¨Ubungsblatt 1

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2016
Übungsblatt 1
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 31.10.-4.11.
Aufgabe 1
Popeye der Seemann
(Präsenzaufgabe)
Popeye hat 5 Dosen Spinat. Er weiß aber, dass genau
zwei davon von seinem Gegner Bluto ausgetauscht
worden sind. Er weiß auch, dass eine von den falschen
Dosen genau 1 g leichter und eine genau 1 g schwerer
ist als die richtigen. Kann Popeye mit einer Schalenwaage die echten Spinatdosen von den gefälschten trennen und auch genau sagen, welche leichter
und welche schwerer ist? Er hat allerdings nur genug
Kraft für drei Wägungen.
Aufgabe 2
Induktion
(Präsenzaufgabe)
Beweisen Sie folgende Behauptung durch Induktion
über n ∈ N.
Wir nehmen an, dass n > 0 Geraden in einer Ebene liegen, von denen sich keine drei in einem Punkt
schneiden und keine zwei parallel sind. Dann wird
die Ebene durch die Geraden in genau (n2 + n + 2)/2
Gebiete aufgeteilt.
Hinweis: Zählen Sie bei der Induktion die durch die neu hinzukommende Gerade neu entstehenden Geradenschnittpunkte und schließen sie hieraus auf die Anzahl neu abgeteilter Gebiete.
Aufgabe 3
Verstärkung im Induktionsbeweis (Präsenzaufgabe)
Beweisen Sie, dass
1
1
1
+ 2 + . . . + 2 < 2.
2
1
2
n
für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1.
Hinweis: Man erfinde eine geeignete Funktion f über den positiven reellen Zahlen, so dass
1
1
1
+ 2 + . . . + 2 ≤ 2 − f (n).
2
1
2
n
Aufgabe 4
Fehlerhafte Induktion
Was ist bei den folgenden Induktionsbeweisen falsch gelaufen?
(Präsenzaufgabe)
GLoIn, WS 2016
Jeder Bus kann beliebig viele Studierende fassen.
Wir beweisen per Induktion über n, dass n Studierende in den Bus passen.
Induktionsanfang n = 1: Der Bus ist natürlich gross genug, um eine Person zu fassen.
Induktionsschritt n − 1 → n: Wenn schon n − 1 Studierende im Bus sind, dann weiß jeder, dass
immer noch ein Studierender hineinpasst.
Alle Schafe einer Herde haben die gleiche Farbe.
Beweis per Induktion über die Größe n der Herde:
Induktionsanfang n = 1: klar.
Induktionsschritt n − 1 → n: Wir betrachten eine Herde von n Schafen. Wenn wir ein Schaf
herausnehmen, bleibt eine Herde von n − 1 Schafen, die nach Induktionsvoraussetzung alle
die gleiche Farbe haben, übrig. Jetzt fügen wir das herausgenommene Schaf wieder hinzu und
nehmen ein anderes Schaf heraus; auch hier haben die übriggebliebenen n − 1 Schafe nach
Induktionsvoraussetzung alle die gleiche Farbe. Also haben alle n Schafe der Herde die gleiche
Farbe.
Aufgabe 5
Logisch oder nicht?
(6 Punkte)
Wenn Schweine Flügel hätten, würden sie fliegen. Schweine fliegen nicht bei schlechtem Wetter.
Wenn Schweine Flügel hätten, würde ein vernünftiger Mensch einen Regenschirm bei sich tragen.
Daher: Wenn das Wetter schlecht ist, würde ein vernünftiger Mensch einen Regenschirm bei sich
tragen.
Ist diese Herleitung logisch stichhaltig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 6
Welchen Wochentag haben wir heute?
(6 Punkte)
Gestern fragte sich Vater plötzlich, welchen Wochentag wir eigentlich haben.
Immer wenn wir Ferien haben, vergesse ich das“, meinte er.
”
Freitag“, antwortete Alard.
”
Samstag!“, widersprach ihm seine Zwillingsschwester Dresel.
”
Welchen Tag haben wir denn morgen?“, wollte Mutter wissen, die den Disput mit möglichst
”
wenig Aufwand schlichten wollte.
Montag“, erwiderte Dresel.
”
Dienstag“, widersprach Alard.
”
Herrgott nochmal! Welchen Tag hatten wir denn dann gestern?“
”
Mittwoch“, antwortete Alard.
”
Donnerstag“, entgegnete Dresel.
”
Grrrrrr!“ Mutter zeigte ihre berühmte Marge-Simpson-Imitation. Jeder von euch hat eine
”
”
richtige und zwei falsche Antworten gegeben.“
Welcher Wochentag ist heute?
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GLoIn, WS 2016
Aufgabe 7
Eulersche Formel
(8 Punkte)
Ein planarer Graph besteht aus einer Menge von Knoten V auf einer Ebene zusammen mit
(unorientierten) geraden Strecken E, die Paare von unterschiedlichen Knoten in solcher Weise
verbinden, dass sich keine zwei Strecken überschneiden (abgesehen natürlich von den Endpunkten). Jeder planare Graph teilt die Ebene in zusammenhängende Gebiete (die auch als Flächen
bezeichnet werden), die von den Kanten des Graphen begrenzt werden. Sei F die Menge dieser
Flächen, ohne das unbeschränkte Gebiet um den Graphen herum.
Beweisen Sie, dass für jeden zusammenhängenden (d.h. die Knoten sind paarweise durch eine
Kantenfolge im Graphen verbunden) planaren Graphen die eulersche Formel gilt:
|F | − |E| + |V | = 1
Hinweis:
Überzeugen Sie sich anhand der folgenden Beispiele, dass die Formel gilt:
5 - 12 + 8
4 - 11 + 8
2-9+8
1-8+8
0-7+8
0-5+6
0-3+4
0-0+1
Verwenden Sie Induktion über |E|. Sie dürfen ohne Beweis die folgende Tatsache benutzen: jeder
nichtleere zusammenhängende Graph kann aus dem einpunktigen Graph induktiv konstruiert
werden, in dem man schrittweise neue Kanten hinzufügt, die entweder zwei schon vorhandene
Punkte oder einen schon vorhandenen und einen neu hinzugefügten Punkt verbinden, und alle
Zwischenergebnisse bleiben dabei zusammenhängend.
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