Blatt 10 - Universität zu Köln

Universität zu Köln
Institut für Theoretische Physik
Statistische Physik im WS 2016/2017
Vorlesungen: Johannes Berg
Übungen: Simon Lee Dettmer
Blatt 10: Schwarzkörperstrahlung
Abgabe bis: 10:00 Freitag, den 20. Januar, 2017 (in den Briefkästen vor dem Institut für Theoretische Physik)
Besprechung: Dienstag, den 24. Januar, 2017 und Freitag, den 27. Januar, 2017.
Auf diesem Übungsblatt wollen wir unsere thermodynamischen Kenntnisse am Beispiel der
Schwarzkörperstrahlung vertiefen. Hierbei werde ein Hohlraum der Temperatur T und des Volumens V gleichmäßig von Strahlung ausgefüllt. Die Strahlung habe eine temperaturabhängige
Energiedichte u(T ) und damit ist die Gesamtenergie E = uV .
26. Stefan-Boltzmann-Gesetz (21 Pkte.)
a) (5 Pkte.) Wir betrachten zunächst das mikrokanonische Ensemble eines beliebigen Systems
mit Energie E und Volumen V . Die Thermodynamik des Systems wird beschrieben durch die
Fundamentalrelation S(E, V ). Zeigen Sie mit Hilfe der Maxwell-Relationen und der Euler’schen
Kettenregel die Beziehung
P =T
∂P
∂T
−
V
∂E
∂V
.
(57)
T
Wir wollen nun im Folgenden durch eine rein mechanische Betrachtung zeigen, dass der
Strahlungsdruck durch P = 31 u gegeben ist.
Dazu betrachten wir die Strahlung als bestehend aus Photonen mit der Energie-ImpulsRelation Eph = c|~
p|, welche an einer Wand des Hohlraums reflektiert werden. Die Wand legen
wir in die xy-Ebene, sodass der Einfallswinkel zur Flächennormalen durch den Kugelkoordinatenwinkel θ gegeben ist. Die Volumendichte von Photonen mit der Energie E sei durch ρ(E)
R
gegeben und die Energiedichte u(T ) ergibt sich daraus nach u(T ) = dEρ(E)E. Die Geschwindigkeitsrichtungen sind über alle Raumwinkel gleichverteilt. Wir nehmen ferner an, dass die
Geschwindigkeitsrichtung und die Energie der Photonen unabhängig sind.
b) (2 Pkte.) Zeigen Sie, dass die Verteilung der Einfallswinkel θ die Dichte
f (θ) =
1
sin(θ)
2
(58)
hat.
c) (5 Pkte.) Berechnen sie den Druck δP (E, θ), der durch die Photonen mit fester Energie
E und festem Auftreffwinkel θ erzeugt wird und zeigen Sie
δP (E, θ) = 2 cos2 (θ)Eρ(E)f (θ)
bitte wenden
1
(59)
d) (2 Pkte.) Integrieren sie die Druckbeiträge (59) über E und θ, um den Gesamtdruck zu
erhalten.
e) (7 Pkte.) Zeigen Sie nun mit Hilfe der Relation P (T, V ) = u(T )/3 und Gl.(57) das
Stefan-Boltzmann-Gesetz: u = σT 4 (σ ist die Stefan-Boltzmann-Konstante).
Bemerkung: Die Ausgangsgleichungen P = u/3 und E = uV sind zunächst einmal rein
mechanisch und erfordern keine Definition der Temperatur. Durch Verwendung von Gl.(57)
haben wir jedoch eine Temperaturabhängigkeit der Energiedichte berechnet, die es uns erlaubt
die absolute Temperatur thermodynamisch zu definieren.
27. Adiabatische Prozesse und Entropie der Schwarzkörperstrahlung(10 Pkte.)
In der vorigen Aufgabe haben wir den Zusammenhang u = σT 4 aus der bloßen Existenz der
Entropie-Funktion hergeleitet. An dieser Stelle wollen wir die Fundamentalrelation tatsächlich
ausrechnen und damit die adiabatischen Prozesse der Schwarzkörperstrahlung untersuchen.
a) (3 Pkte.) Wir können die Entropie schreiben als S = sV mit der temperaturabhängigen
Entropiedichte s(T ). Dies folgt daraus, dass die Entropie extensiv ist. Berechnen Sie s(T ) ausgehend von der thermischen Zustandsgleichung P (T, V ) = u(T )/3 = σT 4 /3 der Schwarzkörperstrahlung
und zeigen Sie s(T ) = 43 σT 3 .
b) (4 Pkte.) Finden Sie die Beziehungen P (V ), V (T ) und P (T ), welche für adiabatische
Prozesse der thermischen Strahlung gelten und zeigen Sie P ∼ V −4/3 , V ∼ T −3 , und P ∼ T 4 .
c) (3 Pkte.) Bestimmen Sie CV und CP .
28. Methode der Kreisprozesse (9 Pkte.)
Die Einführung der Differentiale und thermodynamischen Potentiale in die Thermodynamik
durch Gibbs hat viele Herleitungen enorm vereinfacht. Zuvor wurden thermodynamische Relationen oft durch die Methode der Kreisprozesse bewiesen. Diese beruht darauf, dass der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses universell ist und nicht vom Arbeitsmedium abhängt. Hieraus
folgen Einschränkungen an die Zustandsgleichungen des Arbeitsmediums. Als Beispiel wollen wir
hier erneut das Stefan-Boltzmann-Gesetz herleiten. Ausgangspunkt sind wieder die mechanisch
hergeleiteten Zustandsgleichungen der thermischen Strahlung: P = u(T )/3 und E = u(T )V .
a) (2 Pkte.) Skizzieren Sie den Carnot-Prozess zwischen zwei Temperaturen T und T + ∆T
für thermische Strahlung im P -V -Diagramm.
b) (4 Pkte.) Nehmen Sie nun an, ∆T sei infinitesimal klein. Zeigen Sie, dass der Wirkungsgrad unter dieser Voraussetzung gegeben ist durch
η=
∆P
P +u
c) (3 Pkte.) Der Carnot-Wirkungsgrad ist η = 1 −
das Stefan-Boltzmann-Gesetz u =
σT 4
(60)
T
T +∆T
≈
∆T
T .
Zeigen Sie, dass hieraus
folgt.
Bemerkung: Wie wir in Aufgabe 26 bemerkt haben, kann man sagen, dass das StefanBoltzmann-Gesetz die absolute Temperatur festlegt. In diesem Sinne können wir auch sagen,
dass die absolute Temperatur durch den Carnot-Wirkungsgrad festlegt wird.
2