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Analysis I
Vorlesung (4+2+2) im Wintersemester 2016/2017
an der
Dr. Markus Weimar
26. Januar 2017
Analysis I
Vorlesung (4+2+2) im Wintersemester 2016/2017 an der Universität Siegen
Inhaltsverzeichnis
Organisatorisches
Literaturhinweise
Griechisches Alphabet
I
Grundlagen und Notation
1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . .
1.2 Naive Mengenlehre . . . . . . . . .
1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
1.5 (Über-) Abzählbarkeit . . . . . . .
1.6 Körper . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Beschränktheit und Vollständigkeit
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II Zahlenbereiche
2.1 Natürliche und ganze Zahlen . . . . .
2.2 Rationale und reelle Zahlen . . . . .
2.2.1 Betrag und Abstand auf R . .
2.2.2 Q liegt dicht in R . . . . . . .
2.2.3 Wurzeln . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Intervalle und Umgebungen .
2.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . .
2.3.1 Normaldarstellung . . . . . .
2.3.2 Betrag und Abstand auf C . .
2.3.3 Polardarstellung . . . . . . . .
2.3.4 Wurzeln . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Polynome und ihre Nullstellen
2.4 Topologische Grundbegriffe . . . . .
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III Folgen und Reihen
3.1 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . .
3.2 Reelle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bolzano-Weierstraß und Cauchy-Kriterium
3.4 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . .
3.5 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . .
3.6 Umordnung und Produkte von Reihen . .
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IV Stetige Funktionen
4.1 ε-δ-Definition . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Funktionsgrenzwerte und Eigenschaften
4.3 Weitere Stetigkeitsbegriffe . . . . . . .
4.4 Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . .
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4.7
Potenzreihen und elementare Funktionen . . .
4.7.1 Konvergenzradius von Potenzreihen . .
4.7.2 Exponentialfunktion . . . . . . . . . .
4.7.3 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.4 Allgemeine Potenzen, Logarithmen und
4.7.5 Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . .
V Differentialrechnung
5.1 Definition und Beispiele . . . . . . .
5.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . .
5.3 Monotonie, Mittelwertsatz, Extrema
5.4 Regeln von l’Hospital . . . . . . . . .
5.5 Taylor-Polynome und Taylor-Reihe .
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Exponentialfunktionen
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Organisatorisches
Allgemeines:
ˆ Aktuelle Informationen und Übungsblätter: Okuson
(http://okuson.math.uni-siegen.de/ws16/ana1)
ˆ Modus: wöchentlich 2 Vorlesungen + 1 Tutorium + 1 Übung
ˆ Prüfung: Klausur am 13.02.2017, 12-14 Uhr, ENC-D 114
ˆ Anmeldung (Vorlesung): LSF (http://lsf.zv.uni-siegen.de)
ˆ An-/Abmeldung (Klausur): LSF (http://lsf.zv.uni-siegen.de) bis 06.02.17
ˆ Anmeldung (Übungen): Okuson
(http://okuson.math.uni-siegen.de/ws16/ana1/registration.html)
Kontakt:
ˆ Raum: ENC-B 302 (Ebene 3)
ˆ Sprechstunden (Vorlesungszeit): Do 10:30-11:30 Uhr & nach Vereinbarung
ˆ Email: mailto:[email protected]
Vorlesungen (18.10.2016–09.02.2017):
Di 12–14 Uhr, ENC-D 114 (Hörsaal),
Do 08–10 Uhr, ENC-D 114 (Hörsaal)
Tutorien (21.10.2016–10.02.2017, 1 auswählen!):
(TA) Mo 16–18 Uhr, ENC-D 114 (Hörsaal)
(TB) Fr 08–10 Uhr, ENC-D 114 (Hörsaal)
M.Sc. Max Kontak (http://www.uni-siegen.de/fb6/geomathe/staff/kontak.html)
Übungen (24.10.2016–10.02.2017, 1 auswählen!):
(Gr1) Mo 08–10 Uhr, ENC-D 201,
Jonas Gadatsch (mailto:[email protected])
(Gr2) Mo 18–20 Uhr, ENC-D 223,
Christian Raupach (mailto:[email protected])
(Gr3) Di 18–20 Uhr, ENC-D 223,
Tobias Klauke (mailto:[email protected])
(Gr4) Mi 08–10 Uhr, ENC-D 223,
Fabio Ostermann (mailto:[email protected])
(Gr5) Do 18–20 Uhr, ENC-D 223,
Lea Engelhardt (mailto:[email protected])
(Gr6) Fr 16–18 Uhr, ENC-D 223,
Ines Rosenthal (mailto:[email protected])
(Gr7) Fr 16–18 Uhr, ENC-D 201,
Sebastian Rennhack (mailto:[email protected])
LITERATURHINWEISE
Übungsserien:
ˆ Ausgabe: wöchentlich, online
ˆ Abgabe: Donnerstags vor der Vorlesung
ˆ Rückgabe: In den entsprechenden Übungen
ˆ Korrektur und (ab 2. Serie) Punktevergabe: durch jeweilige Übungsleiter
Worum es geht:
Analysis is the rigorous study of the real numbers, sequences and series of real numbers,
and real-valued functions, with a focus on trying to pin down precisely and accurately the
qualitative and quantitative behavior of these objects. (frei nach Terence Tao *1975)
Die Vorlesung dient der Vermittlung eines grundlegenden Verständnisses elementarer Konzepte und Methoden der Analysis, z.B. im Umgang mit Zahlen, Folgen und Reihen, sowie
der Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen. Wir folgen dabei keiner spezifischen Quelle. Dennoch ein paar . . .
