6. ¨Ubung zur Mathematik I f¨ur Biologen und Chemiker

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT ZU KÖLN
Dr. M. Schulz
Wintersemester 2015/2016
25. November 2015
6. Übung zur Mathematik I für Biologen und Chemiker
Allgemeine Hinweise:
• Abgabe der Übung: am 03. bzw. 04.12.2015 in den Übungen.
• Besprechung der Übung am 10. bzw. 11.12.2015 in den Übungen.
• Die Abgabe muss auf oben links zusammengetackerten DIN A4-Blättern erfolgen.
• Auf Ihrer Abgabe muss deutlich lesbar auf der obersten Seite Ihr Name und Ihre
Übungsgruppennummer stehen.
• Die Aufgaben sind so zu bearbeiten, dass der Lösungsweg, die benutzten Formeln und die Rechnungen nachvollziehbar sind. Auch für Lösungen mit richtigen Ansätzen können Teilpunkte vergeben
werden; eine Lösung ohne Rechenweg wird mit 0 Punkten bewertet.
• Weitere Informationen zu den Übungen finden Sie unter http://www.mi.uni-koeln.de:8917
Aufgabe 1.
(12 Punkte, schriftlich) - Rechnen mit Matrizen -
Es seien


3 6
1 0 

A=
8 −2 ,
2 5



1 2
−2 1
3
C =  1 −4 −1 , D = 4 5
7 8
5
0
1




9
0 1
0 3
2




2
, H=
F = 2 3 , G=
4 −6 −2
−10
−4 2
−2 1 0
B=
,
−2 −3 2
E = 3 −2 −1 ,

3
6
9
1
2
gegeben. Berechnen Sie falls möglich:
(i) A · B,
Aufgabe 2.
(ii) B · A,
(iii) C + DT ,
(iv) (E · F)T ,
(v) E · G,
(vi) B +C,
(vii) AT − H,
(10 Punkte, schriftlich) - Gleichungssysteme und Matrizen -
Drei Firmen A, B und C haben im Jahr t ∈ N0 die Marktanteile at , bt bzw. ct . Im Laufe eines Jahres verliert
A 5% seiner Bestandskunden an B und 10% an C, B verliert 15% an A und 10% an C, und C verliert jeweils
5% an A und B. (Also behält z.B. A 85% seiner Bestandskunden, und gewinnt 15% der Altkunden von B
und 5% der Altkunden von C hinzu.)
(a) Formulieren Sie die angegebene Regeln zur Änderung der Marktanteile als Formeln, die angeben, wie
man at+1 , bt+1 und ct+1 aus at , bt und ct berechnet.
(b) Für das Jahr t = 0 gelte a0 = 0, 4, b0 = 0, 2, c0 = 0, 4. Welche Marktanteile besitzen die Firmen nach
zwei Jahren (also für t = 2)?
(c) Schreiben Sie die Formeln aus (a) in Matrixschreibweise.
(d) Wie kann man die Marktanteile im Jahr t +n aus denen im Jahr t mit Hilfe von Matrizenmultiplikation
berechnen?
Aufgabe 3.
(8 Punkte, schriftlich) - Determinanten -
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
A=
Aufgabe 4.
−1 4
,
3 −2


5
2
2
B =  1 −3 4  ,
−2 −1 −3

−3
0
C=
0
0

4 −1 5
2 13 20

0 −3 7 
0 0
1
(mündlich)- Rechengesetze bei der Matrizenaddition und -multiplikation -
Es seien A, B,C drei reelle (n × n)-Matrizen. Wir wollen überprüfen, ob die für die reellen Zahlen gültigen
Rechengesetze auch für Matrizen gelten:
(I) Kommutativgesetz
?
(a) der Matrizenaddition: A + B = B + A,
?
(b) der Matrizenmultiplikation: A · B = B · A,
(II) Assoziativgesetz
?
(a) der Matrizenaddition: A + (B +C) = (A + B) +C,
?
(b) der Matrizenmultiplikation: A · (B ·C) = (A · B) ·C,
(III) Distributivgesetz:
?
(a) A · (B +C) = A · B + A ·C,
?
(b) (A + B) ·C = A ·C + B ·C.
Für (1 × 1)-Matrizen gelten diese Gesetze natürlich, denn reelle (1 × 1)-Matrizen sind offensichtlich nor”
male“ reelle Zahlen.
(i) Überprüfen Sie die obigen Gesetze nun für den Fall n = 2, d.h. setzen Sie
a
a
b
b
c
c
A = 11 12 , B = 11 12 , C = 11 12
a21 a22
b21 b22
c21 c22
und testen Sie, ob die jeweiligen Rechengesetze für diese (2 × 2)-Matrizen im Allgemeinen gelten.
(ii) Geben Sie ein konkretes Zahlenbeispiel an, für das das Kommutativgesetz der Matrizenmultiplikation
nicht gilt.