Übersicht über die Lernbereiche

Übersicht über die Lernbereiche und jeweils ungefährer Zeitbedarf
Zeitbedarf
Schuljahrgänge 5/6
Zeitbedarf
Schuljahrgänge 7/8
Zeitbedarf
Schuljahrgänge 9/10
6 Wochen
Umgang mit natürlichen Zahlen
5 Wochen
Umgang mit negativen Zahlen
8 Wochen
Körper und Figuren
4 Wochen
Wahrscheinlichkeit
6 Wochen
Rückwärtsschlüsse in der Stochastik
12 Wochen
Umgang mit Brüchen
5 Wochen
Proportionale und antiproportionale
Zusammenhänge
8 Wochen
Entdeckungen an rechtwinkligen
Dreiecken und Ähnlichkeit
4 Wochen
Planung und Durchführung
statistischer Erhebungen
6 Wochen
Längen, Flächen- und Rauminhalte
und deren Terme
8 Wochen
Quadratische Zusammenhänge
8 Wochen
Umgang mit Dezimalzahlen
8 Wochen
Elementare Termumformungen
6 Wochen
Kreis- und Körperberechnungen
mit Weg zu Pi
4 Wochen
Symmetrien
8 Wochen
Entdeckungen an Dreiecken –
Konstruktionen und besondere
Linien
8 Wochen
Exponentielle Zusammenhänge
6 Wochen
Maßzahlen statistischer
Erhebungen
5 Wochen
Ein- und mehrstufige
Zufallsversuche
6 Wochen
Periodische Zusammenhänge
8 Wochen
Lineare Zusammenhänge
4 Wochen
Näherungsverfahren als
Grenzprozesse Zahlbereichserweiterungen
46 Wochen
49 Wochen
46 Wochen
Die genannten Zeitbedarfe können nur grobe Anhaltspunkte für die zeitliche Gewichtung der Lernbereiche liefern.
OM: Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
(vgl. auch das online-Material „Zum Umgang mit Termen, Funktionen, Variablen und Parametern“ und
„Elementare Termumformungen“)
Der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge ist kein Selbstzweck, er hat vielmehr dienende
Funktion. Er folgt stets der Leitfrage: „Wie kann mit dem Einsatz das Lernen unterstützt werden?“ In diesem Sinne ist der Einsatz immer ein „möglicher Einsatz“ digitaler Mathematikwerkzeuge.
Die von Josef Leisen geprägte Kurzformel „Kompetenz = Wissen + Können + Handeln“ stellt
eine eindeutige Verbindung des Handelns mit dem Wissen her. Insofern ist der Kompetenzbegriff ernst zu nehmen und ggf. um den des Wissens mathematischer Inhalte zu präzisieren, welches Schülerinnen und Schüler jederzeit parat haben müssen.
Damit Schülerinnen und Schüler nachhaltig lernen, müssen ausgewählte inhalts- und prozessbezogene Kompetenzen kontinuierlich wach gehalten werden.
Deshalb ist bei der Weiterentwicklung des Kerncurriculums der Schuljahrgänge 5 bis 10 der
Sicherung dieser Kompetenzen eine prominente Rolle eingeräumt worden. Im Sinne einer
Förderung der Selbständigkeit der Schülerinnen und Schüler erfolgt der Einsatz digitaler
Mathematikwerkzeuge zielgerichtet und situationsabhängig als Werkzeug zur Unterstützung
des Lernens, des Lösens und des Kontrollierens. Auch weil die technische Entwicklung rasant und in kaum vorhersagbarer Weise verläuft, muss der Umgang mit diesen Werkzeugen
Eingang in den Unterricht finden.
Digitale Werkzeuge spielen in den mathematisch gestützten Wissenschaften zunehmend
eine bedeutsame Rolle. Entscheidender für den Mathematikunterricht sind aber die Möglichkeiten dieser Werkzeuge,

Inhalte varianten- und aspektreicher im Unterricht zu behandeln,

durch Entlastung von syntaktischem Arbeiten Grundvorstellungen und Verstehensprozesse zu fördern und zu festigen,

Realsituationen authentischer mathematisieren zu können.
Damit werden digitale Mathematikwerkzeuge zu Unterrichtsmedien, die individuelle Erkundungen ebenso fördern wie größere Rücksichtnahme auf unterschiedliche Lerntypen und
Berücksichtigung stärker individualisierter Lernformen.
Digitale Mathematikwerkzeuge sind hilfreich, wenn es um das Variieren, Dynamisieren und
Darstellen geht. Lernen wird dann damit nicht nur gestützt, sondern auch gefördert. Einsichten können durch Dynamisierung entstehen. Das ist auch im Sinne von Binnendifferenzierung der Fall. Damit besteht z. B. die Möglichkeit, eher „funktional“ denkenden Schülern Zugänge zu ermöglichen, z.B. GrenzPROZESSE, VARIABILITÄT beim Zufall durch Simulation,
ParameterVARIATION mit Schiebereglern etc. … sichtbar zu machen.
Ein verständiger, produktiver und reflektierter Umgang mit einem Computer Algebra System
(CAS) setzt ein grundlegendes Verständnis der benutzten Begriffe und Verfahren voraus. Ein
solches Verständnis bedarf im Allgemeinen nicht der Technologie. Im Gegenteil, die beschleunigenden Effekte beim Arbeiten mit einem CAS müssen durch entschleunigende, verstehens-orientierte Erstbegegnungen kompensiert werden. Aus diesem Grund sollte ein CAS
zwar verwendet, gleichzeitig die grundlegenden Begriffe und Verfahren jedoch auch technologiefrei erarbeitet werden (Term-Tabelle-Graph; geometrische Konstruktionen; erste Algebraisierungen und Termumformungen). Beim Arbeiten mit einem CAS ist stets auf eine angemessene Balance zwischen Verwendung des CAS und hilfsmittelfreiem Arbeiten zu achten.
Dieses gilt auch und gerade für den solve-Befehl.
In diesem Sinne sind digitale Mathematikwerkzeuge im Mathematikunterricht ab dem 5.
Schuljahrgang in altersangemessener Weise und sachadäquatem Umfang zu verwenden.
OM: Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Wenn also digitale Mathematikwerkzeuge zum Erkunden und Erforschen, zur Bestätigung,
zur Selbstkontrolle oder als Tutor eingesetzt werden, so dienen sie stets dazu, Verständnis
zu sichern.
Schülerinnen und Schüler dürfen sich nicht nur auf das Werkzeug verlassen. Sie müssen
sich auch von ihm lösen können. Dabei wird die Termumformungskompetenz durch die
Termstrukturerkennungskompetenz gefördert. Eine modulare Betrachtungsweise von Termen, bei der Teilterme identifiziert werden, deren Umformung sicher gelingt, ist eine auch für
spätere Klassenstufen tragfähige Strategie. Diese Strategie kann durch digitale Mathematikwerkzeuge unterstützt werden.
Schülerinnen und Schüler müssen lineare Gleichungen mit der Struktur a  x  b  c mit
einfachen Koeffizienten im Kopf oder schriftlich lösen können. Auch so wird die Termübersicht gefördert und Grundverständnis gesichert.
Werden die Koeffizienten „unhandlich“ (weil die Sachsituation es erfordert), kann ein digitales
Mathematikwerkzeug als Hilfsmittel eingesetzt werden.
Mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge können Parametervariationen dynamisiert werden.
Mittels Schiebereglern können ihre Wirkungen beobachtet werden. Eine anschließende Beschreibung und vor allem Deutung und Erklärung sowie Vertiefung sind unerlässlich. Die Beobachtungen zum Steigungsfaktor und zum y-Achsenabschnitt bei linearen Funktionen, zu
Nullstellen und Parametern in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen, bei Potenzund Exponentialfunktionen sowie bei der Sinusfunktion bedürfen der Analyse und der Unterstützung durch Termkompetenzen im oben genannten doppelten Sinne.
Bei manchen Funktionen benötigt man nur zwei Zahlenpaare, um die gesamte Information
über die Funktion zu gewinnen. Damit sind sowohl deren Gleichung als auch deren Graph zu
rekonstruieren. Es können also wesentliche Einsichten auch ohne den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge erreicht werden. Deren Einsatz erfolgt jeweils funktional, zielgerichtet
und in der Regel reflektiert.
Die Graphikfähigkeit digitaler Mathematikwerkzeuge kann vorteilhaft sein, wenn man mit
Graphen argumentieren will. Dabei spricht man auch über Kriterien zu Einstellungen des
Grafik-Fensters. Gleichzeitig kann ein schlecht gewähltes Grafik-Fenster ein Motiv für eine
theoretische Untersuchung der Graphen liefern. Dieses betrifft einerseits die Frage nach
dem globalen Verlauf des Graphen und andererseits die Frage nach möglichen Extrempunkten.
Mit digitalen Mathematikwerkzeugen können gut funktionale Abhängigkeiten untersucht werden. Bei Funktionen mit mehreren Variablen muss aber in dem vorausgehenden Unterricht
die Bedeutung der entsprechenden Schreibweisen geklärt werden.
Durch die funktionale Syntax wird beim Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen
funktionales Denken geschult. Das muss natürlich auch stets reflektiert werden (Abhängige
vs. freie Argumente, Variable vs. Parameter etc. …, was ändert sich, wenn…) – ein vertieftes
Verständnis für Variabilität und funktionale Abhängigkeiten geht mit dem Umgang einher.
Dabei muss auch darüber nachgedacht werden, was das Konstanthalten der übrigen Parameter bedeutet. Ist das geklärt, kann die funktionale Abhängigkeit verständlich werden.
OM: Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Beispiele:
1
1
 Grundseite  Höhe   g  h
2
2
Im Rechner soll die Formel „adreieck“ heißen. Das Bild unten links zeigt, wie sie eingegeben
wird. Im Bild rechts sind verschiedene Ausdrücke eingegeben und jeweils die Rechnerausgabe dargestellt. Hieran kann die Bedeutung der Eingaben diskutiert werden.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: A 
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes kann ganz ähnlich vorgegangen werden. Wieder wird nach der Bedeutung gefragt.
Im Rahmen des Unterrichts zur Stochastik kann der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
in vielfältiger Weise erfolgen. Mit ihnen können Daten übersichtlich geordnet und dargestellt
werden. Mit ihnen lassen sich auch statistische Kenngrößen einfach berechnen. Darstellungswechsel sind einfach und vielfältig möglich. Simulationen dienen dem Erkenntnisgewinn. Durch Simulation kann die „Variabilität“ von Zufall erfahren werden.
Die Tabellenkalkulation kann im Unterricht in vielen Inhaltsbereichen eingesetzt werden. Neben den Möglichkeiten zur Darstellung sind vielfältige Anwendungen im Rahmen von Simulationen und zur Modellbildung, für Berechnungen und zum Erkunden und Entdecken gegeben.
Der Einsatz des Regressionsmoduls digitaler Mathematikwerkzeuge erfolgt im Wesentlichen
als Black Box im Sinne „bestmögliche Kurve“. Der mathematische Hintergrund der Regression wird nicht behandelt. Jedoch sollte die mit dem Regressionsmodul jeweils erzeugte
Funktion auf ihre Tauglichkeit im Sachzusammenhang überprüft werden
Der Einsatz des Regressionsmoduls erfolgt, wenn in Modellierungszusammenhängen Wirkzusammenhänge vermutet und untersucht werden. Die gewonnenen Regressionsfunktionen
können dann zur Extra- und Interpolation verwendet werden.
Das Finden von z. B. Ausgleichsgeraden ist eine wichtige Tätigkeit im Mathematikunterricht.
Hierbei müssen die Schülerinnen und Schüler die Erfahrung machen, dass es nicht die eine
und einzige Lösung gibt, wenn man mit Daten umgeht. Es gibt viele Lösungen und man
muss abwägen, welche Lösung wohl die Beste ist. Die Schülerinnen und Schüler müssen
zunächst mit den eingeführten Werkzeugen Ausgleichgeraden finden (zwei ausgewählte
Punkte, mittendurch nach Augenmaß, Anzahl Punkte oberhalb und unterhalb der Ausgleichsgerade gleich...). Sie finden verschiedene Ausgleichsgeraden mit unterschiedlichen
Methoden und erfahren, dass beim Modellieren unterschiedliche Lösungen richtig sein kön-
OM: Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
nen. Und die Beurteilung, welche Gerade die Beste ist wird dann im Modellzusammenhang
geklärt. In diesem Prozess spielt das Regressionsmodul nur eine untergeordnete Rolle.
Der Einsatz des Regressionsmoduls sollte reflektiert erfolgen, insbesondere bei periodischen
Zusammenhängen.
In dem Bild unten links ist der Datenplot eines periodischen Vorgangs und der Graph der zugehörigen Regressionsfunktion dargestellt. Im Bild rechts fehlen aus dem Datenmaterial einige Werte. Der Graph der jetzt gefundenen Regressionsfunktion sieht ganz anders aus.
Die Bilder unten zeigen in beiden Fällen den gleichen Datenplot. Im linken Bild ist der Graph
einer periodischen Funktion mit angepasster Periodenlänge und rechts einer mit nicht angepasster Periodenlänge dargestellt.
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
AUSZÜGE AUS DEM KERNCURRICULUM
2.4
Zum Einsatz von Medien
…
Im Mathematikunterricht werden ab dem 5. Schuljahrgang in altersangemessener Weise und
sachadäquatem Umfang zunehmend digitale Mathematikwerkzeuge wie Programme zur graphischen
Darstellung, Tabellenkalkulationsprogramme, Dynamische Geometriesoftware (DGS), Computer-Algebra-Systeme (CAS) und gegebenenfalls weitere Software sowie das Internet genutzt.
Die digitalen Mathematikwerkzeuge unterstützen den Aufbau von Kompetenzen, indem sie gezieltes
Experimentieren und Entdecken neuer Sachverhalte ermöglichen, zu Fragen anregen und die Selbstständigkeit und Kreativität der Schülerinnen und Schüler fördern. Sie dienen sowohl der Überprüfung
eigener Lösungen als auch dem Erkenntnisgewinn, zum Beispiel durch Explorieren, Experimentieren
und Simulieren. Der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge erweitert einerseits die Erfahrungsbasis
und ermöglicht andererseits unterschiedliche Lösungswege durch die Anwendung von graphischen,
tabellarischen, numerischen und symbolischen Methoden.
Um Kompetenzen langfristig aufzubauen, ist eine angemessene Balance zwischen hilfsmittelfreiem
Arbeiten und der Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge erforderlich. Nach wie vor werden für
grundlegende Verfahren wie zum Beispiel Termumformungen und Gleichungslösen hilfsmittelfreie
Routinen entwickelt und durch regelmäßige Übungs- und Wiederholungsphasen gesichert.
Chancen und Grenzen digitaler Mathematikwerkzeuge bedürfen somit einer kritischen Reflexion.
Art und Leistungsumfang der digitalen Mathematikwerkzeuge, die den Schülerinnen und Schüler sowohl im Unterricht als auch bei Hausaufgaben und bei Leistungsüberprüfungen zur Verfügung stehen
sollen, werden in einem gesonderten Erlass geregelt.
3
Erwartete Kompetenzen
…
Es wird nur dann explizit sowohl auf den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge als auch auf hilfsmittelfrei zu erwerbenden Kompetenzen hingewiesen, wenn Abgrenzungen deutlich werden sollen.
Fehlen diese Hinweise ist der hilfsmittelfreie Erwerb der Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten intendiert.
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
3.1
Prozessbezogene Kompetenzbereiche
3.1.4
Mathematische Darstellungen verwenden
am Ende von Schuljahrgang 6
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10
Die Schülerinnen und Schüler …
 stellen Zuordnungen und funktionale
Zusammenhänge durch Tabellen, Graphen
oder Terme dar, auch unter Verwendung
digitaler Mathematikwerkzeuge, interpretieren
und nutzen solche Darstellungen.
 lesen aus Säulen- und Kreisdiagrammen
Daten ab.
3.1.5
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
am Ende von Schuljahrgang 6
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10
Die Schülerinnen und Schüler …
 berechnen die Werte einfacher Terme.
 formen überschaubare Terme mit Variablen
hilfsmittelfrei um.
 formen Terme mit einem CAS um.
 nutzen die Umkehrung der Grundrechenarten
zum Lösen einfacher Gleichungen.
 nutzen tabellarische, graphische und
algebraische Verfahren zum Lösen linearer
Gleichungen sowie linearer
Gleichungssysteme.
 nutzen Lineal, Geodreieck und Zirkel zur
Konstruktion und Messung geometrischer
Figuren.
 nutzen DGS, Tabellenkalkulation und CAS
zur Darstellung und Erkundung
mathematischer Zusammenhänge sowie zur
Bestimmung von Ergebnissen.
 wählen geeignete Verfahren zum Lösen von
Gleichungen.
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
3.2.1
Zahlen und Operationen
am Ende von Schuljahrgang 6
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10
Die Schülerinnen und Schüler …
 rechnen schriftlich mit nicht-negativen
rationalen Zahlen in alltagsrelevanten
Zahlenräumen.
 führen Rechnungen, auch mit d M W, aus
und bewerten die Ergebnisse.
 nutzen Zusammenhänge zwischen den
Grundrechenarten auch bei Sachproblemen.
 lösen Grundaufgaben bei proportionalen und
antiproportionalen Zusammenhängen, der
Prozent- und Zinsrechnung mit Dreisatz.
 lösen lineare Gleichungen, lineare
Gleichungssysteme mit zwei Variablen sowie
Verhältnisgleichungen in einfachen Fällen
hilfsmittelfrei.
 lösen quadratische Gleichungen vom Typ
x2  p  x  0 und x 2  q  0 hilfsmittelfrei.
 lösen quadratische Gleichungen vom Typ
x2  p  x  q  0 , a  x2  b  x  0 ,
a  x2  c  0 und a  (x  d)2  e  0 in
einfachen Fällen hilfsmittelfrei.
 lösen lineare Gleichungen numerisch,
grafisch und unter Verwendung eines CAS.
 lösen lineare Gleichungssysteme numerisch
mit Einsetzungs- und
Gleichsetzungsverfahren, grafisch und unter
Verwendung eines CAS.
 lösen Gleichungen numerisch, grafisch und
unter Verwendung eines CAS.
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
3.2.3
Raum und Form
am Ende von Schuljahrgang 6
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10
Die Schülerinnen und Schüler …
 zeichnen Winkel, Strecken und Kreise, um
ebene geometrische Figuren zu erstellen
oder zu reproduzieren.
 konstruieren mit Zirkel, Geodreieck und
dynamischer Geometriesoftware, um ebene
geometrische Figuren zu erstellen oder zu
reproduzieren.
 beschreiben Kreise als Ortslinien.
 beschreiben und erzeugen Parallelen,
Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden
als Ortslinien und nutzen deren
Eigenschaften.
 beschreiben und erzeugen Parabeln als
Ortslinien.
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
3.2.4
Funktionaler Zusammenhang
am Ende von Schuljahrgang 6
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10
Die Schülerinnen und Schüler …
 nutzen proportionale und antiproportionale
Zuordnungen sowie lineare Funktionen zur
Beschreibung quantitativer Zusammenhänge,
auch unter Verwendung d M W.
 nutzen quadratische Funktionen,
Exponentialfunktionen, Sinus- und
Kosinusfunktionen zur Beschreibung
quantitativer Zusammenhänge, auch unter
Verwendung d M W.
 beschreiben den Zusammenhang zwischen
der Lage von Graphen und der Lösbarkeit der
zugehörigen linearen Gleichungen und
Gleichungssysteme.
 beschreiben den Zusammenhang zwischen
möglichen Nullstellen und dem Scheitelpunkt
der Graphen quadratischer Funktionen
einerseits und der Lösung quadratischer
Gleichungen andererseits.
 wechseln bei quadratischen Funktionstermen
in einfachen Fällen hilfsmittelfrei zwischen
allgemeiner und faktorisierter Form sowie
Scheitelpunktform.
 lösen Probleme und modellieren Sachsituationen mit proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen bzw. linearen
Funktionen auch unter Verwendung d M W.
 lösen Probleme und modellieren
Sachsituationen mit Funktionen auch unter
Verwendung d M W.
 modellieren lineares, exponentielles und
begrenztes Wachstum explizit und iterativ
auch unter d M W.
 beschreiben und begründen Auswirkungen
von Parametervariationen bei linearen
Funktionen, auch unter Verwendung d M W.
 beschreiben und begründen Auswirkungen
von Parametervariationen bei quadratischen
Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinusund Kosinusfunktionen, auch unter
Verwendung d M W.
 beschreiben und begründen die
Auswirkungen der Parameter auf den
Graphen für Funktionen mit
y  a  f  b  (x  c)   d .
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
3.2.5
Daten und Zufall
am Ende von Schuljahrgang 6
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8
Die Schülerinnen und Schüler …
 beschreiben und interpretieren Daten mithilfe
von absoluten und relativen Häufigkeiten,
arithmetischem Mittelwert, Wert mit der
größten Häufigkeit und Spannweite.
 simulieren Zufallsexperimente, auch mithilfe d
M W.
zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Lernbereich: Maßzahlen statistischer Erhebungen
Intentionen
…
Kern
…
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
Tabellenkalkulation zur Darstellung und Berechnung
Lernbereich: Wahrscheinlichkeit
Intentionen
…
Simulationen werden mit realen Objekten sowie mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge
durchgeführt. Das Erleben der Variabilität fördert ein Verständnis für den Unterschied zwischen
Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit sowie für das Gesetz der großen Zahlen.
Kern
...