Literaturhinweise
[1] H. Amann and J. Escher. Analysis I. Grundstudium Mathematik. Birkhäuser Verlag, Basel, 2006. ISBN 978-3-7643-7756-4. 3. Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/
978-3-7643-7756-4.
[2] J. Appell. Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: Eine Einführung in die Theorie
reeller Funktionen. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg, 2009. ISBN 978-3540-88902-1. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-88903-8.
[3] E. Behrends. Analysis Band 1. Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur
Uni. Von Studenten mitentwickelt. Springer Fachmedien, Wiesbaden, 2015. ISBN 978-3658-07122-6. 6., erweiterte Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-07123-3.
[4] C. Blatter. Analysis I, volume 151 of Heidelberger Taschenbücher. Springer-Verlag, BerlinNew York, 1980. ISBN 978-3-540-08204-0. 3. Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/
978-3-662-05709-4.
[5] N. Bourbaki and P. Spain. Functions of a Real Variable: Elementary Theory. Elements of
Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004. ISBN 978-3-642-63932-6. http:
//dx.doi.org/10.1007/978-3-642-59315-4.
[6] T. Bröcker. Analysis, Band 1. Spektrum Akademischer Verlag, 1999. ISBN 978-3-86025417-2. 2. Auflage, http://home.arcor.de/brt22071.
[7] I. N. Bronstein, H. Mühlig, G. Musiol, and K. A. Semendjajew. Taschenbuch der Mathematik (Bronstein). Europa-Lehrmittel, 2016. ISBN 978-3-8085-5789-1. 10. Auflage.
[8] R. Denk and R. Racke. Kompendium der Analysis: Ein kompletter Bachelor-Kurs von
Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen. Vieweg+Teubner Verlag, 2011. ISBN
978-3-8348-1565-1. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-8184-7.
[9] M. Ensenbach. Analysis I. 2016. Skript zur Vorlesung des Autors im Wintersemester
2014/2015 an der Universität Siegen.
[10] O. Forster. Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.
Grundkurs Mathematik. Springer Fachmedien, Wiesbaden, 2013. ISBN 978-3-658-00316-6.
11., erweiterte Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-00317-3.
LITERATURHINWEISE
[11] H. Heuser. Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Mathematische Leitfäden. Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2009. ISBN 978-3-8348-0777-9. 17. Auflage, http://dx.doi.org/10.
1007/978-3-322-96828-9.
[12] S. Hildebrandt. Analysis 1. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, corrected edition, 2006. ISBN 978-3-540-25368-6. 2., korrigierte Auflage, http://dx.doi.org/
10.1007/3-540-29285-3.
[13] A. W. Knapp. Basic Real Analysis. Along with a companion volume Advanced real analysis.
Cornerstones. Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 2005. ISBN 978-0-8176-3250-2. http:
//dx.doi.org/10.1007/0-8176-4441-5.
[14] K. Königsberger. Analysis 1. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,
2004. ISBN 978-3-540-40371-5. 6., durchgesehene Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/
978-3-642-18490-1.
[15] G. Merziger, G. Mühlbach, D. Wille, and T. Wirth. Formeln und Hilfen zur Höheren
Mathematik. Binomi-Verlag, 2013. ISBN 978-3-923-92336-6. 7. Auflage.
[16] W. Rudin. Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied
Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, Auckland, Düsseldorf, 1976. ISBN 0-07054235-X. 3rd edition.
[17] T. Tao. Analysis I, volume 37 of Texts and Readings in Mathematics. Springer, Singapore, 2016. ISBN 978-981-10-1789-6. 3rd edition, http://dx.doi.org/10.1007/
978-981-10-1789-6.
[18] H. Triebel. Analysis und mathematische Physik. Birkhäuser Verlag, Basel, 1989.
ISBN 978-3-7643-2250-2.
3., bearbeitete Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/
978-3-0348-5265-4.
[19] W. Walter. Analysis 1. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004.
ISBN 978-3-540-20388-9. 7. Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/3-540-35078-0.
. . . sowie die zugehörigen Übungsbücher/Repetetorien/etc. oder auch (beinahe) jedes andere Lehrbuch, Kompendium oder Skript, welches Analysis 1 im Titel trägt (ggf. mit
Zusätzen wie für das Lehramt, für Physiker, oder Ähnlichem).
Griechisches Alphabet
α
β
γ
δ
ε ()
ζ
η
ϑ (θ)
A Alpha
B Beta
Γ Gamma
∆ Delta
E Epsilon
Z Zeta
H Eta
Θ Theta
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π ($)
I
Iota
K Kappa
Λ Lambda
M My
N Ny
Ξ Xi
O Omikron
Π Pi
ρ (%)
σ (ς)
τ
υ
ϕ (φ)
χ
ψ
ω
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Mathematician, noun [math-uh-muh-tish-uhn],
1. Possibly, on average, the smartest people around since they can actually back up
their knowledge with rigorous proofs. (Urban dictionary 2009)
2. A device for turning coffee into theorems. (Paul Erdős 1913–1996)
3. Someone who solves a problem you didn’t know you had in a way you don’t understand. (Author unknown)
see also wizard, magician.