Aufgabe 1: Lösungsvorschlag

Aufgabe 1: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei euklid.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ begin { document }
Wir beweisen , dass $ \ sqrt {2} $ irrational ist .
Angenommen , $ \ sqrt {2} $ sei doch rational , also
$ \ sqrt {2}=\ frac { a }{ b } $ mit nat ü rlichen ,
teilerfremden Zahlen $a$ und $b$ . Daraus folgt
durch Quadrieren $2 =\ frac { a ^2}{ b ^2} $ , also
$2b ^2= a ^2 $ . Somit ist $a ^2 $ und damit $a$ gerade ,
also $a =2 q$ f ü r eine nat ü rliche Zahl .
Es folgt $a ^2=4 q ^2=2 b ^2 $ und damit $b ^2=2 q ^2 $ .
Daher ist auch $b ^2 $ und damit $b$ gerade . Dies
ist aber ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von
$a$ und $b$ .
\ end { document }
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Aufgabe 2: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei formeln.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage { amsmath }
\ begin { document }
Ad d i t i o n s t h e o r em f ü r den Kosinus :
F ü r Winkel $ \ alpha ,\ beta \ in (0 ,\ frac {\ pi }{2}) $ gilt das Additionst heorem
\ begin { equation }\ label { kosinusformel }
\ cos (\ alpha +\ beta )=\ cos \ alpha \ cos \ beta -\ sin \ alpha \ sin \ beta ,
\ end { equation }
wie man sich mit Hilfe der Euler - Formel
\ begin { equation *}
e ^{ i \ alpha }=\ cos \ alpha + i \ sin \ alpha
\ end { equation *}
klarmachen kann .
Ad d i t i o n s t h e o r em f ü r den Sinus :
Aus \ eqref { kosinusformel } folgt mit $ \ sin \ alpha =\ cos (\ alpha -\ frac {
\ pi }{2}) $ und $ \ cos \ alpha = -\ sin (\ alpha -\ frac {\ pi }{2}) $ , dass
\ begin { equation }
\ sin (\ alpha +\ beta )=\ sin \ alpha \ cos \ beta +\ sin \ beta \ cos \ alpha .
\ end { equation }
\ end { document }
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Aufgabe 3a: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei formeln.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage { amsmath }
\ begin { document }
[... wie zuvor ...]
Zum Nachweis rechnen wir f ü r $ \ alpha , \ beta \ in \ mathbb { R } $ :
\ begin { align }
\ sin (\ alpha +\ beta )=& \ cos (\ alpha +\ beta -\ tfrac {\ pi }{2})\ nonumber \\
=& \ cos (\ alpha -\ tfrac {\ pi }{2})\ cos \ beta -\ sin (\ alpha -\ tfrac {\ pi }{2})
\ sin \ beta \ label { eq : schritt1 }\\
=& \ sin \ alpha \ cos \ beta +\ cos \ alpha \ sin \ beta \ label { eq : schritt2 }.
\ end { align }
Dabei haben wir in \ eqref { eq : schritt1 } das Additionstheorem
f ü r den Kosinus benutzt und in \ eqref { eq : schritt2 } die
genannten Zusammenh ä nge zwischen Sinus und Kosinus .
\ end { document }
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Aufgabe 3b: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei makrotest.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage { amsmath }
\ newcommand {\ R }{\ mathbb { R }}
\ D e c l a r e M a t h O p e r a t o r {\ rang }{ rang }
\ D e c l a r e M a t h O p e r a t o r {\ artanh }{ artanh }
\ begin { document }
Seien $b \ in \ R ^ m$ und $A \ in \ R ^{ m \ times n } $ . Dann wissen wir f ü r das lineare
Gl e i c h u n g s s y s t em
\ begin { equation }
Ax = b , \ label { eq : LGS }
\ end { equation }
dass \ eqref { eq : LGS } genau dann l ö sbar ist , wenn $ \ rang ( A ) = \ rang ( A | b ) $ .
Dabei erhalten wir $ \ rang ( A ) $ und $ \ rang ( A | b ) $ durch die Umformung von
\ eqref { eq : LGS } in Zeilen - Stufen - Form mit Hilfe des Gau ß - Verfahrens .\\
F ü r die Umke hrfunktion $ \ operatorname { artanh } $ des Tangens hyberbolicus
$ \ tanh$ gilt die Beziehung :
\[
\ artanh ( x ) \ pm \ artanh ( y ) = \ artanh \ left ( \ frac { x \ pm y }{1 \ pm xy }\ \ right ) ,
\]
wobei $x , y \ in \ R$ .
\ end { document }
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Aufgabe 4: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei meinbuch.tex:
\ documentclass { scrbook }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ begin { document }
\ title { Mein Buch }
\ author { Max Mustermann }
\ date {}
\ maketitle
\ ta b le o fc o nt e nts
\ chapter { Einleitung }
In Kapitel \ ref { grundlagen } stellen wir die ben ö tigten
Grundlagen zusammen .