eine Versuchsreihe mit vollsymmetrischen Objekten durchführen und simulieren
 Laplace-Wahrscheinlichkeit
 Wahrscheinlichkeit gegen relative Häufigkeit abgrenzen
 Gesetz der großen Zahlen
…
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
Einsatz zur Simulation
Lernbereich: Proportionale und antiproportionale Zusammenhänge
Intentionen
…
Kern
…
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
Einsatz zur Darstellung und Berechnung
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Lernbereich:
Längen, Flächen- und Rauminhalte und deren Terme
Intentionen
… Bei der Bestimmung von Längen, Flächen- und Rauminhalten von Figuren wird das
Zusammenspiel von Geometrie und Arithmetik deutlich. Die Flächen- und Rauminhalte einfacher
Figuren werden durch Terme beschrieben und unter Berücksichtigung passender Einheiten
berechnet.
Werden dabei jeweils unterschiedliche Terme aufgestellt, wird deren Gleichheit begründet.
…
Kern

Umfang und Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez ermitteln
 …

Oberflächen- und Rauminhalt von geradem Prisma ermitteln
 …
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
DGS zur Exploration und zur Bestätigung; CAS als Tutor
Lernbereich: Elementare Termumformungen
Intentionen
… Grundsätzliche Strategien beim rechnerfreien Umformen von Termen werden an einfachen
Beispielen verdeutlicht, dann verallgemeinert und verankert.
…
Kern

einfache Termumformungen durchführen
 …

Summen multiplizieren
 …

einfache lineare Gleichungen lösen

einfache Verhältnisgleichungen lösen
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
CAS zur Kontrolle, zur Exploration oder als Tutor
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Lernbereich:
Entdeckungen an Dreiecken – Konstruktionen und besondere Linien
Intentionen
…
Kern

Dreiecke konstruieren


…

Transversalen erkunden
 …
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
DGS zur Exploration
Lernbereich: Ein- und mehrstufige Zufallsversuche
Intentionen
… Es wird darauf geachtet, dass das Bewusstsein für die Variabilität bei Zufallsversuchen erhalten
bleibt: Die Schülerinnen und Schüler erfahren durch Simulationen, dass die vorhergesagten
Häufigkeiten nicht punktgenau eintreffen.
…
Simulationen werden mit realen Objekten sowie mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge
durchgeführt. Das Erleben der Variabilität fördert ein Verständnis für den Unterschied zwischen
Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit sowie für das Gesetz der großen Zahlen.
Kern

einstufige Zufallsexperimente mit bekannten Pfad-Wahrscheinlichkeiten prognostizieren,
durchführen und simulieren
 …

zwei- und mehrstufige Zufallsexperimente
prognostizieren, durchführen und simulieren
 …
mit
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
Einsatz zur Simulation
bekannten
Pfad-Wahrscheinlichkeiten
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Lernbereich: Lineare Zusammenhänge
Intentionen
…Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Graphen linearer Funktionen auch hilfsmittelfrei. …
Digitale Mathematikwerkzeuge werden angemessen zur Visualisierung, zur numerischen Lösung
sowie zur linearen Regression eingesetzt. Einfache lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
lösen die Schülerinnen und Schüler - auch mit Parametern - von Hand, wobei das
Einsetzungsverfahren fächerübergreifend als universelle Lösungsstrategie betrachtet wird.
Kern

lineare Zusammenhänge identifizieren und darstellen
 …

lineare Funktionen und lineare Gleichungen analysieren und vergleichen
 …

lineare Gleichungen lösen
 …

lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen aufstellen und lösen
 …
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
CAS zum Lösen von Gleichungen und LGS; Regressionsmodul
Lernbereich: Entdeckungen an rechtwinkligen Dreiecken und Ähnlichkeit
Intentionen
…
Mithilfe des Satzes des Pythagoras und der trigonometrischen Beziehungen an rechtwinkligen
Dreiecken werden unbekannte Streckenlängen und Winkelgrößen sowohl bei innermathematischen
Problemen als auch bei Sachproblemen bestimmt.
Das Wurzelziehen wird als Umkehroperation des Quadrierens eingeführt. …
Kern

Ähnlichkeit beschreiben und nutzen


…

mit Wurzeln umgehen
 …

trigonometrische Beziehungen identifizieren und nutzen
 …
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
CAS zur Lösung von Gleichungen; DGS zur Exploration
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Lernbereich: Quadratische Zusammenhänge
Intentionen
… Durch Parametervariation werden die Auswirkungen der Parameter auf das Aussehen des
Graphen untersucht. …
Das Wissen um diese Zusammenhänge erleichtert es, in einfachen Fällen ohne Einsatz digitaler
Mathematikwerkzeuge zwischen faktorisierter Form und Scheitelpunktform sowie allgemeiner Form
zu wechseln und quadratische Gleichungen zu lösen. … Für die Lösung quadratischer Gleichungen
in nicht-einfachen Fällen stehen digitale Mathematikwerkzeuge zur Verfügung.
… Die Nutzung des Regressionsmoduls ermöglicht es, durch Daten dargestellte Zusammenhänge
zu modellieren.
Die Parabel wird als Ortslinie betrachtet, um so neben der funktionalen eine weitere Deutung zu
ermöglichen. …
Kern




Quadratische Funktionen untersuchen - Parametervariation
 …
Quadratische Gleichungen
 …
quadratische Zusammenhänge modellieren
 …
Parabel als Ort aller Punkte, die zu einem Punkt und zu einer Geraden gleichen Abstand haben
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge:
CAS zum Lösen quadratischer Gleichungen; Regressionsmodul
Lernbereich: Kreis- und Körperberechnungen
Intentionen
…
Der Umfang oder der Flächeninhalt des Kreises werden durch ein geeignetes Näherungsverfahren
bestimmt. …
Die Formeln für das Volumen und den Oberflächeninhalt von Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel
werden zu Berechnungen verwendet, …
Kern


Flächeninhalt und Umfang des Kreises ermitteln
 …
Maßzahlen ausgewählter Körper schätzen und berechnen
 …
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge:
abhängig vom gewählten Näherungsverfahren; CAS zur Lösung von Gleichungen
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Lernbereich: Kreis- und Körperberechnungen
Intentionen
… Ausgehend von trigonometrischen Beziehungen kann die Annäherung durch regelmäßige nEcke einfach und zeitökonomisch gestaltet werden. …
Kern

Flächeninhalt und Umfang des Kreises ermitteln


Maßzahlen ausgewählter Körper schätzen und berechnen

Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
abhängig vom gewählten Näherungsverfahren; CAS zur Lösung von Gleichungen
Lernbereich: Exponentielle Zusammenhänge
Intentionen
…
Die iterativ beschriebene Überlagerung aus exponentiellem und linearem Wachstum in der Form
b(n)  b(n  1)  w  b(n  1)  d mit w  1 bzw. b(n)  k  b(n  1)  d mit k  0 führt auf vier Fälle, die
in Abhängigkeit des Anfangswertes sowie der Parameter d und w bzw. k untersucht und mit
Sachsituationen verknüpft werden. …
Beim Einsatz von CAS zur Lösung komplexerer Gleichungen ist das Verständnis der
Rechnerausgabe sicherzustellen.
Kern

exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren
 …

Exponentialfunktionen untersuchen - Parametervariation
 …

mit Potenzen rechnen
 .
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
Tabellenkalkulation; CAS zum Lösen von Gleichungen; Regressionsmodul
Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W)
Lernbereich: Periodische Zusammenhänge
Intentionen
…
Das Lösen der auftretenden Gleichungen erfolgt mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge, wobei
insbesondere auf eine angemessene Darstellung der Lösung im Hinblick auf die Periodizität der
Funktion und auf die sachangemessene Wahl des Arguments geachtet wird.
Kern

Sinus- und Kosinusfunktion als periodische Funktion
 …

Sinusfunktion untersuchen - Parametervariation
 …

…
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
DGS zur Visualisierung; Regressionsmodul
Lernbereich: Näherungsverfahren als Grenzprozesse – Zahlbereichserweiterungen
Intentionen
…
Kern

Gemeinsamkeiten und Unterschiede ausgewählter Grenzprozesse beschreiben
 …

Zahlbereichserweiterungen erläutern
 …
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
abhängig vom gewählten Näherungsverfahren
Literaturhinweise:
Mathematik lehren 102 (Oktober 2003)
Mathematik lehren 137 (August 2006)
Mathematik lehren 146 (Februar 2008)
CALiMERO-Materialien
Leuders, Timo: Mathematik Didaktik, Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II, Berlin (Cornelsen
Scriptor), 2003
Elementare Termumformungen
Im Kerncurriculum „wird nur dann explizit sowohl auf den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge als
auch auf hilfsmittelfrei zu erwerbenden Kompetenzen hingewiesen, wenn Abgrenzungen deutlich
werden sollen. Fehlen diese Hinweise, ist der hilfsmittelfreie Erwerb der Kenntnisse, Fertigkeiten und
Fähigkeiten intendiert.“1
Im Folgenden wird an Beispielen die maximale Komplexität beschrieben, die jeder Schüler ‚im Kopf‘
bzw. ‚zu Fuß‘ (also durch Notation von Zwischenschritten) ohne CAS können sollte. Die Beispiele ‚im
Kopf‘ bilden ein Repertoire von sicher beherrschten Techniken, die bei den Beispielen ‚zu Fuß‘ dann
sicher abgerufen werden können. Die Grenzen sind fließend.
Die Fertigkeit, Terme und Gleichungen mit der angegebenen maximalen Komplexität umzuformen
bzw. zu lösen, sollte am Ende der jeweiligen Unterrichtseinheit erreicht sein.
Im folgenden Unterricht werden dann Lerninhalte „durch geeignete Wiederholungen und Übungen aus
dem Kontext der Erstbegegnung gelöst und an geeigneten Stellen des gesamten
Mathematikunterrichts geübt. Regelmäßige Kopfübungen sind ein bewährter, sinnvoller Weg. Übungsund Wiederholungsphasen sollten über den aktuellen Lernbereich hinaus vernetzend sein.“ 2 Es kann
sinnvoll sein, in Übungen auch über die hier beispielhaft benannte Komplexität hinauszugehen.
Für die Übersichtlichkeit wurde als Variable x bzw. a und b als Parameter verwendet. Im Unterricht
sollte darauf geachtet werden, dass bei kontextgebundenen Gleichungen die Variable sachlogisch
bezeichnet sind.
1
2
s. Kerncurriculum für das Gymnasium Schuljahrgänge 5-10 2013, Kapitel 3 Erwartete Kompetenzen
s. KC, Kapitel 2.2 Kompetenzentwicklung
1
Thema
Grundrechenarten Bruchterme
‚im Kopf‘
‚zu Fuß‘
1 1

3 4
2 3

5 7
2
1
5
1 7 11
 
6 3 12
2 6

3 5
5 3

12 35
2
:4
3
5 25
:
6 24
5 7
:
6 11
Grundrechenarten Zahlterme
3,21  13,18
3  12
3,2  13,8
3   12 
13  57
2,5   4 
3,5   4,2 
12 :  3 
420 : 15
50,4 : 12
Terme zusammenfassen
8a  2b  a  4a  b
a  a2  5  a  3  a2
Distributivgesetz
4  3  a  5  b
3   x  5  y 
Ausklammern
x2  5  x


5  a   6  b  0,5  a2  b 
2  a  2,5  a  b  5  a  b2
16  x  12  x2
 3  a  b    4  b  2a 
Summen multiplizieren
Binomische Formeln als
Spezialfall
Faktorisieren
 2  a  b 2
x2  8  x  16  0
x2  x 
Lineare Gleichungen
1
0
4
3 x  8
8  3  x
3x  4  8
1
 x  3
4
x5 
1
x7
3
6x  4 
1
x7
2
10  x  x  1
2 x  3  a
2
Thema
Verhältnisgleichungen
‚im Kopf‘
‚zu Fuß‘
x 1

