Baum der Algebra - verlag wissenschaft

Berechne
dieTaschenLösungen
sin x = - 1
von sinx2 = –½
rechner:
im
sin–1
x1 =Bereich
-p
6 ϖ/2]
[– ϖ/2;
y
Veranschauliche
sin x
-p
2 = –½
sinx
x
p
graphisch! 2
1
f ( x) = 2x +1
Gradmaß Æ Bogenmaß
Bogenmaß Æ Gradmaß
Gib einea Formel zur Umrechnung
Gib eine Formel zur Umrechnung vom
45
∞
p
p fi a = 180∞◊ p / 4 = 180∞ = 45∞
x = p Gradmaß
◊
a = 45
x = p◊
=
vom
ins∞ fi
Bogenmaß
a = 180∞◊ x ins
x = Gradmaß
an!p
180∞
180∞ an!
4 Bogenmaß
p
4
4
y zur ExponentialSkizziere
die Graphen
sms der Funktionen!
y = loga x
funktion
für a >1
log2 x
f(x) = log (x)
2
loge x
g(x) = log (x) ,
e=2,718…
e
1
log10 x
h(x) = log (x)
x
10
1 2 e
Der Logarithmus zur Basis
e = 2,718… (Eulerzahl) wird
loga 1 = 0
Gib Eigenschaften
der Graphen
an!
natürlicher
Logarithmus
D =  +
genannt und als ln x beW = 
zeichnet.
2
1
3
5
2
x = f -1( y )
Wurzelfunktionen
i(x) =
j(x) =
x
x1/10
rÆ0
x
x1/2
x1/5
k(x) = x1/10
1
y = n x = xn
sind die auf  +0
eingeschränkten
Umkehrfunktionen
der Potenzfunktionen
y = xn.
g
x
x + 2
erst
x
Gib
der
-1Eigenschaften
1
Graphen an!
Punktsym-1
metrie zum
Ursprung
+
Typ 2
2 = x +2 +5
x - 1 2( x 2 - 1)
a3 = –1
a2 = 2
an x + an-1x
2x
dann
x
2

?x +2
?
sin(2x )
?x
2
allg. Form?
y = a x2
f : y = - 1 x2 - x + 1
2
2
1
aEntscheide,
=b = -1 c = 1
2
2
welche der

Diskriminante
nebenstehenden
D = b2 - 4 ac =  = 2 > 0
Graphen zur Funkfi f hat 2 Nullstellen
tion f(x)=–½x²–x+½
passt!
a=-1<0

2
fi f nach unten offen
D > 0
D = 0
Polynom : (x – Lösung)
y
y
Skizziere die
x
Funktionsgraphen
( x 3 - 2 x 2 - x + 2)
x3 - x2
- x2 - x
- x2 + x
- 2x + 2
-2 x + 2
➂ Faktorzerlegung
y
x
x
x
- 1 x2
2
-2 x 2
Verschiebung nach
rechts: x0 > 0
links: x0 < 0
f ( - x ) = -f ( x )
speziell: an = 1; a0 π 0 ;
a > 0
a < 0
Pfeildiagramm für f ( x ) = x
Quadratische
Lösungsformel
Gib die
allgemeine Lösungsformel
2
?0
2
2
„Das ist der Topf, aus dem
die x-Werte genommen
werden.“
2
Gib die drei
c
sind
…sind Zuordnungen, die jedem Element x
einer Menge D (Definitionsmenge) genau
ein Element y einer Menge W (Wertemenge)
zuordnen.
en
hn
n
von Fu
en
ktionsgraph
reelle Lösung
x
f (x)
–2 –1
0
1
Vervollständige!
3
0
–1
0
2
3
Ungleichungen enthalten anstelle des
Gleichheitszeichens < , £ , >, ≥ , π .
Termbaum
Vereinfachen
Gib allgemein
(Umformungen
auf eidie
einzelnen
ner
Seite
der Gleichung)
Schritte zur
einer
Sortieren
mit + –
➁Lösung
linearen Gleichung an!
➂ ➃
3
(2 x +➃x )Summe/Differenz
+1
5
3
3
3
(2 x + x ) + 1 = (3 x ) + 1 = 27 x + 1 = 27 x 3 + 1
5 ausgeführt
der5 Reihe➀nach
➁ 5 ➂5
werden müssen!
Punkt vor Strich!
(5x–3)(5x+3)=?
( x - 1)( x + 1) = x 2 - 1
(5 x - 3)(5 x + 3) = (5 x )2 - 32 = 25 x 2 - 9
!
Vereinfachen
TERME
Summen oder Differenzen werden vereinfacht, inden Term
demVereinfache
zunächst alle Klammern
aufgelöst werden und
dann gleichartige Terme zusammengefasst werden.
6–(x+2)(x+3)-4x²
6 - ( x + 5 x + 6) - 4 x =
| Minusklammer auflösen
6 - x2 - 5x - 6 - 4 x2 =
| Zusammenfassen
Rechnen mit
KlamKlammern
mern auflö-
( x + 1) ;
Schachtelklammer
x + 1; x ; x ; 2ab ; 3a b ;
Vereinfache
(ax )die
◊ (byTerme!
) = ab ◊ xy
ax
--cx
==((a
ax++bx
bxwie
cxsich
a++bTerm
b--cc))xx
Erkläre,
der
2 x ◊ ( x - 1)
2 x = 2 x ◊ ( x - 1)
= 2x
xWie
+ 1 (lässt
x + 1) ◊sich
( x - 1)der (Bruchterm
x + 1) ◊ ( x - 1) x + 1
2 x = 2 x ◊ ( x - 1)
x + 1Erweitern
( x + 1) ◊ ( xmit
- 1)( x -1) Kürzen mit ( x -1)
weiter
vereinfachen?
In Summen/Differenzen
3 x +5
x
 = { 1, 2, 3, }
 0 = { 0 , 1, 2, }
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
x +3=2
ist nicht lösbar in .
wissenschaft-design.de
amm � ann = ? m+n
2
2
unendlich viele
(Äquivalenzumformungen
 Von jeder Seite den Kehrwert bilden
ändern
(falls πdie
0 ). Lösungsmenge
einer Gleichung nicht.)
 Auf beiden Seiten dieselbe streng
monotone Funktion anwenden (siehe
Umkehrfunktionen).
1
- 5 + 3 = 3 - 5 = -2
Gib
an, inder
welcher
Im Bereich
ganzen Zahlenmenge
Zahlen sind durch
die
Gleichung
Hinzunahme
der „x+3=2“
negativen lösbar
Zahlen ist!
alle
Differenzen ausführbar:
x + 3 = 2 fi x = 2 + ( -3) = 2 - 3 = -1
2
2
2+3
3
–0,5 = - 1
2
3
–1
Multiplikation/Division
–
+
5
= x3
–
+
(–3)·(–3)=+9 (–3)·(+3)=–9
Formuliere eine Regel
(–3):(–3)=+1
(–3):(+3)=–1
für die Multiplikation
und Division ganzer
(+3)·(–3)=–9
(+3)·(+3)=+9
Zahlen!
(+3):(–3)=–1 (+3):(+3)=+1
x ◊3 = 2
ist nicht lösbar in .
a0 = 1
mal
3

45 = 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4
42
4◊4
3x5 = 3 x5 = 3x
x4
x4
ab == n? a ◊ n b
n
a
n a =
= ?
n
b
b
m n
m
a == ?◊n a

a + a nicht
!
Gib
an, was bei
zusammenfassen
der
Anwendung
Æ gleichartige
Terme
der Potenzgesetze
+ b )n π an +ist!
bn
zu(abeachten
3
3
(
2
+ 1
) π 2 + 13

Zähler
Nenner
2
m
Potenzen mit negativer
Basis sind nur für ganzzahlige Exponenten
definiert!
n
27
Veranschauliche die Lösungen grafisch!
x5 = 2
x= 2
-x = 5 2
L = { 2}
L = {- 5 2 }
5
Wurzelziehen aus

