Dienstag 7.6.2016

Mathematische Probleme, SS 2016
Dienstag 7.6
$Id: convex.tex,v 1.33 2016/06/07 16:35:15 hk Exp $
§3
Konvexgeometrie
3.4
Archimedische Körper
Die archimedischen Körper sind eine Verallgemeinerung der platonischen Körper, die
wie folgt definiert sind:
Definition 3.6 (Archimedische Körper)
Ein konvexer Polyeder P ⊆ R3 heißt ein archimedischer Körper wenn jede Fläche von
P ein reguläres n-Eck für ein n ≥ 3 ist und sich je zwei Ecken von P durch einen
Automorphismus von P ineinander überführen lassen.
Dabei dürfen n-Ecke für verschiedene Werte von n auftreten, es kann also beispielsweise
unter den Flächen von P sowohl Dreiecke als auch Fünfecke geben. Da reguläre n-Ecke
mit einer gemeinsamen Kante dieselbe Kantenlänge haben müssen, haben alle Kanten
von P dieselbe Länge. Im vorigen Abschnitt hatten wir gesehen, dass sich je zwei Ecken
eines platonischen Körpers durch einen Automorphismus ineinander überführen lassen,
also ist jeder platonische Körper auch ein archimedischer Körper.
Seien P ein archimedischer Körper und A ein Ecke von P . Sei q die Anzahl der
Flächen von P die A enthalten. Starten wir mit einer beliebigen dieser Flächen f1 , so
numerieren wir die restlichen q − 1 Flächen indem wir einmal im Gegenuhrzeigersinn
um A laufen als f2 , . . . , fq . Für jedes 1 ≤ i ≤ q ist fi dann ein ni -Eck für ein passendes
ni ≥ 3. Wir nennen das Tupel
S = (n1 , . . . , nq )
dann den Typ von P . Da wir mit einer willkürlichen Fläche anfangen ist S nur bis auf
zyklische Vertauschungen festgelegt, wir fassen also zum Beispiel (n2 , n3 , . . . , nq , n1 ) als
denselben Typ wie S auf. Da je zwei Ecken gleichwertig sind, hängt der Typ nicht von
der speziell gewählten Ecke A ab. Dabei wäre zunächst denkbar das sich bei Anwendung
von Automorphismen die Umlaufrichtung um die betrachtete Ecke ändert, es wird sich
aber bald herausstellen das diese Möglichkeit nicht auftritt, für alle möglichen Typen
S archimedischer Körper entsteht durch Umkehren der Reihenfolge von S wieder nur
eine zyklische Permutation von S. Wir schauen uns zunächst einmal einige Beispiele
an.
Ist P ein platonischer Körper von Typ (n, m), so ist P insbesondere auch ein archimedischer Körper. Da an jeder Ecke von P stets m viele gleichseitige n-Ecke anliegen,
ist der Typ von P als archimedischer Körper gegeben als
S = (n, . . . , n).
| {z }
m mal
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Prisma mit n = 8
Antiprisma mit n = 8
Eine ganze Serie von Beispielen sind die sogenannten Prismen und Antiprismen. Wir
geben uns eine Zahl n ≥ 3 vor und bilden ein reguläres n-Eck der Kantenlänge a > 0.
In der Höhe a darüber wird dann eine Kopie des n-Ecks gezeichnet und untereinanderliegende Ecken werden verbunden. Dann entsteht ein konvexer Polyeder dessen Flächen
zum einen zwei reguläre n-Ecke und zum anderen n Quadrate sind. Wir können durch
Automorphismen jede Ecke in jede andere Ecke überführen, es liegt also ein archimedischer Körper vor, ein sogenanntes Prisma. Der Typ ist S = (4, 4, n). Für n = 4
handelt es sich um einen Würfel, in allen anderen Fällen ist das Prisma kein platonischer Körper.
Ähnlich werden die Antiprismen konstruiert, wir starten wieder
√ mit einem regulären
n-Eck der Kantenlänge√a > 0 und zeichnen in der Höhe h = ( 3/2) sin φ · a mit φ =
arccos(− tan(π/(2n))/ 3) darüber eine um den Winkel π/n verdrehte Kopie. Dann
wird jede der entstehenden Ecken mit den zwei gegenüberliegenden Ecken verbunden,
da h gerade die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks der Kantenlänge a ist entstehen so
2n viele gleichseitige Dreiecke. Die Flächen dieses konvexen Polyeders sind wieder zwei
reguläre n-Ecke und 2n gleichseitige Dreiecke. So erhalten wir einen archimedischen
Körper vom Typ (3, 3, 3, n) ein sogenanntes Antiprisma. Die angegebene Höhe h wird
dabei in einer Aufgabe bestimmt werden.
