Ungleichungen, Polynome und Vektoren
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Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik:
Ungleichungen, Polynome und Vektoren
Jochen Merker, Katja Ihsberner
Universität Rostock
10.10.2014
Jochen Merker, Katja Ihsberner
Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Ungleichungen, Polynome und Vektoren
Universität Rostock
Programm
In der ersten Vormittagskurzvorlesung wollen wir uns mit
Ungleichungen beschäftigen.
Dazu führen wir zunächst allgemein Ordnungsrelationen ein, und
diskutieren dann genauer die übliche Anordnung auf dem Körper Q
der rationalen Zahlen.
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Definition (Ordnungsrelation)
Eine Relation auf M 6= ∅ heißt Ordnungsrelation, falls gilt
∀x ∈ M : x x
(Reflexivität)
∀x, y , z ∈ M : x y ∧ y z =⇒ x z
∀x, y ∈ M : x y ∧ y x =⇒ x = y
(Transitivität)
(Antisymmetrie)
Eine Ordnungsrelation auf M 6= ∅ heißt total, falls für beliebige
x, y ∈ M stets x y oder y x gilt, also je zwei Elemente
vergleichbar sind.
Beispiel
Auf N, Z und Q ist ≤ eine totale Ordnungsrelation.
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Definition
Ein Körper (K, +, ·) heißt angeordnet, wenn auf K eine totale
Ordnungsrelation gegeben ist, die sich mit den
Körperoperationen + und · in folgendem Sinn verträgt:
1
∀x, y , z ∈ K : x y =⇒ x + z y + z
2
∀x, y ∈ K : 0 x ∧ 0 y =⇒ 0 x · y
Beispiel
Q bildet mit den üblichen Operationen + und · und der
üblichen Ordnungsrelation ≤ einen angeordneten Körper.
Z2 kann nicht angeordnet werden, denn gäbe es eine totale
Ordnung auf Z2 mit obigen beiden Eigenschaften, so folgte
aus [0]2 [1]2 nach Addition von [1]2 auch [1]2 [0]2 und
mit der Antisymmetrie dann [0]2 = [1]2 , Widerspruch.
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Weitere Eigenschaften des mittels ≤ angeordneten Körpers Q
Wir vereinbaren die Schreibweisen x < y für x ≤ y ∧ x 6= y und
y ≥ x für x ≤ y sowie y > x für x < y .
∀x ∈ Q : x ≤ 0 ⇐⇒ −x ≥ 0
∀x, y , z ∈ Q : x ≤ y ∧ z ≤ 0 =⇒ x · z ≥ y · z
∀x ∈ Q : x 2 ≥ 0
∀x ∈ Q : x > 0 =⇒
1
x
>0
∀x, y ∈ Q : y ≥ x ∧ x > 0 =⇒
∀x, y ∈ Q : x ≤ y =⇒ x ≤
x+y
2
1
x
1
y
x+y
2
≥
∧
≤y
Es stellt sich die Frage, ob es Lücken “ zwischen zwei rationalen
”
Zahlen gibt.
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√
2 6∈ Q
Die Gleichung x = x2 besitzt keine (positive) Lösung in Q, denn:
Angenommen, wir könnten zwei teilerfremde Zahlen p, q ∈ N
finden, so dass
p
2
= p ⇐⇒ p 2 = 2q 2
q
q
Demzufolge wäre p 2 gerade. Da das Produkt ungerader Zahlen
nicht gerade sein kann, müsste auch p gerade sein. Also gäbe es
eine natürliche Zahl k ∈ N mit p = 2 · k und daher
4k 2 = 2q 2 ⇐⇒ 2k 2 = q 2 .
Dies bedeutete aber, dass q 2 und somit auch q gerade wäre,
Widerspruch zur Teilerfremdheit!
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Diese bereits Pythagoras bekannte Lückenhaftigkeit“ von Q wird
”
dadurch behoben, dass wir die sogenannten irrationalen Zahlen zu
Q hinzunehmen und dann den vollständigen archimedisch
angeordneten Körper der reellen Zahlen R erhalten. Mit unserem
Schulwissen kennen wir R bisher als Menge der (endliche/
unendliche, periodische/nichtperiodische) Dezimalbrüche.
In R definieren wir die Intervalle
[a, b]
]a, b[
]a, b]
[a, b[
:=
:=
:=
:=
{x
{x
{x
{x
∈R
∈R
∈R
∈R
|
|
|
|
a≤x
a<x
a<x
a≤x
∧
∧
∧
∧
x
x
x
x
≤ b}
(abgeschlossenes
< b}
(offenes
≤ b} (links halboffenes
< b} (rechts halboffenes
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Intervall)
Intervall)
Intervall)
Intervall)
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Intervalle als Lösungsmengen von Ungleichungen
Beispielsweise sind Lösungsmengen von Ungleichungen oftmals
Intervalle bzw. Vereinigungen von Intervallen.
Beispiel (Lösen einer Ungleichung)
Die Ungleichung (x − 2)2 < 9 ist äquivalent zu x 2 − 4x − 5 < 0,
d.h. zu (x − 5)(x + 1) < 0. Somit ist die Lösungsmenge
L = ] − 1, 5[.