3 2
x4 1

3
2
x
 4
5
3 4

x 7
a c

b d
nach allen Parametern auflösen.
Gleichungen der Form
Lineare Gleichungssysteme
quadratische Gleichungen
x  y 1
3 x  8  2 y
yx 5
4  x  y  9
x2  5  x  0 3   2  x  1   2  x 
 x  22  5  0
=0
2  x2  6  x  0
3  x2  18  0
x2  81  0
x2  2x  5  0
x2  8  0
Wechsel zwischen den
Darstellungsformen bei
quadratischen Funktionen
f(x)  x 2  8  x
f(x)  x2  5  x  1
wechseln zu
wechseln zu
f(x)  x   x  8 
f(x)   x  2,5   5,25
und umgekehrt
und umgekehrt
f(x)  x 2 
3
x
4
2
f(x)   x  5    x  1
wechseln zu
wechseln zu
3

f(x)  x   x  
4

f(x)  x2  4  x  5
und umgekehrt
und umgekehrt
f(x)   x  2   5
2
wechseln zu


f(x)  x  2  5  x  2  5
und umgekehrt
3

Thema
Potenzgesetze
‚im Kopf‘
‚zu Fuß‘
 23
Terme, die nicht über die
Komplexität kontextgebundener
Terme hinausgehen
23
a3  a6
a4  b4
a3  a6
3,45  103
a4 : a7
a3 : b3
a5 : a3
 a4 
5
 2n 
3
Exponentialgleichungen
Wurzelgesetze
2x 1  64
34x 5  27
4 3  5 3  3
Teilweises Radizieren 18
2 3
49
25
24
6
4
4  2  2
AUSZÜGE AUS DEM KERNCURRICULUM
2.2
Kompetenzentwicklung
Grundlage für einen erfolgreichen Auf- und Ausbau des Kompetenznetzes sind Fertigkeiten im
flüssigen und flexiblen Umgehen u.a. mit Zahlen, Größen und geometrischen Objekten. Nach wie vor
ist der sichere Umgang mit Termen und Termumformungen mit und ohne Einsatz digitaler
Mathematikwerkzeuge von grundlegender Bedeutung.
2.4
Zum Einsatz von Medien
Um Kompetenzen langfristig aufzubauen, ist eine angemessene Balance zwischen hilfsmittelfreiem
Arbeiten und der Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge erforderlich. Nach wie vor werden für
grundlegende Verfahren wie zum Beispiel Termumformungen und Gleichungslösen hilfsmittelfreie
Routinen entwickelt und durch regelmäßige Übungs- und Wiederholungsphasen gesichert.
Chancen und Grenzen digitaler Mathematikwerkzeuge bedürfen somit einer kritischen Reflexion.
3
Erwartete Kompetenzen
Es wird nur dann explizit sowohl auf den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge als auch auf
hilfsmittelfrei zu erwerbenden Kompetenzen hingewiesen, wenn Abgrenzungen deutlich werden
sollen. Fehlen diese Hinweise, ist der hilfsmittelfreie Erwerb der Kenntnisse, Fertigkeiten und
Fähigkeiten intendiert.
3.1
Prozessbezogene Kompetenzbereiche
3.1.2 Probleme mathematisch lösen
 wenden elementare mathematische
Regeln und Verfahren wie Messen,
Rechnen und einfaches logisches
Schlussfolgern zur Lösung von
Problemen an.
 wenden algebraische, numerische,
grafische Verfahren oder geometrische
Konstruktionen zur Problemlösung an.
3.1.5 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
 formen überschaubare Terme mit
Variablen hilfsmittelfrei um.
 nutzen die Umkehrung der
Grundrechenarten.
 nutzen tabellarische, grafische
und algebraische Verfahren zum
Lösen linearer Gleichungen
sowie linearer
Gleichungssysteme.
5
 wählen geeignete
Verfahren zum Lösen von
Gleichungen.
3.2
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche
3.2.1 Zahlen und Operationen
 deuten Brüche als Anteile
und Verhältnisse.
 nutzen das Grundprinzip des
Kürzens und Erweiterns von
einfachen Brüchen als
Vergröbern bzw. Verfeinern
der Einteilung.
 deuten Dezimalzahlen als
Darstellungsform für Brüche
und führen Umwandlungen
durch.
 deuten Prozentangaben als
Darstellungsform für Brüche
und führen Umwandlungen
durch.
 lösen einfache
Rechenaufgaben mit nichtnegativen rationalen Zahlen
im Kopf.
 lösen einfache
Rechenaufgaben mit
rationalen Zahlen im Kopf.
 rechnen schriftlich mit nichtnegativen rationalen Zahlen
in alltagsrelevanten
Zahlenräumen.
 führen Rechnungen, auch mit
digitalen
Mathematikwerkzeugen, aus
und bewerten die Ergebnisse.
 nutzen Rechenregeln zum
vorteilhaften Rechnen.
 formen Terme mithilfe des
Assoziativ-, Kommutativ- und
Distributivgesetzes um und
nutzen die binomischen
Formeln zur Vereinfachung
von Termen.
 nutzen Zusammenhänge
zwischen den
Grundrechenarten auch bei
Sachproblemen.
 lösen Grundaufgaben bei
proportionalen und
antiproportionalen
Zusammenhängen, der
Prozent- und Zinsrechnung
mit Dreisatz.
 lösen lineare Gleichungen,
lineare Gleichungssysteme
mit zwei Variablen sowie
Verhältnisgleichungen in
einfachen Fällen
hilfsmittelfrei.
 ziehen in einfachen Fällen
Wurzeln aus nicht-negativen
rationalen Zahlen im Kopf.
 begründen exemplarisch
Rechengesetze für
Quadratwurzeln und
Potenzen mit rationalen
Exponenten und wenden
diese an.
 lösen quadratische
Gleichungen vom Typ
x2  p  x  0 und x 2  q  0
hilfsmittelfrei.
 lösen quadratische
Gleichungen vom Typ
x2  p  x  q  0 ,
a  x 2  b  x  0 , a  x2  c  0
und a  (x  d)2  e  0 in
einfachen Fällen
hilfsmittelfrei.
6
3.2.4 Funktionaler Zusammenhang
 wechseln bei quadratischen Funktionstermen in einfachen Fällen
hilfsmittelfrei zwischen allgemeiner und faktorisierter Form sowie
Scheitelpunktform.
7
Zum Umgang mit Termen, Funktionen, Variablen und Parametern
(vgl. auch das online-Material „Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge“ und „Elementare Termumformungen“)
LERNEN DER FORMELSPRACHE
Das Lernen der Formelsprache und damit ein verständiger Gebrauch von Termen, Variablen und Parametern erfolgt nach Vollrath/Weigand (vgl. [1], S. 101ff.) sinnvollerweise in sechs Phasen, von de1
nen sich fünf auch im Kerncurriculum wiederfinden.
1. Phase:
Intuitiver Gebrauch von Variablen und Termen
Die Schüler lernen zunächst den Gebrauch von Variablen und Termen aus Aufgabenstellungen, die
sich unmittelbar aus dem Kontext des Unterrichts ergeben. Das bedeutet zunächst die Verankerung
dieser Sprache im Umgang mit Zahlen und Größen. In dieser Phase wird nicht über die Sprachelemente geredet, sondern sie werden nur verwendet. Dabei kommt es darauf an, sie als Ausdrucksmittel
zur Beschreibung von Problemsituationen zu nutzen.
(1) Verwendung von Variablen als Platzhalter für Zahlen, Bezeichnung durch Marken oder auch
Buchstaben
(2) Verwendung von Variablen als Zeichen, für die man z.B. in Tabellen nacheinander verschiedene
Zahlen einsetzen kann
(3) Aufstellen von Termen; zweckmäßig ist es dabei, von Beginn an Buchstaben zu verwenden, die
an die betrachteten Objekte erinnert
2. Phase:
Reflexionsphase – Einführung der Begriffe Variable und Term
(1) Einführung der Begriffe ‚Variable‘ (um die betrachteten Phänomene angemessen auszudrücken)
und Term (als Rechenschema): „Soll immer die gleiche Rechnung nach einem bestimmten
Schema ausgeführt werden, so kann man das Schema als Term mit Variablen und Zahlen schreiben.“
(2) Termstruktur – Analysieren und Klassifizieren von Termen
(3) Gleichheit von Termen
Unterschiedliche Strategien beim Aufstellen von Termen, die z.B. Punktmuster, Flächeninhalte
oder
Umfänge
beschreiben,
führen
zu
unterschiedlichen
Termen.
Beispiel 1: Termstruktur und Gegenstandsstruktur
Wie viele Plättchen hat das 4., das 5., das 6., das 10., das 40. Muster?
• • •
•
•
• • •
n=4
•
•
•
•
• • • •
•
•
•
• • • •
n=5
•
•
•
•
•
Um die Fragen nach großen n zu beantworten, müssen die Lernenden die Plättchenmuster systematisch abzählen. Das kann auf unterschiedliche Art geschehen: Man kann die oberen Seiten
und dann die beiden senkrechten Seiten zählen und kommt zu 2 ⋅ n + 2 ⋅ (n − 2 ) . Man kann auch
1
Die Erweiterung um neue Formelsprachen (z.B. Widerstands- oder Schaltalgebra) als sechste Phase gehört nicht zum Kern
und findet deshalb keine Berücksichtigung.
die 4 Eckpunkte separat erfassen und die vier Restseiten betrachten und gelangt zu 4 + 4 ⋅ (n − 2 ) .
Auch andere Möglichkeiten werden ggf. genannt. Um das Vertrauen in den Term zu stärken, ist es
zunächst wichtig, die genannten Terme auch für kleine n zu konkretisieren.
Die verschiedenen Ergebnisse für die Terme haben einen willkommenen Nebeneffekt: Wer hat
denn nun Recht? Dies bietet einen guten Anlass für sinnstiftende Termumformungen.
Die Termäquivalenz stellt sich als Beschreibungsäquivalenz dar und ist daher semantisch stark
angebunden. Die Termumformung wird für das Argumentieren genutzt. Zwei Terme sind dabei
gleich, wenn man einen Term gemäß einer Regel in einen anderen umformen kann.
Beispiel 2: Handlungsvorschriften als Terme
Bei Zahlenmauern ist jeder Eintrag die Summe der beiden darunter stehenden Einträge. Unvollständige Zahlenmauern bieten Gelegenheit, um über Terme zu sprechen:
38
5
7
Hier gibt es wiederum unterschiedliche Strategien, zur Lösung zu gelangen. Füllt man etwa unten
in der Mitte ein ‚x‘ ein, so ergibt sich in der mittleren Zeile links 5 + x ; auch dieser Wert lässt sich
nicht ausrechnen, wohl aber kann man mit ihm rechnen.
Problematisch für die Schülerinnen und Schüler ist hier: Man kennt x nicht, also kennt man auch
5 + x nicht. Was soll das also? Man kann 5 + x ja gar nicht ausrechnen! Man muss mit den
Lernenden explizit darüber reden, dass 5 + x keine Aufforderung zu einer Handlung ist. Stattdessen wird das Operationszeichen (+) zu einem Bestandteil eines Zahlnamens.
Dass Handlungsvorschriften mathematische Objekte werden können, dass man mit Handlungsvorschriften rechnen kann, ist für Schülerinnen und Schüler alles andere als selbstverständlich,
führt aber andererseits in der Algebra zu Erfolgen. Das Phänomen ist zudem aus der Bruchrechnung bekannt: 1/3 gleichzeitig eine Handlungsvorschrift als auch das Ergebnis, und man kann das
Rechnen mit Zwischenergebnissen auch auffassen als Rechnen mit Handlungsvorschriften.
3. Phase:
Erkundungsphase – Erarbeitung der Termumformungstypen
1. Schritt:
Ordnen
2. Schritt:
Zusammenfassen
3. Schritt:
Klammern auflösen, Binomische Formeln als Spezialfall
4. Phase:
Nutzung der Formelsprache
Formelsprache wird immer wieder verwendet, z.B.
•
um die Gleichwertigkeit zweier Rechenschemata zu zeigen;
•
um bei quadratischen Zusammenhängen in einfachen Fällen (und im allgemeinen Fall) zwischen
faktorisierter Form und Scheitelpunktform sowie Scheitelpunktform zu wechseln;
•
um algebraische Beweise durchzuführen (z.B. Pythagoras)
5. Phase:
Erweiterung der Formelsprache – z.B. Wurzelterme, Potenzen
(1) Terme mit Wurzeln
(2) Potenzrechnung
ASPEKTE VON VARIABLEN
Für Schülerinnen und Schüler bedeuten Variable keineswegs immer dasselbe: Es können Platzhalter
sein oder Unbekannte oder auch – wie bei Funktionstermen – Werte, in die man alles einsetzen darf,
was im Definitionsbereich liegt.
Es hat sich als sinnvoll erwiesen, mit Malle (vgl. [2], S. 45ff.) die folgenden drei Aspekte des Variablenbegriffs zu unterscheiden. Am Beispiel des Lösens von Gleichungen wie 2 ⋅ ( x + 1) =
8 wird dieses
deutlich:
(1) Variable können den Gegenstandsaspekt haben; sie werden als unbekannte oder nicht näher bestimmte Zahl angesehen.
Dies hat Konsequenzen für das Lösen einfacher Gleichungen:
Für die gesuchte Zahl x muss gelten: 2 ⋅ ( x + 1) =
8
Da das Doppelte der Zahl x + 1 gleich 8 ist, ist x + 1 =
4
Die Zahl x um 1 vermehrt ergibt 4. Somit ist x = 3 .
Die Strategie ist erkennbar: Es handelt sich um Rückwärtsarbeiten.
(2) Variable können den Einsetzungsaspekt haben; sie werden als Platzhalter angesehen, in die man
Zahlen einsetzen darf.
Damit löst man die obige Gleichung wie folgt:
Die gesuchte Zahl muss 2 ⋅ ( x + 1) =
8 durch Einsetzung in eine wahre Aussage überführen.
Bei x = 3 ist das der Fall.
Die Strategie besteht nunmehr in sinnvollem Ausprobieren.
(3) Variable können unter dem Kalkülaspekt gesehen werden und aufgefasst werden als bedeutungsloses Zeichen, mit dem nach bestimmten Regeln operiert werden darf.
Für die obige Gleichung bedeutet dies:
Ich forme die Gleichung 2 ⋅ ( x + 1) =
8 durch Anwendung von Regeln um. Zunächst wende ich die
Regel an: „Man darf beide Seiten einer Gleichung durch dieselbe von Null verschiedene Zahl dividieren“ und erhalte x + 1 =
4.
Nun wende ich die Regel an: „Man darf auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl subtrahieren“ und erhalte x = 3 .
Die Strategie heißt hier: Äquivalenzumformung.
Diese letztgenannte Strategie ist die abstrakteste, da nicht das interessierende x in den Blick genommen wird, sondern die Gleichung. Es ist daher nicht sinnvoll, mit ihr zu beginnen. Stattdessen sollten
b bzw. a ⋅ x =
b bzw. a ⋅ x + b =
c mit überschaubaren Koeffizienim Kopf Gleichungen der Art x + a =
ten gelöst werden, ohne dass die Lernenden angeben müssen, wie sie auf die Lösung gekommen
sind. Erst danach werden kompliziertere Gleichungen behandelt, bei denen man mit Rückwärtsarbeiten oder sinnvollem Einsetzen nicht weiter kommt und man daher ein hinreichendes Motiv für das
abstraktere Verfahren ‚Äquivalenzumformung‘ hat.
Ein willkommener Nebeneffekt dabei ist, dass man eine kompliziertere Gleichung auf eine lineare
Gleichung und damit auf eine bekannte Gleichungsform reduziert hat. Damit sollten die Lernenden
das Gefühl haben, sich nun auf vertrautem Terrain zu befinden.
Der Variablenbegriff darf nicht auf einen der genannten Aspekte reduziert werden. Es ist für das Betreiben von Mathematik charakteristisch, dass man diese Aspekte beständig wechseln muss und unter
Umständen mehrere Aspekte gleichzeitig im Auge behalten muss (vgl. [2], S. 46 – 49).
ASPEKTE VON FUNKTIONEN
Auch Funktionen haben mehrere Aspekte:
•
Funktion als punktweise Zuordnung: f : x  f(x) . Jedem x wird genau ein f(x) zugeordnet.
•
Funktion als Zuordnung von Änderungen: Jeder Änderung von x entspricht eine Änderung von f(x)
(Kovariation).
•
Funktion als Objekt (dessen Term ich in andere Terme einsetzen darf)
„Um Abhängigkeiten in Formeln zu erkennen, genügt es nicht, Formeln bloß ‚statisch‘ zu lesen. Man
braucht auch ‚dynamische‘ Vorstellungen, die sich etwa in Sprechweisen der folgenden Art äußern:
‚Wenn x wächst, dann fällt y‘, ‚wenn x verdoppelt wird, wird y vervierfacht‘ usw.“. ([2], S. 79)
„Eine Funktion ähnelt einer Medaille mit zwei Seiten. Nur wer beide Seiten kennt, kann Funktionen
sinnvoll untersuchen. (...) Jede Funktion f : x  f(x) weist zwei fundamentale Aspekte auf: Zuordnung: Jedem x wird genau ein f(x) zugeordnet. Kovariation: Wird x verändert, so ändert sich f(x) und
umgekehrt. Der Ausdruck ´Kovariation´ (...) drückt (...) in recht einprägsamer Weise aus, worum es
geht, nämlich um ein ´Ko-Variieren´ (...) der beiden Variablen. In der deutschen Literatur entspricht
dieser Begriff in etwa dem Begriff ´Funktionales Denken´. (...) Beim Zuordnungsaspekt wird die Funktion jeweils nur lokal betrachtet, beim Kovariationsaspekt ist eine globalere Sichtweise der Funktion
notwendig.“ ([3], S. 8-11)
Ob bei einem etwa aus einer mathematischen Modellierung gewonnenen Term der relational-statische
oder funktional-dynamische Aspekt betont wird, hängt zunächst von der konkreten Problemstellung
ab.
Es ist wichtig, die Schülerinnen und Schüler möglichst früh dafür zu sensibilisieren, dass die Übergänge zwischen Relation im Sinne von Zuordnung und funktionalem Zusammenhang im Sinne von
Kovariation fließend sind. „Es ist bemerkenswert, dass in der üblichen Definition einer Funktion nur der
Zuordnungsaspekt hervorgehoben wird. Man definiert ja: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem
Element x einer Menge A ein Element f(x) einer Menge B zuordnet. Von Kovariation ist hier nicht die
Rede. Für einen formalen Aufbau der Mathematik reicht dies aus. Für das praktische Arbeiten mit
Funktionen ist der Kovariationsaspekt jedoch unentbehrlich. Wer diesen Aspekt nicht kennt und nur
das weiß, was die Definition einer Funktion ausdrückt, kann in der Praxis mit Funktionen so gut wie
nichts anfangen“ (vgl.[2], S. 86 oder [3], S. 8).
Die Behandlung des Kovariationsaspekts geht mit einer Begründung und einem tieferen Verständnis
der Begriffe Variable und Parameter einher. Variablen werden von den Schülerinnen und Schülern
wirklich ihrem Sinn nach als ‚Veränderliche‘ erfahren und nicht nur als Platzhalter für Zahlen.
Die Schülerinnen und Schüler müssen mit Formel und Funktion, mit statischen wie dynamischen
Denkweisen gleichermaßen bekannt gemacht werden. Dieses kann nicht gelingen, wenn zunächst
statisch herangegangen und auch die Funktion nur statisch interpretiert wird, sondern nur, indem
beide Facetten möglichst zeitgleich und wertfrei nebeneinander stehen und indem auch Übersetzungsmöglichkeiten zwischen statischer und dynamischer Interpretation eines Problems thematisiert
werden.
UMSETZUNG IM KERNCURRICULUM
Das Kerncurriculum führt die Lernenden Schritt für Schritt an den Umgang mit Variablen als ‚Veränderliche‘ heran. Zunächst wird der Einsetzungsaspekt betont. In den Jahrgängen 5/6 werden Termumformungen ohne Termumformungskalkül durchgeführt. Die Betonung liegt auf dem intuitiven Gebrauch von Zahltermen.
Der systematischen Aufarbeitung und Reflexion des bisherigen Kompetenzerwerbs ist in 7/8 explizit
ein Lernbereich ‚Elementare Termumformungen‘ gewidmet. Dabei geht es darum, nicht nur eine
Termumformungskompetenz, sondern eine Termanalysekompetenz zu entwickeln. Dieses Vorgehen
ist auch bei der Behandlung funktionaler Zusammenhänge in den Jahrgängen 8 bis 10 ein durchgängiges Prinzip: die Kenntnis der Zusammenhänge zwischen (Funktions-)gleichung und graphischen Eigenschaften ermöglicht ein vertieftes Verständnis. Das Lösen von Gleichungen wird graphisch als
Schnittpunkt- oder Nullstellensuche verankert. Hier gehen statische und funktionale Sichtweisen fließend ineinander über.
Das Kerncurriculum fordert, neben der kontextgebundenen und kontextfreien Betrachtung von Termen, neben der Behandlung statischer und globaler Eigenschaften von Funktionen insbesondere
auch die Thematisierung dynamischer Aspekte – u.a. findet sich die Parametervariation gleichsam als
‚roter Faden‘. Das Denken in Veränderungen wird angemessen früh angelegt und bereitet den Umgang mit Grenzprozessen und die Differenzialrechnung vor.
Ein sinnvoller und sinnstiftender Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt dabei den Erwerb
der Kompetenzen. Der Einsatz von Schiebereglern ermöglicht es beispielsweise, den Kovariationsaspekt oder den Einfluss von Parametern sichtbar zu machen. Der verständige Umgang mit CAS-Notati-
onen als mehrstellige Funktionen wie etwa quad(x,a,b,c) := a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c kann den Ausbau von
Termkompetenz unterstützen.
AUSZÜGE AUS DEM KERNCURRICULUM
2.1.2
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche
(…) Die Schülerinnen und Schüler entwickeln ein grundlegendes Verständnis von Zahlen, Variablen,
Rechenoperationen, Umkehrungen, Termen und Formeln. (…)
2.2
Kompetenzentwicklung
Funktionen sind zentral zur mathematischen Erfassung quantitativer Zusammenhänge. Mit Funktionen
lassen sich Phänomene der Abhängigkeit und der Veränderung von Größen erfassen und analysieren. Funktionen eignen sich zur Modellierung in einer Vielzahl von Alltagssituationen.
Für ein vertieftes Verständnis des Funktionsbegriffs sind die Behandlung der Vielfalt der Darstellungsformen und insbesondere der Wechsel zwischen ihnen bedeutsam. Dabei braucht die Abstraktionsleistung der Schülerinnen und Schüler beim Übergang von sprachlichen oder bildlichen Beschreibungen zur Funktionsgleichung besondere Beachtung und Unterstützung. Die abstrakten Darstellungsformen sind an den verständigen Gebrauch der Variablen gebunden.
Schülerinnen und Schüler in den Schuljahrgängen 5 und 6 haben ein statisches Variablenverständnis
und betrachten funktionale Zusammenhänge lokal. Sie sehen Variable in Termen und Gleichungen als
Platzhalter für konkrete Zahlen an und argumentieren mithilfe von passenden Einsetzungen. Der
Übergang zu einem dynamischen Variablenverständnis ist nicht trivial und für die Schülerinnen und
Schüler mit kognitiver Anstrengung verbunden. Er wird deshalb besonders gesichert und vielfältig geübt. Variable sollen auch mit sachlogischen Wörtern und Buchstaben bezeichnet werden. Erst in späteren Schuljahrgängen erfassen die Schülerinnen und Schüler den Kovariationsaspekt und betrachten
funktionale Zusammenhänge global. Dann werden die Betrachtung der funktionalen Aspekte und Repräsentationen und das Lösen von Gleichungen stets verzahnt.
3.1
Prozessbezogene Kompetenzbereiche
3.1.2
Probleme mathematisch lösen
• nutzen Parametervariationen.
3.1.3
Mathematisch modellieren
• verwenden geometrische Objekte,
Diagramme, Tabellen, Terme oder
Häufigkeiten zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell.
3.1.5
• verwenden Terme mit Variablen, Gleichungen, Funktionen oder Wahrscheinlichkeiten zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell.
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
• stellen einfache mathematische Beziehungen durch
Terme, auch mit Platzhaltern, dar und interpretieren
diese.
• erfassen und beschreiben
Zuordnungen mit Variablen
und Termen.
• nutzen den Dreisatz.
• nutzen Tabellen, Graphen
und Gleichungen zur Bearbeitung linearer Zusammenhänge.
• erstellen Diagramme und
lesen aus ihnen Daten ab.
• berechnen die Werte einfacher Terme.
• Formen überschaubare
Terme mit Variablen hilfsmittelfrei um.
• nutzen Tabellen, Graphen
und Gleichungen zur Bearbeitung funktionaler Zusammenhänge.
3.2
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche
3.2.1
Zahlen und Operationen
• beschreiben die Struktur von Zahltermen.
• verwenden Platzhalter
zum Aufschreiben von
Formeln.
• nutzen Rechenregeln
zum vorteilhaften Rechnen.
• vergleichen die Struktur von
Termen.
• verwenden Variablen zum
Aufschreiben von Formeln
und Rechengesetzen.
• formen Terme mithilfe des
Assoziativ-, Kommutativ- und
Distributivgesetzes um und
nutzen die binomischen
Formeln zur Vereinfachung
von Termen.
• begründen exemplarisch Rechengesetze für Quadratwurzeln und
Potenzen mit rationalen Exponenten und wenden diese an.
a als nichtnegative Lösung von x 2 = a für a ≥ 0 .
• nennen
• nennen
n
a als nichtnegative Lö-
sung von xn = a für a ≥ 0 .
• nennen logb (a) als Lösung von
• lösen Grundaufgaben bei
proportionalen und antiproportionalen Zusammenhängen, der Prozent- und Zinsrechnung mit Dreisatz.
• lösen lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme
mit zwei Variablen sowie
Verhältnisgleichungen in
einfachen Fällen hilfsmittelfrei.
b x = a für a > 0 und b > 0 .
• lösen quadratische Gleichungen
vom Typ x 2 + p ⋅ x =
0 und
x2 + q =
0 hilfsmittelfrei.
• lösen quadratische Gleichungen
vom Typ x 2 + p ⋅ x + q =
0,
a ⋅ x2 + b ⋅ x =
0 , a ⋅ x2 + c =
0
und a ⋅ (x − d)2 + e =
0 in einfachen Fällen hilfsmittelfrei.
3.2.4
•
•
Funktionaler Zusammenhang
beschreiben und begründen
Auswirkungen von Parametervariationen bei linearen Funktionen, auch unter
Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge.
•
•
beschreiben und begründen Auswirkungen von
Parametervariationen bei quadratischen Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge.
beschreiben und begründen die Auswirkungen
der Parameter auf den Graphen für Funktionen
mit y =a ⋅ f ( b ⋅ (x − c) ) + d .
3.3
Vorwort zu den Lernbereichen
Die Algebra ist das grundlegende Teilgebiet der Mathematik, das die Kompetenzbereiche Zahlen und
Operationen sowie Funktionaler Zusammenhang verfolgt. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten,
und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen.
Im Unterricht beginnt sie somit bei den Zahlen und Zahltermen, mit denen die Rechenregeln erkundet
werden, und findet ihre Fortsetzung bei elementaren Termumformungen. Eine Klassifizierung der
Terme nach ihrer Struktur ist hierbei für die Schülerinnen und Schüler hilfreich.
3.3
Lernbereiche
3.3.2
Lernbereich Elementare Termumformungen
(…) Die Variablen sind im Sinne von Platzhaltern verankert. Der Variablenbegriff und der Zusammenhang zwischen Termen und Funktionen sowie der Darstellungswechsel zwischen Term, Graph und
Tabelle werden hier vorbereitet und in späteren Lernbereichen ausgeschärft. (…)
3.3.2
Lernbereich Lineare Zusammenhänge
Die Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler über Zuordnungen und Terme und deren verschiedene Darstellungsformen werden aufgegriffen, um den Funktionsbegriff vorzubereiten, der erst in den
folgenden Jahren ausgeschärft werden kann.
Lineare funktionale Zusammenhänge werden erkundet und lineare Funktionen und Gleichungen als
mathematische Modelle für bestimmte Zusammenhänge identifiziert. Dabei erfahren die Schülerinnen
und Schüler den Übergang von statischen zu dynamischen Variablen und entwickeln ein grundlegendes Verständnis für das funktionale Denken.
Ein vertieftes Verständnis wird durch den Darstellungswechsel Gleichung – Graph – Tabelle gefördert.
Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Graphen linearer Funktionen auch hilfsmittelfrei. Die Steigung
wird als konstante Änderungsrate identifiziert.
Digitale Mathematikwerkzeuge werden angemessen zur Visualisierung, zur numerischen Lösung sowie zur linearen Regression eingesetzt. Einfache lineare Gleichungen und Gleichungssysteme lösen
die Schülerinnen und Schüler - auch mit Parametern - von Hand, wobei das Einsetzungsverfahren fächerübergreifend als universelle Lösungsstrategie betrachtet wird.
•
•
•
Lineare Funktionen und lineare Gleichungen analysieren und vergleichen
 (…) Parametervariationen in Funktionsgleichung und Funktionsgraph (…)
 Ausgleichsgeraden mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen
Lineare Gleichungen lösen
 Lösen durch Probieren und Rückwärtsarbeiten
 Lösen einfacher linearer Gleichungen hilfsmittelfrei
 Lösen komplexer linearer Gleichungen mit digitalen Mathematikwerkzeugen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen aufstellen und lösen
 Sachprobleme modellieren
 Bezug LGS und Graph, auch im Hinblick auf die Lösbarkeit
 Lösen einfacher LGS graphisch und mit Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren
 Lösen komplexer LGS mit digitalen Mathematikwerkzeugen
3.3.3
Quadratische Zusammenhänge
(…) Durch Parametervariation werden die Auswirkungen der Parameter auf das Aussehen des Graphen untersucht. (…)
•
•
Quadratische Funktionen untersuchen – Parametervariation


Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c
Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) =a ⋅ (x − m) ⋅ (x − n)


Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) =a ⋅ (x − d)2 + e
hilfsmittelfreies Zeichnen von Parabeln
quadratische Zusammenhänge modellieren
 (…) Ausgleichsparabeln mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen
(…)
3.3.3
Exponentielle Zusammenhänge
(…) Die leitenden Fragestellungen bei der Untersuchung der Auswirkungen von Parametervariationen
auf Funktionsgraphen und Funktionsgleichungen, die den Schülerinnen und Schülern von den linearen und quadratischen Funktionen bekannt sind, werden hier auf exponentielle Zusammenhänge
übertragen. (…)
Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Parameter erläutern und insbesondere die
Graphen der durch f mit f(x) =a ⋅ bx für positive b definierten Funktionen skizzieren können.
•
Exponentialfunktionen untersuchen - Parametervariation

•
Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) =a ⋅ bx + c (…)
Exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren
 (…) Ausgleichsfunktionen mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen (…)
3.3.3
Periodische Zusammenhänge
(…) Die an den linearen und quadratischen sowie Exponentialfunktionen gewonnenen Erkenntnisse
über Parametervariationen werden hier übertragen und um die Streckung bzw. Stauchung entlang der
Rechtsachse ergänzt. (…)
Literatur:
[1]
H.-J. VOLLRATH, H.-G. W EIGAND: Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag,
Heidelberg 2009.
[2] G. MALLE: Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Vieweg, Braunschweig 1993.
[3] G. MALLE: Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. In: mathematik lehren, Heft
103, S. 8-11, 2001.
Zum Begründen und Beweisen
„Das müssen wir erst beweisen!“ – Warum eigentlich? Ist das – aus Sicht der Schülerinnen und
Schüler – ein unverständliches Ritual, das „die Mathematiker“ nun einmal immer durchführen?
Welche Funktion hat eigentlich ein Beweis in der Mathematik bzw. im Mathematikunterricht? Da ist
zum einen die wahrheitssichernde Funktion: Man ist sich einer Tatsache nicht ganz sicher oder eine
Tatsache wird von anderen Leuten bestritten: Mit einem Beweis ist man auf der sicheren Seite! Diese
wahrheitssichernde Funktion ist in der Hochschul-Mathematik notwendig. Für den Mathematikunterricht spielt sie allerdings fast gar keine Rolle. Keine Schülerin und kein Schüler wird die Richtigkeit
etwa des Satzes von Pythagoras anzweifeln; schließlich gehört er seit zweieinhalb Jahrtausenden
zum Kulturerbe der Menschheit, und wenn er falsch wäre, dann hätte es wohl längst jemand gemerkt.
Nun haben auch in der Hochschul-Mathematik Beweise auch die Funktion, neue Beziehungen zwischen dem zu Beweisenden und dem schon Bekannten herzustellen und so ein neues Licht auf das
zu Beweisende zu werfen (sonst würde man nicht altbekannte Sätze immer wieder neu beweisen
wollen). Diese einsichtsfördernde und vernetzende Funktion von Beweisen ist im Mathematikunterricht
die wesentliche.
Die leitende Frage im Unterricht zu Pythagoras ist somit: Wie lässt sich die Aussage mit anderen Aussagen verknüpfen oder vernetzen?
Beispiel: Pythagoras I
Eine Beweis- oder Verknüpfungsbedürftigkeit ist nur gegeben, wenn der Sachverhalt (für die Schülerinnen und Schüler) überraschend ist und nicht auf die Schnelle geklärt werden kann.
Beispiel: Thales
Beispiel: Mittelsenkrechten
Man wird ein „In-Beziehung-setzen“ zwischen verschiedenen Fakten und damit Teile einer deduktiven
Schlusskette ansteuern.
Beweisen erwächst aus Argumentationen („Hätten wir uns das nicht gleich denken können?“), mitunter auch aus Verallgemeinerungen. Dabei verschaffen nicht die kürzesten Wege am meisten Einsicht;
viel wichtiger ist die Dichte des Beziehungsgeflechts. Dabei ist es mitunter sinnvoll, Sachverhalte von
mehreren Seiten zu betrachten.
Beispiel: Pythagoras II
Erfahrungsgemäß vertrauen nicht alle Schüler mehrschrittigen logischen Schlussfolgerungen. Dass
man einer logischen Schlussfolgerung nicht über den Weg traut, ging auch bedeutenden Mathematikern schon so. Daher sollte, wann immer es möglich ist, die Anschaulichkeit beim Beweisen im Mathematikunterricht eine große Rolle spielen und zumindest die Argumentation unterstützen.
Auf diese Weise wird eine Einsicht in die Notwendigkeit allgemeingültiger Begründungen von Vermutungen allmählich aufgebaut.
Zum Begründen und Beweisen
Beispiel: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem einzigen Punkt
Dass die drei Mittelsenkrechten durch einen Punkt gehen, ist für Schülerinnen und Schüler häufig
nicht überraschend. Einen Überraschungseffekt und daher einen Anlass zum Reden und zum
Argumentieren bekommt man etwa mit folgender Vorgehensweise:
Man konstruiere ein Dreieck ABC und zwei Mittelsenkrechten, etwa m a und mb. Dass diese beiden
Mittelsenkrechten sich schneiden, muss nicht problematisiert werden. Der Schnittpunkt sei M.
Nun kommt das Entscheidende: Man bewegt C mit der Maus und beobachtet, wie sich der Punkt M
verhält. Dies Verhalten ist in der Tat überraschend: Obwohl C zweidimensional bewegt wird, bewegt
sich M nur eindimensional! Wie kann man sich so etwas erklären?
Nun ist man im Zentrum des klassischen Beweises:
Was wissen wir über M?
M liegt auf mb, also hat M denselben Abstand zu A und zu C.
M liegt auch auf m a, also hat M denselben Abstand zu B und zu C.
Dann hat M auch denselben Abstand zu A und zu B.
Daher liegt M auf der Mittelsenkrechten m c.
Anders formuliert: Also geht auch m c durch M.
Eine Übertragung dieser Vorgehensweise auf (Innen-)Winkelhalbierende ist ebenfalls möglich:
Bei den Mittelsenkrechten war c konstant; bei den Winkelhalbierenden muss entsprechend der Winkel
 konstant sein. Man beginne also mit zwei von C ausgehenden Halbgeraden, die den Winkel 
einschließen und wähle A und B jeweils auf einer der Halbgeraden. Die beiden so konstruierbaren
Winkelhalbierenden w  und w  schneiden sich in W. Bewegt man A und B auf den Halbgeraden, so
bewegt sich W auf einer Geraden.
Nun kann man analog zu den Mittelsenkrechten argumentieren; es muss nur „Abstand von Punkt zu
Punkt“ durch „Abstand von Punkt zu Gerade“ ersetzt werden.
Zum Begründen und Beweisen
Beispiel: Satz des Pythagoras I
Der Sachverhalt ist bekannt: Das weiße Quadrat ist so groß wie das grüne und rote zusammen.
Wie kann man das vernetzen mit anderen Sachverhalten? Zunächst sollte man die Quadrate
weglassen und die Figur durch Ergänzungen symmetrischer machen:
Nun kann man den Flächeninhalt des großen Quadrats auf zweierlei Weisen berechnen:
Einerseits hat der Flächeninhalt den Wert  a  b  , andererseits setzt sich das große Quadrat aus
2
dem kleinen innen liegenden und vier Dreiecken zusammen, so dass man insgesamt den
1
Flächeninhalt c 2  4   a  b bekommt. Daher ist
2
 a  b 2  c 2  4 
1
a b
2
und nach der ersten binomischen Formel
a2  b2  c2 .
Zum Begründen und Beweisen
Beispiel: Satz des Pythagoras II
Was bedeutet der Satz des Thales in Koordinaten?
Wir haben einen Kreis vom Radius u und einen Punkt darauf mit den Koordinaten a und b:
Die beiden zugehörigen grünen Schenkel sind zueinander orthogonal (Satz des Thales):
Der linke grüne Schenkel hat die Steigung
b
b
, der rechte grüne Schenkel hat die Steigung
;
au
ua
da beide aufeinander senkrecht stehen, gilt
b
b

