Inhaltsangabe der Vorlesung
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Algebraische Komplexitätstheorie 4h Vorlesung im WS 2012/13, Universität Paderborn, Prof. Dr. P. Bürgisser Kap. 1 Einleitende Beispiele 1.1 Additionsketten: `(n) ≤ blog nc + w(n) − 1, obere Schranke von Brauer, untere Schranke von Erdös (ohne Beweis), untere Schranke von Schönhage. 1.2 Komplexität ganzer Zahlen: Exkurs über Schaltkreise, für fast alle n gilt τ (n) ≥ logloglogn n (à la Shannon). 1.3 Fakultät, Faktorisierung und Varianten von P vs NP: Ist (k!)k∈N leicht zu berechnen, so können ganze Zahlen in nichtuniformer Polynomialzeit faktorisiert werden. Permanente vs Determinante, Sätze von Shub & Smale und B (ohne Beweise). 1.4 Auswertung von Polynomen: Hornerschema, Preconditioning über C. 1.5 Diskrete Fouriertransformation: Untere Schranke von Morgenstern. 1.6 Matrixmultiplikation: Strassens O(n2.81 ) Algorithmus, Exponent der Matrixmultiplikation. Kap. 2 Berechnungsmodelle 2.1 Grundlegende Konzepte: SLPs, Kosten und Komplexität, universeller Input. 2.1 Polynommultiplikation: Obere Schranken. 2.2 Berechnungsfolgen: Nichtskalare Komplexität, Dimensionschranke, einfache Anwendungen. Kap. 3 Substitutionsmethode 3.1 Grundideen und Beispiele: Optimale untere P Schranke für multiplikative Komplexität von a21 + · · · + a2n und ni=0 ai X i . 3.2 Linearisierungsgrad: Allgemeine untere Schranke via Linearisierungsgrad. Kap. 4 Transzendenzgrad Exkurs über Transzendenzgrad, Transzendenzgradschranken, Anwendung auf Auswertung von Polynomen und rationalen Funktionen. Kap. 5 Spezifische Polynome, die schwierig sind √ √ LK[X] (f ) ≤ 2 n, generische Berechnungen, LK[X] (f ) ≥ n − 1 für Zarip ski fast alle f . Allgemeines Theorem, untere Schranken Ω( n/ log n) für Pn √ Pn ν ν ν=1 pν X und ν=1 exp(2πi/ν)X . Kap. 6 Ableitungen 6.1 Vermeidung von Divisionen: formale Potenzreihen, Vermeidung von Divisionen bei Berechnung von Polynomen vom Grad d, Spezialfall d = 2. 6.2 Ableitungsungleichung: Inversion vs Determinante von Matrizen. Kap. 7 Strassens Gradschranke 7.1 Exkurs über algebraische Geometrie: Dimension, Grad, Bézoutsche Ungleichung. 7.2 Die Gradschranke: Algebraisch-geometrischer Beweis. 7.3 Anwendungen: L(X1d , . . . , Xnd ), Auswertung eines Polynoms an vielen Stellen, Berechnung der elementarsymmetrischen Polynome. Kombination mit Ableitungsungleichung, L(X1d + · · · + Xnd ), L(σq ) (ohne Beweis). 7.2 Elementarer Beweis der Gradschranke: Perron’s Lemma über algebraische Abhängigkeit, Bézoutsche Ungleichung #Z(f1 , . . . , fn ) ≤ d1 · · · dn , Schönhages elementarer Beweis der Gradschranke. Kap. 8 Tensorrang 8.1 Komplexität und Rang bilinearer Abbildungen: Charakterisierung der multiplikative Komplexität bilinearer Abbildungen, L(ϕ) ≤ R(ϕ) ≤ 2L(ϕ). Untere Schranken an R(ϕ) mittels Dimensionsargument. 8.2 Eine untere Schranke für den Rang einfacher Algebren: minimale und maximale Links- bzw. Rechtsideale in Algebren, allgemeines Faktum, Illustration am Beispiel von k n×n . Untere Schranke R(A) ≥ 2 dim A − 1 von Alder und Strassen für einfache Algebra A. 8.3 Rang von Tensoren Tensorprodukte, U ∗ ⊗ W ' Hom(U, W ), U ∗ ⊗ V ∗ ⊗W ' Bil(U, V ; W ), isomorphe Tensoren, Tensorrang, untere Schranke für bündige Tensoren.
