Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Kombinatorik
Kombinatorik
Ziel: Bestimmen der Mächtigkeiten bestimmter endlicher Mengen, die
durch Anordnung oder Auswahl von Elementen einer Menge gebildet
werden.
Wir wissen bereits, dass für die Potenzmenge gilt:
card (P(M)) = 2card (M)
Elementarerweise gilt für Produktmengen zweier Mengen M und N
card (M × N) = card (M) · card (N)
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
54 / 415
Wir werden nun Formeln für die Anzahl von Permutationen,
Kombinationen und Variationen von Elementen einer gegebenen
n-elementigen Menge zusammenstellen.
• Permutationen: Alle Elemente werden verwendet, ihre
Reihenfolge ist entscheidend,
• Kombinationen: Es werden Elemente ausgewählt
(der Rest verworfen), es kommt auf die Auswahl an,
• Variationen: Es kommt auf Auswahl und Reihenfolge an.
Ferner sind die Optionen mit und ohne Wiederholungen zu
unterscheiden.
Mit Wiederholungen ist gemeint: Gewisse Vertauschungen sollen ignoriert
werden.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
55 / 415
Beispiele:
Permutationen: Es gibt 6 verschienene Reihenfolgen, drei Kugeln
anzuordnen. Sind zwei der Kugeln blau, eine rot, und es kommt uns
nur auf die Farben an, so unterscheiden wir nur 3 Permutationen mit
Wiederholung.
Kombinationen: Das typische Beispiel ist die Ziehung der Lottozahlen,
6 Kugeln werden ausgewählt, 43 bleiben übrig, die Reihenfolge spielt
keinerlei Rolle.
Keine der Zahlen von 1 bis 49 ist auf mehreren Kugeln, es gibt also
keine Wiederholungen.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
56 / 415
Anders ist es, wenn 7 Mitarbeiter eingestellt werden sollen, zur Wahl
stehen (beliebig viele) Informatiker, BWL-er und Juristen. Zwei Teams
von je 2 Informatikern und BWL-ern sowie 3 Juristen gelten als
identisch, aber z.B. verschieden von einer Mannschaft aus lauter
Informatikern. In diesem Fall sprechen wir von Kombinationen mit
Wiederholung.
Variationen: Werden die gewählten Elemente in einer
vorgeschriebenen Weise angeordnet, etwa die Ziffern einer
Gewinnzahl, oder Kandidaten auf einer Wahlliste, ist also die
Reihenfolge zu beachten, so sprechen wir von Variationen.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
57 / 415
Grafik
Permutationen von 3 bzw. 4 Elementen
Permutationen von 3 bzw. 4 Elementen mit 2 mal 2 Wiederholungen
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
58 / 415
Symbole und Formeln
Definition: n ! (lies: n Fakultät)
0! = 1
(n + 1) ! = n ! · (n + 1)
rekursive
Definition!
Die Fakultäten sind für alle natürlichen Zahlen (inklusive 0) definiert.
Beachte: 0! = 1 (nicht Null).
Definition: Binomialkoeffitienten
n k
n k
(lies: n über k)
=
n!
(n−k ) ! k !
=
n(n−1)(n−2)...(n−k +1)
k!
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
59 / 415
Bemerkung: Die obere Definition ist nur für
natürliche Zahlen n und k sinnvoll, die untere kann auch für beliebige
n ∈ R angewendet werden,
x
, x ∈ R, k ∈ N.
k
Beispiele:
−2
3
1
3
3
=
(−2)·(−3)·(−4)
6
=
10
162
=
5
81
= −4
= 0.06172839506
Maple: binomial(-2,3); bzw. binomial(1/3,3);
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
combinat.mw
WS 2012
60 / 415
Eigenschaften
Satz:
(n + 1) ! = (n + 1)n !
n
n
n
=1
= n,
= 1,
n
1
0
n
n
=
n−k
k
n+1
n
n
(Pascalsches Dreieck)
=
+
k +1
k +1
k
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
61 / 415
WS 2012
62 / 415
n
n
= (n − k )
(k + 1)
k
k +1
n n+k +1
k +i
=
k +1
k
i=0
n n
k =0
Kurt Frischmuth (IfM)
k
= 2n
Mathe4WiWi
Binomischer Satz
(a + b)n =
n n
k =0
Beispiele: a = b = 1 ,
k
an−k bk
a = 1, b = −1
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
63 / 415
Permutationen
Permutationen von n Elementen
(ohne Wiederholung): n!
Beispiel: Warteschlange
Permutationen mit Wiederholungen
von n Elementen bei r Gruppen von identifizierten Elementen,
n!
Gruppenstärken k1 . . . kr : k1 !...k
r!
Beispiel: Nachtzug
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
64 / 415
Beispiele
{a, b, c}
a
a
b
c
..
.
c
b
Permutation
a
a
b
keine Permutation
→
Charakterisierung einer Permutation:
p ∈ M card (M) , ∀ i, j (i = j ⇒ pi = pj )
Im Gegensatz hierzu:
Permutationen mit Wiederholung: aabbc
n!
n1 ! n2 ! . . . nr !
bei r Gruppen mit je ni identischen Elementen
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
65 / 415
WS 2012
66 / 415
Kombinationen und Variationen
Kombinationen von k aus n Elementen:
n!
- ohne Wiederholung.: kn = k !(n−k
)!
Beispiel: Lotto, Massenentlassung
- mit Wiederholung.:
n+k −1
Beispiel: Bevorratung
k
Variationen von k aus n Elementen:
n!
