Wiederholung: Ableitung einer Funktion (Differentialquotient): Als

Wirtschaftsmathematik
S21
Seminar 21: Differentialrechnung
Wiederholung:
Ableitung einer Funktion (Differentialquotient):
Als (erste) Ableitung der Funktion f an der Stelle x0, bezeichnet man
den Grenzwert (sofern er existiert, f heißt in diesem Fall differenzierbar
f ( x) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
= lim
.
in x0): lim
x → x0
h →0
x − x0
h
df
Symbolisch: f ′( x0 ) = ( x)
dx
Geometrische Interpretation:
f ′( x0 ) ist der Anstieg einer Tangente an f in x0.
Mehrfaches Differenzieren:
f ( x) ⇒ f ′( x) ⇒ f ′′( x) ⇒ f ′′′( x) ⇒ f (4) ( x) ⇒ …
Rechenregeln
• Summenregel ( f + g )′( x) = f ′( x) + g ′( x)
• Produktregel ( f ⋅ g )′( x) = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x)
 f ′
f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x)
• Quotientenregel   ( x) =
g 2 ( x)
g
• Kettenregel ( f ( g ))′ ( x) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x)
• Umkehrfunktion ( f −1 )′ ( y ) =
1
, wobei y = f ( x) .
f ′( x)
Ableitungen elementarer Funktionen
Siehe Übersichtsblatt bzw. Tafelwerk
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Mittelwertsatz
Die Funktion f sei in [a, b] stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann
gibt es eine Stelle ξ ∈ (a, b) mit
f (b) − f ( a )
f ′(ξ ) =
(Tangentenanstieg = Sekantenanstieg)
b−a
weiteres ξ
a
ξ
b
Satz von TAYLOR:
Die Funktion f sei in [a, b] n mal stetig differenzierbar und in (a, b)
(n+1) mal differenzierbar. Dann gilt für x, x0 ∈ (a, b) :
f ′( x0 )
f ′′( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
( x − x0 ) +
( x − x0 ) + … +
( x − x0 ) n + Rn
f ( x) = f ( x0 ) +
1!
2!
n!
(TAYLOR-Entwicklung)
( n +1)
f
(ξ )
( x − x0 ) n+1 (Restglied)
wobei Rn = Rn ( x, x0 ) =
(n + 1)!
Spezialfall x0 = 0:
f ′(0)
f ′′(0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x) = f (0) +
x+
x +… +
x + Rn
n!
1!
2!
f ( n+1) (ξ ) n+1
Rn = Rn ( x,0) =
x
(n + 1)!
l’HOSPITALsche Regel:
0
∞
f ( x)
Wenn
für x → x0 den unbestimmten Ausdruck oder
0
∞
g ( x)
annehmen, so gilt – falls die rechts stehenden Grenzwerte existieren –:
f ( x)
f ′( x)
lim
= lim
.
x → x0 g ( x )
x → x0 g ′( x )
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Aufgaben:
1. Bestimmen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen:
a) f ( x) = ln tan(3 x + 2)
b) f ( x) = 10 x −3 x
x
, a∈
c) f ( x) = x ⋅ ar sinh x − x 2 + 1 d) f ( x) =
2
2
a −x
1− x
3 
 1
−
f) lim 
e) f ( x) = ln

x →1  1 − x 1 − x 3 
1+ x
 2x 
h) lim 

x →∞  2 x − 3 
arcsin x
g) lim
x →0
x
fest
3x
2. Erfüllt die Funktion f ( x) = ln(1 + x 2 ) − 12 im Intervall [0, 1] die
Voraussetzungen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung?
Bestimmen Sie den Zwischenwert ξ !
3. Entwickeln Sie folgende Funktion nach dem Satz von TAYLOR:
2 x− x2
f ( x) = e
, x0 = 0, n = 3
Wie lautet das Restglied?
4. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe der Regel von
l’HOSPITAL:
1 − cos x
x3
b) lim x
a) lim
x →0 2 x 2
x →∞ e
d) lim(1 − x)ln x
c) lim ( ln x ⋅ ln( x − 1) )
x 1
e) lim ( ln( x + e) )
x
0
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x 1
1
x
f) lim (ln x − x )
x →∞
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