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Übungsaufgaben
Nehmen Sie sich die bereitliegenden Übungsaufgaben, und
verteilen Sie sich nach einer kurzen Pause auf die Hörsäle.
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In der letzten Kurzvorlesung des Vorkurses wollen wir uns mit
Polynomen und Vektoren beschäftigen.
Definition (Polynom)
Ein Polynom vom Grad n ∈ N über einem Körper K mit
Koeffizienten a0 , . . . , an ∈ K, an 6= 0K , besitzt die Gestalt
n
X
ak x k := an x n + an−1 x n−1 + . . . a2 x 2 + a1 x + a0 ,
f (x) :=
k=0
wobei man diesen Ausdruck einerseits symbolisch und andererseits
als Definition einer Funktion f : K → K verstehen kann.
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Die Nullstellen eines (normierten) quadratischen Polynoms
x 2 + px + q kann man mittels quadratischer Ergänzung
bestimmen:
2
p2
x 2 + px + q = 0 ⇐⇒ x 2 + 2 · p2 x + p4 =
−q
{z
}
|
|4 {z }
p 2
= x+ 2
liefert für D ≥ 0 die bekannte p-q-Formel x =
=:D(iskriminante)
− p2
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±
q
p2
4
−q
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Polynomdivision
Hat man eine Nullstelle a eines Polynoms höheren Grades
gefunden, so erhält man bei Division durch (x − a) ein Polynom
niedrigeren Grades, ohne dass ein Rest übrig bleibt.
(x 3
−(x 3
+2x 2
− x −2) : (x − 1) =
x 2 + 3x + 2
2
−x )
3x 2
−x
Polynomdivision ohne Rest,
−(3x 2 −3x)
falls eine Nullstelle bekannt.
2x −2
−(2x −2)
0
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Vektorräume
Aus der Schule kennen Sie die Vektorräume R2 und R3 mit
komponentenweiser Addition und Multiplikation mit Skalarem
y1
x1 + y1
x1
α · x1
x1
x2 + y2 := x2 + y2 , α · x2 := α · x2
y3
x3 + y3
x3
α · x3
x3
Zum Abschluss dieser Kurzvorlesung wollen wir den allgemeinen
Begriff eines Vektorraums ansprechen
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Definition (Vektorraum)
Sei (K, +, ·) ein Körper und (V , ⊕) eine abelsche Gruppe. Weiter
gäbe es eine äußere Verknüpfung • : K × V → V mit
1
∀v ∈ V : 1K • v = v
2
∀α, β ∈ K ∀v ∈ V : (α · β) • v = α • (β • v ) (Assoziativität)
3
∀α, β ∈ K ∀v , w ∈ V : (α + β) • v = (α • v ) ⊕ (β • v ) und
(Distributivität)
α • (v ⊕ w ) = (α • v ) ⊕ (α • w )
(Einselement)
Dann heißt V ein Vektorraum über K (kurz K-Vektorraum).
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Beispiel ((R-)Vektorräume)
Die Menge Π2 der Polynome höchstens zweiten Grades über R ist
mit
(a2 x 2 + a1 x + a0 ) + (b2 x 2 + b1 x + b0 )
:= (a2 + b2 )x 2 + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 )
und
α · (a2 x 2 + a1 x + a0 ) := (α · a2 )x 2 + (α · a1 )x + (α · a0 )
ein von R3 verschiedener Vektorraum.
Man kann Π2 jedoch durch die bijektive Abbildung
Π2 3 a2 x 2 + a1 x + a0 7→ (a0 , a1 , a2 ) ∈ R3 mit R3 identifizieren.
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Einen sinnvollen Längenbegriff für Vektoren, d.h. die Elemente
eines Vektorraumes, kann man mit Hilfe einer Norm definieren.
Definition (Norm)
Sei V ein (R-)Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung
k.k : V → R mit
1
∀v ∈ V : kv k = 0 ⇐⇒ v = 0V
2
∀α ∈ K ∀v ∈ V : kα · v k = |α| · kv k
3
∀v , w ∈ V : kv + w k ≤ kv k + kw k
(Definitheit)
(Homogenität)
(Dreiecksungleichung)
Die Nichtnegativität einer Norm folgt wieder aus den Eigenschaften
(1)
0 = k0V k
(V ,+)
Gruppe
=
(3)
(2)
kv + (−v )k ≤ kv k + k − v k = 2kv k =⇒ 0 ≤ kv k
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Beispiel
Einige Normen sind uns aus der Schule wohlbekannt, nämlich
einerseits auf R die durch die Betragsfunktion
(
x ,
x ≥0
| · | : R → R,
|x| :=
−x , x < 0
definierte Norm und andererseits auf R2 := R × R bzw. R3 die
euklidischen Norm
q
3
x12 + x22 + x32 .
k · k2 : R → R,
kxk2 = k(x1 , x2 , x3 )k2 :=
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Kurze Pause
Nach einer kurzen Pause bitten wir Sie, an einem anonymen Test
inklusive Evaluation teilzunehmen.
Anschließend nehmen Sie sich bitte die bereitliegenden
Übungsaufgaben, und verteilen Sie sich nach einer weiteren kurzen
Pause auf die Hörsäle.
Viel Erfolg beim Mathematik-Studium!
Jochen Merker, Katja Ihsberner
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