 1
au ua
und damit
u2  a2  b2 .
Dies ist der Satz des Pythagoras für das graue Dreieck:
Die Orthogonalität von Geraden ist einfach zu haben: Dreht man ein Steigungsdreieck („1 nach rechts,
m nach oben“) um 90°, bekommt man ein neues Steigungsdreieck, bei dem man nun „m nach links
1
und 1 nach oben“ gehen muss, also die Steigung 
erhält:
m
Zum Begründen und Beweisen
Beispiel: Hinführung zur Umkehrung des Satzes von Thales
Beginnt man mit der Umkehrung des Satzes von Thales, liefert der Überraschungseffekt einen Anlass
zum Reden, zum Argumentieren und zum Verknüpfen des Sachverhalts mit schon bekannten
Sachverhalten.
Käpt‘n Ulf hat sich bei starkem Nebel auf dem Steinhuder Meer verfahren. Er kann nur die Spitzen
zweier Türme erkennen. Er hat eine genaue Karte des Sees, auf der auch die beiden Türme
eingezeichnet sind, und natürlich seinen Winkelmesser dabei. Er misst zwischen den Türmen einen
Winkel von 90°. Wo befindet er sich?
Hier ist Gruppenarbeit sinnvoll. Man teilt eine Kopie der Seekarte aus und lässt die Schülerinnen und
Schüler auf Folie den Punkt einzeichnen, der Ulfs Position beschreibt. Dieser Punkt wird durch
Probieren gefunden.
Anschließend werden die Folien so übereinandergelegt, dass die beiden Türme stets übereinander
liegen. Das zu beobachtete Phänomen überrascht: Es gibt viele Punkte, an denen Ulf sein könnte.
Und außerdem: Diese Punkte scheinen auf einem Kreis zu liegen:
Der vermutete Kreis überrascht. Wie lässt er sich erklären? Nun kann man wie üblich argumentieren.
So könnte man etwa begründen lassen, warum die Punkte auf dem Halbkreis zu einem rechten
Winkel führen und die Punkte außerhalb des Halbreises zu einem kleineren Winkel als 90° und die
Punkte innerhalb des Halbkreises zu einem größeren Winkel als 90° führen.
Dr. J. Meyer, Hameln
Stochastik in der Sek I
In der Stochastik werden Datensätze modelliert: Sie werden übersichtlich dargestellt oder beschrieben
(das ist mit Informationsverlust verbunden), oder in ihnen wird eine Struktur erkannt (was zum Begriff
der Wahrscheinlichkeit führen kann).
In beiden Fällen bilden Daten die Grundlage.
Aus diesem Grunde ist es sinnvoll, auch den schulischen Stochastik-Unterricht auf Daten aufzubauen.
Im Doppeljahrgang 5/6 werden daher Daten erhoben, und es werden Daten dargestellt.
Erst dann wird im Doppeljahrgang 7/8 der Begriff der Wahrscheinlichkeit eingeführt und anschließend
zu Prognosen fruchtbar gemacht.
Im Doppeljahrgang 9/10 werden dann Rückwärtsschlüsse in der Stochastik behandelt.
Klasse 5: Planung und Durchführung statistischer Erhebungen
Der Umgang mit Daten ist grundlegend für den Stochastik-Unterricht. Woher kommen die Daten? Am
besten ist es, eigene Daten zu verwenden!
Daher steht im Zentrum des Stochastik-Unterrichts in Klasse 5, eine Befragung oder eine
Beobachtung zu planen und durchzuführen. Die Art und Weise der Aufbereitung von Daten wird
bewusst erst in der folgenden Klasse 6 thematisiert, um in Klasse 5 die Zeit zur Erhebung statistischer
Daten zu haben.
Beispiele sind:
 In welcher Jahreszeit haben die Schülerinnen und Schüler Geburtstag?
Hier kann man ggf. darüber sich verständigen, wie man mit Zwillingen umgeht: Zählen sie
einzeln oder doppelt? Ist die Vorab-Hypothese der Gleichverteilung (einigermaßen)
zutreffend? Was wäre, wenn man alle Schülerinnen und Schüler der Schule befragte?
 Anzahl der Geschwister
 Haarfarbe
Hier muss man über die Klassifikation reden!
 Verkehrszählung
Was will man alles zählen? Fahräder auch?
 Länge der Wörter im Vorwort des Mathematikbuches
Was ist ein Wort?
 Anzahl der Stunden im Internet pro Woche
Hier wird die Schätzproblematik tatsächlich erfahren!

Stets muss man die zu ermittelnden Merkmale identifizieren und die ggf. vorliegende
Nichteindeutigkeit der Merkmale diskutieren!
Die fast zwangsläufig sich ergebenden Schwierigkeiten sollten nicht als Probleme, sondern als
Chancen zur Erfahrung verstanden werden.
Man soll auch ein Experiment planen und durchführen. Hier kann nur ein absolutes Merkmal gezählt
werden, also noch keine funktionale Abhängigkeit eines Merkmals von einem anderen.
Beispiele:
 Wie schnell können die Schülerinnen und Schüler ihre Schuhe zubinden?
 Wie schnell können die Schülerinnen und Schüler drei kleine Aufgaben fehlerfrei lösen?
 Können Mädchen schneller rechnen?
Wie muss ein Experiment gestaltet werden, das diese Frage beantwortet?
 Bringt das Üben (etwa in Bruchrechnung) etwas?
Wie muss ein Experiment gestaltet werden, das diese Frage beantwortet?
Klasse 6: Maßzahlen statistischer Erhebungen
In dieser Jahrgangsstufe steht die Aufbereitung und Darstellung von Daten im Vordergrund.
Beispiel: Entfernungen vom Schulort (man wird mit allen 30 Schülerinnen und Schüler anfangen):
Gesa
1 km
Jannes
2 km
Sina
2 km
Marc
2 km
Meike
8 km
Dr. J. Meyer: Stochastik in der Sek I
2
Man hat verschiedene Darstellungsmöglichkeiten: Man kann auf der Rechtsachse Entfernungen und
auf der Hochachse die Häufigkeiten auftragen (links). Oder: Man kann auf der Rechtsachse die
Namen und auf der Hochachse die Entfernungen auftragen (rechts).
Das arithmetische Mittel ist 3. Wie kann man das
veranschaulichen?
Dies geht bei der rechten Darstellung wesentlich einfacher:
Die Anzahl der Überschüssigen oben
ist so groß wie die Anzahl der Unterschüssigen unten.
Gleichwohl: Analog zu Strichlisten wird man sich oft dafür entscheiden, auf der Rechtsachse die
Entfernungen und auf der Hochachse die Häufigkeiten anzutragen.
Balkendiagramm bekommt man in GeoGebra mit dem Befehl Balkendiagramm. Je nach Breite der
Balken lassen sich unterschiedliche Schlüsse ziehen:
Links hat man eine zweigipflige Verteilung; in
der Entfernung von ca. 10 km wohnt niemand.
Hier ist eine monotone Abnahme zu erkennen,
die man links nicht sieht.
Der Modalwert ist der Wert mit der größten Häufigkeit. Er lässt sich inhaltlich bedeutend leichter als
der Median vom arithmetischen Mittel abgrenzen. Aus diesem Grunde wird der Median erst im
Sekundarbereich II behandelt.
Im obigen Doppelbild links ist 3 der Modalwert, rechts 4.
Auch die arithmetischen Mittel unterscheiden sich: links etwa 9,75 und rechts etwa 11,3.
Dr. J. Meyer: Stochastik in der Sek I
3
Arithmetisches Mittel und Modalwert können
auch bei asymmetrischen Verteilungen
zusammenfallen, wie man rechts sieht.
Zur Problematik der unterschiedlichen Aussagekraft unterschiedlicher Parameter empfiehlt sich auch
das folgende Beispiel:
Schüler Cedric hat in den drei ersten Mathematikarbeiten die Noten 3, 6 und 2 geschrieben. Bei
Schülerin Lia waren es die Noten 4, 3 und 3.
Wer ist besser?
Cedric hat das arithmetische Mittel 3,7 und Lia hat das arithmetische Mittel 3,3. Also ist Lia besser.
Aber: Meistens ist Cedric besser!
Die Umfrage „Wen halten Sie für besser, A oder B?“ ist verschieden von der Umfrage „Benoten Sie A
und B jeweils mit den Schulnoten 1 bis 6!“ und kann zu einem ganz anderen Ergebnis führen!
Rückgabe einer Klassenarbeit: Die Durchschnittsnote war „3“. Die häufigste Note war „2“. Kann das
sein? Kann die häufigste Note auch eine „1“ sein?
Die Aussagekraft von Modal- und Mittelwert kann diskutiert werden anhand folgender Fragen:
 In welcher Jahreszeit Geburtstag?
 Anzahl der Geschwister?
 Supermarkt fragt Kunden nach Postleitzahl
 Lebensalter der Schülerinnen und Schüler (auf‘s Jahr gerundet)
 Ausfall zweier aufeinander folgender Klassenarbeiten
 Ausfall zweier Tests: (etwa einer vor einem Gruppenturnier, einer danach)
Als einfaches Streumaß bietet sich die Spannweite an.
Die Streumaß-Berechnung simpel, daher sollte man die Problematik besser umdrehen:
Erstelle fiktiven Datensatz mit vorgegebenen Werten für arithmetisches Mittel, Modalwert und
Spannweite!
Oder:
Der Durchschnitt der Höchsttemperaturen in der letzten Woche war 8 °C. Der Modalwert war 2 °C.
Welche Höchsttemperaturen passen dazu?
Klasse 7: Wahrscheinlichkeit
Nun kommt endlich der Begriff der Wahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeiten modellieren relative Häufigkeiten. Der Unterschied zwischen realer Welt und
Modell muss erfahrbar sein.
Beginnt man mit asymmetrischen Objekten wie der Reißzwecke, so ist der begriffliche Unterschied
zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit kaum zu vermitteln.
Beginnt man mit vollsymmetrischen Objekten, hat man für die Betrachtung relativer Häufigkeiten kaum
einen Anlass (außer beim Gesetz der großen Zahlen).
Daher haben sich zur Einführung teilsymmetrische Objekte (wie Riemer-Quader oder Legosteine)
bewährt.
Hier sind manche Seiten schon aus geometrischen Gründen gleichwahrscheinlich, führen aber i.a.
nicht zu übereinstimmenden relativen Häufigkeiten.
Der Unterschied zwischen den beobachteten relativen Häufigkeiten verringert sich bei zunehmender
Wurfzahl. Gleichwohl handelt es sich nicht um analytische Konvergenz!
Verschiedene Schüler schätzen die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Seitenflächen ähnlich,
aber dennoch unterschiedlich, und es ergeben sich Diskussionen, wie sie für die Genese eines
tragfähigen Wahrscheinlichkeitsbegriffs fruchtbarer nicht sein könnten. Durch Experimente werden die
Schüler gezwungen, ursprüngliche Hypothesen zu verwerfen, wie z. B. die der Proportionalität der
Wahrscheinlichkeiten zu den Seitenflächen.
Dr. J. Meyer: Stochastik in der Sek I
4
Es wird nicht einseitig der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff angesteuert (Wahrscheinlichkeit
als Grenzwert relativer Häufigkeiten), sondern auch der subjektivistische (Wahrscheinlichkeiten haben
mit zu revidierenden Hypothesen zu tun).
Wenn man es nicht mit vollsymmetrischen Objekten zu tun hat, gilt:
Wahrscheinlichkeiten sind Größen, denen man durch Messung näher kommt, sie aber auch durch
Messung nie wird exakt bestimmen lassen.
Die Welt der Daten setzt sich zusammen aus einem Muster plus einer Variabilität:
Daten = Muster + Variabilität
= signal + noise
Nach Klärung des begrifflichen Unterschieds zwischen Wahrscheinlichkeit und relativen Häufigkeiten
stellt sich die Frage: Wie steht es mit vollsymmetrischem Objekt wie einer Münze?
Betrachtet man die relativen Häufigkeiten, hat
man das nebenstehende Bild; die waagerechte
Linie hat die Höhe 1/2.
Was ist mit den absoluten Häufigkeiten? Trägt
man bei 100 Würfen deren jeweilige
Unterschiede gegen n/2 auf, ergibt sich ein ganz
anderes Bild; von Konvergenz kann keinerlei
Rede mehr sein!
Klasse 8: Ein- und zweistufige Zufallsversuche
In Kl. 7 ging es um den modellierenden Übergang von relativen Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten.
Man fragt sich: Wozu nützt das Modell? Antwort: Das Modell wird zur Prognose relativer Häufigkeiten
verwendet.
Es geht daher in Klasse 8 um den modellverwendenden Übergang von Wahrscheinlichkeit zu relative
Häufigkeiten.
Insbesondere lassen sich so auch falsche Vorstellungen zu Wahrscheinlichkeiten anhand relativer
Häufigkeiten falsifizieren.
Eine Münze (Laplace-Objekt, damit die Wahrscheinlichkeit unstrittig ist) wird 100-mal geworfen. Wie
häufig erscheint die nationale Seite?
Die Schülerinnen und Schüler bekommen ein Gefühl dafür, wie viele „Erfolge“ beim 100-maligen
Werfen einer fairen Münze zu erwarten sind: Es können 40 oder 53 „Erfolge“ sein, aber nur in ganz
seltenen Fällen 10. Auch die 50 wird nicht häufig auftreten.
Man bekommt auf diese Weise binomialverteilte Zufallszahlen (ohne sie so zu nennen).
Das geht auch direkt mit GeoGebra [ZufallszahlBinomialverteilt[n, p]].
Der Zufallszahlengenerator wirkt dabei jeweils als Black Box, deren Ergebnisse im Großen und
Ganzen den Erfahrungen mit Münzwürfen entsprechen (die Funktionsweise wird erst in der Sek II
geklärt).
Damit kann die Variablilität der Einträge (absolute Häufigkeiten!) in einem Baumdiagramm oder in
einer Vierfeldertafel erfahren werden!
Auch die Pfadregeln erschließen sich mithilfe fiktiver absoluter Häufigkeiten leicht auf diese Weise: Ich
habe eine Urne mit 3 scharzen und 2 weißen Kugeln und ziehe 2-mal OHNE Zurücklegen. Ich spiele
dieses Experiment 200-mal:
In etwa 120 Fällen ziehe ich beim 1. Mal „schwarz“.
Von diesen etwa 120 Fällen ziehe ich etwa 60-mal beim 2. Mal
„schwarz“.
Wahrscheinlichkeit für s / s?
In etwa 60 von 200 Fällen ziehe ich s / s.
60 120 60 3 2
Die Wahrscheinlichkeit für s/s ist somit