Rhombenkuboktaeder
Quadratkappe
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Wir wollen uns auch noch ein etwas komplizierteres
a
Beispiel anschauen, das oben links gezeigte sogenannb
te kleine Rhombenkuboktaeder. Um dieses zu konstruieb
ren beginnen wir mit einem regulären Achteck der Kantenlänge a > 0. Unterteilen wir dies dann wie rechtsa
stehend gezeigt so entsteht in der Mitte ein Quadrat
der Kantenlänge a. Die Länge b des jeweils verbleibenden Streckenabschnitts können
wir etwa mit dem Satz
√
des Pythagoras als b = a/ 2 berechnen. Verschieben
wir
√
dann das mittlere Quadrat in die Höhe h = a/ 2 so entsteht ein konvexer Körper mit 12 Ecke. Der Abstand der
Ecken des verschobenen Quadrats zu den√benachtbarten Ecken des Achtecks ist wieder
nach dem Satz des Pythagoraus gleich b2 + h2 = a, die Flächen unserer Quadratkappe sind also ein reguläres Achteck, fünf Quadrate und vier gleichseitige Dreiecke.
Nehmen wir nun ein achteckiges Prisma der Kantenlänge a und kleben zwei unserer
Quadratkappen an die beiden Achteckseiten an, so entsteht der Rhombenkuboktaeder.
Mit den Drehungen um die Koordinatenachsen können wir je zwei Ecken ineinander
überführen, es handelt sich also um einen archimedischen Körper des Typs (3, 4, 4, 4).
Anhand dieser Konstruktion des Rhombenkuboktaeders läßt sich ein weiteres interessantes Phänomen beobachten. Beim Zusammenbau eines Rhombenkuboktaeders aus
einem achteckigen Prisma und den beiden Quadratkappen passierte dem Mathemathiker J.C.P Miller um 1935 ein kleines Mißgeschick, er klebte die obere Quadratkappe
um 45◦ verdreht an das Achteckprisma. Der so entstehende konvexe Polyeder hat weiterhin acht gleichseitige Dreiecke und achtzehn Quadrate als Flächen und an jeder Ecke
findet sich ein gleichseitiges Dreieck gefolgt von drei Quadraten. Trotzdem ist dies kein
Rhombenkuboktaeder, man kann die Ecken der oberen Hälfte nicht durch Automorphismen in Ecken der unteren Hälfte bewegen. Dies gibt uns zum einen ein Beispiel
das es zur Angabe eines konvexen Polyeders nicht ausreicht nur die Seitenflächen zu
kennen und zu wissen welche von diesen an den jeweiligen Ecken zusammenstossen,
der Rhombenkuboktader und der falsch zusammen gebaute Polyeder sehen in der unmittelbaren Umgebung einer Ecke völlig gleich aus, es liegen stets ein Dreieck und drei
Quadrate an, trotzdem sind diese beiden konvexen Körper grundverschieden. Zum anderen zeigt uns dieses Beispiel die Rolle der Transitivitätsbedingung“ in der Definition
”
eines archimedischen Körpers, um auszudrücken das der Körper an allen Ecken gleich
”
aussieht“ reicht es eben nicht nur zu fordern das an allen Ecken derselbe Typ vorliegt.
Man nennt den falschen“ Rhombenkuboktaeder auch das Millersche Polyeder oder
”
den Pseudorhombenkuboktaeder.
Die archimedischen Körper wurden ursprünglich von Archimedes gefunden, allerdings ist Archimedes Arbeit zu diesem Thema nicht erhalten geblieben man kennt nur
einen Text von Pappus in dem die Ergebnisse des Archimedes beschrieben werden.
Auch der Text von Pappus war lange Zeit verloren, im siebzehnten Jahrhundert hat
Kepler die archimedischen Körper dann ein zweites Mal gefunden und es wurde erst
später bemerkt das diese schon in der Antike bekannt waren. Zu dieser Zeit wurde die
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Eckenbedingung an die archimedischen Körper noch als das Vorliegen eines an allen
Ecken gleichen Typs formuliert, es ist verwunderlich das der Millersche Körper der die
Unzulänglichkeit dieser Definition zeigt erst so spät gefunden wurde. Wie sich später
herausstellt wurde der Millersche Polyeder tatsächlich schon 1905 von Sommerville beschrieben und tatsächlich war er eventuell schon Kepler bekannt. Wir werden gleich
sehen das es neben den platonischen Körpern, den Prismen und den Antiprismen genau
13 archimedische Körper gibt, Kepler spricht aber an einer Stelle von 14 solchen.