n
x2 = x
-1 negativen Zahlen ist nicht
2 erlaubt.
Gib an, was bei der Umformung des Terms x = x
2
(
-3)2 zu
= 3beachten
= 3 = -3 ist! Für Interessierte: Die Definition 2 n+1 -1 = -1 ist für
Worauf
bei Wurzeln
achten?
2 n 2 n muss man
ungerade
Ordnungnoch
möglich,
aber nicht üblich.
allgemein: x = x
;b
= 0
Reinquadratische Gleichung
Reinquadratische
Gleichung?
schneidet die Normalparabel y = x
x 2 = d Wo
die Gerade y = d ?
d > 0
p-q-Formel
Gib die
p-q-Formel
p
p
Diskriminante
p2
D=
-q
4
d = 0
2
x² = 2, x²=0
x = 2
an! y
Wurzelziehen
nicht
Wie lassen sich die Lösungen mithilfe
erlaubt!
x
x
der Normalparabel
interpretieren?
entscheidet über
die Anzahl der Lösungen im Bereich
der reellen Zahlen.
{ }
L = {0}
L= ± 2
4 x = 2 x - 12
ULöse
+U1
2 = R ◊ I - U1
2 ◊ x = -12
x = -6
➀GibVereinfachen
allgemein die
:2
L = {-6}
4 x +8 > 2 x - 4
➂ Isolieren mit • :
2 ◊ x > -12
4 x > 2 x - 12
keine
x > -6
8 +1
5
3
Gleichungen und Ungleichungen, die Variablen
enthalten, sind Aussageformen. Aussageformen
können mit den logischen Operationen „und“,
„oder“ und „nicht“ verknüpft werden.
3( x + 4 ) = 3 5 x + 4
Gx =Œ
]
[
A11 := {xx ≥ŒM
G1mit x ≥ -1} x < 5Intervallschreibweise?
] - •; 5 [
x > -5 Intervallschreibweise?
] - 5; + •[
A2 := {xx £Œ1G mit x £ 1}
M
2
„oder“
„nicht“
„und“
Konjunktion
Schnittmenge
„und“ -1
Bilde
£ x £ 1für die obengenannten
M1 « M2
–1
1
–1
1
–1
1
Stelle die Mengen
Beispiele die Verknüpfungen
M1
M1
M1
M
„und“M
,
M
„oder“M
,
„nicht“M
Disjunktion
Vereinigungsmenge
2 M2 1
2
2
M2 1
„und“A , A1„oder“A2,
„oder“ x A
am Zahlenstrahl dar!
≥ 1-1 ⁄ x £ 12
M1 » M2
„nicht“A1! Wie nennt man
M1 « M2 = [-1; 1] M1 » M2 = 
M1 =] - • ; -1[
die verknüpften
Mengen?
Komplement
Negation
„nicht“
M
M
1
1
ÿ( x ≥ -1) = x < -1
n gerade
2
3
100 == ?100 = 10 = 2
25
5
25
= ?+1 ( -1)3 =
= ?-1
( -1)2 =
4
16 == ? 16 = 4 = 2
8 == ?4 ◊ 2 = 4 ◊ 2 = 2 2
72 x 2 y = =36
36 ◊ 
x2 ◊ 2y
? ◊2◊ x2 y = 
!
x == x?
6
x
2
 Nenner rational machen
1 = =1 ?◊ 2 = 2
2
2
2 2
Die reellen Zahlen
umfassen die rationalen
und die irrationalen
a
Brüche:  = { | a Œ ; b Œ ; b π 0}
b
Zahlen
Dezimalbrüche: endlich oder periodisch
Addition/Subtraktion
gleichnamige Brüche
Formuliere eine Regel für3
◊13die
von
Brüchen!
aMultiplikation
c
a
±
c
4 +
35 = 39 = 13
± =
60 60 60
 20
b b
b
3◊20
ungleichnamige Brüche
Hauptnenner bilden:
1 + 7 = 1 + 7 = 1 ◊4 + 7 ◊5 =
15 12 3 ◊ 5 3 ◊ 4 3 ◊ 5 4 3 ◊ 4 5
4 + 35
weiter wie oben
60 60
Gib
an, inder
welcher
Zahlenmenge
Im Bereich
rationalen
Zahlen sind alle Dividie
Gleichung
„x•3=2“
lösbar
sionen
ausführbar
(Ausnahme:
Teilenist!
durch Null!):
x ◊ 3 = 2 fi x = 2 ◊ 31 = 2 : 3
Jeder Quotient a : b zweier ganzer Zahlen
mit b π 0 läßt sich als Bruch a darstellen.
b
Multiplikation/Division
3 ◊ 2 = 3◊2 = 6
a ◊ c = a◊c
Formuliere eine Regel
7 für
5 ◊ 7die35
b Multiplikation
d b ◊ d von 5Brüchen!
3
a Formuliere
3 : 2 =für
3 ◊ 7 = 21
5 =die
: c = a ◊ deine Regel
5 7 2 5 2 10
b Division
d b von
c Brüchen!
7
3 :2= 3 = 3
5
5 ◊ 2 10
Erweitern/Kürzen
c π 0Beispiels die
Kürzen mit
Erkläre mithilfe
eines
a ◊ c = a„Erweitern“
15 = 3 ◊ 5 = 3und 3„Kürzen“!
Begriffe
= 3 ◊ 5 = 15
10 2 ◊ 5 2
2
2 ◊ 5 10
b◊c b
Erweitern mit c π 0
Die Lösungen eines LineGibGleichungssystems
allgemein
aren
die einzelnen
ändern
sich nicht bei
Schritte beim
➀AdditionsMultiplikation einer
Gleichung mit
einer
verfahren
an!
Zahl π 0 oder
Algebra
im Alltag
Direkte Proportionalität
Beispiel: Handyrechnung
7 Minuten kosten 1,40 €.
Wieviel kosten 20 Minuten?
7 min  1,40 €
:7
: 7 Indirekte Proportionalität
Löse die Aufgabe mithilfe
1 min  0,20 €
·20
· 20 Beispiel: Maurerarbeiten
einer Schlussrechnung
20 min  4,00 €
8 Maurer brauchen 10 Tage.
(Dreisatz)!
Wie viele Tage brauchen 5 Maurer?
8 Maurer  10 Tage
·8
: 8Löse die Aufgabe mithilfe
1 Maurer
 80 Tage
· 5einer
Schlussrechnung
:5
(umgekehrter
5 Maurer Dreisatz)!
16 Tage
Rechengesetze für die
Addition +
Multiplikation •
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Gib
für die Add. und
a + bdas
= b +Gesetz
a
a ◊ b =Mult.
b ◊ a an!
Erkläre
mithilfe 5zweier
( -3) + 4 = 4die
+ ( -Gesetze
3) = 1
◊ ( -3) = (Beispiele!
-3) ◊ 5 = -15
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
Gib
Gesetz
und
(a ◊ b ) ◊Mult.
c = a ◊ (ban!
◊c) = a ◊b ◊c
(a + bdas
)+c =
a + (b +für
c ) = adie
+ b Add.
+c
Erkläre die Gesetze mithilfe (zweier
Beispiele!
3
◊ 2) ◊ 4 = 3 ◊ (2
◊ 4 ) = 24
(2
+ ( -
5)) + 6 = 2 + ((
-5) +




6 ) = 3
8
-3
6
1
➁Addition eines beliebigen Vielfachen der
einen Gleichung zur
anderen Gleichung.
x2 = 2
ist nicht
lösbar in :
Die Annahme
a2 = 2
kann
b2
zu einem Widerspruch geführt
werden!
L = ] - 6 ; + •[
1,43
[1,41; 1,42]
[1,412; 1,422]
[1,414; 1,415] [1,4142; 1,4152]
: ( -1)
L = ] - • ; 12[
2 Gleichungen mit
2 Unbekannten
unendlich viele Lösungen
keine Lösung
Löse das lineare
Löse das lineare
Gleichung I ist
Gleichungssystem
Gleichungssystem
I) 2 x - y = 1 ◊2
I) 2 x - y = 1 ◊2 Die linken Seiten
Vielfaches von
sind Vielfache
II)I)4 2x-y=1
x - 2y = 2
II)I)42x-y=1
x - 2y = 1
Gleichung II
voneinander, die
II) 4x–2y=1 Gleichungen nicht!
II) 4x–2y=2
I) 4 x - 2 y = 2
I) 4 x - 2 y = 2
mit dem Additionsmit dem AdditionsII)verfahren!
4 x - 2y = 2
II)verfahren!
4 x - 2y = 1
g
g, h
h
0=0
0 =1
g und h liegen aufeinander!
g und h sind parallel und g πh!
L = {( x | y )| x , y Œ Ÿ 4 x - 2 y = 2}
L={ }
Ein Kühlschrank kostet 550 € (Grundwert G). Bei Barzahlung
verspricht der Händler 3% Preisnachlass (Skonto). Um wie
viel verringert sich der Rechnungsbetrag (Prozentwert W)?
Wie groß ist der verminderte Rechnungsbetrag G–?
BestimmeWden Prozentwert
WGrundwert:
und den G+
Prozentwert
Vermehrter
W
= 19 % · 79,79 €
=
G+ = G + W
vermehrten
Grundwert
G ! = 79,79 € + 15,16 €
+
0,19 · 79,79 € = 15,16 € = 94,95€
W = p % · G
( )
1,42
1,41
1,414 1,415
12
Prozentualer Abschlag
Gib
an, wie
die Zahl
a unter der
Wurzel
a wirdgeRadikant
wird!
genannt.
Allgemeine Wurzel n a nannt
Quadratwurzel a
2
dieWurzel
n-te aus
Wurzel
Die
Gleichung
≥ 0 ist die n.te
Für jedes aallgemein
a diejenige
= 2 hat zwei reelle Definiere
Definiere
diex Quadratwurzel
einer
Zahl a!Zahl, die zur n. ten Potenz genomnichtnegative
Lösungen: x1,2 = ± 2 .—
Die positive
am Beispiel
von √2
! die
n
Lösung
der Gleichung
wird
men, a ergibt: n
a =a
„Quadratwurzel aus 2“ genannt.
[1,42; 1,52]
x <
Graphische Interpretation
G+ = G + W = (100 + p)% · G
Bestimme
den Prozentwert
W und
den G
Prozentwert W
Verminderter
Grundwert:
–
vermehrten
! = 550 € – 16,50 € =
W = 3 % · 550 € Grundwert
=
G– = G
G – W
–
0,03 · 550 € = 16,50 €
533,50 €
W = p % · G
Irrationale Zahlen
Gib
an, welchenichtsind unendliche
Dezimalbruchdarperiodische Dezimalstellung
brüche: irrationale
Zahlen haben!
2 = 1, 41421356…
G– = G – W = (100 – p)% · G
alternativ: 100 %  G 97 %  G–
alternativ: 100 %  G 119 %  G+
[1,4; 1,5]
- x > - 12
:2
-2 x
20 Liter Farbe kosten im Großhandel ohne Mwst. 79,79€
(Grundwert G). Im Einzelhandel werden 19% von 79,79€
auf den Preis aufgeschlagen. Wie viel Euro muss der
Einzelhändler aufschlagen (Prozentwert W)? Welchen Preis
G+ verlangt der Einzelhändler?
Die Malpunkte
Gib
an!
a ◊ (b das
+ c ) =Distributivgesetz
a ◊b + a ◊c
können
auch wegErkläre
Beispiels!
( -2) ◊ (3
+ ( -das
5)) =Gesetz
(
-
2)
◊ 3 +mithilfe
(
-
2
) ◊ (
-
5) =eines
4 gelassen
werden:



-2
-6
+10
a ◊ b = ab
Quadrieren
x > 2 x - 12
Prozentualer Zuschlag
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
1,999396 2,002225
Konstruiere
eine „Intervallschachtelung“
der
Intervallschachtelung
( 2 )2 = 2
—
2,0164
1,9881
√2 !
2Œ
2Œ
irrationalen Zahl
-2 x
Prozentrechnung
Irrationale Zahlen
Zähler mal Zähler; Nenner mal Nenner
mit dem „Kehrbruch“
multiplizieren
Dreisatz
Auflösen nach y
-8
g
In welchem Punkt (x| y) schneiden sich
y
die Geraden g : y = 2 x - 1 und
Gib an, wie sich das
lineare Gleichungssystem
y = - 43 x + 23 ?
Einsetzverfahren
hI): 2x-y=1
x
die beiden GleiII)Liegen
4x+3y=2
➀ Auflösen einer I)Löse
h
2 x -das
y = 1lineare
+y
chungen in aufgelöster
Gib
allgemein
Gleichung nach
Form
graphisch
lässt!
vor, eignetinterpretieren
sich
2
x
=
1
+
y
1
Gleichungssystem
die
einzelnen
einer Unbekannten
zur Lösung das
Schritte beim
I) 2x-y=1
I¢ ) y = 2 x - 1
EinsetzungsII) 4x+3y=2
Gleichsetzungsverfahren
an!
Einsetzen in
die
➁verfahren
II) 4dem
x + 3 y Ein=2
mit
zweite Gleichung
➀ Gleichsetzen und
2Löse
x - 1 =das
- 43 xlineare
+ 23 + 43 x
4setzungsverfahren!
x + 3(2 x - 1) = 2
Gib allgemein
und auflösen
auflösen
nach x
10Gleichungssystem
2
die einzelnen
+1
4 x + 6 x - 3 = 2 +3
3 x - 1= 3
Schritte
beim
10y=2x–1
5
I)
10 x = 5 :10
◊ 103 Kehrbruch
3 x = 3
Gleichsetzungs1
II)
3y=2–4x
x = 0, 5
x=2
verfahren an!
mit dem Gleich➂ Einsetzen in die I¢) y = 2 x - 1= 2 ◊ 0, 5 - 1= 0
➁ Einsetzen in die
ysetzungsverfahren!
= 2 x - 1 = 2 ◊ 21 - 1 = 0
erste Gleichung
einfachere der beiden
L = {(0 , 5 | 0 )}
L = {( 21 | 0 )}
Gleichungen
Additionsverfahren
n ungerade
 Teilweise Wurzel ziehen
?4 ◊ 
36 = 4 ◊ 9 ==
9 =6
[
]
x £ 5 Intervallschreibweise?
] - • ; 5]
x ≥ -5 Intervallschreibweise?
[-5; + •[
Mengen
x Œ
A1 : x ≥ -1
A2 : x £ 1
Rechnen mit Wurzeln
1
5
Intervallschreibweise
Logische Verknüpfungen
4
„unter die Wurzel“
I) 2 x - y = 1
II) 4 x + 3 y = 2
Einsetzen aller Zahlen der Grundmenge
(meist ) führt auf eine wahre Aussage!
Logik
Aussageform
Lineare G
}
xLöse
+ 8 > die
2 ( x -lineare
3) + 2
xUngleichung
+ 8 > 2x - 6 + 2
x+8>2(x-3)+2!
x +8 > 2 x - 4
-8
4x+8>2(x-3)+2!
Sortieren mit + –
➁linearen
Ungleichung an!
x
!
4Löse
x + 8 >die
2 ( xlineare
- 3) + 2
4Ungleichung
x + 8 > 2x - 6 + 2
(Umformungen
auf einer
einzelnen Schritte
Seite
Ungleichung)
zurder
Lösung
einer
U2 + U1 = R ◊ I : R
nach I auf!
U + U1
I= 2
R
y
Bei Multiplikati Gib an, worauf on oder Division
man beim Lömit negativen
sen einer Ungleichung
Zahlen dreht sich das Unachten muss!
gleichheitszeichen um!
4 x - 5 > 3x +1
U2 = R ◊ I - U1
L={
2

und x²=-1
x1,2 = 0
y
Lineare Ungleichu
ngen
Formeln auflösen
d < 0
Gib –falls 
möglich– die Lösungen
2
x 2 = 0 Gleichungen
xder
= 2reinquadratischen
x2 = -1
zur
x1,2 Lösung
= - ±einer quadratischen
-q
4
Gleichung2 an!
-2 x
◊( -1)
( - x )5 = 2
für x < 0 ist Wurzelziehen erlaubt!
5
Normalform
Normalform
x 2 + px +einer
q =quadr.
0 Gl.?
x 5 = -2
5
!
a =
1
4 Gleichung
x + 8 = 2x - 6 + 2
4x+8=2(x-3)+2!
4 x +8 = 2 x - 4
-8
Ändere
Ändere
4 x + 8 = 4die
( x + 2)
4 x + 8 = 4 die
( x - 3)
rechte Seite von rechte Seite von
4 x + 8 = 4 x + 8 -4 x 4 x + 8 = 4 x - 12 -4 x
4x+8=2(x-3)+2
4x+8=2(x-3)+2
8=8
8 = 12
so um, dass die
so um, dass die
allgemeingültig
Gleichung unen- unerfüllbar
Gleichung keine
dlich
hat!
L =  viele LöLLösung
={}
sungen hat!
Ein Produkt wird Null, wenn einer der
beiden Faktoren Null wird:
T1( x ) ◊ T2 ( x ) = 0 ¤ T1( x ) = 0 ⁄ T2 ( x ) = 0
Berechne
Æ Pascalsches Dreieck
√9 + 16 !
9 +
16
9+
16
 

π
n
5
1
0, 3 = 3
4
0
1
negative Basis
6 mal
Rationale Zahlen 
-2 = 2 oder 3 = 3 .
:
,a≥0
x 2 ◊ x = x 3 ◊ x?1 =
Definiere
denan,
a einer Zahl gibt
Der Betrag anschaulich
Betrag
wie weit einer
die ZahlZahl!
vom Ursprung 0
des Zahlenstrahls entfernt ist:
•
a
m- n
a
5
4
3�x /x = ?
2 a
45n/4=
= ?
gebrochene Exponenten
3
positive Zahlen
0
amm/ an = ?
62 = ( 6 )2 = 22
32 3
2
5 a 2 = 5( a )2
bc
(bc )
a = a
am
(a ) = a
5 mal
3x3 ◊ x5 = 3x 8
a =2( a )n
62n/3
=?
b
b
5 � a2/(bc)2 = ?
1
n = n?
n mal
4 � 4 = ?
(42)3 = ?
4 3 ◊34 2� =x54 ◊=
4 ◊ ?4 ◊ 4 ◊ 4 ( 4 2 )3 = 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4
3x




2

–10 –30
–10 –30
(amm)n n = ? m◊n
a3 ◊ a2 = a
ann/ bn = ?
2 +1
–1
n
4 a ◊ b = 4(ab )
x3 = x3
3 + 5; - 3 - 5
gleiches Vorzeichen
Addiere die Beträge! Die Summe erhält
Formuliere
Regel
das
gemeinsameeine
Vorzeichen:
für die Addition und
3 + 5 = +8 ;
- 3 - 5 = ( -3) + ( -5) = -8
Subtraktion ganzer
Zahlen!
verschiedenes
Vorzeichen 5 - 3; - 5 + 3
Unterscheide
die
Subtrahiere
den kleineren
Betrag vom
Fälle „gleiches
Vorzeichen“
größeren!
Die Differenz
erhält das und
Vorzeichen
der betragsmäßig
größeren
„unterschiedliches
Vorzeichen“!
Zahl:
5 - 3 = +2;
gleiche Basis
ann � bnn = ?
5 �3 =?
2
52 ◊232�=b(2
5◊3
4a
=) ?
1m² =
?
1m3 = (10 dm)3 = 103 dm3
Rauminhalt:
1m³ = ?
negative Zahlen
0
0
n
gleicher Exponent
a2 ◊ b 2 = (ab )
4
Ganze Zahlen   = { - 2, - 1, 0, 1, 2, }
iche Zahhlleenn 
l
r
ü
t
Addition/Subtraktion
Na
Za
0
0

a = a◊  ◊a
Potenzgesetze
π 3+5
–2
T1 (x)
T2 (x)
Potenzen
38000
 = 3, 8 ◊10 Komma-3 verschiebung
0
0
,0038
m
10
m
 = 3, 8 ◊10
Schreibe
als
Zehnerpotenz!
· 10
-1
Taschenrechner
38000
=dm
? 10 m
· 10
3, 8 ◊10 4 = 3, 8 EXP 4
0,0038 cm
= ? 10 -2 m
· 10
Forme
um
dm,
-3 dm² bzw. dm³!
1m = 10 dm fi
mmin 10
m
2
2
2
2
1m = ?
Fläche: 1m = (10 dm) = 10 dm
· 1000
5 x - 2 x ( x - 1) … im Nenner steht die
( x + 1)( x - 1)
Variable x.
Gegeben ist der Bruchterm:
Definitionsmenge
5 x 2 - 2 x ( x - 1)
Alle x-Werte
für die der
( x + 1)( x -ausschließen,
1)
Nenner Null wird (hier: D =  \ {-1; + 1} ).
Erweitern
Gib die Definitionsmenge
Kürzen an!
ist Kürzen nicht erlaubt!
103 m
2
Die Terme T1( x ) und T2 ( x ) heißen äquivalent,
falls für alle zulässigen Werte x stets
T1( x ) = T2 ( x ) gilt:
x –1
0
1
2
gleichartige Terme
Zehnerpotenzen
km
1
(3x)�(5y); –(7/3)x²�3xy;
(3 x ) ◊ (5 y ) = 3 x ◊ 5 y = 15 xy
–5(x–1)�(–8).
- 7 x 2 ◊ 3 xy = - 7 ◊ 3 x 3 y = -7 x 3 y
3
3eine Regel!
Formuliere
-5( x - 1) ◊ ( -8 ) = 40( x - 1)
„in den Nenner“
Was versteht
man
a–n ?
1 ,unter
-n
a
π
0
a
=
–2
3( x + 4 )-2 = 3 2
Forme 3(x+4)a n um!
( x + 4)
2
sich umformen
Komplizierte Terme werden durch Anwenden
der Gesetze für reelle Zahlen in einfachere
äquivalente Terme umgewandelt:
Beschreibe mithilfe eines Beispiels,
6-
(man
x + 2
)(
xunter
+ 3) - 4äquivalenten
x2 = = x
( x
+Termen
1)
was


