Stochastische Prozesse Abschnitt 5

Stochastische Prozesse
Abschnitt 5
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
Wintersemester 2016/2017
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Stochastische Prozesse Abschnitt 5
Version: 2. Februar 2017
1
5. Markowsche Ketten
1. Bemerkung Eine einfache Klasse von Zufallsfolgen bilden die
Folgen von unabhängigen (oft identisch verteilten) Zufallsgrößen, die
eine große Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielen, man
denke an das Gesetz der großen Zahlen, den zentralen Grenzwertsatz
oder den Begriff der mathematischen Stichprobe.
I Sind Folgen von abhängigen Zufallsgrößen zu modellieren, ist eine
besondere und relative einfache Form der Abhängigkeit gegeben,
wenn eine gewisse Gedächtnislosigkeit“ angenommen werden kann.
”
Unterscheidet man für die Zeit als Indexmenge Vergangenheit,
Gegenwart und Zukunft, dann gibt es viele Situationen und Modelle,
bei der die zukünftige Entwicklung in der Zeit nur von der
Gegenwart, nicht aber von der Vergangenheit abhängt.
I In der deterministischen Theorie werden solche Erscheinungen z.B.
durch Differentialgleichungen oder Differenzengleichungen erster
Ordnung modelliert, eine Entsprechung in der Stochastik ist die
Markowsche Eigenschaft.
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2
Beispiel - zufällige Irrfahrt
2. Jemand startet zum Zeitpunkt 0 im Punkt 0 und in den
nachfolgenden ganzzahligen Zeitpunkten entscheidet er sich jeweils
z.B. mit Wahrscheinlichkeit 0.5 zu einem Schritt der Länge 1 nach
rechts oder links, unabhängig von den vorherigen Entscheidungen.
I Wird die zufällige Position zum Zeitpunkt n ∈ N0 durch die
Zufallsgröße ξn modelliert, erhalten wir eine Folge (ξn ; n ∈ N0 )
von diskreten Zufallsgrößen mit Wertebereich Z (man spricht von
der Zustandsmenge oder dem Zustandsraum Z), die nicht
unabhängig voneinander sind. Kennen wir aber die Realisierung
ξn (ω) für ein n ∈ N , dann hat durch die Unabhängigkeit der
Entscheidungen die Folge der Schritte bis zu diesem Zeitpunkt n
keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten für zukünftige
Positionen (Zustände), insbesondere gilt für ik ∈ Z ; k, n ∈ N ,
P(ξn+1 = in+1 |ξn = in , ξn−1 = in−1 , . . . , ξ1 = i1 )
= P(ξn+1 = in+1 |ξn = in )
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(falls definiert) .
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3
Voraussetzung
3. Voraussetzung
Wir betrachten in diesem Kapitel Folgen (ξn ; n ∈ N0 ) von
Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung, als mögliche Werte werden
wir die endliche Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen
X := {1, 2, . . . , r } mit r ∈ N betrachten, diese Menge wird auch
Zustandsmenge oder Zustandsraum und deren Elemente als
Zustände bezeichnet. Die Zustandsmenge wird mit der Potenzmenge
P(X) als σ−Algebra aller Teilmengen ausgestattet und ergibt den
messbaren Raum (X, P(X)) .
Wir werden weiterhin immer voraussetzen, dass gilt
∀ i = 1, . . . , r ∃ n ∈ N0 : P(ξn = i) > 0 .
I
Die nachfolgende Definition einer Markowschen Kette kann analog
für abzählbar unendliche Zustandsmengen und auch für den
zeitstetigen Fall gegeben werden.
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4
Definition
4. Definition
(i) (ξn ; n ∈ N0 ) ist eine Markowsche Kette (Markow-Kette) mit
Zustandsraum X , falls für beliebige n ∈ N , ik ∈ X , k ∈ N0 gilt
P(ξn+1 = in+1 |ξn = in , ξn−1 = in−1 , . . . , ξ0 = i0 )
= P(ξn+1 = in+1 |ξn = in ) ,
(1)
wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten definiert sind, d.h. falls
P(ξn = in , ξn−1 = in−1 , . . . , ξ0 = i0 ) > 0 gilt.
