Checkliste 12-4

Checkliste
O Ich kenne die ln-Funktion und kann ihren Graph aus dem Graph der
Exponentialfunktion herleiten.
O Ich kann die ln-Funktion einsetzen, um damit Exponentialgleichungen zu
lösen.
O Ich kann mit Hilfe der ln-Funktion einen Term b x umschreiben in einen
+
D=ℝ , W =ℝ
Streng mon. Steigend, Nullstelle
bei x=1, rechts gekrümmt,
Grenzwerte
4⋅7 x=1000
7 x=250
ln (7 x)=ln(250)
x⋅ln(7)=ln (250)
ln(250)
x=
ln(7)
Term der Art e k x .
x
5 x= (e ln (5) ) =e ln (5)⋅x≈e 1,609 x
O Ich kenne die Regel von l'Hospital und weiß, bei welchen Grenzwerten
Nur bei den Fällen „0 / 0“ und
„ ∞/∞“
ich sie verwenden darf.
O Ich weiß, dass ln(x) langsamer als jede Potenz von x wächst.
O Ich weiß, dass exp(x) schneller als jede Potenz von x wächst.
O In Termen mit Potenzen und exp(x) bzw. ln(x) kann ich schnell die
xn dominiert ln(x)
ex dominiert xn
Grenzwerte bestimmen.
O Ich weiß, dass
ln∣x∣ die Stammfunktion von
O
Ich kann für Funktionen der Art
Beträge, damit 1/x auch für x<0
eine Stammfunktion besitzt
1 ist.
x
1
eine Stammfunktion mit Hilfe
a x+b
→
des Logarithmus finden.
O Ich kann für Funktionen der Art
f ' ( x ) eine Stammfunktion der Form
f (x)
1
a x +b
1
F ( x )= ⋅ln(a x +b)
a
f ( x )=
f '( x)
f (x )
G (x )=ln(f (x ))
g( x )=
→
ln∣ f ( x )∣ finden.
2
O
Ich weiß, dass ich bei einer gebrochen-rationalen Funktion
f ( x ) oft
g(x)
x +2
3
= x −1+
x +1
x +1
→ F ( x )= 1 x 2− x +3ln (x +1)
2
f (x )=
erst durch Polynomdivision zu einer Stammfunktion komme.
O Logarithmus und Exponentialfunktionen kann ich zum Modellieren von Wachstumsaufgaben, etc...
realen Sachverhalten einsetzen.
O Ich kann zu einem mehrstufigen ZExp das zugehörige Baumdiagramm
zeichnen und es benutzen um gesuchte Wahrscheinlichkeiten
auszurechnen.
Checkliste
O Ich kann eine bedingte Wahrscheinlichkeit per Definition berechnen.
P B ( A)=
O Ich kann bei zwei Ereignissen untersuchen, ob sie unabhängig sind oder
P ( A∩B)
P (B )
A unabhängig von B
nicht.
P B ( A)=P ( A)
B unabhängig von A
P A (B)=P (B)
O Ich weiß, dass eine Zufallsgröße X eine Funktion ist, die jedem Ergebnis
X :Ω →ℝ
ω∈Ω eine reelle Zahl zuordnet.
O Ich weiß, dass eine Zufallsgröße bestimmte Werte x1, …, xn annehmen
kann, die man in der Wertemenge X (Ω) zusammenfasst.
O Mir ist bekannt, dass zu jedem Wert xi die Wahrscheinlichkeit
W-Verteilung von X
P ( X =x i ) gehört, mit der die Zufallsgröße diesen Wert annimmt.
O Ich kann bei einer gegebenen Zufallsgröße den Erwartungswert E(X)
n
µ=E (X )= ∑ x ⋅P
( X = xi )
i
i=1
( auch Mittelwert µ genannt ) berechnen.
( Interpretation als durchschnittlicher Wert von X )
O Ist eine zweite Zufallsgröße Y linear abhängig von einer anderen
Y =a⋅X +b
→ E (Y )=a E (X )+b
Zufallsgröße X, so überträgt sich dies auf die Erwartungswerte.
O Ich kann die Varianz als durchschnittliche quadratische Abweichung
2
Var (X )=E ((X −µ) )
vom Mittelwert berechnen.
O Ich kann die Standardabweichung σ einer Zufallsgröße berechnen und
σ= √Var ( X )
weiß, dass durch σ ein Zahlenwert gegeben ist, der die Streuung der
Werte von X um µ herum zahlenmäßig erfasst.
2
O Ich kann die Varianz Var(X) bzw. σ mit Hilfe von E(X2) berechnen.
O Ich kenne den wichtigen Spezialfall einer Zufallsgröße X, die sich durch
eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p beschreiben lässt.
(→ Bernoullikette der Länge n und p als Trefferwahrscheinlichkeit )
O Ich kann Wahrscheinlichkeiten der Art P ( X =k ) , P ( X >k ) und
P ( X <k ) berechnen.
2
2
E ( X )=σ +µ
X=Anzahl der Treffer bei n
Durchgängen
()
k n− k
P ( X =k )= n p q
k
Bei <, >, ≤ und ≥ evtl. durch
Aufsummieren einzelner Werte
oder durch Gegenereignis, z.B.
P ( X ≤2)
=P (X =0)+P ( X =1)+P (X =2)