5

T (x)
versteht!T ( x )
•
+
negative Exponenten
Bruchterme
lassen
Termumformungen
Zusammenfassen
| Ergänze „1mal“
Multipliziere aus!
werden von innen nach außen aufgelöst!
–(3–x)·(3+5·(1–x))
- (3 - x ) ◊ (3 + 5 ◊ (1- x ) ) = | Ausmultiplizieren
2
2
2
25ab2 ; 25ab ; 25ab 
2+a
2+a
Gleichartige
werden addiert
(subx³ + 2x³ + Terme
x² vereinfachen
lässt.
trahiert), indem ihre Koeffizienten addiert
(subtrahiert) werden: 2x 2 + 3x 2 = 5x 2 .
Gib eine allgemeine Regel für das
Gleichartige Terme sind Potenzen mit gleicher Basis
Zusammenfassen
Termen
an!
und gleichem
Exponenten,von
gleiche
Wurzelausdrücke
oder gleiche Kombinationen mehrerer Variablen:
( x - 5)( x + 1) = x + x - 5 x - 5 = x - 4 x - 5
Gib eine allgemeine Regel zum Aus( xmultiplizieren
- 5)( x + 1)( x + y ) =von
( x 2 -(a+b)(c+d)
4 x - 5)( x + yan!
)=
3
3
2
x - 4 x - 5 x + x y - 4 xy - 5 y
3
2
-3
2
3
3
1◊ x 3 + 2 ◊ x 3 + x 2 = | 1 Paket +2 Pakete = Potenzen x ; 3 x
Brüche
3 Pakete
3◊ x3 + x2
3 = 3◊ 1 ; - 1 ; 3 = 3 ◊ 1
x
x
x 5x 5 x
Verschiedenartige Terme z. B.
3 x 3 und x 2 können nicht weiter
Wurzeln x + 1; 3 x + 1
zusammengefasst werden!
Verlag wissenschaft-design Christian Kornherr
Gleichungen
an!bzw. durch dieselbe Zahl
multiplizieren
π 0 teilen.
BA
2
-5 x 2 - 5 x „Was noch nicht zum Rechnen dran,
schreibt man unverändert an!“
2
6
➂ Isolieren mit • :
Äquivalenzumformungen

Beide Seiten mit derselbenvon
Zahl π 0
Ree l
2
x3 + 2◊ x3 + x2 =
e
h
c
i
l
r
ü
t
Na
Auf beiden Seiten dieselbe Zahl
Gib addieren.
mindestens vier
4 Löse
x + 8 =die
2 ( xlineare
- 3) + 2
M
U
2
3
4
(x–5)·(x+1)(x+y)=?
„Die natürlichen Zahlen sind von Gott gemacht.
Alles andere ist Menschenwerk.“
Kronecker