(ii) Wird eine endliche Folge (ξn ; n ∈ {0, 1, . . . , N}) betrachtet, wird die
Bedingung (1) für n = 1, . . . , N − 1 gefordert.
(iii) Hängen die Übergangswahrscheinlichkeiten
P(ξn+1 = j|ξn = i) =: pij
i, j ∈ X ,
nicht von n ab, spricht man von einer homogenen Markowschen
Kette (oder einer Markowschen Kette mit stationären
Übergangswahrscheinlichkeiten).
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5
Bemerkung
5. Bemerkung
(i) In der Vorlesung werden (vor allem) homogene Markowsche Ketten
mit der Zustandsmenge X = {1, . . . , r } betrachtet, welche der
Voraussetzung 3 genügen. Diese werden hier endliche homogene
Markowsche Ketten genannt.
(ii) Der allgemeinere Begriff, insbesondere im Hinblick auf beliebige, nicht
nur diskrete Verteilungen der Zufallsgrößen ξt und Parametermengen
T ⊂ R ist der Begriff eines Markowschen Zufallsprozesses. Die
Vergabe von Attributen wie stetig oder diskret bzw. der Gebrauch der
Bezeichnungen Kette bzw. Prozess ist in der Literatur nicht eindeutig.
(iii) Für endliche homogene Markowsche Ketten können zum Teil
grafische Methoden zur Veranschaulichung und Analyse genutzt
werden.
(iv) Bei der Untersuchung von endlichen homogenen Markowschen
Ketten spielen die lineare Algebra und die Matrizentheorie eine nicht
unwesentliche Rolle.
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Stochastische Matrizen
6. Definition
Eine r × r −Matrix Q = (qij )i,j=1,...,r ist eine stochastische Matrix,
falls gilt
(i) qij ≥ 0 ∀ i, j = 1, . . . , r ;
r
X
qij = 1 ∀ i = 1, . . . , r ,
(ii)
j=1
d.h. für jede Zeile ist die Summe der Elemente gleich 1.
7. Satz
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette mit
Übergangswahrscheinlichkeiten pij , i, j = 1, . . . , r gemäß
Bemerkung 5 (i). Dann ist die Matrix P := (pij )i,j=1,...,r der
Übergangswahrscheinlichkeiten eine stochastische Matrix. Diese
Matrix wird auch Übergangsmatrix der Markowschen Kette
genannt.
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7
Äquivalente Bedingungen für stochastische Matrizen
8. Definition
Ein Vektor Rr 3 f = (f1 , . . . , fr )T mit r ∈ N ist nichtnegativ, falls
gilt ∀ i = 1, . . . , r : fi ≥ 0 , dies wird durch f ≥ 0 bezeichnet.
9. Satz
Sei Q = (qij )i,j=1,...,r eine r × r −Matrix (r ∈ N). Dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent.
(i) Q ist eine stochastische Matrix.
(ii) (a) ∀ Rr 3 f ≥ 0 : Qf ≥ 0 und
(b) für Rr 3 1 = (1, . . . , 1)T gilt Q1 = 1 , d.h. der Vektor 1 ist
ein Eigenvektor der Matrix Q zum Eigenwert 1.
(iii) Ist µ = (µ1 , . . . , µr ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
r
X
X = {1, . . . , r } , d.h. gelten µi ≥ 0 , i = 1, . . . , r und
µi = 1 ,
i=1
dann ist auch µQ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
X = {1, . . . , r } .
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8
Produkte von stochastischen Matrizen
10. Satz
Seien Q 0 = (qij0 )i,j=1,...,r und Q 00 = (qij00 )i,j=1,...,r stochastische
Matrizen und Q = (qij )i,j=1,...,r = Q 0 Q 00 .