\ chapter { Grundlagen }\ label { grundlagen }
Es folgen nun wichtige Notationen und Grundbegriffe .
\ section { Notationen }
\ section { Grundbegriffe }
\ end { document }
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Aufgabe 5: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei listen.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ renewcommand {\ labelitemii }{ $ \ ast$ }
\ renewcommand {\ labelitemiii }{ $ \ diamond$ }
\ begin { document }
\ section { Eine Liste }
\ begin { itemize }
\ item Ein Punkt
\ item Ein zweiter Punkt mit etwas mehr Inhalt , der so lang ist ,
dass er garantiert nicht mehr in eine Zeile passt .
\ begin { itemize }
\ item erster Unterpunkt
\ item zweiter Unterpunkt
\ begin { itemize }
\ item Unter - Unterpunkt
\ item noch einer
\ end { itemize }
\ end { itemize }
\ item Und noch ein dritter Punkt
\ end { itemize }
\ end { document }
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Aufgabe 6: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei aufzaehlung.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage { enumerate }
\ begin { document }
\ section { Zwei Aufz ä hlungen }
Erste Aufz ä hlung :
\ begin { enumerate }
\ item Erstens
\ item Zweitens
\ begin { enumerate }[ i )]
\ item Ein Unterpunkt
\ item Ein zweiter Unterpunkt
\ end { enumerate }
\ end { enumerate }
Zweite Aufz ä hlung :
\ begin { enumerate }[( I )]
\ item Erstens
\ begin { enumerate }[{\ S }1]
\ item Ein Unterpunkt
\ item Noch ein Unterpunkt
\ end { enumerate }
\ item Zweitens
\ item Drittens
\ end { enumerate }
\ end { document }
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Aufgabe 7: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei quadrate.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage { amsmath , amsthm }
\ newtheorem { defi }{ Definition }[ section ]
\ newtheorem { lemma }[ defi ]{ Lemma }
\ newtheorem { satz }[ defi ]{ Satz }
\ begin { document }
\ section { Grundlagen }
Wir beginnen mit wichtigen Definitionen und S ä tzen .
\ begin { defi }
Eine \ emph { Funktion } $f : D \ to Z$ ordnet jedem Element einer \ emph {
De f i n i t i o n s m e n ge } $D$ genau ein Element einer \ emph { Zielmenge } $Z$ zu .
\ end { defi }
\ begin { lemma }\ label { tolleslemma }
Sind $f : D \ to U$ und $g : U \ to V$ Funktionen , so ist auch $g \ circ f : D \ to
V$ mit $ ( g \ circ f )( x ):= g ( f ( x )) $ f ü r alle $x \ in D$ eine Funktion .
\ end { lemma }
\ section { Riemannsche Hyperquadrate }
Im Beweis des folgenden Satzes \ ref { tollersatz } wird entscheidend das
Lemma \ ref { tolleslemma } benutzt .
\ begin { satz }\ label { tollersatz }
Jedes Riemannsche Hyperquadrat hat einen inneren Punkt .
\ end { satz }
\ end { document }
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Aufgabe 8: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei euklid.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage { amsmath , amsthm }
\ newtheorem { satz }{ Satz }[ section ]
\ begin { document }
\ section { Existenz irrationaler Zahlen }
\ begin { satz }
$ \ sqrt {2} $ ist irrational .
\ end { satz }
\ begin { proof }[ Beweis ]
Angenommen , $ \ sqrt {2} $ sei doch rational , also $ \ sqrt {2}=\ frac { a }{ b } $
mit nat ü rlichen , teilerfremden Zahlen $a$ und $b$ . Daraus folgt
durch Quadrieren $2 =\ frac { a ^2}{ b ^2} $ , also $2b ^2= a ^2 $ .
Somit ist $a ^2 $ und damit $a$ gerade , also $a =2 q$ f ü r eine nat ü rliche
Zahl . Es folgt $a ^2=4 q ^2=2 b ^2 $ und damit $b ^2=2 q ^2 $ . Daher ist
auch $b ^2 $ und damit $b$ gerade . Dies ist aber ein Widerspruch
zur T ei le rf r em dh ei t von $a$ und $b$ .
