05 Allgemeine Relativitätstheorie

PHYSIK IN FRAGE UND ANTWORT
1
H.Dirks
26.11.15
Zwillingsparadoxon und allgemeine
Relativitätstheorie
Aufgabe 1 Stefan und Steffi sind Zwillinge. Steffi
(System S‘) fliegt mit βr = 0,8 zum Sirius ( ∆x = 8
Lichtjahre) und zurück. Die Dauer der Beschleunigungsphasen bei Start und Umkehr sollen vernachlässigbar kurz sein.
{5/3}
a) Berechne γ r !
b) Wie stark sind die beiden nach der Rückkehr
gealtert?
{20a, 12a}
c) Welche Orts- und Zeitkoordinate hat Steffi im
System S, wenn sie mit voller Fahrt am Sirius
vorbeibraust (Ereignis )?
{8 Lj, 10a}
d) Welche Zeit t1 ' zeigt Steffis Uhr beim
Ereignis ? (Tip: Zeitdilatation)
{6a}
e) Welche Entfernung hat die Erde in Steffis System
beim Ereignis ? (Tip: Lorentzkontraktion!)
{4,8 Lj}
f) Wenn S und S‘ zum Startzeitpunkt zusammen'
fallen, welche Koordinate x E
hat die Erde beim
Ereignis im System S‘?
{-4,8 Lj}
g) Welche Zeit tE1 zeigen von Steffis System aus
betrachtet die Uhren auf der Erde beim Ereignis an? (Tip: LT oder Zeitdilatation)
{3,6 a}
h) Welche Zeit TE2 zeigen die Uhren auf der Erde
an, wenn Steffi am Sirius plötzlich stoppt? {10 a}
i) Welchen Zeitsprung machen die Uhren auf der
Erde während des Bremsvorganges aus Steffis
Sicht?
{6,4a}
k) Welche Zeit TE3 zeigen die Uhren auf der Erde
an, nachdem Steffi die Umkehrbeschleunigung
abgeschlossen hat?
{16,4a}
l) Wie lange dauert die Rückreise
- auf Steffis Uhr?
{6a}
- auf Stefans Uhr?
{10a}
- für Stefan, aber aus Steffis Sicht1?
{3,6a}
Aufgabe 2 Welcher Dopplerfaktor gilt für Steffis
Reise?
{3}
Aufgabe 3 Steffi und Stefan senden zur Kontrolle
am Silvesterabend jedes Jahres einen Lichtblitz aus.
a) In welchem Zeittakt kommen die Lichtblitze an,
wenn sich Stefan und Steffi voneinander entfernen /
annähern?
{3 Jahre / 4 Monate}
b) In welchem Takt empfängt Steffi Stefans
Lichtblitze? Wie viele sind es insgesamt?
{20}
c) In welchem Takt empfängt Stefan Steffis
Lichtblitze? Wie viele sind es insgesamt?
{12}
1
wieviel Zeit vergeht auf Stefans Uhr aus Steffis Sicht
vom Abschluss des Umkehrprozesses bis zur Rückkunft?
Aufgabe 4 Anwendung der LT:
Steffi stoppt am Sirius und fliegt dann eine Zeitlang
t ' mit der Beschleunigung g auf die Erde zu. Aus
ihrer Sicht vergeht dabei auf der Erde die Zeit t
(Wechsel der Zeitzonen!). Zeigen Sie: Wenn Steffi
von der Erde aus gesehen dabei die annähernd
konstante Entfernung l hat, gilt
t
gl
= 1+
t'
c2
Tips:
● Zu Beginn der Beschleunigung ist t = t '= 0
● Wir betrachten eine so kurze Zeitspanne, dass an
deren Ende immer noch γ r ≈ 1 gesetzt werden kann.
● Am Ende der Beschleunigungsphase ist vr = gt '
und wegen der Lorenzkontraktion l = γ r l' .
Welches Postulat ist der Ausgangspunkt der
allgemeinen Relativitätstheorie?
Gravitation und Beschleunigung haben die gleiche
Wirkung: man kann aus dem Innern einer geschlossenen Aufzugskabine nicht entscheiden, ob der
Aufzug nach oben beschleunigt, oder ob die Schwerkraft plötzlich zunimmt (weil z.B. jemand ein
kleines schwarzes Loch unten im Aufzugschacht
versteckt hat). Daher kann man die Beschleunigung
eines Bezugssystems durch ein homogenes, unendlich weit ausgedehntes Gravitationsfeld ersetzen.