(i) Dann ist auch Q eine stochastische Matrix, insbesondere sind auch
die Potenzen (Q 0 )n und (Q 00 )n für beliebige n ∈ N stochastische
Matrizen.
(ii) Gilt zusätzlich qij00 > 0 ∀ i, j = 1, . . . , r , dann gilt auch
qij > 0 ∀ i, j = 1, . . . , r .
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Endlichdimensionale Verteilungen
11. Satz
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette mit
Übergangswahrscheinlichkeiten pij , i, j = 1, . . . , r , gemäß
Bemerkung 5 (i) und mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung
(0)
(0)
µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) der Zufallsgröße ξ0 (Anfangs- oder
(0)
Startverteilung) , d.h. P(ξ0 = i) = µi , i = 1, . . . , r .
Dann gilt für beliebige n ∈ N, i0 , . . . , in ∈ {1, . . . , r }
(0)
P(ξ0 = i0 , ξ1 = i1 , . . . , ξn = in ) = µi0 · pi0 i1 · . . . · pin−1 in .
(2)
Gilt umgekehrt für eine Zufallsfolge ξ = (ξn ; n ∈ N0 ) mit
Zustandsraum X = {1, . . . , r } die Formel (2) mit einer
stochastischen Matrix P = (pij )i,j=1,...,r und einer
(0)
(0)
Wahrscheinlichkeitsverteilung µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) auf X , dann
ist ξ eine endliche homogene Markowsche Kette mit
Übergangsmatrix P und Anfangsverteilung µ(0) .
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10
Existenz von endlichen homogenen Markowschen Ketten
12. Satz
Seien P = (pij )i,j=1,...,r eine stochastische Matrix und
(0)
(0)
µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
{1, . . . , r } .
Dann existiert auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P) eine endliche homogene Markowsche Kette
(ξn ; n ∈ N0 ) mit Übergangsmatrix P und Anfangsverteilung µ(0) .
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11
Allgemeinere Markowsche Bedingung
13. Satz
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i).
Dann gilt, falls die bedingten Wahrscheinlichkeiten definiert sind,
für beliebige m, n ∈ N , i0 , . . . , in , in+1 , . . . , in+m ∈ {1, . . . , r }
P(ξn+m = in+m , . . . , ξn+1 = in+1 |ξn = in , ξn−1 = in−1 , . . . , ξ0 = i0 )
= P(ξn+m = in+m , . . . , ξn+1 = in+1 |ξn = in ) .
Allgemeiner gilt, falls die bedingten Wahrscheinlichkeiten definiert
sind, für beliebige Bk ⊆ X , k = n + 1, . . . , n + m und
i0 , . . . , in ∈ {1, . . . , r }
P(ξn+m ∈ Bn+m , . . . , ξn+1 ∈ Bn+1 |ξn = in , ξn−1 = in−1 , . . . , ξ0 = i0 )
= P(ξn+m ∈ Bn+m , . . . , ξn+1 ∈ Bn+1 |ξn = in ) .
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Bedingte Unabhängigkeit von Zukunft und Vergangenheit
14. Satz
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i).
Dann gilt, falls die bedingten Wahrscheinlichkeiten definiert sind,
für beliebige m, n ∈ N , i0 , . . . , in , in+1 , . . . , in+m ∈ {1, . . . , r } ,
P(ξn+m = in+m , . . . , ξn+1 = in+1 , ξn−1 = in−1 , . . . , ξ0 = i0 |ξn = in )
= P(ξn+m = in+m , . . . , ξn+1 = in+1 |ξn = in )·
P(ξn−1 = in−1 , . . . , ξ0 = i0 |ξn = in ) .
Diese Bedingung ist auch eine hinreichende Bedingung dafür, dass
eine zufällige Folge (ξn ; n ∈ N0 ) mit Zustandsraum {1, . . . , r }
eine Markowsche Kette ist.
