Lösungen - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Carsten Trunk
Philipp Schmitz
Lösungen zu Übungsblatt 13
16. Februar 2016
Analysis I
im Wintersemester 2015/2016
Aufgabe 49: Es sei N die Menge aller endlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen,
N := { A ⊂ N | |A| < ∞ }.
Für jedes A ∈ N gibt es somit ein n ∈ N, sodass |A| = n gilt. Es bezeichne weiterhin Nn für
n ∈ N die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen mit genau n Elementen,
Nn := { A ⊂ N | |A| = n }.
Wir zeigen induktiv, dass für jedes n ∈ N die Menge Nn abzählbar ist. Für n = 0 enthält N0
nur die leere Menge und besitzt somit die Mächtigkeit |N0 | = 1. Für n = 1 gilt
n
o
N1 = {0}, {1}, {2}, . . . ,
womit N1 offenbar gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist.
Sei nun Nn für eine n ∈ N abzählbar. Betrachtet man ein B ⊂ N so ist klar, dass B genau
dann ein Element von Nn+1 ist, wenn es eine n-elementige Teilmenge A ⊂ N gibt und ein
k ∈ N \ A mit B = A ∪ {k}. Das heißt es gilt B ∈ Nn+1 genau dann, wenn ein A ∈ Nn und
ein k ∈ N \ A existieren, sodass B = A ∪ {k} gilt. Somit erhalten wir
n
Nn+1 = A ∪ {k} |, A ∈ Nn , k ∈ N \ A
o
beziehungsweise
[
Nn+1 =
[ n
o
A ∪ {k} .
A∈Nn k∈N\A
Da Nn nach Induktionsvoraussetzung und N \ A für jedes A ∈ Nn abzählbar. Folglich ist Nn+1
eine Vereinigung abzählbar vieler endlicher (abzählbarer) Mengen und somit selbst abzählbar
(vergleiche Satz 1 §9).
Abschließend erhalten wir wegen
[
N=
Nn
n∈N
die Abzählbarkeit von N nach Satz 1 §9.
1
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Wir definieren An := { ak | k ≥ n} und sn := sup An für n ∈ N.
Notwendigkeit. Es gelte lim supn→∞ an = a ∈ R und es sei ε > 0 beliebig. Auf Grund der Definition des Supremums als kleinste obere Schranke ist (sn )n∈N offenbar eine monoton fallende
Folge. Somit folgt aus
a = lim sup an = lim sn ,
n→∞
n→∞
dass sn ≥ a für alle n ∈ N gilt. Damit existiert für jedes n ∈ N ein b ∈ An , sodass b > a−ε gilt.
Daraus folgt (ii). Außerdem liefert die monotone Konvergenz der Folge (sn )n∈N die Existenz
eines N ∈ N, sodass an ≤ sn < a + ε gilt, womit (i) gezeigt ist.
Hinlänglichkeit. Es gelten für ein beliebiges ε > 0 die Aussagen (i) und (ii). Es gibt somit nach
(i) ein N ∈ N, sodass an < a + ε für alle n ≥ N gilt. Folglich gilt sn ≤ a + ε für alle n ≥ N
und limn→∞ sn ≤ a + ε. Da ε beliebig gewählt ist, erhalten wir
lim sn ≤ a.
n→∞
Die Aussage (ii) liefert für alle M ∈ N die Existenz eines m ≥ M , sodass am > a − ε
gilt. Nach Definition der Folge (sn )n∈N gilt somit sM > a − ε für alle M ∈ N. Wir erhalten
limn→∞ sn ≥ a − ε und da ε beliebig gewählt ist
lim sn ≥ a.
n→∞
Zusammen gilt also
lim sup an = n→∞
lim sn = a.
n→∞
Bemerkung: Es gilt eine analoge Aussage für den Limes inferior.