  .
200 200 120 5 4
Klasse 9: Rückwärtsschlüsse in der Stochastik
Hier geht es um Zufallsexperimente mit zwei Merkmalen. Dabei sollte man mit den mitunter
merkwürdigen Phänomenen beginnen:
In der 9a tragen die meisten Mädchen eine Brille.
In der 9a sind die meisten Brillenträger männlich.
Folgt daraus, dass die meisten Mädchen männlich sind?
Dr. J. Meyer: Stochastik in der Sek I
5
Die beiden Aussagen sind durchaus miteinander verträglich:
M J
Br
Br
10 15 25
5
15
Man sieht: Es kommt gar nicht darauf an, wie viele Jungen keine Brille tragen. Finden Schülerinnen
und Schüler analoge Beispiele?
Bei einer Vorsorgeuntersuchung wird auf eine bestimmte Krankheit getestet. Der Prozentsatz der
tatsächlich Kranken betrage 10 % (woher weiß man das?). Bei einer in Wahrheit kranken Person
rekenne der Test mit Wahrscheinlichkeit 85 % auf „krank“; bei einer in Wahrheit gesunden Person
erkenne der Test mit Wahrscheinlichkeit 95 % auf „gesund“.
Alle Zahlenangaben sind Schätzwerte. Man sollte also die Bayes-Aufgaben nicht zu quantitativ lösen.
Der hier deutlich werdende Modellierungsaspekt ist wesentlich.
Fachbegriffe wie Prävalenz, Sensitivität, Spezifizität tragen hier überhaupt nicht zur Klärung bei.
Die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine als „krank“ getestete Person in Wahrheit krank ist, wird
viel weniger fehlerträchtig gelöst, wenn man fiktive absolute Häufigkeiten verwendet.
Nehmen wir an, dass der Test bei n = 1000 Personen durchgeführt wird (repräsentative Stichprobe).
Dann werden etwa 100 Personen tatsächlich krank sein. Allerdings sind das sicherlich nicht genau
100 Leute. In welchem Bereich diese Anzahl liegen wird: Das beantwortet der im Schuljahr davor
kennen gelernte Zufallszahlengenerator. Das mit den fiktiven absoluten Zahlen verbundenene Gefühl
für Variabilität sollte nicht verloren gehen.
Von den etwa 100 kranken Personen werden etwa 85 als „krank“ angesehen usw.
Nun kann man p(k | „k“) als Quotient ermitteln. Man sieht: Dieser Wert ist eine Zufallsgröße. Er hängt
ab von der 1000-er Stichprobe sowie vom Test.
Verblüffender ist: Was passiert, wenn der Anteil der tatsächlich Kranken in der Bevölkerung auf 1 %
sinkt?
Der Unterricht sollte auf jeden Fall Vierfelder-Tafel und Baumdiagramm pflegen, um die Schülerinnen
und Schüler nicht auf eine einzige Lösungsmöglichkeit zu „trimmen“.
Im Unterricht zeigte sich nämlich immer wieder, dass manche Lernenden lieber mit dem einen Format
arbeiten und andere mit dem anderen Format.
Natürliche Zahlen
In diesem Lernbereich erweitern die Schülerinnen und Schüler ihre Kompetenzen im Umgang mit den
natürlichen Zahlen. Dabei liegt ein Fokus auf dem Erkennen und Nutzen von Mustern innerhalb der
natürlichen Zahlen. Die Grundrechenarten und ihre Umkehrungen werden in alltagsrelevanten Zahlenräumen sicher angewendet. Das Bestimmen von Teilern und Vielfachen bereitet den späteren Umgang mit Brüchen und Termen vor.
Es geht nicht um eine abstrakte Behandlung und Darstellung der geltenden Regeln und Gesetze, die
dann auswendig gelernt und formal angewendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Eigenschaften der natürlichen Zahlen erkunden, ihre Erkenntnisse formulieren und anhand geeigneter Beispiele begründen können.
Bildliche Darstellungen von natürlichen Zahlen fördern vielfach die Durchdringung der mathematischen Zusammenhänge. Gleichzeitig haben sie einen hohen Aufforderungscharakter, bieten spielerische und selbstdifferenzierende Zugänge und verstärken so das bei Schülerinnen und Schülern dieser Altersstufe oftmals ohnehin vorhandene Interesse an Zahlen.
Im Folgenden wird an einem Beispiel gezeigt, wie Vielfache und Teiler von natürlichen Zahlen erarbeitet werden können.
Figurierte Zahlen gibt es in unzähligen Variationen. Sie sind sehr geeignet, Eigenschaften natürlicher
Zahlen zu untersuchen. Dabei werden auch Folgen und Reihen betrachtet, ohne diese jedoch zu formalisieren.
Ein Beispiel sind die sogenannten Dreieckszahlen der ungeraden
Zahlen in der nebenstehenden Abbildung.
Sie ermöglichen zunächst einfache Fragen:
Wie erhält man die jeweils folgende Dreieckszahl?
Wie viele Plättchen (Kugeln, Kreise...) benötigt man, um die ersten
8 Dreieckszahlen zu legen?
Welche Zahlen entstehen, wenn man mit zwei Plättchen beginnt
oder jeweils drei Plättchen zufügt?
Die Plättchen der Dreieckszahlen der ungeraden Zahlen lassen
sich auch zu je einem Quadrat umsortieren und ermöglichen weiterführende Fragen:
Wie viele Plättchen benötigt man für ein 6  6-Quadrat?
Kann man jede Quadratzahl in dieser Form durch Dreieckszahlen
darstellen?
Lässt sich die Summe zweier Quadratzahlen wieder als Quadratzahl darstellen?
Die beiden letzten Fragen führen zu Rechteckzahlen als Darstellung von Vielfachen und Teilern von
natürlichen Zahlen:
Die Summe der beiden Quadratzahlen 16 und 4 ist keine Quadratzahl, sondern 20.
Offensichtlich ist nicht jede Zahl als Quadratzahl darstellbar. Hier kann die Frage anknüpfen, in welcher Weise man Zahlen als Rechteckzahlen darstellen kann.
Wie viele verschiedene Darstellungen gibt es beispielsweise für die Zahl 20?
Die Zahl 20 lässt sich auf drei Arten als Produkt darstellen:
20  4  5
20  2  10
20  1 20
Es gibt also folgende Rechteckdarstellungen:
Die Zahl 20 hat die Teiler 1, 2, 4, 5, 10 und 20.
Umgekehrt ist 20 ein Vielfaches der Zahlen 1, 2, 4, 5, 10 und 20.
Die Schülerinnen und Schüler entdecken, dass sich Primzahlen nur auf eine Weise als Rechteckzahlen darstellen lassen.
Fragen nach Teilern und Vielfachen vertiefen die Kompetenz im Umgang mit den natürlichen Zahlen:
4 ist ein Teiler von 20, denn 20 : 4  5 .
20 ist ein Vielfaches von 4, denn 20  4  5 .
Zur vollständigen Betrachtung gehören auch Gegenbeispiele der Art: „Ist 6 ein Teiler von 20?“.
6 ist kein Teiler von 20, denn 20 : 6  3  2 : 6
20 ist kein Vielfaches von 6, denn 20  3  6  2
Hier werden Multiplikation und Division als Umkehroperationen verdeutlicht und weitere Einsichten in
die Strukturen natürlicher Zahlen angelegt.
Prozessbezogene Kompetenzbereiche
3.1.4
Mathematische Darstellungen verwenden
 nutzen unterschiedliche Darstellungsformen für positive rationale Zahlen.
3.1.5
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
 stellen einfache mathematische Beziehungen durch Terme, auch mit Platzhaltern,
dar und interpretieren diese.
 berechnen die Werte einfacher Terme.
 übersetzen symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache und umgekehrt.
 verwenden die Relationszeichen („=“, „<“, „>“, „  “, „  “ und „  “) sachgerecht.
 nutzen die Umkehrung der Grundrechenarten.
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche
3.2.1
Zahlen und Operationen
 untersuchen natürliche und nicht-negative rationale Zahlen.
 stellen nicht-negative rationale Zahlen auf verschiedene Weisen und situationsangemessen dar.
 ordnen und vergleichen nicht-negative rationale Zahlen.
 lösen einfache Rechenaufgaben mit nicht-negativen rationalen Zahlen im Kopf.
 beschreiben Sachverhalte durch Zahlterme.
 beschreiben die Struktur von Zahltermen.
Exponentielle Zusammenhänge
Der Lernbereich bietet vielfältige Möglichkeiten der Vernetzung einerseits mit bereits behandelten Inhalten
(z.B. lineare Zusammenhänge) und andererseits mit zukünftig zu behandelnden Feldern (z.B. Differentialrechnung, stetige Beschreibung von Wachstumsvorgängen). Bei der Überlagerung von linearem und exponentiellem Wachstum ergibt sich bei speziellen Konstellationen ein begrenztes Wachstum. Die Zusammenhänge sind anschaulich relativ einfach zugänglich, sodass sich vielfältige Gelegenheiten für die Vorbereitung
eines propädeutischen Grenzwertbegriffs und damit Vernetzungen zum Lernbereich ‚Näherungsverfahren
als Grenzprozesse – Zahlbereichserweiterungen‘ ergeben.
Dabei kann die iterative Beschreibung von Vorgängen als eine weittragende Idee der Mathematik in den
Blick genommen, erläutert und gegenüber der expliziten Beschreibung abgegrenzt werden. ‚Was heute ist,
ist eine direkte Folge von dem, was gestern war, und das wiederum eine Folge von dem, was vorgestern
war, …‘ ist eine letztlich vielleicht triviale, aber ebenso wichtige Erkenntnis für Schülerinnen und Schüler: Der
Ist-Zustand setzt sich zusammen aus dem Vorgänger-Zustand und einer Änderung. Gelingt es, diese Änderung geeignet durch Einflussfaktoren zu modellieren, so kann der Verlauf iterativ beschrieben und untersucht
werden. Viele Vorgänge lassen sich iterativ, aber nur schwierig oder gar nicht explizit beschreiben (z.B. Ratenzahlungsprobleme) oder aber explizit und nicht iterativ (z.B. Sinusfunktion). Digitale Mathematikwerkzeuge helfen zur Berechnung und zum Erstellen von Prognosen. Es bietet sich an, Tabellenkalkulation zur
Berechnung und Visualisierung der Prozesse einzusetzen.
Im gesamten Lernbereich ergeben sich vielfältige Anlässe zum Modellieren und Argumentieren, z.B. bei der
diskreten iterativen oder expliziten Anpassung von Daten, der Klassifizierung der Überlagerung.
Untersuchung exponentiellen Wachstums – iterativ und explizit
Exponentielle Wachstumsvorgänge können sinnvoll z.B. über ein Zinseszinsproblem, exponentielle Zerfallsvorgänge z.B. über ein Spiel zunächst iterativ beschrieben werden. Die explizite Darstellung ergibt sich dann
in einfacher Weise.
Beispielaufgabe: Spielerischer Einstieg. Statt Spielsteine können auch z.B. ‚m&m’s‘ verwendet werden, um
den Einstieg noch schmackhafter zu machen … Bei dieser Aufgabenstellung ergeben sich Vernetzungen zur
Stochastik.
Spielregeln:
Ihr erhaltet je Gruppe ca. 200 ‚Spielsteine’. Falls diese noch unmarkiert sind, markiert sie auf einer Seite
mit einem Filzstift-Punkt.
(1) Vier Spielsteine werden auf den Tisch ‚gewürfelt’.
(2) Zu jedem Stein mit oben liegendem Punkt wird ein Stein dazugelegt.
(3) Alle auf dem Tisch liegenden Steine zusammen werden wieder auf den Tisch ‚gewürfelt’.
(4) Siehe (2)!
Schätzt, wie lange ein Spiel dauert, bis alle Spielsteine auf dem Tisch liegen.
Spielt!
Stellt die Daten graphisch dar.
Schätzt zuerst und überlegt dann, wie man vielleicht Lösungen ‚errechnen’ kann.
Wie lange kann man mit 5000 Spielsteinen spielen?
Wie viele Spielsteine braucht man, damit das Spiel 30 Würfe lang dauert?
Die Untersuchung der Funktion f mit f(x) =a ⋅ bx + c ermöglicht die Klassifizierung nach den Parametern a, b
und c. Die Verschiebung in x-Richtung kann binnendifferenzierend untersucht werden.
Tabellarische Zusammenfassung der Inhalte
Zunahme- oder Abnahmeprozesse werden als Wachstumsvorgänge bezeichnet.
Wachstumsvorgänge können iterativ oder explizit beschrieben werden. Die Darstellung gibt an, wie sich die
wachsende Größe pro Zeiteinheit verändert.
Durch die Darstellung ergibt sich eine Folge von Werten u(0), u(1), u(2) … .
u(0) ist der Startwert der Folge, u(1), u(2), … nennt man erstes, zweites, … Folgenglied.
Lineares Wachstum
Exponentielles Wachstum
rekursive Darstellung:
rekursive Darstellung:
u(n) = u(n − 1) + d; u(0) = ...
u(n) =u(n − 1) + w ⋅ u(n − 1) =⋅
k u(n − 1); u(0) =...
u(n) − u(n − 1) =
d
d: konstante Änderung
u(n)
=k
u(n − 1)
u(0): Startwert
w: prozentuale Änderung bzw. k: Wachstumsfaktor;
u(0): Startwert
explizite Darstellung:
explizite Darstellung:
u(n)= u(0) + d ⋅ n
= u(0) ⋅ kn
u(n)
Beispiel:
Beispiel:
u(n) = u(n − 1) + 0,6
u(n) = u(n − 1) + 0,07 ⋅ u(n − 1) = 1,07 ⋅ u(n − 1)
u(0) = 4
u(0) = 4
n
0
1
2
3
n
0
1
u(n)
4
4,6
5,2
5,8
u(n)
4
4,28
2
3
4,5796 4,9002
d > 0:
Zunahmeprozess
k > 1:
d < 0:
Abnahmeprozess
0 < k < 1: Abnahmeprozess
Zunahmeprozess
A: Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Für jede Funktion f mit =
f(x) bx ; x ∈ IR und beliebiger positiver Basis b ≠ 1 gilt:
• Der Graph von f
- steigt für b > 1 ;
- sinkt für 0 < b < 1 .
• Der Graph von f liegt oberhalb der x-Achse. Jede
positive Zahl kommt als Funktionswert von f vor.
• Der Graph von f schmiegt sich
- für b > 1 dem negativen Teil der x-Achse an,
- für 0 < b < 1 dem positiven Teil der x-Achse an.
Die x-Achse ist Asymptote.
• Alle Graphen haben den Punkt P(0|1) und nur
diesen Punkt gemeinsam.
B: Verändern der Graphen von Exponentialfunktionen
Streckung/Stauchung in y-Richtung
Streckung/Stauchung in x-Richtung
Multiplikation mit Faktor a
Multiplikation des Exponenten mit Faktor k
f(x)= a ⋅ bx
f(x) = bk⋅x
a > 1 : Streckung in y-Richtung
0 < a < 1 : Stauchung in y-Richtung
Für negatives a zusätzlich Spiegelung des
Graphen an der x-Achse
k⋅x
f(x)
= b=
(b =
)
k x
rx
Ändern der Basis bewirkt Streckung/Stauchung des
Graphen in x-Richtung.
Verschiebung in y-Richtung
Verschiebung in x-Richtung (nicht im Kern)
Addition einer Konstanten d
Subtraktion einer Konstanten c im Exponenten
f(x)
= bx + d
f(x) = bx −c
Addition einer Konstanten d bewirkt eine
Verschiebung des Graphen in y-Richtung
f(x) =bx −c =bx ⋅ b− c =b− c ⋅ bx =a ⋅ bx
Verschiebung in x-Richtung bewirkt gleichzeitig
Streckung/Stauchung des Graphen in y-Richtung.
Spiegelung an der y-Achse
Spiegelung an x-Achse
Multiplikation des Exponenten mit -1
Multiplikation des gesamten Terms mit -1
f(x) = b− x
f(x) = − (bx )
x
= b−=
f(x)
1 1x  1 
= =  
bx bx  b 
x
Kehrwertbilden der Basis bewirkt Spiegelung des
Graphen an der y-Achse.
Multiplikation des Terms mit -1 bewirkt eine
Spiegelung des Graphen an der x-Achse
Überlagerung von linearem und exponentiellem Wachstum
Exponentielles und lineares Wachstum können häufig in Überlagerung auftreten.
iterative Darstellung:
u(n) = u(n − 1) + w ⋅ u(n − 1) + d
Exponentiell
u(n) =k ⋅ u(n − 1) + d
Linear
Theoretisch können dann vier verschiedene Möglichkeiten auftreten:
(1) Exponentielle Zunahme und lineare Zunahme [ w > 0 bzw. k > 1
; d>0 ]
(2) Exponentielle Zunahme und lineare Abnahme [ w > 0 bzw. k > 1
; d< 0 ]
(3) Exponentielle Abnahme und lineare Zunahme [ w < 0 bzw. k < 1
; d>0 ]
(4) Exponentielle Abnahme und lineare Abnahme [ w < 0 bzw. k < 1
; d<0 ]
Fall (1): Je nach Anfangswert u(0) lässt sich der Verlauf folgendermaßen klassifizieren:
Für u(0)>0 lässt sich erschließen, dass die Werte gegen +∞ streben:
„Das Guthaben wird verzinst, es kommen konstante Einzahlungen hinzu.“
Für u(0)<0 lässt sich erschließen, dass die Werte gegen +∞ streben, wenn w ⋅ u(0) < d gilt:
„Ich baue durch konstante Einzahlungen zunächst meine Schulden ab und danach Guthaben auf.“
Für u(0)<0 lässt sich erschließen, dass die Werte gegen −∞ streben, wenn w ⋅ u(0) > d gilt:
„Die regelmäßigen Einzahlungen sind kleiner als die Zinsen. Die Verschuldung nimmt zu.“
Es lässt sich erschließen, dass die Werte konstant bleiben, wenn w ⋅ u(0) =
d gilt:
„Ich bin lediglich in der Lage meine Verschuldung konstant zu halten, weil ich nur die Schuldzinsen
begleiche.“
Fall (2): Je nach Anfangswert u(0) lässt sich der Verlauf folgendermaßen charakterisieren:
Es lässt sich erschließen, dass die Werte gegen +∞ streben, wenn w ⋅ u(0) > d gilt:
„Die Zinsen sind größer als die regelmäßigen Auszahlungen.“
Es lässt sich erschließen, dass die Werte gegen −∞ streben, wenn w ⋅ u(0) < d gilt:
„Die Zinsen sind kleiner als die regelmäßigen Auszahlungen. Ich lebe über meinen Verhältnissen.“
Es lässt sich erschließen, dass die Werte konstant bleiben, wenn w ⋅ u(0) =
d gilt:
„Ich lasse mir lediglich die Zinsen regelmäßig auszahlen.“
Fall (3): Begrenztes Wachstum: Unabhängig vom Anfangswert u(0) nähern sich die Werte einem Grenzwert G.
Beispiel: konstante Zugabe eines Wirkstoffs, überlagert mit prozentualem Abbau.
Fall (4): Begrenztes Wachstum: Unabhängig vom Anfangswert u(0) nähern sich die Werte einem Grenzwert G.
Beispiele
(1) u(n) = u(n − 1) + 0,05 ⋅ u(n − 1) + 2
(2) u(n) = u(n − 1) + 0,05 ⋅ u(n − 1) + d, u(0) = 20
(3) u(n) = u(n − 1) − 0,1⋅ u(n − 1) + 5
(4) u(n)= 0,95 ⋅ u(n − 1) − 1
Begründung der Existenz und Berechnung des Grenzwertes G für begrenztes Wachstum
Die Existenz eines Grenzwertes kann mit Hilfe der zugehörigen Graphen etwa wie unten dargestellt
begründet werden. Es ergeben sich vielfältige Möglichkeiten für Argumentationen. Dabei reicht es, den für
anschauliche Anwendungen ausreichenden Fall (3) zu betrachten. Wie komplex und ausführlich die
Begründungen ausgeführt werden, hängt von der Lerngruppe ab. Binnendifferenzierend können die
leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler auch Begründungen für den Fall (4) finden.
Fall (3)
[ w<0, d>0 ]:
Zunächst Überlegungen für positive Startwerte: u(0)>0:
Gilt w ⋅ u(0) > d , so werden die Werte bei jedem Schritt kleiner, da die prozentuale Abnahme stets größer ist
als die konstante Zunahme. Weil die Werte kleiner werden, werden wiederum die prozentualen Abnahmen
von Schritt zu Schritt kleiner, bleiben aber größer als d. Die Summe aus prozentualer Abnahme und
konstanter Zunahme ist stets negativ und geht gegen Null, das Wachstum gegen eine Grenze G>0.
Gilt k ⋅ u(0) < d , so werden die Werte bei jedem Schritt größer, da die prozentuale Abnahme stets kleiner ist
als die konstante Zunahme. Weil die Werte größer werden, werden wiederum die prozentualen Abnahmen
von Schritt zu Schritt größer, bleiben aber kleiner als d. Die Summe aus prozentualer Abnahme und
konstanter Zunahme ist stets positiv und geht gegen Null, das Wachstum gegen eine Grenze G>0.
Für negative Startwerte u(0)<0 überlagern sich die Zuwächse so lange gleichgerichtet, bis die Werte positiv
sind und die obigen Überlegungen entsprechend greifen. Da die Beträge kleiner werden, wird auch hier der
Zuwachs von Schritt zu Schritt stets kleiner.
Fall (4)
[ w<0, d<0 ]:
Zunächst Überlegungen für negative Startwerte u(0)<0:
Gilt w ⋅ u(0) > d , so werden die Werte bei jedem Schritt betragsmäßig kleiner, da die prozentuale Abnahme
des Betrages stets größer ist als dessen konstante Zunahme. Weil die Werte betragsmäßig kleiner werden,
werden wiederum die prozentualen Abnahmen der Beträge von Schritt zu Schritt kleiner, bleiben aber vom
Betrag größer als d. Die Summe aus prozentualer Abnahme und konstanter Zunahme ist stets positiv und
geht gegen Null, das Wachstum gegen eine Grenze G<0.
Gilt k ⋅ u(0) < d , so werden die Werte bei jedem Schritt betragsmäßig größer, da die prozentuale Abnahme
des Betrages stets kleiner ist als seine konstante Zunahme. Weil die Werte betragsmäßig größer werden,
werden wiederum die prozentualen Abnahmen der Beträge von Schritt zu Schritt größer, bleiben aber vom
Betrag kleiner als d. Die Summe aus prozentualer Abnahme und konstanter Zunahme ist stets negativ und
geht gegen Null, das Wachstum gegen eine Grenze G<0.
Für positive Startwerte u(0)>0 überlagern sich die Zuwächse so lange gleichgerichtet, bis die Werte negativ
sind und die obigen Überlegungen entsprechend greifen. Da die Beträge kleiner werden, wird auch hier die
Abnahme von Schritt zu Schritt stets kleiner.
Berechnung des existierenden Grenzwertes (Gleichwichtszustands) für begrenztes Wachstum
Im Grenzfall müssen sich beide Änderungen aufheben, sodass die resultierende Änderung null ist:
w ⋅G + d =
0
−d
G=
w
(1 − k) ⋅ G =
d
oder
G=
d
1 −k
Zusammenhang zwischen iterativer und expliziter Beschreibung begrenzten Wachstums
Die folgenden Überlegungen sind deutlich über den Kern hinausgehend. Binnendifferenzierend werden hier
aber leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler sinnvoll gefördert.
Die Graphen lassen vermuten, dass es sich um eine um die Grenze G in y-Richtung verschobene
Exponentialfunktion handelt. Der Ansatz, den Wachstumsfaktor k für die Exponentialfunktion anzunehmen,
x
d
+ kx .
1 −k
ist dabei naheliegend. Wir machen also für f den Ansatz: f(x) =G + k =
Der Ansatz kann durch Einsetzen bestätigt werden:
d
+ k x −1
1 −k
f(x) =k ⋅ f(x − 1) + d
f(x − 1)=
 d