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13
n−Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten
15. Definition
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r
(0)
(0)
und mit der Anfangsverteilung µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) .
Die Wahrscheinlichkeiten
(n)
P(ξm+n = j|ξm = i) =: pij
(3)
für beliebige i, j ∈ {1, . . . , r } , m, n ∈ N mit P(ξm = i) > 0
heißen n−Schritt Übergangswahrscheinlichkeiten.
I
Es wird außerdem
(1)
pij = pij
(0)
und pij = δij
für beliebige i, j ∈ {1, . . . , r } gesetzt.
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14
Die Chapman-Kolmogorowschen Gleichungen
16. Satz
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r
(0)
(0)
und mit der Anfangsverteilung µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) .
(i) Die Familie der n−Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten erfüllen die
Chapman-Kolmogorowschen Gleichungen
(n+1)
pij
=
r
X
(n)
pik pkj
k=1
bzw. allgemeiner für m, n ∈ N0
(n+m)
pij
=
r
X
(n) (m)
pik pkj
k=1
(ii) Für die Matrix der n−Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten gilt
(n)
P n = pij
.
i,j=1,...,r
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15
Zustandswahrscheinlichkeiten der Markowschen Kette
17. Satz
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r
(0)
(0)
(0)
und mit der Anfangsverteilung
µ = (µ1 , . . . , µr ) .
(n)
Desweiteren sei P n = pij
i,j=1,...,r
die n−te Potenz der
Übergangsmatrix (n ∈ N) .
Dann gilt für beliebige j ∈ {1, . . . , r }
P(ξn = j) =:
(n)
µj
= µ
(0)
P
n
j
=
r
X
(0) (n)
µi pij ,
(4)
i=1
dabei werde mit µ(n) die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ξn auf
{1, . . . , r } bezeichnet.
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16
Beispiel
18. Die Eckpunkte des Einheitsquadrats seien in Uhrzeigerrichtung
durchnummeriert. Ein Teilchen befindet sich zum Zeitpunkt 0 im
Punkt mit der Nummer 1 und bewegt sich zu ganzzahligen
Zeitpunkten mit Wahrscheinlichkeit 0.5 in Uhrzeigerrichtung und
mit Wahrscheinlichkeit 0.5 gegen Uhrzeigerrichtung zum nächsten
Eckpunkt, unabhängig von den vorherigen Bewegungen.
Mit ξn wird die Nummer der Position des Teilchens nach der
Bewegung zum Zeitpunkt n bezeichnet.
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17
Erreichbare Zustände
19. Definition
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r
(0)
(0)
und mit der Anfangsverteilung µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) .
(i) Der Zustand j heißt vom Zustand i aus erreichbar, wenn
(n)
∃ n ∈ N : pij > 0 . Dies soll durch i → j bezeichnet werden.
(ii) Die Zustände i und j heißen gegenseitig erreichbar, wenn i → j und
j → i . Dies soll durch i ↔ j bezeichnet werden.
I
Der Begriff der gegenseitigen Erreichbarkeit definiert in der
Zustandsmenge eine symmetrische und transitive Relation, die im
Allgemeinen nicht reflexiv ist.
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18
Irreduzible und reduzible Markowsche Ketten
20. Definition
Eine Markowsche Kette heißt irreduzibel, wenn alle ihre Zustände
gegenseitig erreichbar sind, sonst wird sie reduzibel genannt.
21. Beispiel
Gegeben seien Markowsche
Übergangsmatrizen

0.5 0.5 0
0
 0.5 0 0.5 0
P1 = 
 0 0.5 0 0.5
0
0 0.5 0.5
Ketten mit r = 4 und



0.5 0.5 0
0


0 
 , P2 =  0.5 0.5 0
.

 0
0 0.4 0.6 
0
0 0.7 0.3
Die Markowsche Kette mit Übergangsmatrix P1 ist irreduzibel,
die mit Übergangsmatrix P2 reduzibel.