le Zahlen 
…können Platzhalter (x, a, b …), Potenzen, Wurzeln,
Brüche etc. enthalten. Durch Ineinanderschachteln
können Terme beliebig kompliziert werden:
| Ausmultiplizieren
- ( xan,
+ 2)(wie
x + 3man
) - 4 x die
= einzelnen
und 6gib
Umformungen
nennt!
6 - ( x 2 + 3 x + 2 x + 6 ) - 4 x 2 = | Zusammenfassen
(a(x–5)·(x+1)=?
+ b )(c + d ) =und
ac+ad + bc + bd
!
Welche Termart Differenz
beschreibt
der angegebene
6 - ( x + 3)( x +Term–
2) - 4 x 2 und
warum?
Die letzte Rechenart gibt dem Term
seinen Namen, z. B. hier Differenz.
3 + 4 ◊ 3 - 4 = 3 + 12 - 4
rch
Äquivalenzumformungen
L
i g n .d e
A
s
e
d
R
t
f
DE ©wissenscha
(a(x–1)(x+1)=?
+ b )(a - b ) = a2 - b2
ls
Summe Summe
x +2
x +3
Gib einen
•
Produkt
Termbaum
zum Term Potenz
6 6–(x+2)(x+3)-4x²
( x + 3) ◊ ( x + 2 )
x2
4
• Produkt
Differenz
an!
6 - ( x + 3) ◊ ( x + 2 )
4 ◊ x2
a
(2(2x+1)²=?
x - 3)2 = (2 x )2 - 2 ◊ 2 x ◊ 3 + 32 = 4 x 2 - 12 x + 9
(2x-3)²=?
e
x4
= { }  unter} sollte man Lallgemein
L = {±44 2Fälle
Welche
-2
scheiden?
Die Unbekannte steht nicht in
einer Potenz, im Nenner, unter
der Wurzel etc.
w
… sind mathematische Ausdrücke, in
denen zwei Terme durch „=“ miteinander
verbunden sind.
u
➀ Klammer
➀ ➁
Gib an,
3
➁ Potenz
welche Rechenarten beim(2 x + x ) + 1
5
Term➂ Produkt/Quotient
fäll
keine reelle Lösung
für f ( x ) = x 2 - 1
d
st
el ö
ng
(a(x+1)²=?
- b )2 = a2 - 2ab + b2
Klammern
(x–2)·3=?
5 ◊5·(x+1)=?
( x + 1) = 5 x + 5
( x - 2) ◊ 3 = 3 x - 6
auflösen
x·(x²+1)=?
(–1)·(x+1)=?
( -1) ◊ ( x + 1) = - x - 1 = -( x + 1) siehe Minusx ◊ ( x 2 + y ) = x 3 + xy
klammern
2
1
Multipliziere
aus!
zial
GibNullstellenan, welche
Fragestellungen
bestimmung, zu
Funktionen
auf
SchnittpunktGleichungen
bestimmung
führen!
de
er
( xBinomischen
+ 1)2 = x 2 + 2 x + 1Formeln an
(2und
x + 1)2multipliziere
= (2 x )2 + 2 ◊ 2 x ◊1+aus!
12 = 4 x 2 + 4 x + 1
aaMultipliziere
◊◊((cc ++dd)) == ac
++ad
ac
ad
aus!
beim Ausmul- Beschreibe,
(3 - x ) ◊ (3 + 5 -was
5 x ) =man| Zusammenfassen
tiplizieren von ineinander geschach- telten
(3 - x ) ◊ Klammertermen
(8 - 5 x ) =
| Ausmultiplizieren
beachten
- muss!
(24 - 15 x - 8 x + 5 x 2 ) = | Zusammenfassen
Spe
Die Lösungen stehen im Zerlegungssatz
mit entgegengesetzten Vorzeichen!
Gleichungen
2 x 2 + x + 1= 0
2 x 2 + x - 1= 0
4 x 2 + 4 x - 1= 0
2x² + x -1
= 0,
2
-1± 1 - 4 ◊ 2 ◊ ( -1)
-1± 4 2 - 4 ◊ 4 ◊ ( -1) x = -1± 12 - 4 ◊ 2 ◊1
x2x²
1,2
1,2 = + x -1 = 0 und x1,2 =
2◊2
2◊2
2◊4
2x² + x +1 = 0
-1± -8 
-1± 9
-1± 0
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
=-1
4
4
8
8
und gib
–falls möglich– die Lösung(en) an!Wurzelziehen nicht
1
fi x1 = ; x 2 = -1
2
erlaubt!
reelle Lösungen
d > 0 –falls möglich–d < 0
Bestimme
die Lösungen
der reinen
Potenzgleichungen
4
4
x =2
x 4 = -2 4
x4=2, x4=–2,
x =42
Wurzelziehen
x5=2, x5=–2!
nicht erlaubt!
x = ±4 2
2 x 2 + x - 1 = 2 ◊ ( x - 0, 5 ) ◊ ( x + 1 )
D > 0
D = 0 der quadratischen
D < 0
Bestimme die Diskriminante
1}x 2an!
R ={0;
{( x ;–1;
y ) mit
+ y 2 = 1}
x W=
Beschreibe,
worin
der
Die Relation R ist die Menge
aller Zahlen2
2
Unterschied
zwischen
x
+
y
=
1
paare (x; y), die
erfüllen.
einer Relation und einer
können
Funktion
besteht!
! Bei Relationen
einem x-Wert mehrere
y-Werte zugeordnet werden!
spe
y
Relationen
ge D
Wertem
en
R
Gib eine beliebige
–1
0
Relation zwischen den
1
1
Mengen
0
–1
D = {0; –1; 1} und y
le
?3
-b ± b - 4 ac
x(Mitternachtsformel)
1,2 =
2a
einer quadratischen
Gleichung an!
Diskriminante entscheidet über die
Anzahl der Lösungen
D = b2 - 4 ac
im Bereich der
Löse
d = 0die
Gleichung
n
xxn == 00¤ x = 0
n-fache Lösung
(n=1,2,3,…)!
x =d
Unter welchen Bedingungen lässt sich
„Ein Produkt wird
eine quadratischer
in ein
ax 2 + bx + c Funktionsterm
=
Null, wenn einer der
Produkt zerlegen?
a( x - x1)( x - x 2 ) Faktoren Null wird!“
Gib eine Zerlegung
des Funktionsterms
f(x) = 2ax² +bx +c an!
2 x + x - 1 = 0 fi x1 = 0 , 5; x 2 = -1
reellen Zahlen.
Definitionsm
x
f
–
L={}
L={}
-1
Wertem
?–1
ziel
Definitionsm
ge D
en
0
–1
1
–2
2
2
–
Reine Potenzgleichung
leichungssysteme
START
… ein Produkt in eine Summe/Differenz umwandeln.
5
c
Definitionsmenge D = 
n
Ausmultiplizieren ist
die Umkehrung vom
Ausklammern!
Plusklammern
–(x+1)(x–1)=?
können weggelassen werden:
Erkläre, was zu tun ist,
(a + b
) =Pluszeichen
a+b
+
wenn
ein
vor
3der
Klammer
+ ( 4 x - 1) = 3 + 4 x stehet!
- 1= 2 + 4 x
u li
ha
g
h un
L =] x1 ; x 2 [
–
–
A
R
GEB
Parallele zur
x-Achse: m = 0
2
Gemeinsamen Faktor a ausklammern
Klammere aus und
!
◊ c + a ◊ dden
= agemeinsamen
◊ (c + d )
amarkiere
Faktor!
Zur
Sicherheit die
3x + 8x² = ? Ausmultiplizieren
Probe
machen!
2x + 8x² = ?
5 xy ◊ ( x - 3 y ) =
3 x + 8 x 2 = x ◊ 3 + x ◊ 8 x = x ◊ (3 + 8 x )
5x²y–15xy² = ?
5 x 2 y - 15 xy 2 
+ 8 x 2 = 2 x ◊1eine
+ 2 x allgemeine
◊ 4 x = 2 x ◊ (1+Regel!
4x)
2 xFormuliere
5 x 2 y - 15 xy 2 = 5 xy ◊ x - 5 xy ◊ 3 y = 5 xy ◊ ( x - 3 y )
-( x - x + 1) = - x + x - 1
-Löse
( x + 1)(die
x - 1Klammern
) = -( x 2 - 1) = 1auf!
- x2
–(x²–x+1)=?
–
➂ Untere Zelle = obere Zeile + mittlere Zeile;
weiter mit ➁
alle anderen
Wo schneidet die
n Potenzgleichung?
Koeffizienten = 0 Reine
Parabel y = x n die
Gerade y = d ?
Sind x1 und x2 Lösungen von ax 2 + bx + c = 0 ,
kann ax 2 + bx + c in Faktoren zerlegt werden:
Fa
b0
➁ Untere Zelle mit x0 multiplizieren; Ergebnis nach
rechts in mittlere Zelle.
en Funktion
atisch
ad r
FUNKTIONEN
2
1
0
Zur Verwendung im Unterricht
für nicht kommerzielle Zwecke
freigegeben.
Die Datei darf an Dritte (insbesondere
Schüler, Lehrer und Dozenten) weiter-
y = f (x)
Lausschnittsweise
inear
Binomische
gegeben
werden.
Jede
Vervielfältigung
des
Werkes
auch
e Gleic
Formeln
hungen
(a+ b) =muss
in gut lesbarer Schriftgröße Wertetabelle
a + 2ab + b den Quellenhinweis wissenschaft-design.de
GLEICHUNGEN
4 x + 8 = 2( x - 3) + 2
enthalten. Eine
Veränderung der Datei ist nicht zulässig.
➀
Vorrangregeln
Ursprungsgerade: t = 0
… eine Summe/Differenz in ein Produkt umwandeln.
2
c
f („achsensymmetrisch
-x) = f (x)
zur y-Achse“ und
„punktsymmetrisch
Eine Funktion f ist punktsymmetrisch
zum Ursprung,
zum Ursprung“!
falls
Zur Ver
ansc
Gegeben ist beispielsweise die
h au
li c h
Funktionsgleichung f ( x ) = x 2 - 1.
un
Gib an, g
Derman
Funktionsgraph
Gf istdie Menge
v
was
unter einem
aller
Punkte
(x|y)
mit
der
Eigenschaft,
Funktionsgraphen
dass x alle Elemente der Definitions versteht!
menge D durchläuft und y = f (x ) ist.
Skizziere den Graphen der
Funktion f(x) = x²–1.
Wertemenge
W = [-1; + •[
Gib die maximale
Gf Definitions-
menge D der Funktion
f an!
„Das ist
der Topf,
deran!
alle Funktions Gib die Wertemenge
werte enthält.“
h: y=1!
4 x - 4 x + 1 = (?2 x ) - 2 ◊ 2 x ◊1+ 1 =
(2 x - 1)2
Alle
Erkläre,
wie man
Summanden
in der Klammer wechseln
ihr
Minusklammern
auflöst!
Vorzeichen.
i : y = x -2
achsensymmetrisch
zur
Funktion f die Eigeny-Achse,
falls
schaften
x
?
S(0; –2)
2
Funktionsgraph Gf
Skizziere
h: y =1
den Graphen von
g: y=½·x!
?
S(–2; 0)
h : y = ( x + 2)2
zur Verans
g: y = 1x
Skizziere
2
den Graphen von
2
--((aa--bb++cc))== --aa++bb--cc
Ungleichung an!
+ –
– 0
2
Allgemeine
Form einer quadr. Gl.?
b1
iell: n
= 2
f : y = - 2 x + 23 nach
3
rechts
Erläutere dein Vor-2 nach
unten
gehen!
x
b
2
Minusklammer
+ + +
+ Gib– in+den 6+verschiedenen
0 +
L =Fällen
] - • ; x{a>0,
D>0}; …; {a<0, D<0}
1[
L =  \ {0 }
L=
» ]Lösungsmenge
x 2 ; + •[
die
der
b0
spez
f ( x1 ) > f ( x 2 )
D < 0
qu
0
➃ Nächsten Term (–x) nach unten holen.
a = 1
Definiere
Eine Funktion
ist
für fdie
D = 0
c = –1
b = 1
a = 2
Allgemeine Form
unten offen
y
Skizziere den
Graphen
: y = -2 x +2
der linearenf Funktion!
3
na b
-5 x 2 + 23 x - 24
f : y = - 1 ( x + 1)2 + 1
2
y
Skizziere den
Scheitel:
Graphen
von
S(–1; 1)
f(x)=–½(x+1)²+1!
?
g : y = 3( x - 2)2 - 1 S(2; –1)
EsDefiniere
sei x1 < x 2 :für die
Funktion
f die
Eigen Eine Funktion
f heißt
streng
schaften
monoton
steigend sms , falls
f („monoton
x1 ) < f ( x 2 ) steigend“
und
fallend“!
„monoton
Eine Funktion
f heißt streng
monoton fallend smf , falls
Für welche x-Werte liegt der
Graph Gf über der x-Achse?
D > 0
Scheitel: S(x0 | y0)
Scheitelkoordinaten x0, y0
Symmetrie
ax 2 + bx + c > 0
- 21 ( x + 1)2 + 1
Scheitelform
fGib
: ydie
= aScheitelform
( x - x 0 )2 +an!
y0
Monotonie
2
b1
b2
Falls die quadratische Gleichung in der Form x - 1 = -2 x 2 gegeben
ist, alle Terme auf eine Seite bringen, nach absteigenden Potenzen
sortieren, ggf. ausmultiplizieren und zusammenfassen.
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| Minusklammer
f(x)=–½x²–x+½
- [ x + 2 x - 1] =
durch
quadratische
- 21 ÈÎ x 2 + 2 x + 12 - 12 - 1˘˚ =
Ergänzung
auf
2
1
-Scheitelform!
2 [( x + 1) - 2] =
b2
a1+ (a2 + a3 x0) x0
➀ In die 1. Zeile die Koeffizienten eintragen; a3 in
die untere Zelle ziehen.
An der Faktorzerlegung lassen sich die
Lösungen samt Vielfachheit gut ablesen.
2
1
2
a2 + a3 x0
➂ x ² mit ( x– 1) multiplizieren und von der
ersten Zeile abziehen.
2
➄ Weiter wie in ➁ mit - x - x verfahren:
–x ² : x = –x
f ( x ) = x 2 ◊ ( x - 1) ◊ ( x - 2) ◊ ( x + 1) = 0
a3
Bsp.: ( x 3 - 2 x 2 - x + 2) : ( x - 1) = x 2 - x - 2
Führe die Polynomdivision
1
–2
–1
2
(x3–2x2–x +2) : (x–1)
1
1·1
(–1) · 1 –2
mit Hilfe des Horner-Schemas aus!
1
–2 + 1= –1 –1+ (–1) = –2
0
➁ Quotienten der führenden Potenzen
bestimmen, hier: x ³ : x = x ²
1± ( -1)2 - 4 ◊1◊ ( -2) 1± 3
=
2
2
fi x4 = 2
x 5 = -1
( ) ©Christian Kornherr � wissenschaft-design.de
()
Ausmultiplizieren
a < 0
Bringe
- 21 x 2 - die
x + 21Funktion
=
3
2
(aBeschreibe
x + a0Horner-Schema
) : ( x - x 0 ) = b2 x 2 + b1xfür
+ b0
3 x + a2 x + a1das
die Polynomdivision
a3
a2
a1
a0
(a3x3 + a2x2 + a1x + a0) : (x–x0)
x0
a3 x0
(a2 + a3 x0) x0
➀ Nach absteigenden Potenzen sortieren,
für fehlende Potenzen Platz lassen.
x 4 ,5 =
ne
r
0
unten: y0 < 0
Spiegelung
an der xAchse
y
Horner-Schema für die Polynomdivision
ren e
i
y
Da z1 < 0, keine weiteren Lösungen
➁ ➄
➀ ( x 3 - 2 x 2 -die
Beschreibe
x + allgemeinen
2) : ( x - 1) = x 2 - x - 2
➂ 3
Schritte
-( x - x 2einer
) ➃ Polynomdivision!
2
-x -x
- (die
- x 2 Polynomdivision
+ x)
Führe
2 x +:2(x–1) aus!
3
2
(x –2x –x +2)
-( -2 x + 2)
Ein praktisches
Verfahren zur Polynomdivision ist das
„Horner-Schema“.
risie
Skizziere den2
y
x -1ver)
Graphen (für
schiedene
Werte
Verschiebung nach
von x0!
oben: y > 0
x
smf
a > 0
x
x
in den 6 verschiedenen
y
y
y
Fällen {a>0, D>0}; …; {a<0, D<0}!
x
x
x
mit
Hilfe einer Substitution!
➂
Rücksubstitution:
x = ± z z1 = 4 fi x1,2 = ±2
Polynomdivision
: ( x - 1) = x 2 - x - 2
kto
y = ( x - x 0 )2
x
x
a < 0
x
Streckung
Stauchung den
Skizziere
|a| < 1
Graphen
für |a| > 1
verschiedeney Werte
von
ya!
1 x2
2x2
2
a > 0
-1
g(x) = x–3
smf
h(x) = x–5
x
Skizziere den
2
+1
Graphenx für
y
verschiedene
Werte von y0!
Löse
die biquadratische
z = x 2 fi z 2 -Gleichung
3z - 4 = 0
➀
Substitution:
➁
Lösungsformel: z1 = 4 ; z 2 = -1
x4Quadratische
–3x2–4 = 0
an=1, so ist jede rationale Lösung ganzzahlig und ein Teiler von a0.
Bsp.: Für x 3 - 10 x + 3 = 0 kommen als
ganzzahlige Lösungen nur ±1, ± 3 in Frage!