k ⋅
=
+ k x −1  + d
 1 −k

k ⋅d
=
+ kx + d
1 −k
k ⋅ d (1 − k) ⋅ d x
= +
+k
1 −k
1 −k
k ⋅d + d − k ⋅d x
=
+k
1 −k
d
=
+ kx
1 −k
Eine weitere Möglichkeit ist zu argumentieren, dass die Differenz aus Grenze und Funktionswerte eine fallende Exponentialfunktion ist:
u(n) =k ⋅ u(n − 1) + d
Man macht wiederum den Ansatz, dass sich für 0 < k < 1 im Grenzfall der exponentielle und der lineare Anteil aufheben:
d =G ⋅ (1 − k ) .
Dann ergibt sich u(n) − G =k ⋅ (u(n − 1) − G ) .
Nun weiß man, dass un − G exponentiell fällt.
Daher gilt: u(n) − G = kn ⋅ (u(0) − G ) bzw. u(n)=
(u(0) − G) ⋅ kn + G bzw. als explizite Formel.
Der obige Ansatz ist auch möglich, wenn der Prozess nicht begrenzt ist und somit G keine Grenze darstellt.
Das ist der Fall, wenn k ≥ 1 ist. In diesem Fall ist die Differenz aus Grenze und Funktionswerten keine fallende Exponentialfunktion.
Logarithmen
Sind y und b zwei positive Zahlen ( b ≠ 0 ), heißt die Zahl, mit der man b potenzieren muss, um y zu erhalten, der Logarithmus von y zur Basis b.
Schreibweise: logb (y) .
x = logb (y) und bx = y .
Beispiele:
Löse 3x = 243
Bestimme log2 (32)
bedeutet: Bestimme die Zahl, mit der man 3 potenzieren muss, damit sich 243 ergibt.
bedeutet: Bestimme die Zahl, mit der man 2 potenzieren muss, damit sich 32 ergibt.
Dafür schreibt man
Gesucht ist also eine Zahl x, so dass gilt:
x = log3 (243) .
2x = 32 .
Hinweise zu hilfsmittelfreien Fertigkeiten und zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
Hilfsmittelfreie Fertigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler sollen:
1.
für einfache lineare und exponentielle Wachstumsvorgänge iterative und explizite Darstellungen
finden und weitere Werte berechnen können.
2.
für begrenzte Wachstumsvorgänge die Iterationsformel aufstellen können.
3.
Wachstumsvorgänge durch ihre Änderung charakterisieren und durch geeignete Modelle
beschreiben (linear: konstanter Summand, exponentiell: konstanter Faktor).
4.
zu einer gegebenen hinreichend einfachen Exponentialfunktion den zugehörigen Graphen skizzieren
können und zu einem gegebenen Graphen den zugehörigen Term nennen.
5.
Terme der Form a·b
6.
die Logarithmenschreibweise für die Lösung einer Exponentialgleichung verwenden und den Wert
einfacher Logarithmen angeben.
7.
Lösungen von Exponentialgleichungen in einfachen Fällen exakt angeben können (z.B. 5 = 125 ).
cx+d
x
zu Termen der Form a·b vereinfachen.
x
Fertigkeiten im Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen
Im Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen sollen die Schülerinnen und Schüler im Lernbereich folgende Kompetenzen erwerben bzw. festigen:
1.
Folgendefinitionen im in der Schule eingeführten Werkzeug eingeben und darstellen können.
2.
Tabellen und Graphen zur Bestimmung von Lösungen nutzen können.
3.
Untersuchungen von Funktionsgraphen mit Parametervariation durchführen können.
4.
Tabellenkalkulationen zur iterativen Berechnung nutzen können.
AUSZÜGE AUS DEM KERNCURRICULUM
3.2.1 Zahlen und Operationen
•
interpretieren exponentielle Abnahme und begrenztes
Wachstum als Grenzprozesse.
3.2.4 Funktionaler Zusammenhang
• beschreiben quadratische, exponentielle und periodische Zusammenhänge zwischen Zahlen und zwischen
Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und
Sachtexten, erläutern und beurteilen sie.
• nutzen quadratische Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen zur Beschreibung
quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge.
• stellen Funktionen durch Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Gleichung, Tabelle,
Graph.
• modellieren lineares, exponentielles und begrenztes
Wachstum explizit und iterativ auch unter Verwendung
digitaler Mathematikwerkzeuge.
• interpretieren den Wachstumsfaktor beim exponentiellem Wachstum als prozentuale Änderung und grenzen
lineares und exponentielles Wachstum gegeneinander
ab.
• beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei quadratischen Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen, auch
unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge.
• beschreiben und begründen die Auswirkungen der Parameter auf den Graphen für Funktionen mit
y =a ⋅ f ( b ⋅ (x − c) ) + d .
3.3 Lernbereiche
Lernbereich: Exponentielle Zusammenhänge
Intentionen
Ausgehend von der Idee des prozentualen positiven bzw. negativen Zuwachses wird exponentielles
Wachstum iterativ eingeführt und auch explizit beschrieben sowie gegen lineares Wachstum abgegrenzt.
Die iterativ beschriebene Überlagerung aus exponentiellem und linearem Wachstum in der Form
b(n)= b(n − 1) + w ⋅ b(n − 1) + d mit w ≥ −1 bzw. b(n) = k ⋅ b(n − 1) + d mit k ≥ 0 führt auf vier Fälle, die
in Abhängigkeit des Anfangswertes sowie der Parameter d und w bzw. k untersucht und mit Sachsituationen verknüpft werden. Zusammenhänge zwischen iterativer und expliziter Beschreibung begrenzten Wachstums werden hergestellt. In den Fällen, in denen sich begrenztes Wachstum ergibt,
kann die Grenze G bestimmt werden.
Die Grenzprozesse bei exponentiellem Zerfall und begrenztem Wachstum werden im Lernbereich
„Näherungsverfahren als Grenzprozesse - Zahlbereichserweiterungen“ wieder aufgegriffen.
Die leitenden Fragestellungen bei der Untersuchung der Auswirkungen von Parametervariationen
auf Funktionsgraphen und Funktionsgleichungen, die den Schülerinnen und Schülern von den linearen und quadratischen Funktionen bekannt sind, werden hier auf exponentielle Zusammenhänge
übertragen. Ein vertieftes Verständnis wird durch den Darstellungswechsel Gleichung – Graph –
Tabelle gefördert.
Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Parameter erläutern und insbesondere die
Graphen der durch f mit f(x)= a ⋅ b x für positive b definierten Funktionen skizzieren können.
Die Rechengesetze für Potenzen werden genutzt, um Erkenntnisse über die Funktionen oder einen
zugehörigen Sachzusammenhang zu gewinnen.
Der Logarithmus wird nur als Sprechweise für die Lösung der Gleichung b x = a eingeführt und hö-
here Wurzeln werden als Sprechweise für die Lösung der Gleichung xa = b genutzt. Beim Einsatz
von CAS zur Lösung komplexerer Gleichungen ist das Verständnis der Rechnerausgabe sicherzustellen.
Dieser Lernbereich bietet vielfältige Möglichkeiten zur Modellierung.
Kern
•
exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren
 Sachsituationen iterativ und explizit modellieren
 lineare und exponentielle Prozesse voneinander abgrenzen
 Überlagerung von linearem und exponentiellem Wachstum untersuchen
 Bestimmen der Grenze G beim begrenzten Wachstum
 Vergleich der expliziten und iterativen Darstellung
•
Exponentialfunktionen untersuchen - Parametervariation
•

Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) =a ⋅ b x + c



hilfsmittelfreies Skizzieren der Graphen f(x)= a ⋅ b x für b > 0
Funktionsgleichungen aus zwei Punkten bestimmen, in einfachen Fällen hilfsmittelfrei
Ausgleichsfunktionen mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen
mit Potenzen rechnen
 Rechengesetze exemplarisch begründen
 Gleichungen umformen und lösen, in einfachen Fällen auch hilfsmittelfrei
Fakultative Erweiterungen
Spinnweb-Diagramme; iterative Modellierung des logistischen Wachstums
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche
Zahlen und Operationen; Funktionaler Zusammenhang
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
Tabellenkalkulation; CAS zum Lösen von Gleichungen; Regressionsmodul
Lernbereich: Näherungsverfahren als Grenzprozesse
INHALT
1.
2.
3.
4.
5.
Grundsätzliche Bemerkungen zu diesem Lernbereich
Erläuterungen und Anregungen zu einzelnen Inhalten
Mögliche Einstiege in den Lernbereich
Erläuterungen und Anregungen zum Vergleich der Näherungsprozesse
Ein möglicher Unterrichtsgang und die Frage der Formalisierung
1. GRUNDSÄTZLICHE BEMERKUNGEN ZU DIESEM LERNBEREICH
Am Ende von Jahrgang 10 sollen die Schülerinnen und Schüler über die folgenden inhaltsbezogenen
Kompetenzen verfügen (vergl. KC für das Gymnasium Schuljahrgänge 5-10 Abschnitt 3.2.1 Zahlen
und Operationen):
Die Schülerinnen und Schüler
 grenzen rationale und irrationale Zahlen voneinander ab
 begründen die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterungen
 beschreiben und reflektieren Näherungsverfahren und wenden diese an
 identifizieren den Grenzwert als die eindeutige Zahl, der man sich bei einem Näherungsverfahren beliebig dicht annähert
 erläutern die Identität 0,9  1 als Ergebnis eines Grenzprozesses
 interpretieren exponentielle Abnahme und begrenztes Wachstum als Grenzprozess
 identifizieren  als Ergebnis eines Grenzprozesses
 bestimmen die Formeln für den Umfang oder den Flächeninhalt des Kreises mit einem Näherungsverfahren.
In früheren Lernbereichen haben die Schülerinnen und Schüler bereits mit periodischen Dezimalbrüchen, Wurzeln und Näherungswerten für  gearbeitet. Theoretische Untersuchungen der jeweils neuen Zahlen waren für die Schülerinnen und Schüler der betreffenden Altersstufe jedoch meist zu abstrakt. Deshalb standen nicht die zugehörigen Grenzprozesse im Vordergrund sondern die (angenäherten) Ergebnisse, denn das Anliegen war in der Regel, einen Zahlenwert zum Rechnen zu haben. Diese Vorgehensweise scheint der bisherigen Unterrichtspraxis bei der Einführung von Wurzeln zu widersprechen, denn die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit Zahlen, die sie mathematisch noch nicht
vollständig verstanden und von denen sie eher eine intuitive Vorstellung haben. Andererseits wird die
Natur von Sinus- und Logarithmuswerten nicht thematisiert; man geht auch mit ihnen naiv um. Ebenfalls erfolgt die Einführung der negativen Zahlen so, dass Schülerinnen und Schüler diese zunächst
noch nicht vollständig begrifflich verstehen. Die Geschichte der Mathematik zeigt, dass der Umgang
mit den Objekten der begrifflichen Klärung häufig vorausging.
Das Kennenlernen von neuen Zahlen ist ein langfristiger Prozess.
Das Verständnis eines neuen Zahlbereichs erfolgt dabei auf unterschiedlichen Stufen, von denen jede
für den Lernprozess der Schülerinnen und Schüler bedeutsam ist:
Zunächst werden die Grenzen des bisherigen Zahlbereichs überschritten. Es öffnet sich ein neuer
Bereich, bei dessen Erkundung neue Erkenntnisse gewonnen werden. Dabei haben die Schülerinnen
und Schüler intuitive Vorstellungen über die jeweils neuen Zahlen und die zugehörigen Rechenregeln.
Anschließend erkunden sie Eigenschaften dieser Zahlen und die Bedeutung der Regeln für das
Rechnen. Rechenregeln werden nur exemplarisch begründet; im Zentrum stehen eine angemessene
Sicherheit beim Rechnen und der Ausbau der passenden Grundvorstellungen. Erweitert wird dieses
inhaltliche Verständnis der neuen Zahlen durch Vergleiche mit den Eigenschaften der alten Zahlen
und Regeln. Dieser Schritt wird bei der Einführung der reellen Zahlen von einer Reflexion des gesamten Vorgehens begleitet. Dabei wird auch eine Rückschau der bisherigen Zahlbereichserweiterungen
vorgenommen.
Im Lernbereich „Näherungsverfahren als Grenzprozesse“ werden nun die Grenzprozesse selbst betrachtet. Dazu werden einige der früher unterrichteten Inhalte reflektiert, vertieft und neu strukturiert.
Ziel ist ein verständiger und nachhaltiger Umgang mit Grenzprozessen, der sich auf die Anschauung
gründet.
Daher sollten Grenzprozesse so lange wie möglich verbal beschrieben und möglichst graphisch veranschaulicht werden. Die Limes-Schreibweise sollte im Unterricht erst dann erfolgen, wenn deren
Bedeutung für die Schülerinnen und Schüler offenkundig ist.
1
2. ERLÄUTERUNGEN UND ANREGUNGEN ZU EINZELNEN INHALTEN
a. Periodische Dezimalbrüche
Die Identität 0,9  1 kann von Schülerinnen und Schülern ohne Betrachtung von Grenzprozessen
begründet werden (siehe unten). Sie soll hier jedoch als Ergebnis eines Grenzprozesses begründet
werden.
0,9 selbst ist das Ergebnis eines Grenzprozesses „Anhängen immer weiterer Neunen“.
Näherungsprozesse sind den Schülerinnen und Schülern schon früher bei den periodischen Dezimalbrüchen begegnet, ohne dass diese als solche thematisiert wurden.
Die Frage, wie groß 0,9 ist, ist für manche Schülerinnen und Schüler verwirrend: Ist wirklich 0,9  1 ?
Dafür ist die Argumentation, dass man ausgehend von 0,9 „immer mehr Neunen anhängt“ und damit
„immer näher an die 0,9 herankommt“, ergiebig.
Die Frage, „wie nahe man an 1 herankommt“, lenkt den Blick auf den Abstand.
Der Abstand zu 1 wird immer kleiner und nähert sich an 0 an.
1
1
1
...