Wir wollen alle möglichen Typen archimedischer Körper bestimmen. Während wir
bei der Klassifikation der platonischen Körper nur die eulersche Polyederformel benötigt
haben, erfordert diese Aufgabe für die archimedischen Körper ein weiteres Hilfsmittel,
wir benötigen den sogenannten Defekt eines konvexen Polyeders an einer Ecke. Angenommen P ⊆ R3 ist ein konvexer Polyeder und A ist eine Ecke von P . Seien dann
f1 , . . . , fq die aufeinanderfolgend numerierten Flächen von P mit Ecke A und für jedes
1 ≤ i ≤ q sei αi der Innenwinkel von fi bei A. Sei e eine Ebene durch A so, dass P ganz
auf einer Seite von e liegt, hierzu kann man zum Beispiel die von f1 aufgespannte Ebene
nehmen. Denken wir uns die Kappe von P bei A längs der Kanten zwischen f1 , . . . , fq
aufgeschnitten und klappen wir f1 , . . . , fq in e auf, so bilden die Winkel α1 , . . . , αq in e
einen echten Teil eines Kreises, es wird also α1 + · · · + αq < 2π gelten. Man nennt die
Differenz
q
X
αi > 0
δP (A) := 2π −
i=1
den Defekt des Polyeders P bei A. Mit dieser Vorbereitung lassen sich nun alle archimedischen Körper bestimmen.
Satz 3.13 (Bestimmung der archimedischen Körper)
Sei P ein archimedischer Körper von Typ S = (s1 , . . . , sq ) mit e Ecken, k Kanten und
f Flächen. Für jede in S vorkommende Zahl n bezeichne weiter fn die Zahl der n-Ecke
unter den f Flächen. Dann liegt einer der folgenden Fälle vor:
1. P ist ein platonischer Körper.
2. P ist ein Prisma oder ein Antiprisma.
3. P ist ein abgestumpfter Tetraeder, also S = (3, 6, 6), e = 12, k = 18, f = 8,
f3 = 4, f6 = 4.
4. P ist ein abgestumpfter Würfel, also S = (3, 8, 8), e = 24, k = 36, f = 14,
f3 = 8, f8 = 6.
5. P ist ein abgestumpftes Dodekaeder, also S = (3, 10, 10), e = 60, k = 90, f = 32,
f3 = 20, f10 = 12.
6. P ist ein abgestumpftes Oktaeder, also S = (4, 6, 6), e = 24, k = 36, f = 14,
f4 = 6, f6 = 8.
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7. P ist ein großer Rhombenkuboktaeder, also S = (4, 6, 8), e = 48, k = 72, f = 26,
f4 = 12, f6 = 8, f8 = 6.
8. P ist ein großer Rhombenikosidodekaeder, also S = (4, 6, 10), e = 120, k = 180,
f = 62, f4 = 30, f6 = 20, f10 = 12.
9. P ist ein abgestumpftes Ikosaeder, also S = (5, 6, 6), e = 60, k = 90, f = 32,
f5 = 12, f6 = 20.
10. P ist ein Kuboktaeder, also S = (3, 4, 3, 4), e = 12, k = 24, f = 14, f3 = 8,
f4 = 6.
11. P ist ein Ikosidodekaeder, also S = (3, 5, 3, 5), e = 30, k = 60, f = 32, f3 = 20,
f5 = 12.
12. P ist ein Rhombenkuboktaeder, also S = (3, 4, 4, 4), e = 24, k = 48, f = 26,
f3 = 8, f4 = 18.
13. P ist ein Rhombenikosidodekaeder, also S = (3, 4, 5, 4), e = 60, k = 120, f = 62,
f3 = 20, f4 = 30, f5 = 12.
14. P ist ein abgeschrägter Würfel, also S = (3, 3, 3, 3, 4), e = 24, k = 60, f = 38,
f3 = 32, f4 = 6.
15. P ist ein abgeschrägter Dodekaeder, also S = (3, 3, 3, 3, 5), e = 60, k = 150,
f = 92, f3 = 80, f5 = 12.