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19
Aperiodische Zustände und Markowsche Ketten
22. Definition
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r
(0)
(0)
und mit der Anfangsverteilung µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) .
(i) Die Periode des Zustandes i ist definiert durch
(n)
d(i) := ggT{n ∈ N : pii > 0} .
(ii) Ist d(i) = 1 , dann heißt der Zustand i aperiodisch.
(iii) Die Markowsche Kette wird aperiodisch genannt, falls alle ihre
Zustände aperiodisch sind. Im gegenteiligen Fall heißt sie periodisch.
23. Bemerkung
(n)
(d·n)
Aus pii > 0 folgt auch pii
> 0 für beliebige d ∈ N .
24. Die Markowsche Kette aus Beispiel 18 ist periodisch, die Ketten
aus Beispiel 21 sind aperiodisch.
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20
Eigenschaften aperiodischer Markowscher Ketten
25. Satz
Sei (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r
(0)
(0)
und mit der Anfangsverteilung µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) .
(i) Ist die Markowsche Kette aperiodisch, dann existiert ein N ∈ N ,
so dass für beliebige i ∈ {1, . . . , r } und n ≥ N gilt
(n)
pii > 0 .
(ii) Ist die Markowsche Kette irreduzibel und aperiodisch, dann existiert
ein M ∈ N , so dass für beliebige i, j ∈ {1, . . . , r } und n ≥ M gilt
(n)
pij > 0 .
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21
Stationäre Verteilung
26. Definition
Sei ξ = (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r
(0)
(0)
und mit der Anfangsverteilung µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) .
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung µs = (µs1 , . . . , µsr ) heißt
stationäre Verteilung zur Markowschen Kette ξ oder zur
Übergangsmatrix P , falls gilt
µs P = µs .
27. Bemerkung
Ist für eine solche Markowsche Kette die Anfangsverteilung gleich
einer stationären Verteilung, µ(0) = µs , dann sind auch die
Verteilungen der Zufallsgrößen ξn gleich dieser stationären
Verteilung, d.h. es gilt µ(n) = µs , n ∈ N0 . Die Zufallsfolge ist dann
eine stationäre Zufallsfolge.
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Existenz von stationären Verteilungen
28. Satz
Sei ξ = (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r
(0)
(0)
und mit der Anfangsverteilung µ(0) = (µ1 , . . . , µr ) . Die
Markowsche Kette sei irreduzibel und aperiodisch.
Dann gelten:
(i) Die Markowsche Kette ξ besitzt eine eindeutig bestimmte
stationäre Verteilung µs .
(ii) Für die Zustandsverteilungen µ(n) gilt
lim dTV (µ(n) , µs ) = 0 .
n→∞
Dabei bezeichnet dTV den Totalvariationsabstand zwischen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf {1, . . . , r } , der definiert ist durch
r
dTV (µ(n) , µs ) :=
1 X (n)
|µi − µsi | .
2
i=1
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Reversible Markowsche Ketten
29. Definition
Ist P = (pij )i,j=1,...,r eine stochastische Matrix, dann heißt eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung µ = (µ1 , . . . , µr ) reversibel bezüglich
P oder einer Markowschen Kette mit Übergangsmatrix P , falls
∀ i, j = 1, . . . , r : µi pij = µj pji .
30. Satz
Sei ξ = (ξn ; n ∈ N0 ) eine endliche homogene Markowsche Kette
gemäß Bemerkung 5 (i) mit Übergangsmatrix P = (pij )i,j=1,...,r . Ist
µ eine reversible Verteilung für diese Markowsche Kette, dann ist
µ auch eine stationäre Verteilung für ξ (bzw. für P) .
31. Bemerkung
Diese Eigenschaft wird z.B. häufig bei Monte-Carlo-Simulationen
benutzt (”MCMC”, ”Markov Chain Monte Carlo”-Verfahren).
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