- ohne Wiederholung.: (n−k
)!
Beispiel: Rollenbesetzung, Jobmarkt
- mit Wiederholung.: nk
Beispiel: Telefonnummern, Passwörter
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
Beispiele
◦ Aufsichtsrat wählt Vorsitzenden und Stellvertreter (2 aus 20)
20
− Reihenfolge
1
· 2 ! = 20 · 19
⇒ 2
− Wiederholung 0
= 380
◦ Lotto (6 aus 49)
− Reihenfolge
0
− Wiederholung 0
Kurt Frischmuth (IfM)
⇒
49
6
= 13 983 816
Mathe4WiWi
WS 2012
67 / 415
WS 2012
68 / 415
◦ Würfeln mit 4 Würfeln verschiedener Farbe
− Reihenfolge
1
⇒ 64 = 362 = 1296
− Wiederholung 1
◦ Qualitätsprüfung (2 aus 10)
− Reihenfolge
0
− Wiederholung 1
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
⇒
11
= 55
2
Mehr Beispiele
◦ 8 Teile wurden produziert
40 320 versch. Reihenfolgen
( Umbauzeiten)
◦ 3 Wagen 1. Klasse
5 Wagen 2. Klasse
2 Schlafwagen
⇒
10 !
= 2520 Möglichkeiten
3! 5! 2!
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
69 / 415
WS 2012
70 / 415
Zusammenfassung:
Reihenfolge?
Wiederholungen?
Formel
1
1
nk
1
0
0
1
n+k −1
0
0
n Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
n k
k!
k
k
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ereignisse sind Teilmengen der Menge Ω aller Elementarereignisse.
Begriff der Wahrscheinlichkeit (nach Laplace):
Anzahl der „günstigen Fälle“
geteilt durch
Anzahl aller möglichen Fälle
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
71 / 415
Bernoulli-Schema
• n unabhängige Ausführungen eines Experiments mit zwei
möglichen Ausgängen (Erfolg = 1, Misserfolg = 0)
• Wahrscheinlichkeit für Erfolg: p,
Wahrscheinlichkeit für Mißerfolg: 1 − p
• Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von genau k Erfolgen bei n
Versuchen beträgt
Pkn =
Kurt Frischmuth (IfM)
n k
pk q n−k
Mathe4WiWi
WS 2012
72 / 415
Übungsaufgaben
(P 07/97)
Für ein Theaterstück werden Statisten gesucht. Es melden sich 11
Männer und 7 Frauen. Es gibt aber nur 8 männliche und 5 weibliche
Rollen mit je 8 bzw. 5 identischen Kostümen und Masken, es gibt keine
Doppelrollen.
a) Wie viele Varianten für die Besetzung der männlichen Rollen durch
Männer gibt es?
b) Wie viele Besetzungsvarianten gibt es insgesamt?
c) Die neue Intendantin nimmt keine Rücksicht auf das Geschlecht der
Statisten und vergrößert damit die Auswahlmöglichkeiten, ferner gibt
sie den Akteuren Identität durch verschiedenfarbige Perücken.
Wie viele Varianten gibt es jetzt?
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
73 / 415
(P 07/96)
Zum Vergleichswettkampf im Eisstockschießen zwischen Afrika und
Südostasien reisen aus jeder der beiden beteiligten Regionen vier
Mannschaften an. In Afrika gibt es zwölf, in Südostasien sechs
Bewerber.
a) Wieviele Varianten gibt es für die Delegation aus Afrika und für die
aus Südostasien?
b) Wieviele Varianten gibt es für die Teilnehmer insgesamt?
c) In den vier Spielen der ersten Runde tritt je eine Mannschaft aus
Afrika gegen eine aus Asien an. Wieviele Varianten für die
Zusammenstellung der erste Runde gibt es?
d) Wieviele Varianten gäbe es, würden vier beliebige Paarungen
ausgelost?
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
74 / 415
(P 02/01)
Im Landwirtschaftsministerium sollen 7 neue Mitarbeiter eingestellt
werden.
Zur Auswahl stehen 10 Agrarökologen, davon 8 Männer, und 13
Wirtschaftswissenschaftler, davon 10 Frauen. Die Gruppen seien
disjunkt.
a) Wie viele Möglichkeiten 7 Personen auszuwählen gibt es, wenn
Qualifikationen, Ausbildung und Geschlecht irrelevant sind?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 4 Agrarökologen
einzustellen sind und 3 Wirtschaftswissenschafter?
Einschränkende Bedingung sei hierbei, dass genau 2 Frauen im
Team sein sollen, davon wenigstens eine Agrarökologin.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
75 / 415
(P 07/00)
Eine Filmgesellschaft sucht für ihren neuen Film noch Statisten für 7
verschiedene Rollen. Es bewerben sich 25 Frauen, davon 17 junge,
und 15 Männer, davon 10 junge.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Rollen zu besetzen, wenn das
Geschlecht und das Alter irrelevant sind?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 4 Rollen mit männlichen
Bewerbern, davon genau 2 mit jungen, und 3 Rollen mit
Bewerberinnen, davon genau 2 mit jungen zu besetzen sind?
c) Maren und Peter gehören zu den jungen Bewerbern und haben
sich für die Rollen als Jugendliche beworben, wollen aber nur
gemeinsam mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
bei einer Besetzung wie in b) beide eine Rolle bekommen?
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
76 / 415