Beweis: Wir beginnen genau wie bei den platonischen Körpern, Abzählen der Kanten–
Ecken Paare (A, K) mit A ∈ K liefert
2k = qe,
und Abzählen der Paare Ecke–n-Eck (A, F ) mit A ∈ F liefert für jede in S vorkommende Zahl n
tn e = nfn
wobei tn die Anzahl der Vorkommen von n in S ist. Nach der Eulerschen Polyederformel
Satz 2 ist weiter e − k + f = 2. Nun betrachten wir eine Ecke A von P . An A liegen
dann der Reihe nach ein reguläres s1 -Eck, ein reguläres s2 -Eck, und so weiter an, und
die Summe der bei A anliegenden Innenwinkel ist nach Lemma 4.(a)
q
X
(si − 2)π
i=1
si
q
X
1
= qπ − 2π
.
s
i=1 i
Für den Defekt von P bei A ergibt sich
δP (A) = 2π ·
q
X
1
1+
s
i=1 i
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!
− qπ
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und die Bedingung δP (A) > 0 liefert
q
X
q
1
> − 1.
s
2
i=1 i
Wegen si ≥ 3 für jedes 1 ≤ i ≤ q ist dabei
q
X1
q
q
q
≤ , also < 1,
−1<
2
s
3
6
i=1 i
es muss also q ≤ 5 gelten. Da andererseits auch q ≥ 3 ist, haben wir damit nur drei
Möglichkeiten q ∈ {3, 4, 5}. Falls 3 nicht in S vorkommt, so ist sogar si ≥ 4 für jedes
1 ≤ i ≤ q und wir erhalten analog q < 4, also q = 3. In den beiden Fällen q ∈ {4, 5}
gibt es also mindestens eine 3 in S. Kommt in S nur eine einzige Zahl n vor, so ist P
ein platonischer Körper von Typ (n, q), wir können also annehmen das in S mindestens
zwei verschiedene Zahlen auftreten.
Fall 1. Sei q = 5, also q/2 − 1 = 3/2. Kommt in S höchsten drei mal 3 vor, so hätten
wir etwa s1 , s2 , s3 ≥ 3 und s4 , s5 ≥ 4, also
q
X
1
1
q
≤ 1 + = − 1,
s
2
2
i=1 i
ein Widerspruch, also muss s1 = s2 = s3 = s4 = 3 und s5 ≥ 4 sein. Damit ist
q
X1
3
q
4
1
1
3 4
1
= −1<
= + , also
> − = ,
2
2
s
3 s5
s5
2 3
6
i=1 i
d.h. s5 ≤ 5 und wir sind in Fall 14 oder 15. Es sind mit n := s5 auch 2k = 5e, 4e = 3f3 ,
e = nfn , also
5
4
1
k = e, f3 = e, fn = e und 2 = e − k + f3 + fn =
2
3
n
1 1
−
n 6
e,
im Fall n = 4 sind also e = 24, k = 60, f3 = 32, f4 = 6, f = 38 und im Fall n = 5 ist
e = 60, k = 150, f3 = 80, f5 = 12, f = 92.
Fall 2. Nun sei q = 4. Kommt in S genau dreimal eine 3 vor, so haben wir den Typ
(3, 3, 3, n) für ein n ≥ 4, haben also ein Antiprisma. Nun betrachten wir den Fall das
die 3 genau zweimal in S vorkommt.
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m
A
n
3
3
3
m
n
B
A
C
3
3
B
C
3
3
m
(3, 3, n, m) nicht möglich
(3, n, 3, m)
Dann können die beiden 3 Einträge nicht unmittelbar nebeneinander stehen, andernfalls hätten wir die Situation oben links, in A sind die beiden Dreiecke und zwei weitere
n- und m-Ecke mit n, m 6= 3. In B folgt dann auf ein n-Eck ein Dreieck, also muss auch
ein weiteres Dreieck folgen, und dann liegen in C gleich drei Dreiecke an. Der Typ hat
also die Form (3, n, 3, m) mit n, m 6= 3. Das Bild oben rechts zeigt dann das n = m
sein muss, denn das n-Eck in B wird von zwei Dreiecken eingeschlossen, also muss an
der Kante BC ein m-Eck folgen, und damit liegen bei C zwei m-Ecke, also n = m. Wir
haben also den Typ (3, n, 3, n) mit n ≥ 4. Weiter ist
q
1
1
2 2
2
1
+ > − 1 = 1, also >
1−
= ,
3 n
2
n
2
3
6
also n ∈ {4, 5} und wir sind in Fall 10 oder 11. Es sind k = 2e, f3 = (2/3)e und
fn = (2/n)e, also
2 1
2 = e − k + f3 + fn =
−
e.
n 3
Für n = 4 bedeutet dies e = 12, k = 24, f3 = 8, f4 = 6, f = 14 und für n = 5 haben
wir e = 30, k = 60, f3 = 20, f5 = 12, f = 32.
Die verbleibenden Fälle werden wir dann in der nächsten Sitzung behandeln.
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