1. Die Quadratwurzel 1,1 1,1 21,1 = a )a(2 = 2. Quadratische

Maria-Theresia-Gymnasium München
Grundwissen Mathematik
9. Klasse Algebra
1. Die Quadratwurzel
Definition:
Die Quadratwurzel
a ist die positive
2
Lösung der Gleichung x = a mit a ≥ 0 . a
heißt Radikand.
Quadratwurzeln, die sich ohne
Wurzelzeichen darstellen lassen, sind
rationale Zahlen (z.B. 1,21 = 1,12 = 1,1 ),
die anderen heißen irrationale Zahlen.
Die Menge IR der reellen Zahlen umfasst
alle rationalen und irrationalen Zahlen.
Teilweises Radizieren:
Der Radikand wird so ein Produkt zerlegt,
dass ein Faktor eine Quadratzahl ist.
z.B.
192 = 64 ⋅ 3 = 8 3 ,
x5 =
Rechenregeln:
• ( a )2 = a
für a ≥ 0
•
 a , falls a ≥ 0
a2 = a = 
− a , falls a < 0
•
a⋅b = a ⋅ b
für a , b ≥ 0
•
a
=
b
für a ≥ 0 und b > 0
Achtung:
a
b
a±b ≠ a ± b
Rationalmachen des Nenners:
5
5 2
5 2
,
z.B.
=
=
2
2
2⋅ 2
x
x 4 ⋅ x = x 2 x für x ≥ 0
a− b
=
x( a + b)
( a − b )( a + b )
=
x( a + b)
a−b
2. Quadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 (a ∈ IR\{0}, b, c ∈ IR ) heißt quadratische Gleichung.
Sonderfälle:
• Eine Gleichung der Form x 2 = d (d ∈ IR)
heißt reinquadratische Gleichung.
z.B. x 2 = −9
⇒
IL = { }
x 2 − 6 = 0 ⇒ x 2 = 6 ⇒ IL = { − 6 ; 6 }
z.B. 3x 2 − 5x = 0 ⇒ x (3 x − 5) = 0
Die quadratische Gleichung lässt sich
durch Ausklammern von x in ein Produkt
⇒ x = 0 oder 3x − 5 = 0 ⇒ IL = {0; 1 32 }
verwandeln.
Lösung einer quadratischen Gleichung im allgemeinen Fall:
• Lösung mit Hilfe der Lösungsformel:
• Lösung mit Hilfe des Satzes von Vieta:
Für die Lösungen der quadratischen
Viele quadratische Gleichungen mit a = 1
2
lassen sich einfach faktorisieren.
Gleichung ax + bx + c = 0 gilt:
z.B. x 2 + 5x + 6 = ( x + ...) ( x + ...)
1 
2

x1 / 2 =
⋅  − b ± b − 4ac 
Suche zwei Zahlen, deren Summe +5 und

2a 
deren Produkt +6 ergibt
Die Diskriminante D = b 2 − 4ac bestimmt
⇒ 3 + 2 = 5 und 3 ⋅ 2 = 6
die Zahl der Lösungen:
D > 0: zwei Lösungen,
⇒ x 2 + 5x + 6 = ( x + 3) ( x + 2)
D = 0: eine Lösung,
Damit hat die Gleichung x 2 + 5 x + 6 = 0
D < 0: keine Lösung
die Lösungen x1 = −3 und x 2 = −2 .
•
Faktorisieren eines quadratischen Terms:
Hat die quadratische Gleichung
ax 2 + bx + c = 0 die Lösungen x1 und x 2 ,
so gilt:
Biquadratische Gleichung:
Eine biquadratische Gleichung der Form
ax 4 + bx 2 + c = 0 kann man durch die
2
ax + bx + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 )
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Substitution u = x 2 in eine quadratische
Gleichung umwandeln.
Januar 2004
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9. Klasse Algebra
3. Quadratische Funktionen
Der Graph der quadratischen Funktion x a ax 2 + bx + c (a ≠ 0, x ∈ IR ) heißt Parabel.
Normalparabel:
Der Graph der Funktion x a x 2 ( x ∈ IR )
heißt Normalparabel.
Scheitelform:
Aus der Gleichung y = ax 2 + bx + c erhält
man durch Ausklammern von a und
quadratische Ergänzung die Scheitelform
y = a ( x − s)2 + t der Parabel.
An der Scheitelform kann man ablesen:
• Scheitel S (s, t)
• a > 0: Parabel nach oben geöffnet
• a < 0: Parabel nach unten geöffnet
• 0 < a < 1 : Die Parabel ist breiter als
•
Wurzelfunktion:
Die Funktion x a x 2 ist für x ≥ 0
umkehrbar. Die Umkehrfunktion
x a x ( x ∈ IR) heißt Wurzelfunktion.
z.B.
die Normalparabel
a > 1: Die Parabel ist schlanker als die
y = −2 x 2 − 12 x − 7
⇒
y = −2 ( x 2 + 6 x ) − 7
(
)
⇒
y = −2 x 2 + 6x + (62 ) − (62 ) − 7
⇒
y = −2 ( x 2 + 6x + 9 − 9) − 7
⇒
y = −2 ( x 2 + 6x + 9) + 18 − 7
⇒
y = −2 ( x + 3) 2 + 11
2
2
Daran kann man ablesen:
Scheitel S (-3, 11)
schlanke, nach unten geöffnete Parabel
Normalparabel
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Januar 2004