i ◊( p + p )
4 2
x 4 - 3x2 - 4 = 0
 x ausklammern (x = 0 ist Lösung)
Beschreibe, wie man vorgeht, um
zu „erraten“!
Lösungen
Sind alle Koeffizienten
ganzzahlig und ist
fi f ( x ) = x 2 ◊ ( x - 1) ◊ ( x 2 - x - 2) = 0
➂ Falls der Polynom-
2
2
1 - 2 ◊1 - 1+ 2 ◊1 = 0
➁ Polynomdivision
2
xGib
- 1den
= ( x -Haupt1) ◊ ( x + 1)
nenner
fi
HN = 2an!
◊ ( x - 1) ◊ ( x + 1)
2
p
2
Biquadratische Gleichungen
Erraten von Lösungen
Koeffizienten
i
2
Streckung auf das Doppelte
p
Drehung um 2 (  90∞).
höherer Ordnung
Ausprobieren: x3 = 1
grad 2 ist, Quadratische Lösungsformel
anwenden.
D < 0
ip
x5–2x4–x3+2x2 = 0!
x1,2 = 0 ⁄ x 3 - 2 x 2 - x + 2 = 0
3
1
e
3e 4 æ◊2æ
Æ 6e
5
xLöse
- 2 x 4die
- x 3algebraische
+ 2x2 = 0
2
xGleichung
◊ ( x 3 - 2 x 2 -5.
x +Grades
2) = 0
ersten Lösung durch
die einzelnen
Ausprobieren.
Schritte zur
Wenn
möglich,
Lösung
einerx
ausklammern.
algebraischen
Gleichung an!
➁ Mit Nenner multi- ➁ Mit Hauptnenner (HN) multiplizieren
Gib in den beiden Beispielen den nächsten Schritt zur
plizieren
2) + 5ˆ ◊ 2( x - 1)( x + 1)
2 ◊ 2 ( x - 1)an!
Lösung der Bruchgleichung
( x + 1) = ÊÁ ( x +
2 = 5 x + 1 ◊( x - 1) x - 1
Ë 2( x 2 - 1) ¯˜
x -1
( x + 2) ◊ 2( x - 1)( x + 1)
2 = (5 x + 1) ◊ ( x - 1)
4( x + 1) =
+ 5 ◊ 2( x - 1)( x + 1)
2( x 2 - 1)
2
2
a1 = a0 = 0
+  + a1x + a0 = 0
Auffinden der
➀Gib
allgemein
Eine Bruchgleichung enthält
mindestens einen Term, in dem die
Unbekannte im Nenner steht.
oben offen
n
ex
ind
()
n
4

sin()
Typ 1
2 = 5x +1
x -1
a4 = –2
n
n-1 algebraischen Gleichung?
Allgemeine
Form einer
2 = x +2
x -1 x2 -1
eW
n
ile
Ze
()
3
x +2
x +2
2
y
Skizziere den
Graphen der
Normalparabel!
2
y = x 2 + y0
= x der
Skizziere
n ungeradedie yGraphen
Funktionen! -1 -3 -5
y x x x
f(x) = x–1
1 4 06 41 12 … Wienlässt sich
dieser ZusammenBinomischer
Satz
hang
verallgemeinern?
Spaltenn n 0 n n-1 1
n
n
( a + b ) = 0 a b + 1 a b +  + n a 0b n
index k
2
f ()
3
Die Gleichung
3. Ordnung
x 2 +Bereich
9 x - 9 = 0 hat eine
Zerlege die
Funktionx f-im
reelle
Lösung:
x = 1.
Über

läßt
sich
der Linearfaktor
der komplexen Zahlen vollständig
in Linear-(x–1)
abspalten: x 3 - x 2 + 9 x - 9 = ( x - 1)( x 2 + 9 ) = 0 .
faktoren!
Über
die Gleichung vollständig in Linearfakf(x) = x³
–
x²läßt
+9xsich
–9
toren zerlegen: x 3 - x 2 + 9 x - 9 = ( x - 1)( x - 3i)( x + 3i) = 0
und die drei Lösungen sind x1 = 1; x 2 = 3i; x 3 = -3i.
Allgemeine Form
wahr: 1 = ( -1)
en g
()
Ausklammern
f (g( x ))
g( x )
2
D = ; W= 
(a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomialkoeffizienten
Mit Hilfe des „Pascalschen Dreiecks“
sprich: „n über k“
(a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
lassen sich Terme der Form (a+b)3, (a+b)4,…
k Faktoren


ausmultiplizieren.
abwechselndes
n
◊
(
n
1) ◊ ( n - 2 ) 
n
erhält man
Einträge Vorzeichen
1Wie
k = die
1◊ 2 ◊  k
0


des Pascalschen Dreiecks?
k
Faktoren
1 1 1
Welcher Zusammenhang
besteht
„3 über 2“
2
(a +1b )2 1 2 1
zwischen den Summanden im 3
3 3 ◊ Term
2
3
(a +1b ) 1 1 3 3 1ausmultiplizierten
2 = 1◊ 2 = 3
3 und den
1
Einträgen?
4
(a +1 b )42 11 4 6 4 (a+b)
1 3 … 3 …1 … … … …
© 2014
f
eW
Wo schneidet f die xAchse?
ie GeraSetze y = 0 ein ddie
m on
m
i
dengleichung
und löse
v
t
en
Bes xeauf.
nach
t ll
s
l
l
Nu
2 x +2
0 = :-y2=x-+ 32 fi 2 x = 2
3
f 3
fi x =3
a
f verknüpft mit f –1 führt
wieder zum Ausgangspunkt zurück.
„f nach g“
()
2
Bruchgleichungen
Definitionsmenge
➀
Gib
an, was bei der
Lösung
einer
BruchAlle
x-Werte,
für die
der Nengleichung
erstes zu
ner
Null wird,als
ausschließen!
tun ist!
Beispiel
2
x +2
D =  \ {1; –1} für x - 1 = 2
x -1
Jede
Gleichung n-ter
Ordnung
besitzt
Gib algebraische
den Fundamentalsatz
der
Algebra
an!im
Bereich der reellen Zahlen höchstens, im Bereich der
komplexen Zahlen genau n Lösungen.
nd u ng
we
An
unten offen
y = mx + t
allg. Form?
Pascalsches Dreieck
2
-1
2
a5 = 1
2
falsch: 1 = -1
Fundamentalsatz der Algebra
x5 - 2x4 - x3 + 2x2 = 0
Beispiel:
links : 1- 1 + 1 = 1 links : 2 - 1 + 1 = 2
rechts : 1

