6.Gebrochen-rationale Funktionen - Meranier

Das solltest du können
6.Gebrochen-rationale
Funktionen
Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Bruchfunktion, deren Nenner die Variable x
enthält.
Bsp:
f ( x) =
2
−1
x−4
Der Unterschied zu den bisher bekannten linearen Funktionen liegt darin, dass nicht alle
Zahlen für x eingesetzt werden dürfen, d.h. der Definitionsbereich von gebrochenrationalen Funktionen ist in der Regel nicht Q !
Graphische Darstellung von gebrochen-rationalen Funktionen:
Alle gebrochen-rationalen Funktionen sind aus der Funktion
f ( x) =
1
ableitbar:
x
Die senkrechte Asymptote, hier die y-Achse, ist die senkrechte Linie, die niemals vom
Funktionsgraph geschnitten, aber beliebig nahe angenähert wird. Sie ist an der Stelle, an
der die Funktion nicht definiert ist, hier bei x=0 !
Die waagrechte Asymptote, hier die x-Achse, ist die waagrechte Linie, die vom
Funktionsgraphen nicht geschnitten, aber beliebig angenähert wird.
Verschiebungen / Streckungen / Spiegelungen dieses Funktionsgraphen
a)
f1 ( x) =
1
x
f 2 ( x) =
1
x−3
f 3 ( x) =
1
x+2
Steht im Nenner der Funktion eine Summe oder Differenz der Form x-3 oder
x+2, wird die senkrechte Asymptote um 3 nach rechts bzw. um 2 nach links
verschoben; die senkrechte Asymptote ist stets an der Stelle der
Definitionslücke !
b)
f1 ( x) =
1
x
f 2 ( x) =
1
+2
x
f 3 ( x) =
1
−2
x
Steht nach dem Bruch ein Summand (positiv +2 oder negativ -2), so wird die
waagrechte Asymptote um +2 nach oben oder um -2 nach unten verschoben !
c) Verknüpfung der Horizontal- und Vertikalverschiebung
Beispiel:
f ( x) =
1
−2
x +1
senkrechte Asymptote: x=-1
waagrechte Asymptote: y=-2
d)
f1 ( x) =
1
x
(Verschiebung um 1 nach links)
(Verschiebung um 2 nach unten)
f 2 ( x) =
2
x
f 3 ( x) =
0,5
x
Ist der Zähler eine andere Zahl als 1 (oder –1), so ist der Funktionsgraph
gestreckt bzw. gestaucht. Der Streckungsfaktor ist eben dieser Zähler. Die
Abstände der y-Werte von der waagrechten Asymptoten sind gegenüber dem
Graphen von
f1 ( x) =
1
um diesen Streckungsfaktor vergrößert bzw. verkleinert.
x
e)
f1 ( x) =
1
−1
f 2 ( x) =
x
x
Ist der Streckungsfaktor negativ, so wird der Funktionsgraph an der x-Achse
gespiegelt.
f) Verknüpfung von Verschiebung, Streckung und Spiegelung
Beispiel:
f ( x) =
−2
+1
x−2
waagrechte Asymptote: y=1
senkrechte Asymptote: x=2
Streckungsfaktor: 2
Spiegelung an der x-Achse
Schnittpunkt zweier gebrochen-rationaler Funktionen
Um den/die Schnittpunkte zweier gebrochen-rationaler Funktionen zu berechnen, setzt
man diese gleich, die Lösungsstrategie soll in den folgenden Schritten beschrieben
werden:
f1 ( x) =
1
+1
x−3
f 2 ( x) =
−1
+1
x +1
Zunächst müssen die beiden Definitionsmengen untersucht bzw. die Definitionslücken
gefunden werden:
Definitionslücke von f1(x): x=3
Definitionslücke von f2(x): x=-1
Gleichsetzen der Funktionen
1
−1
+1 =
+1
x−3
x +1
1
−1
=
Subtraktion von –1 auf beiden Seiten
x − 3 x +1
x + 1 = − ( x − 3)
Multiplikation über Kreuz, d.h. Zähler1 ⋅ Nenner2, Zähler2 ⋅ Nenner1
x +1 = −x + 3
2x = 2
x =1
Äquivalenzumformungen
Überprüfung, ob x=1 eine Definitionslücke ist !
y=
1
+ 1 = 0 ,5
1− 3
Einsetzen von x=1 in eine der beiden Funktionen
Merke: Bruchgleichungen werden i.d.R. mit Hilfe des Über-Kreuz-Multiplizierens
gelöst !
Schnittpunkt einer gebrochen-rationalen Funktion mit einer senkrechten Achse:
Beispiel: Schnittpunkt von
2
+ 2 mit x=-1
x−4
f ( x) =
⇒ Einsetzen von x=-1 in f(x)
(-1/1,6)
Schnittpunkt einer gebrochen-rationalen Funktion mit einer waagrechten Asymptoten
Beispiel: Schnittpunkt von
2
+ 2 mit y=-1
x−4
f ( x) =
⇒ Gleichsetzen von f(x)=-1
2
+ 2 = −1
x−4
2
= −3
x−4
2 = −3( x − 4)
2 = −3 x + 12
− 10 = −3 x
x = 3 13
( 3 13 / − 1 )
Potenzschreibweise
Die Potenzschreibweise ist eine abkürzende Schreibweise für Produkte mit gleichen
Faktoren:
74 = 7⋅7⋅7⋅7
7 heißt die Basis, 4 heißt Exponent
Potenzgesetze
Bei der Multiplikation und Division von Exponenten kann man Terme vereinfachen, wenn
-
die Potenzen gleiche Basis haben:
52⋅54=56
6
2
5 :5 =5
-
4
⇒ die Exponenten werden subtrahiert
die Potenzen gleiche Exponenten haben
57⋅67=307
7
7
8 :2 =4
-
⇒ die Exponenten werden addiert
7
⇒ die Basen werden multipliziert
⇒ die Basen werden dividiert
es sich um eine verschachtelte Potenz handelt
(54)3=512
⇒ die Exponenten werden multipliziert
Eine Sondereigenschaft haben Potenzen mit negativem Exponenten, sie können
umgeformt werden, indem man die Potenz mit entsprechendem positiven Exponenten in
den Nenner eines Bruches schreibt:
4 −3 =
1
1
=
3
64
4
10er – Potenzschreibweise
Besonders große oder kleine Zahlen, wie sie z.B. in Berechnungen in
Naturwissenschaften vorkommen, werden i.d.R. in der wissenschaftlichen Schreibweise,
in der sogenannten 10er Potenzschreibweise dargestellt.
Dabei zerlegt man die Zahl in das Produkt aus Mantisse (eine Zahl, die mindestens 1 und
kleiner 10 ist) und Stufenzahl, die man später in eine 10er Potenz umwandelt.
Beispiel1:
2 558 000 000 000 =
= 2,558 ⋅ 1 000 000 000 000 =
= 2,558 ⋅ 1012
Tipp: der Exponent der 10er Potenz ist um eins kleiner als die Anzahl der Stellen der Zahl
Beispiel2:
0,000 000 078=
= 7,8 ⋅ 0,000 000 01 =
= 7,8 ⋅ 10-8
Tipp: der Betrag des negativen Exponenten der 10er Potenz ist die Anzahl der Nullen der
Zahl