1
 0,9

0,1
 0,99  0,01
 0,999  0,001

...

...


 0,9

0
Aus der letzten Zeile folgt die Identität.
Die Annahme, dass 0,9  1 ist, führt zum Widerspruch (vergl. [2] S.28ff).
Jede Zahl 0,9999…9 mit endlich vielen Neunen hinter dem Komma liegt
links von 0,9 .
Ist 0,9  1 , so haben beide Zahlen einen Abstand d voneinander.
Dann findet man für jeden Abstand d eine Zahl 0,999…9 mit noch mehr
Neunen hinter dem Komma, die rechts von 0,9 liegt. Das kann aber nicht
sein.
Insgesamt werden also hier zwei Ziele deutlich: Einerseits wird die Identität 0,9  1 begründet und
andererseits eine Vorstellung eines Grenzprozesses erzeugt.
Die Identität kann auch ohne Verwendung von Grenzprozessen begründet werden.
So kann argumentiert werden, dass 0,9 dreimal so groß wie 0,3 ist, also ist 0,9 auch dreimal so groß
1
wie
und damit 1.
3
Eine weitere Möglichkeit, die Identität 0,9  1 zu begründen, ist:
1
2
3
9
 0,1
 0,2
 0,3 ...
 0,9  1
9
9
9
9
2
Die schriftliche Division
1
 1: 9 ergibt den Zugang:
9
1,0 : 9 = 0,1111…
9
10
9
….
Beim Dividieren bleibt immer ein Rest, der jedoch von Stufe zu Stufe immer näher an null herangeht.
Solche Argumentationen nehmen jedoch den Grenzprozess nicht explizit in den Blick.
b. Quadratwurzeln
Wird eine Quadratwurzel, z.B. 2 , mit einem Näherungsverfahren bestimmt, werden Grenzwertvorstellungen (weiter-) entwickelt.
Beim Heron-Verfahren (vergl. eingeführte Schulbücher) wird einerseits numerisch der gesuchte Zahlenwert angenähert. Darüber hinaus können die Schülerinnen und Schüler anschaulich sehen, wie
sich ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 2 an ein flächeninhaltsgleiches Quadrat annähert.
Die rekursiv erzeugten Seitenlängen a1, a2, a3,… der Rechtecke nähern sich der Seitenlänge des
Quadrates an in dem Maße, wie die Abstände der Seitenlängen der Rechtecke von der Quadratseitenlänge gegen null gehen.
Es wird also nicht die Seite eines Quadrats mit dem Flächeninhalt 2 berechnet, sondern es werden die
Seitenlängen von Rechtecken berechnet. Dabei nähern sich die Rechtecke dem Quadrat immer mehr
an.
Auch das im 10. Iterationsschritt gewonnene Rechteck ist kein Quadrat, auch nicht das im 10.000-ten
Schritt gewonnene. Man kann nur sagen: Der Flächeninhalt des im 10.000-ten Schritt gewonnene
Rechtecks wird sich vom Flächeninhalt des Quadrat kaum noch unterscheiden und damit auch nicht
die Seitenlängen des Rechtecks von der des Quadrats. Aber der Unterschied ist da, auch wenn er
noch so klein ist. Man kann (durch Vergrößerung von n) den Unterschied noch weiter verkleinern, aber
man kann nicht erreichen, dass der Unterschied so groß wie null ist.
Das Heronverfahren kann auch auf Intervallschachtelungen führen. Diese können auf zwei Arten erfolgen: Einerseits kann man immer kleiner werdende Intervalle erzeugen, in denen die gesuchte Zahl
liegt. Hier erfolgt die Annäherung an die gesuchte Wurzel also von beiden Seiten und die Länge der
Intervalle, in denen die Wurzel liegt, geht gegen null.
Es ist 1  2 < 2, da 1<2 <4 ist.
Es ist 1,4 <
2 < 1,5 , da 1,96 < 2 < 2,25 ist.
Es ist 1,41 <
Es ist 1,414 <
2 <1,42, da 1,9881 < 2 < 2,0164 ist.
2 < 1,415 , da 1,999396 < 2 < 2,002225 ist.
.....
Die Intervalllängen 1; 0,1; 0,01; 0,001; …. gehen gegen null. Jedoch werden sie niemals null. Auch
wenn man die Anzahl der Nachkommastellen beliebig vergrößert, erhält man nur einen Näherungswert der Quadratwurzel und nicht die Wurzel selbst. Man kann nur die Abweichung beliebig klein machen (vergl. eingeführte Lehrbücher).
Alternativ kann die Annäherung an die gesuchte Wurzel auch nur von einer Seite erfolgen.
c. Kreiszahl 
Im Lernbereich „Kreis- und Körperberechnungen“ sind zwei Vorgehensweisen möglich: Es kann zunächst ganz praktisch ein Näherungswert für  bestimmt werden, mit dem dann Berechnungen an
Kreisen und Körpern durchgeführt werden. In dem Fall kann  experimentell z.B. als Proportionalitätskonstante von Umfang oder Flächeninhalt und Radius verschiedener Kreise bestimmt werden oder
stochastisch mit der Monte-Carlo-Methode oder geometrisch durch Zerlegen eines Kreises in Kreissegmente und Zusammenlegen dieser Segmente zu einem „Rechteck“ oder durch Auslegen eines
Kreises mit beliebig vielen ein- oder umbeschriebenen Dreiecken. Anregungen liefern die eingeführten
3
Schulbücher. In jedem Fall kann dabei zunächst ein Näherungswert für  gewonnen werden, ohne auf
den Näherungsprozess einzugehen.
Dieses würde später erfolgen, wenn z.B. die Kreisfläche durch die Ausschöpfung mit Vielecken angenähert wird. Auch hier ist (ähnlich zum Vorgehen bei der Intervallschachtelung) die Annäherung mit
ein- und umbeschriebenen Vielecken möglich oder nur die Annäherung mit ein- oder umbeschriebenen Vielecken.
Beispiel: Flächeninhalt einbeschriebener Dreiecke
Wurden zuvor trigonometrische Zusammenhänge bearbeitet, ist deren Anwendung bei der Berechnung der einbeschriebenen Vielecke auch für Schülerinnen und Schüler naheliegend.
Das einbeschriebene Fünfeck kann in 5 Dreiecke
(Innenwinkel 72°) zerlegt werden mit
der Höhe h und der Grundseite a und dem
a h
Flächeninhalt A 5 =
.
2
Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen
a
h
sin(  ) 
und cos( ) 
folgt für den Einheitskreis
2r
r
(r=1)
und   36 beim Fünfeck:
2  sin(36)  cos(36)
.
2
 5sin(36)  cos(36) = 2,37764...
A5Eck = 5  A5 = 5 
Erhöht man die Zahl n der Ecken, nähert sich der Inhalt der Vielecksfläche
 360 
 360 
AnEck = n  An  n  sin 
   cos 
  immer mehr an der Kreisfläche an.
2n


 2n 
Das 5-Eck ist kein Kreis, und auch das 10.000-Eck ist kein Kreis. Man kann nur sagen: Der Flächeninhalt des 10.000-Ecks wird sich vom Flächeninhalt des Kreises kaum noch unterscheiden. Aber der
Unterschied ist da, auch wenn er noch so klein ist. Man kann (durch Vergrößerung von n) den Unterschied noch weiter verkleinern, aber man kann nicht erreichen, dass der Unterschied null ist.
Beim Einheitskreis wurde festgestellt: Der Flächeninhalt der n-Ecke nähert sich  an, wenn man n
vergrößert. Kein n-Eck hat den Flächeninhalt , der Unterschied ist immer größer als 0, aber so klein,
wie wir möchten.
Dieser Sachverhalt ist für Schülerinnen und Schüler oft schwer fassbar und mit Fehlvorstellungen
behaftet wie: „Der Kreis hat unendlich viele Ecken“. Das würde bedeuten, dass dem Kreis unendlich
viele kleine Dreiecke einbeschrieben wären, die jeweils den Flächeninhalt 0 hätten. Damit wäre der
Flächeninhalt nicht bestimmbar.
d. Asymptotisches Verhalten
1
für x  
x
ist ein Grenzprozess. Mit wachsendem x geht der
Das Verhalten des Graphen zu f  x  
4
Unterschied zwischen f  x  und null gegen null.
Das ist eine komplizierte (aber angemessene)
Ausdrucksweise für den anschaulich einsichtigen
Sachverhalt, dass f  x  für wachsende x gegen
null geht.
Dass die Näherungswerte den Grenzwert nie erreichen, muss natürlich nicht richtig sein; man will ja
nicht Phänomene wie die folgenden ausschließen:
Eine konstante Funktion nimmt ihren Grenzwert
immer an.
Hier wird der Grenzwert 0 als Funktionswert
in periodischen Abständen immer
wieder angenommen.
1
auch die Möglichkeit, mit
x
der Untersuchung des Verhaltens für x  0 einen divergenten Prozess zu betrachten.
Dieses Beispiel bietet ebenso wie die anfangs betrachtete Funktion f  x  
3. MÖGLICHE EINSTIEGE IN DEN LERNBEREICH
Die Schülerinnen und Schüler haben die Inhalte dieses Lernbereichs zum großen Teil bereits früher
kennen gelernt und damit gearbeitet. Mit Hilfe der jeweiligen Näherungswerte für Brüche, Quadratwurzeln oder die Kreiszahl konnten sie ebenso erfolgreich rechnen, Gleichungen lösen oder Terme umformen wie mit Sinus- oder Logarithmuswerten.
Es scheint also sinnvoll, in diesen Lernbereich mit einem für die Schülerinnen und Schüler neuen
Problem einzusteigen.
a. Asymptotisches Verhalten
Bei der Behandlung exponentieller Abnahmeprozesse machen die Schülerinnen und Schüler erste
Erfahrungen mit asymptotischem Verhalten, wenn sie Funktionen vom Typ f(x)  bx für 0<b<1 betrachten. Diese Überlegungen können aufgegriffen und bei der Untersuchung des Verhaltens von
1
1
f(x) 
für sehr große x erweitert werden.
wird numerisch betrachtet mit wachsendem x immer
x
x
1
kleiner und nähert sich null. Dabei entsprechen die Einzelwerte von
jeweils ihrem Abstand vom
x
Grenzwert 0. Graphisch betrachtet nähert sich der Funktionsgraph der Asymptote an, berührt oder
schneidet sie jedoch nicht.
b. Zahlbereichserweiterungen (Art der Näherungswerte)
5
In bisherigen Lernbereichen wurde mit gerundeten Werten für periodische Dezimalbrüche, Quadratwurzeln und für die Kreiszahl  gerechnet.
Die Frage, um welche Art von Zahlen es sich dabei handelt und ob es wirklich rationale Zahlen sind,
bietet Anlass zur „genaueren“ Bestimmung von Quadratwurzeln und  mit Hilfe eines Näherungsverfahrens.
Für die periodischen Dezimalbrüche folgt die Untersuchung der Identität 0,9 =1.
Die Frage nach der Art der Zahlen führt jedoch auch zur Untersuchung der verschiedenen Zahlmengen und der Zahlbereichserweiterungen.
c. Kreiszahl 
Ein möglicher Übergang zur Untersuchung des Näherungsprozesses wurde im vorherigen Abschnitt
gezeigt.
d. Unendliche Summen
(Dieser Zugang ermöglicht einen visualisierten Anlass über Grenzwerte nachzudenken. Er geht über
die Intentionen des Lernbereiches hinaus. Es ist nicht die Absicht geometrische Reihen zu thematisieren.)
1 1 1 1
  
 ... ist für die Schü2 4 8 16
lerinnen und Schüler wahrscheinlich neu und gibt doppelten Anlass, über die Annäherung an einen Grenzwert nachzudenken.
Einerseits gehen die einzelnen Summanden gegen null. Andererseits wird die Summe immer größer, ohne jedoch 1 zu überschreiten.
Die Frage nach der Summe
Zur Veranschaulichung können auch die Quadratseitenlängen in
der nebenstehenden Abbildung dienen. Diese nähern sich aneinandergelegt immer mehr der 1 an, was entlang der Mittellinie
oder entlang einer der Quadratseiten gut zu sehen ist.
Augenfälliger ist vielleicht die Betrachtung der Quadratflächenin1 1
1
1
halte, die auf die Summe 


 ... führt.
4 16 64 256
1
Deren Grenzwert
ist ersichtlich, da „jedes Quadrat dreimal
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vorkommt“ und davon „einmal gezählt“ wird.
4. ERLÄUTERUNGEN UND ANREGUNGEN ZUM VERGLEICH DER NÄHERUNGSPROZESSE
Vergleicht man die verschiedenen Grenzwertprozesse, stellt man als Gemeinsamkeit fest:
- Annäherung an eine Zahl, also an einen Grenzwert
- Abstände der jeweiligen Näherungswerte vom Grenzwert gehen gegen null
- zu jedem Näherungswert kann ein weiterer (oder unendlich viele weitere) gefunden werden
mit noch kleinerem Abstand
- die Näherung kann beliebig nah an den Grenzwert herankommen
- der Unterschied zwischen Näherungswert und Grenzwert kann beliebig klein werden
- graphische Veranschaulichung möglich
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Gemeinsam ist auch die Strategie zur Bestimmung des jeweils Gesuchten: Wenn man etwas nicht
direkt bestimmen kann, bestimmt man etwas, was man bestimmen kann, und sorgt dafür, dass der
Unterschied bzw. der dabei entstandene Fehler beliebig klein wird.
Die Näherungsprozesse zeigen jedoch auch Unterschiede:
- Annäherung von einer Seite / Annäherung von beiden Seiten
- Abstand vom Grenzwert geht gegen null / Intervalllänge geht gegen null
- Grenzwerte sind rational (1, 0) oder irrational ( 2 ,  )
5. EIN MÖGLICHER UNTERRICHTSGANG UND DIE FRAGE DER FORMALISIERUNG
Der Unterrichtsverlauf dieses Lernbereichs wird sicherlich vom gewählten Einstieg abhängen und
kann nur beispielhaft dargestellt werden.
In jedem Fall sollte am Einstiegsbeispiel gelernt werden, dass Zahlen durch Grenzprozesse beschrieben werden können. Es kann im Einstieg ausreichen, diesen Sachverhalt nur verbal zu beschreiben.
Bei der Untersuchung der weiteren Grenzprozesse wird diese Erkenntnis bei passenden Gelegenheiten aufgegriffen. So wird deutlich, dass dieses Annäherungs- und Grenzwertverhalten keine Ausnahme ist, sondern ein wichtiges mathematisches Prinzip, was als tragfähige Strategie zur Bestimmung
von unbekannten Zahlen oder Größen verwendet werden kann.
Der Vergleich der verschiedenen Grenzwertprozesse erfolgt insgesamt sicher gegen Ende der Einheit.
Sinnvoll ist aber auch, bei der Untersuchung eines neuen Grenzprozesses bereits mit jeweils vorherigem Vorgehen zu vergleichen.
Auch die Frage, wann und wie weit die Grenzprozesse formalisiert werden, kann nicht pauschal beantwortet werden. Zur formalen Beschreibung kann die Limes-Schreibweise oder die PfeilSchreibweise verwendet werden. Dabei nimmt die Limes-Schreibweise eher den Grenzwert als Ergebnis eines Grenzprozesses in den Fokus und die Pfeil-Schreibweise legt den Fokus auf den Grenzprozess selbst. Es ist nicht notwendig, beide Schreibweisen einzuführen. Die Schreibweise sollte den
Argumentationsweisen der Schülerinnen und Schüler angepasst werden und diese sinnvoll verdeutlichen.
Die streng formale Definition des Grenzwertes mit Hilfe der  -Umgebung ist wenig Verständnis fördernd und sollte nicht eingeführt werden.
Auch die formale Beschreibung der Folgen wird nicht benötigt, um den Grenzwert zu verstehen. Das
anschauliche Verständnis der Folgen, das die Schülerinnen und Schüler in früheren Schuljahrgängen
erwerben (z.B. wenn Terme zu Punktmustern aufgestellt werden), wird in diesem Lernbereich weiter
gefestigt. Eine formale Definition würde die Tragfähigkeit dieser Vorstellung eher schmälern als unterstützen.
Weder die formale Definition der Folgen noch die des Grenzwertes werden im Lernbereich der Änderungsraten benötigt.
Eine rein anschauliche Erarbeitung des Grenzwertbegriffes kann aber auch zu Widersprüchen führen:
Bekannt ist: U  2    r    d . Der Durchmesser des Kreises wird halbiert, Halbkreise werden über
den neuen Durchmessern gezeichnet. Dieser Prozess wird fortgesetzt. Anschaulich nähert sich dann
die Figur über dem Durchmesser immer besser einer Strecke mit der Länge d an. Also gilt U    d
und U  2  d . Somit ist also   2 . Oder?
Literatur
[1] Vollrath, Hans-Joachim, Weigand, Hans-Georg: Algebra in der Sekundarstufe, Heidelberg
(Spektrum Akademischer Verlag), 2009
[2]
Danckwerts, Rainer, Vogel, Dankwart: Analysis verständlich unterrichten, Heidelberg (Spektrum
Akademischer Verlag), 2006
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