\ end { proof }
\ end { document }
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Aufgabe 9: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei tabelle.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ begin { document }
\ begin { table }
\ centering
\ begin { tabular }{ ccc }
Ableitung & Funktion & Stammfunktion \\ \ hline
$1$ & $x$ & $ \ frac {1}{2} x ^2+ C$ \\
$ \ cos x$ & $ \ sin x$ &$ -\ cos x + C$ \\
$ \ frac {1}{ x } $ & $ \ ln x$ & $x \ ln x - x + C$
\ end { tabular }
\ caption { Ableitungen und Stammfunktionen }
\ end { table }
\ end { document }
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Aufgabe 10: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei tabelle.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage { booktabs }
\ begin { document }
\ begin { table }
\ centering
\ begin { tabular }{ llc }\ toprule
Regisseur & Film & Jahr \\ \ midrule
Clint Eastwood & Die Br ü cken am Fluss &1995\\ \ cmidrule {2 -3}
& J . Edgar &2011\\ \ midrule
Steven Spielberg & Der wei ß e Hai &1975\\ \ cmidrule {2 -3}
& Jurassic Park &1993\\ \ cmidrule {2 -3}
& Lincoln &2012\\ \ midrule
Quentin Tarantino & Pulp Fiction &1994\\ \ cmidrule {2 -3}
& Django Unchained &2012\\ \ bottomrule
\ end { tabular }
\ caption { Einige Regisseure mit ihren Filmen }
\ end { table }
\ end { document }
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Aufgabe 11: Lösungsvorschlag
(i) Matlab-Code:
clear ; close all
x =0:0.01:2* pi ;
plot (x , cos ( x ) , ’r ’)
title ( ’ Kosinus ’)
xlabel ( ’x ’)
ylabel ( ’ cos ( x ) ’)
(ii) LATEX-Code:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage { graphicx }
\ begin { document }
\ begin { figure }
\ centering
\ includegraphics [ width =0.5\ linewidth ]{ kosinus . pdf }
\ caption { Eine rote Kosinus - Kurve .}
\ end { figure }
\ end { document }
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Aufgabe 12: Lösungsvorschlag
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ begin { document }
\ textrm { Dieser Text dient lediglich dazu , das Schreiben von
\ textbf { fett gedrucktem Text } , \ textit { kursiv gedrucktem
Text } sowie \ textbf {\ textit { Mischungen }} davon in \ LaTeX {}
einzu ü ben . Dabei kann es passieren , dass zwischendurch
\ texttt { S c h r e i b m a s c h in e ns ch r if t } oder auch
\ texttt {\ textit { kursive Varianten }} davon auftauchen ,
ganz zu schweigen von \ textsf { serifenloser Schrift } oder gar
\ textsc { Kapit ä lchen mit teilweise \ textbf { fettem Druck }}.
Wenn dann noch in Formeln wie
$ \ textit { a }^{\ textrm {2}}+\ textit { b }^{\ textrm {2}}=
\ textbf {\ textit { c }}^{\ textrm { Exponent }} $
Textattribute benutzt werden , wird es ganz sch ö n
\ textsl { schr ä g }...}
\ end { document }
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Aufgabe 13: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei fonts.tex:
\ documentclass { scrartcl }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage { blindtext }
% fuer serifenlose Schrift entkommentieren :
% \ renewcommand *{\ familydefault }{\ sfdefault }
% fuer S ch r e i b m a s c h i n e ns ch r if t entkommentieren :
% \ renewcommand *{\ familydefault }{\ ttdefault }
% fuer Palatino entkommentieren :
% \ usepackage [ sc ]{ mathpazo }
% \ linespread {1.08}
% fuer Adobe Utopia entkommentieren :
% \ usepackage { fourier }
\ begin { document }
\ blindtext
\ end { document }
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Aufgabe 14: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei meinseitenstil.tex:
\ documentclass [11 pt , BCOR =10 mm , DIV = calc ]{ scrbook }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage { scrpage2 }
\ usepackage { blindtext }
\ usepackage { lastpage }
% Umstellen der Seitennummer auf Schr ä gdruck ( nicht verlangt ):
\ renewcommand *{\ pnumfont }{\ normalfont \ rmfamily \ slshape }
\ begin { document }
\ pagestyle { scrheadings }
\ ofoot {\ pagemark {} von \ pageref { LastPage }}
\ ifoot {\ headmark }
\ chead { Mein Seitenstil }
\ lehead { links oben , gerade }
\ rohead { rechts oben , ungerade }
\ Blinddocument
\ end { document }
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Aufgabe 15: Lösungsvorschlag
Inhalt der Datei literatur.tex:
\ documentclass { scrbook }
\ usepackage [ ngerman ]{ babel }
\ usepackage [ utf8 ]{ inputenc }
\ usepackage [ T1 ]{ fontenc }
\ begin { document }
\ chapter { Einleitung }
In diesem Dokument verwenden wir unter anderem die wichtigen
B ü cher \ cite { Mus2006 } und \ cite { Tes1994 } sowie die
Originalarbeit \ cite { Sch2014 }.
\ begin { thebibliography }{9}
\ bibitem { Mus2006 } M . Mustermann , \ emph { Analysis 1} ,
Musterverlag , Musterstadt , 2006
\ bibitem { Sch2014 } S . Schulze , Riemannsche Hyperquadrate und
ihre Anwendungen , \ emph { J . Appl . Nonsense } 45 , 2014 , 67 - -98
\ bibitem { Tes1994 } T . Testfrau , \ emph { Lineare Algebra und
Analytische Geometrie } , 4. Auflage , Testverlag , Testhausen ,
1994
\ end { thebibliography }
\ end { document }
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