Die harmonische Schwingung

Physik GK12
Schwingungen (Wiederholung und Zusammenfassung)
Die harmonische Schwingung
Charakteristisch für die Bewegungen:
1. Nach gleichen Zeiten wiederholt sich der einzelne Bewegungsvorgang von neuem, er ist
periodisch.
2. Die Bewegung verläuft symmetrisch zu einer ausgezeichneten Stellung, der Ruhelage
(Gleichgewichtslage) des Oszillators
Definition: Eine Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers,
die symmetisch zur Gleichgewichtslage verläuft.
Größen zur Beschreibung mechanischer Schwingungen
●
●
●
●
Die momentane Auslekung oder Elongation y aus der Ruhelage gibt den den Weg an, um
den sich die schwingende Masse gerade aus ihrer Ruhelage entfernt hat. Sie ist eine Funktion
der Zeit: y(t)
Die Amplitude A einer Schwingung ist der maximale Abstand des schwingenden Körpers
von der Ruhelage (immer positiv!)
Die Schwingungsdauer oder Periode(ndauer) T gibt die Zeit für eine vollständige
Schwingung an.
Die Frequenz f gibt an, wie viele Schwingungen in jeder Sekunde ablaufen
1
Einheit: [ f ]= =1 Hz
s
Die Frequenz einer Schwingung kann berechnet werden mit der Gleichung:
1
n
f=
bzw. f = mit T: Schwingungsdauer; n: Anzahl der Schwingungen und t: Zeit
T
t
für n Schwingungen
Bleibt die Amplitude einer Schwingung gleich, so spricht man von einer ungedämpften Schwingung,
nimmt sie ab, so handelt es sich um eine gedämpfte Schwingung.
Physik GK12
Schwingungen (Wiederholung und Zusammenfassung)
Kennzeichen einer harmonischen Schwingung
Zum Beispiel für Federpendel mit Feder, für die das Hookesche
Gesetz gilt: Es wirkt eine rücktreibende Kraft, die direkt
proportional zur Auslenkung ist:
F=−D⋅y
Dabei ist D die Richtgröße (für Federpendel: Federkonstante).
Die Kraft wirkt immer entgegengesetzt zur Auslenkung.
Definition: Eine Schwingung, bei der die rücktreibende Kraft F proportional zur
Auslenkung y ist (für die also ein lineares Kraftgesetzt gilt), nennt man eine
harmonische Schwingung.
Größen und Bewegungsgleichungen der harmonischen Schwingung
Zusammenhang zwischen Pendelbewegung und passender Kreisbewegung: Die Projektion des umlaufenden Punktes P bewegt sich in der gleichen Weise wie der Pendelkörper des schwingenden Federpendels.
Für den Winkel φ zwichen Radiusvektor r und
y-Achse gilt (im Bogenmaß!):

t , also
2
=
= ⋅t .
2 T
T
2
Man bezeichnet
als Kreisfrequenz ω.
T
(für die Bahngeschwindigkeit gilt also
2⋅r
v=
=⋅r
T
v2
und für die Beschleunigung: a= = 2 r )
r
Für die y-Koordinate der Kreisbewegung und somit für die harmonische Schwingung gilt, wenn man
die Bewegung bei y = 0 startet (in Position 10):
y t =r⋅sint =A⋅sin t
v y t=v⋅cos t =⋅A⋅cos  t
a y t=−a r⋅sin t=− 2⋅A⋅sin t 
Physik GK12
Schwingungen (Wiederholung und Zusammenfassung)
Man erhält daraus die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung (wenn der
Zeitpunkt 0 bei Durchlauf der Gleichgewichtslage gewählt wird):
2
y t= A⋅sin
⋅t = A⋅sin⋅⋅t
1. Weg-Zeit-Funktion
T
2
2
v t = ẏ t= A⋅cos ⋅t= ⋅A⋅cos
⋅t
2. Geschwindigkeits-Zeit-Funktion
T
T
 
 
   
2
3. Beschleunigungs-Zeit-Funktion
a t= ÿ t =−2 A⋅sin⋅⋅t =−
2
2
⋅A cos
⋅t
T
T
Hierbei ist A die Amplitude; T die Schwingungsdauer und ω die Kreisfrequenz
Wenn bei t = 0 das Pendel maximal ausgelenkt ist, erhält man y t= A⋅cos
 
2
⋅t =A⋅cos⋅⋅t
T
und v(t), a(t) entsprechend.
Aus dem Vergleich F =−Dy ( =m⋅a ) ergibt sich mit der Kreisfrequenz: D=m 2
D
und somit =
und T = 1 = 2  =2  m

f
D
m