Wie läuft die Zeit in einem Gravitationsfeld ab?
In einem homogenen Gravitationsfeld mit der
Fallbeschleunigung g laufen die Uhren in der Höhe
gh
h (für kleine Werte von h ) um den Faktor 1 +
c2
schneller, als am Boden.
Warum erscheinen Maßstäbe am Grunde eines
Gravitationsfeldes verkürzt?
Weil auch in diesem Fall die Lichtgeschwindigkeit
den universell gültigen Wert beibehalten muss.
Wenn die Uhren langsamer laufen, müssen zum
Ausgleich die Maßstäbe ebenfalls kürzer werden.
Diesmal aber in allen Richtungen!
Was ist der wesentliche Unterschied zwischen
a) Zeitdilatation / Lorentzkontraktion und
b) dem Gravitationseinfluss auf die Zeit / Länge?
● b) ist nicht symmetrisch, wenn man die
Beobachter vertauscht und
● die Längenkontraktion gilt bei b) für alle
Richtungen, nicht nur für die Bewegungsrichtung.
PHYSIK IN FRAGE UND ANTWORT
Aufgabe 5 Zeige: der Zeitsprung, den die Uhren auf
der Erde aus Steffis Sicht machen, während sie zur
Erde hin beschleunigt, kann durch ein Gravitationsfeld erklärt werden, das für Steffi während der
Beschleunigungszeit ∆t ' herrscht.
2
H.Dirks
26.11.15
Wie sind Kugelkoordinaten definiert?
r sin ϑ
Aufgabe 6 Für Uhren im Gravitationsfeld gilt
fo = fu (1 + gh / c 2 )
Wie groß ist die relative Frequenzabweichung
∆f / fu bei einem Höhenunterschied von 20m?
{2,18⋅10-15}
Aufgabe 7 Zeige: Wenn die Energie eines Photons
der Gravitation unterliegt, wie groß ist dann die
Frequenzverschiebung im Gravitationsfeld der Erde?
{ ∆f / fu = g ⋅ l / c 2 }
Aufgabe 8 Zeige: wenn die maximale potentielle
Energie im Gravitationsfeld der Erde
Wmax = mgRE beträgt, dann verschieben sich die
Spektrallinien der Sterne durch ihre Gravitation um
∆f GM
.
=
f
Rc 2
Welche Folge hat die Gravitationsabhängigkeit der
Zeit für Sternenspektren?
Licht von der Sternenoberfläche wird auf dem Weg
zur Erde zu niedrigeren Frequenzen hin verschoben.
Dabei gilt für die Frequenzverschiebung
(„Gravitations – Rotverschiebung“):
∆f GM
=
f
Rc 2
mit
M = Sternenmasse,
R = Sternenradius,
G = Gravitationskonstante = 6,67⋅10–11[...])
Aufgabe 9 Wie groß ist die Gravitations –
Rotverschiebung für die Sonne? ( mS = 2⋅1030 kg,
R=7⋅108 m )
{2,12⋅10-6}
z = r ⋅ cos ϑ , y = r sin ϑ sin ϕ , x = r sin ϑ cos ϕ .
Wie werden Entfernungen im gewöhnlichen Raum
in Kugelkoordinaten berechnet?
ds 2 = dr 2 + r 2dϑ2 + (r sin ϑ ⋅ dϕ) 2
Wie wirken sich Gravitationsfelder auf die Metrik
aus?
Im einfachsten Fall (kugelförmiger Stern ohne
Eigenrotation) gilt für die Berechnung des
Raumzeitintervalls die „Schwarzschild – Metrik“:
rg
dτ 2 = (1 − )c 2dt 2
r
rg
− (1 − ) −1dr 2
r
− r 2 dϑ 2
− (r sin ϑ ⋅ dϕ) 2
mit rg =
2GM
„Schwarzschildradius“
c2
( G = Gravitationskonstante = 6,67⋅10–11[...])
Aufgabe 10 Berechnen Sie den Schwarzschildradius
a) der Erde ( mE = 6⋅1024 kg)
{8,9 mm}
30
{2,96 km}
b) der Sonne ( mS = 2⋅10 kg)
Was ist ein schwarzes Loch?
Ein Stern, dessen Radius kleiner ist, als sein
Schwarzschildradius.
Ist das Universum ein schwarzes Loch?
Sein Schwarzschildradius ist größer, als sein Radius.
Deshalb können wir das Universum nicht verlassen.