Aufgabe 50: Es sei (an )n∈N eine beschränkte Folge reeller Zahlen und H die Menge ihrer Häufungspunkte. Wir zeigen zunächst, dass lim supn→∞ an ein Häufungspunkt der Folge (an )n→∞
ist. Auf Grund der Beschränktheit der Folge (an )n∈N existiert das Supremum K ∈ R der Menge { an | n ∈ N }. Folglich ist auch jedes bn := sup{ ak | k ≥ n } für n ∈ N durch K nach oben
beschränkt. Die Folge (bn )n∈N ist somit beschränkt und monoton, also konvergent gegen ein
b ∈ R. Wir nehmen an, dass keine Teilfolge der Folge (an )n∈N gegen b konvergiere. Es existiere
also ein ε > 0 und ein N ∈ N, sodass |an − b| ≥ ε für alle n ≥ N gelte. Die Aussaugen
(i) und (ii) aus Aufgabe 49 stehen jedoch im Widerspruch dazu. Somit existiert eine gegen b
konvergente Teilfolge von (an )n∈N , womit b ∈ H gilt. Insbesondere ist H nichtleer. Wir betrachten nun einen beliebigen Häufungspunkt a ∈ H. Es gibt eine Teilfolge (ank )k∈N , die gegen
a konvergiert. Aus der Definition und der Monotonie von (bn )n∈N folgt bk ≥ bnk ≥ ank für alle
k ∈ N, womit
a = lim ank ≤ lim bk = b.
k→
k→∞
Somit ist b der größte Häufungspunkt der Folge (an )n∈N und es gilt
lim sup an = b = sup H.
n→∞
2
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Die Gleichung
lim
inf an = inf H
n→∞
folgt direkt aus der Beziehung − sup(−A) = inf(A) für beliebige Mengen A ⊂ R, wobei
−A := { −x | x ∈ A }.
Ist (an )n∈N eine gegen a konvergente Folge, so besitzt sie genau einen Häufungspunkt, womit
H = {a} gilt. Somit folgt nach dem ersten Teil
lim inf an = lim sup an = a.
n→∞
(1)
n→∞
Gilt hingegen (1), so besitzt (an )n∈N ebenfalls genau einen Häufungspunkt und ist nach Voraussetzung beschränkt (folgt übrigens auch aus (1)). Dies ist äquivalent zur Konvergenz der
Folge (an )n∈N gegen a.
Aufgabe 51: Es sei (an )n∈N eine beschränkte Folge reeller Zahlen und H die Menge ihrer
Häufungspunkte. Beweise, dass die Beziehungen
lim sup an = sup H
und
lim
inf an = inf H
n→∞
n→∞
gelten. Zeige außerdem dass (an )n∈N genau dann gegen a ∈ R konvergiert, wenn
lim inf an = lim sup an = a
n→∞
n→∞
gilt.
für k ∈ N und
Aufgabe 52: Es seien an = 2n 1 + (−1)n + 1 für alle n ∈ N, bk = ak+1
ak
√
m+1
am+1 . Wir untersuchen die jeweiligen Teilfolgen der geraden beziehungsweise
cm+1 =
ungeraden Folgenglieder. Es gilt
a2n = 22n+1 + 1,
a2n+1 = 1,
b2n =
sowie
c2n+2 = 22n+3 + 1
1
22n+1
1
2n+2
+1
,
b2n+1 = 22n+2 + 1
und c2n+1 = 1
für alle n ∈ N. Offenbar erhalten wir
lim a2n = ∞,
n→∞
lim a2n+1 = 1,
lim b2n = 0,
n→∞
n→∞
lim b2n+1 = ∞ und
n→∞
Mit Hilfe des Sandwich-Kriteriums
2·2
1
2n+2
≤2 2+
1
22n+2
3
1
2n+2
1
= c2n+2 ≤ 2 · 3 2n+2
lim c2n+1 = 1.
n→∞
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sieht man, dass
1
1
lim 2 · 2 2n+2 = n→∞
lim c2n+1 = n→∞
lim 2 · 3 2n+2 = 2
n→∞
gilt.
Somit erhalten wir aus der Definition der Limites superior und inferior
lim sup an = ∞,
n→∞
lim sup bn = ∞,
lim inf an = 1,
n→∞
n→∞
sowie
lim sup cn = 2 und
n→∞
4
lim inf cn = 1.
n→∞
lim inf bn = 0
n→∞