Ubungstest 5 (mit Formelbuch und Tachenrechner)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Übungstest 5 (mit Formelbuch und Tachenrechner)
Modul: Mathematik
Datum: 1.6.2013
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: BWZ (Gruppe A) 2012/2013
1. Aufgabe
(4 Punkte)
Gegeben sind die Punkte A (0, 2, 0) und B (1, 0, 0). Bestimmen Sie den Punkt C so,
−→
dass er auf der z-Achse liegt und dass der Winkel zwischen den Vektoren AB und
−→ ◦
AC 60 beträgt.
2. Aufgabe
(4 Punkte)
Die Länge der Strecke u ist gegeben. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von u die
Längen der Strecken x und y:
y
25 o
u
x
3. Aufgabe
(3 / 2 Punkte)
Gesucht ist diejenige Parabel, die den Scheitel bei S (2, 0) hat, und die die Gerade
mit der Gleichung y = −x berührt1 .
(a) Bestimmen Sie die Parabelgleichung.
(b) Geben Sie die Koordinaten des Berührungspunktes an.
4. Aufgabe
(4 Punkte)
Bestimmen Sie die Lösung des Systems (a und b sind beliebige reelle Zahlen, wobei
a 6= b gilt):
ax − by = 1 x−y = 0 5. Aufgabe
Für welche Parameter λ ∈ R berührt die Parabel
(4 Punkte)
y = x2 − λx + λ
die x-Achse?
1
Anleitung: Machen Sie zuerst einen geeigneten Ansatz für die Parabelgleichung und richten Sie es
dann so ein, dass die Parabel mit der Geraden nur einen Schnittpunkt hat, dies ist dann der Berührungspunkt.
Mathematik
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6. Aufgabe
Welche Zahlen x ∈ R erfüllen die Ungleichung:
1.6.2013
(4 Punkte)
1
x
≥
x−2
2
7. Aufgabe
(2 / 2 / 2 / 2 Punkte)
Als Folge der hohen Fruchtbarkeitsrate in Afrika prognostizierte die UNO im Jahr
2004 eine Verdoppelung der Bevölkerung Afrikas von 900 Millionen Menschen auf
1.8 Milliarden im Jahr 2050. In Europa ist der Trend gegenläufig, seine Bevölkerung
soll gemäss Prognose im gleichen Zeitraum von 725 Millionen auf 630 Millionen
abnehmen.
(a) Wie gross ist die jährliche Abnahmerate in Europa (in %)?
(b) Die Funktionsgleichung von Afrika kann mit BA = B0 · (1 + a)t modelliert
werden. Was ist die Bedeutung der beiden Parameter B0 und a und welche
Werte weisen Sie auf?
(c) In welchem Jahr würde die Bevölkerung in Afrika auf 1 Milliarde anwachsen?
(d) Nach wie vielen Jahren T werden in Afrika doppelt so viele Menschen leben
wie in Europa? Welche Gleichung muss T erfüllen?
8. Aufgabe
(6 Punkte)
Gegeben ist die untenstehende Figur. Der Winkel α ist veränderlich, wodurch sich
der Punkt P auf dem Halbkreis bewegt. Dabei bewegt sich auch der Mittelpunkt
M des Kreises k. Bestimmen Sie den Radius des Kreises k als Funktion des Winkels
α.
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1.6.2013
9. Aufgabe
(4 Punkte)
Gegeben ist das nachfolgende Ungleichungssystem. Bestimmen Sie die Lösungsmenge graphisch:
x−y ≤ 2 x + 2y ≤ 2 x
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