Mathematik Mathematik: Funktionen Funktionen Funktionen

05.2004
Inhalt:
Definitionen
Quadratische Funktionen
-
allgemeine Form
Scheitelpunktsform
Konvertierung: allgemeine Form in Scheitelpunktsform
Die Nullstellen
Maxima und Minima
Höhere Funktionen
-
Potenzfunktion
Wurzelfunktion
Exponentialfunktion
Logarithmusfunktion
Übersicht
Funktion:
0-Stellen:
Parabel:
Hyperbel:
Funktionswert :
y=x
2
oder
ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x wird genau ein y zugeordnet!
die x Werte für y = 0, also Stellen, wo die Parabel die x-Achse schneidet
Graph aus Tabelle mit reellen Zahlen
n
-n
y = 1 / x oder y = x
y-Wert (Ordinatenabschnitt)
f(x) -> y = x
2
|
f ist eine Funktion von x, jedem x wird zugeordnet ein y, y = x
2
allgemeine Form einer quadratische Funktion:
2
y = ax + bx + c
D = R ; a, b, c ∈ R ; a ≠ 0
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Wenn a Null ist, fällt das quadratische Glied weg -> es entsteht die Gleichung einer linearen Funktion!
Charakteristisch für eine quadratische Funktion sind die Nullstellen, der Schnittpunkt mit der y-Achse
sowie der höchste bzw. tiefste punkt, der sogenannte Scheitelpunkt (Maximal- bzw. Minimalwert).
Die Scheitelpunktsform:
2
Die allgemeine Scheitelpunktsform der verschobenen Normalparabel lautet: y = (x – u) + v
Der Parameter u verschieb die Normalparabel um u Stellen in Richtung der x-Achse.
Der Parameter v verschieb die Normalparabel um v Stellen in Richtung der y-Achse.
Wenn u < 0, dann wird die Parabel nach links (Richtung –x) verschoben.
Scheitelpunktsform deshalb, weil der Scheitelpunkt S (u / v) bequem aus der Funktionsgleichung abgelesen
2
werden kann: y = (x + 2) –3
| S (-2 / -3).
Umformen von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktsform:
Beispiel:
2
y = 3x + 9x +2
2
y = 3 (x + 3x) + 2
| quadratische Ergänzung ermitteln : die Hälfte der
linearen Beizahl im Quadrat !
2
2
2
y = 3 * (x + 3x + 1.5 ) + 2 – (1.5 ) * 3
| quadratische Ergänzung hinten wieder abziehen!
2
y = 3 (x + 1.5) – 4.75
Die Nullstellen:
2
2
Jede Lösung der Gleichung 0 = ax + bx + c heisst Nullstelle der Funktion x –> y = ax + bx + c .
Eine quadratische Funktion hat keine, eine oder zwei Nullstellen.
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05.2004
Maxima und Minima:
Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ein Extremwert. Je nach Öffnung der Parabel ist dort der grösste
(Maximum) oder der kleinste (Minimum) Funktionswert. Deshalb bestimmt der Scheitelpunkt den
Wertebereich der quadratischen Funktion. Wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, so ist S ein Minimum!
Zeichnen einer quadratischen Fkt.:
Beispiel:
2
y = (x + 3) – 1
Scheitelpunkt S(-3 / -1) eintragen
2
x-Wert eintragen, y-Wert berechnen: y = ax Einheiten in Richtung der y-Achse
Ziel: wissen, welche Parameter den Graphen wie verändern sowie die Charakteristika der Funktion kennen!
Potenzfunktion:
n
y=x
n∈R
Je grösser der Exponent, desto schmaler wird der Graph !
-n
y=x
Der Graph einer Potenzfunktion mit negativem Exponent heisst Hyperbel.
Wurzelfunktionen:
1/n
y=x
Je kleiner der n-Wert, desto grösser der y-Wert.
Exponentialfunktionen:
x
y=2
a ungleich 1 und grösser als 0 (a ∈ N \ {1})
1
wenn a = 1, ist es keine Exponentialfunktion Mehr! (x = x) gäbe eine Gerade
Normalparabel geht durch den Punkt (0/1)
Logarithmusfunktion:
y = log x
Normalparabel geht durch den Punkt (1 / 0), denn a hoch 0 gleich 1
Übersicht:
y-Achse
(n*2)
(n*2 +1)
y=x
y=x
y = ax
(1 / n)
y=x
-(n*2)
y=x
y = log x
x-Achse
-(n*2 +1)
y=x
© 2004 by Reto Da Forno
2/2
Dieser Ast wird weggelassen.
Eine Fkt. ist eine eindeutige
Zuordnung!