rechts : 1 
fi L = {1}
en g
x
sätzliche Lösungen entstehen!
➃ Probe machen; Lösungsmenge
x2 = 2
x1 = 1
on
Wie verläuft der Grax
ph für x<0 bzw. x>0?
smf
sms
fi x - 3 x + 2 = 0 fi x1 = 1; x 2 = 2
g
y
2
z 3und
= -4 der
- i Betrag von z1
graphisch deuten?
Polarform
Im(
z) komplexe
Eine
Zahl
z = r (cos
j + ilässt
◊ sinj )
sich durch den Winkel
bzgl. der reellen Achse und
Im(z) Euler-Formel
p
ihrem Betrag r darstellen
i◊ 2 Euler-Formel an!
Gibi =die
e
:r
(Polarkoordinatenz r ◊sinj
ag
etr
darstellung).
B
ij die komplexen
Bestimme
e = cos j + i ◊ sinj
Zahlen
Gibjdie zugehörige Formel
e0, eiϖ/2, eiϖ, ei3ϖ/2, ei2ϖ!
Re(z)
Re(z)
an!
i◊0
i◊ p
1= e
-1 = e
r ◊cosj
Stelle diese komplexen
Die Lösungen von
4
Zahlen in der zGaußschen
= 1 sind:
Exponentialform
Zahlenebene
dar!
3p
Erläutere die Bedeutung
i◊ 2
{1,
i,
–1, –i}
Multiplikation
-i = e
der Formel
ij
kp
z1 ◊ z 2 = r1 r2 ◊ ei( j +j )
z
=
r
◊e
i◊ 2 4
i ◊2 k p
(eZu )welcher
=e
= 1Gleichung
; k = 0 , 1, 2, 3sind
Streckung
diese
Zahlenvon
Lösungen?
z = r � eiφ auf
Potenz
z 4 = 1 erhält man
Die
4 Lösungen
Drehung
n
n
i nj
z = r ◊e
durch Viertelung des Einheitskreises.
r2-faches um j2
3 + 4i ==(3?+ 4i) ◊ (5 - 2i)
5 + 2i
52 + 22
(3+4i)�(5+2i)
(3 + 4i) ◊ (5 + 2i) = (=3 ◊ ?5 - 4 ◊ 2) + (3 ◊ 2 + 5 ◊ 4 ) ◊ i = 12 + 26 i
(x–3i)�(x+3i)
( x - 3i) ◊ ( x + 3i) = =x 2?- (3i)2 = x 2 - 32 ◊ i2 = x 2 + 9
ebraische Gleich
g
l
ungen
A
!
x - 1) = (1- x )2 fi x - 1 = 1- 2 x + x 2
2
un
{
(
Beschreibe,
Quadrieren
ist keine
worauf
man beim
LösenÄquivalenzumformung
einer Wurzelgleichung
aufpassen
muss!
Beim
Quadrieren
können zu-
(a1 ◊ a2 - b1 ◊ b2 ) + (a1 ◊ b2 + a2 ◊ b2 ) ◊ i
oben offen
x–6
Betragsfunktion Nullstellen
x falls x ≥ 0
Skizziere
y = x = den Graphen
- x falls x < 0
der Betragsfunktion!
x - 1 + und
x =Lösen
1 ! der entstan➂ Quadrieren
denen algebraischen Gleichung
zz11 / zz12◊ z 2
=
=z 2 ? z 2
Schalten Sie im Acrobat Reader™ die Seitenminiatur-Ansicht

Quad
ratische G
leichungen
auf der linken Randspalte ein (ab Version XI). 2 x + x - 1= 0
Quadratische Ungleichungen
Wenn das „Hand-Werkzeug“ aktiv ist, erhalten Sie durch Zerlegungssatz
Klicken auf die blaue Schrift die Antwort auf die
ax + bxWissensfragen.
+c =0
y-Abschnitt
Steigungsfaktor
Welche Bedeutu2ng
Einheiten
Welche
Bet = 2:
G schneiDy -2 ¨
hat mdie
/3nach
für unten
den deutungf hat die
= Zahl–2
=
det
die
y-Achse
¨
D
x
3
3
Einheiten
Graphen?
2 für den bei y = 2
nach rechts Zahl
Graphen?
1
Wf = Df = 
Funktionseigenschaften
f : y = -2 x +2
3
0
1
2
Verkettung von Funktionen
Lineare Funktionen – Geraden
- (5 x 2 - 23 x + 24 ) =
1
2
-1
smf
1
1
x
Gib Eigenschaften der
Gib Eigenschaften
1 der Grax
PunktsymGraphen-1an! 1
phen an!
metrie zum
Ursprung
Achsensymmetrie zur y-Achse
D =  \ {0} D =  \ {0} ; W = ]0 ; + •[
W= \ {0}
x
VZW
von g
!
au f S
z
gän
cheitelf
orm bringen: Quadratische Er
h(x) =
Wann ist
eine Funktion entstehen
Mehrdeutigkeiten
NICHT umkehrbar?
beim Umkehren nicht monotoner Funktionen!
Welche Funktionen
sind in ihrem
gesamten
Definitionsbereich
Wird der Definitionsbereich
auf  +0 eingeschränkt,
ist
die
Umkehrfunktion
von
NICHT umkehrbar?
f ( x ) = x 2 die Wurzelfunktion f1-1( x ) = + x .
h(x)
sms= 1
-2
Skizziere
n gerade die Graphen
y = xder
Funktionen!
y
f(x) = x–2
x-2 x-4 x-6
sms
g(x) = x–4
Nicht kürzbare NennernullBeschreibe,
welchen
stellen
führen auf
Pole.
Einfluss der Nenner
x = 1 den
einfach
VZW
auf
Graphen
hat!
f : y= xDf = Wf = 
Hyperbeln allg.
y =Form?
x -n
y
Skizziere den
Polstelle
Graphen von
mitg!VZW
Eine Wurzelgleichung enthält
mindestens eine Wurzel, unter
der die Unbekannte steht.
Division
(a
(a11++b1ib
◊ i)1◊)(a�2 (a
+ b22 +
◊ i) ib
= 2) = ?
Erforschen Sie die Zweige des Algebrabaumes!
Quadratische
Funktionen
– Parabeln
Ideal
geignet
zur Wiederholung
des Grundwissens mit interaktiven
Whiteboards
zu
Allgemeine
Quadratische Funktion oder
Normalparabel y = x
f : y = ax + bx
+ c Hause am PC.
Achsensymmetrie zur
y-Achse; D = ; W = [0 ; + •[
2
g( x ) = ( x + 2) ( x - 2)
x -1
x -1+ x = 1
x -1+ x = 1 - x
Löse
x - 1 = die
1- x Gleichung
x7
smf
sms
1
Gib Eigenschaften der
Graphen an!
x
1
-1
Gebrochen rationale
Funktionen
➀ Definitionsmenge
Gib die einzelnen Schritte
Radikant
≥ 0 ; x - 1≥ 0 fi x ≥ 1
zur Lösung einer Wurzelan!
➁ gleichung
Wurzel isolieren
g(x) = x5
x6
h(x) =
Vertauschen von x und y
-1
Skizziere
y = x3
n ungeradedie Graphen
der Funktionen!
y x7 x5 x3
f(x) = x3
g(x) = x4
An der Faktorzerlegung
Zerlege f in Fakliest man die Nullstellen
toren!
mit ihrer Vielfachheit ab:
Beschreibe,
f ( x ) = ( x + 2)2 ( wie
x - 2)
man mit Hilfe der
x = –2 doppelt kein
Faktorzerlegung
vonVZW
f x = 2
den Graphen
von f
einfach VZW
erhält!
VZW: Vorzeichenwechsel
2
➁
4
Skizziere
y=x
n gerade die Graphen
der Funktionen!
y
x8 x6 x4 x2
f(x) = x2
x
(Zerlege dazu f
f
in Faktoren, siehe
VZW
kein VZW
unten)
von f
von f
3
1
y f ( x ) = x 2 Spiegelung an der
Beschreibe, wie man graphisch die
Winkelhalbierenden des
Umkehrfunktion einer Funktion f
I. und III. Quadranten
erhält!
f1-1( x ) = + x
2
streng monoton
Konstruiere die Umkehrfunktion
steigenderzu
Ast
f(x) = x² !
x
4
f2-1( x ) = - x
streng monoton
-2
fallender Ast
die
zu
y = 2Umkehrfunktion
x + 1 -1 Hier ist ggf.
eine
Fallunf(x)
= 22x+1!
y - 1=
x :2
terscheidung
x = 21 y - 21
nötig!
Multiplikation
3log x = x
BAUM DER ALGEBRA 1/5
Die Funktionen
y =Form?
xn
allgemeine Parabeln allg.
Skizziere yden
Graphen von f!
log10 (103 ) = 3 ◊ log10 10 = 3

 

4
Zum Ze
i
f ( x) = x3 + 2x2 - 4 x - 8
f(x)=|x|.
Bestimmung von f -1
Auflösen
nach x
➀
Ermittle
rechnerisch
Potenzfunktionen
Polynome
loga ( x ) = n ◊ loga x
Rechnen mit komplexen Zahlen Gaußsche Zahlenebene
3() ist die Umkehrfunktion
von log3 ( x ) :
Löse die Logarithlog
3()
3 x =2
musgleichung
log
x =3(x)
32 = 2!
log10(10³)
n = ?
este
ll t
x r < 0
Logarithmusgleichungen
log10 (
) = log10 1000 - log10 100



100
log (1 000/100)
=? 
3
2
10
Wurzelgleichungen
–2
werden da
rg
smf
kein VZW
von g
Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen mit gebrochenen
Exponenten.
y
Skizziere
x1
y =die
x r Graphen der
r Æ1
Funktionen!
x4/5
f(x) = 0 < r < 1
x1
x2/3
g(x) = x4/5
x1/2
h(x)sms
= x2/3
y
Skizziere
die Graphen
derx -1/2
Funktionen!
x3/2 x1
r > 1
3/2
f(x) = x
sms
–1/2
g(x) = x
loga ( ) = loga x - loga y
y 1000
log10(10
� 1 000) = ?
log10 (10 ◊1000 ) = log10 10 + log10 1000

 
 
1
3
Berechne mit ihrer Hilfe die
x
folgenden Terme!
Reduktion des
Polynomgrads
y=x
Für r < 0 bzw. r > 1 ähneln die Wurzelfunktionen den positiven Ästen
der Hyperbeln bzw. Parabeln.
2
3
y=x
r
log10 (27)
=3
log10 (3)
log
( x ◊Logarithmusgesetze
y ) = loga x + logaan!
y
Gib adie
?
Beschreibe,
welchen BedinEine Funktionunter
f ist umkehrbar,
wenn
gungen
eine Funktion
umkehrbar
2 verschiedene
x-Werte stets
auf 2 verist!
schiedene y-Werte abgebildet werden.
Gib
ein Kriterium
für die
UmInsbesondere
sind streng
monotone
kehrbarkeit
einer Funktion an!
Funktionen umkehrbar.
➁ 27 als Potenz
3 x = 27
Gib weitere Lösungsmöglichvon 3 schreiben
keiten von Exponentialglei3 x = 33
chungen an!
➂ Exponenten
3 x = 33 ¤ x = 3
gleichsetzen
Der
Logarithmus von x zur Basis a lässt sich
Basisumrechnung
auf eine andere Basis b „umrechnen“:
logc x Im Taschenrechner wird log3 27
Gib
an:
logadie
x =Basisumrechnungsformel
logc a eingetippt als:
lg ist die Abkürzung für
loga(x) = ?
lg 27 : lg 3 den Zehnerlogarithmus
log10 .
y = f (x)
f ( x) = x2
y = f (x)
x = log3 (27) =
Logarithmusgesetze
Umkehrfunktion f -1
0
alternative Lösungsmöglichkeit:
3 x = 27 x log3 ()
2 � 3 – 54 = 0!
x = log3 (27)
i = -1
n gerade
0
2 ◊Löse
3 - 54die
= 0Exponen+ 54 : 2
3 xtialgleichung
= 27
x = -d
n ungerade
Exp
h
Trigonometrische Gleichungen
y = log2 x
log3 (3 x ) = x
x

