden g: x = p + r * u und h: x = q + s * v
d = ( p − q) *
u⊗v
u⊗v
= ( p − q) *
n
n
4.3.6 Gerade – Ebene
Beliebigen Punkt auf einer Geraden auswählen und dann Punkt Ebene Kap. 4.3.3 anwenden
4.3.7 Ebene - Ebene
4.4
Winkel berechnen
4.4.1 Gerade – Gerade
Geht nur wenn sich die Geraden g: x = p + r * u und h: x = q + s * v schneiden.
Winkel: cos α =
u *v
u *v
;α
4.4.2 Gerade – Ebene
= arccos(
u *v
)
u *v
Gerade g: x = p + r * u und E: ( x − p ) * n = 0 schneiden
α = arcsin(
u*n
u *n
= 90° − arccos(
u*n
);
u *n
4.4.3 Ebene – Ebene
Gerade g: E1: ( x − p ) * n1 = 0 und E2: ( x − q ) * n2 = 0 schneiden
α = ar cos(
n1 * n2
);
n1 * n2
4.5 Spiegeln
4.6 Differentialgleichungen
Für das Abi braucht man zwei davon. Differentialgleichungen sind meist nicht geschlossen
lösbar. Deshalb werden in der Schule, wenn überhaupt nur zwei vorgestellt und deren Lösung
gleich mit präsentiert, also zum auswendig lernen. Differentialgleichungen sind Gleichungen in
denen die Originalfunktion f(x) und mindestens eine ihrer Ableitungen vorkommt.
4.6.1 Differentialgleichung exponentielles Wachstum/Zerfall: f’(x)=k*f(x)
Lösung dieser D’gl: f(x) = c*ekx ; mit c als Integrationskonstante
Aufgabenstellung: Veränderungsgeschwindigkeit ist proportional Bestand ist
Typische Aufgaben:
a) Abkühlung:
z.B. heißer Kaffee. Veränderungsgeschwindigkeit = Abkühlgeschwindigkeit; Bestand =
Temperatur
b) Veränderlicher Zu- u. Abfluß:
z.B. ausfließendes Gefäß. Veränderungsgeschwindigkeit = abfließendes Wasser, das
abhängig vom Bestand ist; Bestand = Wasserstand
z.B. Bevölkerungswachstum/schrumpfung, die abhängig vom Bestand ist
Anfangsbestand bei x=0 ist c wegen f(0) = c = c*ek0 = c*e0
Wenn k gegeben ist läßt sich ohne Kenntnis vom Anfangsbestand C die Verdopplungszeit T
ermitteln und umgekehrt:
f(0)=C; f(T)=2*c=c* ekT => 2= ekT => ln(2)=kT => k=T/(ln(2))
Ebenso für Halbwertzeit:
Wenn k gegeben ist läßt sich ohne Kenntnis vom Anfangsbestand C die Halbwertzeit T
ermitteln und umgekehrt:
f(0)=C; f(T)=1/2*c=c* ekT => 1/2= ekT => ln(1/2) = kT => k=T/(ln(1/2))= - T/(ln(2))
=> beim Zerfall/Schwund ist k < 0
4.6.2 Differentialgleichung Nr.2: f’(x)=k*[S-f(x)] mit k>0
Lösung dieser D’gl: f(x) = S - c*e-kx ; mit c als Integrationskonstante
Wenn c > 0 =>beschränktes Wachstum streng monoton steigend; S = obere Schranke
Wenn c < 0 =>beschränkter Zerfall streng monoton fallend; S = untere Schranke
Typische Aufgaben wie oben doch zusätzlich konstanter Zu-/Abfluß:
Veränderlicher Zu- u. Abfluß, der abhängig vom Bestand ist und konstanter Ab- u. Zufluß:
z.B. ausfließendes Gefäß. Veränderungsgeschwindigkeit = zu-/abfließendes Wasser , das
abhängig vom Bestand ist und konstanter Ab- u. Zufluß; Bestand = Wasserstand
z.B. Bevölkerungswachstum/schrumpfung das abhängig vom Bestand ist und konstanter
Schwund u. Zunahme
Wenn f’(x)= [A-B*f(x)] umwandeln in f’(x)= B*[A/B-f(x)] ; S=A/B & k=B
Zahlenfolge:
Funktion bei der der Definitionsbereich (x ∈Na) nur die natürlichen Zahlen beinhaltet.
Monotonienachweis durch vollständige Induktion (beiFunktion reicht Ableitung)
Durchschnitt von Stichprobe
Monotonie von Folgen weist man nach durch Rechnen oder wenn gefordert mit der
Vollständigen Induktion:
an+1 < > an
Wenn rekursive Formel gegeben ist Verbindung zwischen Vorgänger und Nachfolger gegeben.
Bei geschlossener Form muß an+1 erst noch durch Einsetzen berechnet werden.
Flächenberechnung:
Bei einer Stange mit beliebigem Querschnitt berechnet sich das Volumen immer zu:
Volumen = Querschnitt * Länge
Keppler Faßregel
Newtonsche Nullstellensuche
Aufgabentypen und Tips
Kurvenvergleich f(x); F(x); 1/f(x) / Kurvendiskussion
Merkmale:
a. Verhalten: x -> ±
b. Nullstellen: y=f(x)=0
c. Pole: ……/(x-7)2
d. Asympthoten
e. Extremstellen und Wendepunkte
Lineares Gleichungssystem (LGS)
Bedeutung:
a. Zweidimensional: 5x1+3x2=10 und 4x1+20x2=-3 => Es sind Geraden
Wenn Lösung eindeutig existiert x1=3 und x2=5), schneiden sich beide Geraden in genau
einem Punkt
Keine Lösung (Widerspruch z.B. 5=7)heißt, die Geraden sind parallel (windschief gibt es
in der Ebene nicht
Beide Geraden sind identisch (Richtige Aussage und x1 und x2 entfallen z.B. 7=7)
b. Dreidimensional: 2x1+3x2+4x3=15; 2x1+3x2+4x3=15; 2x1+3x2+4x3=15 =>
Gleichungen stellen Ebenen dar.
Wenn Lösung eindeutig existiert x1=3; x2=5; x3=7), schneiden sich die drei Ebenen in
genau diesem Punkt
Keine eindeutige Lösung (Widerspruch z.B. 5=7)heißt, mindestens zwei Ebenen sind
parallel
Alle drei Ebenen sind identisch (Richtige Aussage und x1;x2;x3 entfallen z.B. 7=7)
Vollständige Funktion
Bei der vollständigen Induktion geht es darum, eine Behauptung (Monotonie, geschlossene
Formel für Folge mit gegebener rekursiver Formel für diese Folge beweisen, geschlossene
Formel für n-te Ableitung, …) etwas würde für alle (meist natürlichen) Zahlen gelten zu
beweisen.
Vorgehen:
1. Verankerung (dafür gibt es schon Punkte): Zeigen, daß die Behauptung für die erste
zugelassene Zahl (meist n=1) gilt.
2. In die behauptete Formel n durch (n+1) ersetzen.
3. Den behaupteten Sachverhlt mit der Voraussetzung herleiten
4. Zeigen, daß 3. & 4. zum gleichen Ergebnis führen
Vorsicht bei Aufgaben mit Temperaturen!!
Es handerlt sich bei der Variablen in den Differentialgleichungen fast immer um
Temperaturdifferenzen (meit zur Raumtemperatur). Bitte berücksichtigen!