Die imaginäre Einheit i
2
ist definiert durch
… hat für d > 0 im Bereich der reellen Zahlen keine
verWas
Jede komplexe Zahl z lässt sich als Summe aus
stLösung.
eht
einer reellen Zahl a und einer imaginären Zahl b ◊i
Um diese Lücke zu schließen, werden die reellen Zahlen um die
Ve
schreiben:
(d > 0 ) erweitert.
imaginären Zahlen -d komz = a + b ◊i (a Œ; b Œ)
ra
man
ns
c
Realteil
von
z
Imaginärteil von z
plexen
Die reellen
und die imaginären Zahlen zusammen bilden den
ha
unter
uli
b = Im(z)
a = Re(z)
Bereich  der komplexen Zahlen.
Zahlen?
ch u
ng k
omple
xer Zahlen
Jeder Punkt (a|b) der
Zahlenebene entspricht genau
Im(z)
Addition / Multiplikation mit c Œ
z1 + z 2 = 2 + 4i
2 ◊ z 2 die
= -2komplexen
+ 4i
einer komStelle
Zahlen
plexen Zahl
Skalar(a
) (+a (a
+
ib
)
=
?
Vektoraddition


(a11++b1ib
◊ i)1+
+
b
◊
i
)
=
(
a
+
a
)
+
(
b
+
b
)
◊
i
4
(3 + 4i) + (5 - i) = =8 +?3i
22
2 1
(3+4i)+(5–i)
z1 = 3 +2i,
2
2
1
2
z = a + b ◊i
multiplikation
cc ◊�(a(a+ b+◊ iib)
= +?cb ◊ i
5�(3+4i)
=
?
) = ca
5 ◊ (3 + 4i)=15+20i
z2 = –1 +2i,
3
2
z 2 =+i
-1+ 2i
z3 = –4
2 z1 = 3 + 2i
Betrag
Komplexkonjugation
2 +
2
3
in
der
Gaußschen
Zahlenebene
dar!
z 3 = -4 + i
:
|a
+ ib|
rag
z =+ aib+ b=◊ i =? a - b ◊ i
a
t
z=
z ◊ z==? a2 + b2
e
1
B
Wie Spiegelung
lässt sich die Summe z1 + z2,
Re(z)
|3+5i|
3+5i
3 + 5 ◊ i == ?
9 + 25 = 34
3 + 5 ◊ i ==3 ?- 5 ◊ i
2
1
3
4
anProdukt
reeller Achse
das
2 � z1
2
leic
hun
gen
Wie
hängen
Sinus
cos(90
∞ - a ) = sin
a und
Kosinus
zusammen?
cos 60∞ = sin
30∞
360°
ari
t
Symmetrie
sin(–
?a
sin( -a ) =) -=sin
sin( -60∞)) ==-?sin 60∞
cos(–
cos( -a ) = cos a
cos( -60∞) = cos 60∞
Log
Komplementbeziehungen
Komplementwinkel
sin(90∞ - a ) = cos a
ergänzen
sin 60∞ = cossich
30∞ zu 90°.
on
po
the
nu
se
±sina +cosa
m
nktionen
u
f
us
Basis
➀ Potenz isolieren
Gib allgemein
die einzelnen
Schritte zur
➁ Logarithmieren
Lösung einer
Exponentialgleichung an!
➂ ggf. auf eine im
Rechner gespeicherte Basis umrechnen
g
Tra
nsz
en
de
nte
G
cos() ∓ sina -cosa
2p
Winkel
0° die30°
45°im Gradmaß
60°
90° an!
180°
a (DEG) Gib
1
1
1 2die Wertetabelle!
Vervollständige
3
sin 0
1
0
2
2
✘
✘2
✘
1 3 1
1
2
cos
1
0
–1
2
2
✘
✘ 2 ✘
1 3
tan
0
1
––
0
3
3
Hy
Vervollständige
die -sina
sin() +cosa
∓ sina -cosa
Umrechnungstabelle!
x
e
Gib
der Graphen an!
a0 =Eigenschaften
1
2
D = 
zur Logarithmus1
W =  +
funktion
x
1
Trigonometrischer Pythagoras
2
Gib
an,
was
a = ± 1dem
- cos2 a
sin2 a
+ cos
a =man
1 sinunter
„Trigonometrischen
Satz
cos a = ± 1-des
sin2 a
Pythagoras“ versteht!
-a
90∞ ± a 180∞ ± a 270∞ ± a
sms
für a >1
i(x) = (1/2)
Eulerzahl:
e = 2,718…
a ª 56 , 31∞ (Taschenrechner )
3 = 27
un
log3 () ist die
Umkehrfunktion von 3 x :
Imaginäre Einheit i
,
be r
ei de i
hr r
sc te eit
Be un inh
an
E
m en
är
as
w gin !
t
a
il ,
h
te
im te
al ärrs
Re in
ve
r ag en
de Im plex
ist er om
d k
as
W ist er
as in
w il e
te hl?
Za
p
IV
x
g(x)
e 0 < a <1
,
e=2,718…
smf= für
x
h(x) = 10
x
3Löse
= die
27 ¤
Exponentialgleichung
x
x=
log3 27
3
=27!
Ergebnis
x
s
hmu
arit
p
2
270°
III
x
f(x) = 2
den
3 Ermittle
tana = 3 fi
Winkel 2 !
a
2
sin –
cos +
y = ax
* KOMPLEXE ZAHLEN
og
p
3
p
4
sin –
cos –
Exponent
L
nd
p
6
cosa
y
Skizziere
die
x Graphen
e x 2 x der
10
x Funktionen!
-x
=2
1
2
Exponentialgle
ic h
y = 2x
u
en
sina
0°
90°
180°
270°
360°
y
Skizziere
cos den
x Graphen der Kosinusfunktion
Periode: 2p
im Bereich [0; 2ϖ]!
1 ✘
✘
p
p Werte
2
Gib die charakteristischen
x
✘
0
2p
cos(0), cos(ϖ/3), cos(ϖ/2), cos(ϖ) 3an!
p
2
–1
0°
90°
180°
270°
360°
y
sin x
Skizziere
den
Graphen
der
Tangensfunktion
Periode:
p
y = tan x = cos x
im Bereich [–2ϖ; 2ϖ]!
p
3p
-p
-3p
2
2
2
2
Gib die Nullstellen und die Definitionslücken x
0
p
-2p tan(x) an!
-p
von
2p
0
(d.h. definierecosa
Sinus,
Kosinus
= Ankathete
Hypothenuse
und Tangens als Streckenvera
hältnisse
im rechtwinkligen
Gegenkathete
tana =
Ankathete
Dreieck!)
Ankathete
dranten der Sinus bzw.
Kosinus
positiv oder
negativ
a
0°
180°
✘
ist!
360°
–1
x (RAD)
Gib die Beziehungen
im
Gegenkathete
sina =
Hypothenuse
rechtwinkligen Dreieck
an
en
Funktion und Umkehrfunktion
I
Veranschauliche
II
✘ die Winkel90°und✘ Kosinus
sin
+
sin +
funktionen
Sinus
cos
cos +
am– Einheitskreis!
1 QuaGib an, in welchen
Gegenkathete
y
Skizziere
Periode: 2p
sin xden Graphen der Sinusfunktion
✘ 2ϖ]!
im
[0;
1 Bereich
✘
3p
2p
p
Gib
x
✘ die charakteristischen Werte 2
0
p
sin(0), sin(ϖ/3),
sin(ϖ/2),
sin(ϖ)
an!
2
en
Trigonometrische Funktionen
tion
k
n
u
f
it a( l)
Zinsrechnung
Ohne Zinseszins
Das Kapital K = 10 000 € wird auf einem Sparbuch mit einem Zinssatz von p % (derzeit: 3%)
angelegt. Die jährlichen Zinsen werden nicht weiter verzinst. Pro Jahr erhält der Anleger den
Jahreszins: Z Bestimme
= p % · K = 3 %
· 10 000 €
= 0,03 · 10 000 € = 300 €
den
Jahreszins!
Tageszins: Wird das Kapital nur t = 120 Tage angelegt, vermindern sich die Zinsen auf:
die ◊Zinsen
nach 120
Tagen! hat 360 Tage)
ZBestimme
¢ = t ◊ Z = 120
300 € = 100 € .
(Das Bankjahr
360
360
Mit Zinseszins
nach dem Kapital
Gib eine Formel
für das Kapital nach
Start
K0 10 000
n Jahren an!
p
K 1 = K 0 ◊ (1+ 100 )
1. Jahr
10 000 · 1,03
Das Kapital K0 = 10 000 € wird
auf einem Sparbuch mit einem
Zinssatz von p% (z.B.: 3 %)
2. Jahr
angelegt. Die jährlichen Zinsen
…
werden weiter verzinst.
n. Jahr
p
p 2
K 2 = K 1 ◊ (1+ 100
) = K 0 ◊ (1+ 100
) 10 000 · 1,032
p n
K n = K 0 ◊ (1+ 100
)
10 000 · 1,03n