Blatt 2

Blatt 2
Frühlingssemester 2010
Kombinatorik I
Aufgabe 1
In einem Teeladen gibt es fünf verschiedene Teetassen und drei verschiedene Untertassen. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine Tasse und eine Untertasse zu kaufen?
Aufgabe 2
In demselben Teeladen gibt es ausserdem vier verschiedene Sorten Teelöffel. Wieviele Möglichkeiten für ein Teeset bestehend aus Tasse, Untertasse und Teelöffel gibt es?
Aufgabe 3
Im Wunderland gibt es drei Städte A, B und C. Von A nach B führen sechs Strassen, und von
B nach C vier. Auf wie viele Arten kann man von A nach C fahren?
Aufgabe 4
Eines Tages werden eine neue Stadt D und drei Strassen von A nach D und zwei Strassen von C
nach D gebaut. Wieviele Möglichkeiten gibt es jetzt, von A nach C zu fahren (nicht unbedingt
auf dem kürzesten Weg)?
Aufgabe 5
Wieviele 4-stellige
a. Zahlen mit lauter ungeraden Ziffern gibt es?
b. Zahlen mit lauter geraden Ziffern gibt es?
c. gerade Zahlen gibt es?
Aufgabe 6
Wir werfen eine Münze 4-mal. Wieviele verschiedene Sequenzen von Kopf und Zahl gibt es?
Aufgabe 7
Jedes Feld in einem 2 × 2-Spielfeld kann schwarz oder weiss bemalt werden. Wieviele Färbungen
des Spielfeldes sind möglich?
Aufgabe 8
Das Hermetische Alphabet besteht aus nur drei Buchstaben: A, B und C. Ein Wort in dieser
Sprache ist eine beliebige Sequenz, die aus nicht mehr als vier Buchstaben besteht. Wieviele
Wörter sind in der Hermetischen Sprache möglich?
Aufgabe 9
In einem Kino sind noch 6 Plätze frei. Gleichzeitig kommen (a) 3 (b) 5 (c) 6 Kinobesucher an
die Kasse. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die freien Plätze den ankommenden Kinobesuchern
zuzuteilen?
Aufgabe 10
Wieviele Möglichkeiten gibt es, einen schwarzen und einen weissen Turm so auf ein Schachbrett
zu stellen, dass sie sich nicht gegenseitig schlagen können?
Aufgabe 11
Wieviele Möglichkeiten gibt es, acht Türme so auf ein Schachbrett zu stellen, dass sie sich nicht
gegenseitig schlagen können?
Aufgabe 12
Wieviele Möglichkeiten gibt es, einen schwarzen und einen weissen König so auf ein Schachbrett
zu stellen, dass sie sich nicht gegenseitig schlagen können?
* Aufgabe 13
Wieviele Möglichkeiten gibt es, n ≥ 3 Bonbons auf drei Kinder aufzuteilen, so dass keines der
Kinder leer ausgeht. Wir nehmen dabei an, dass alle Bonbons eine verschiedene Geschmacksrichtung haben.
Die wichtigste Strategie zur Lösung von Aufgaben aus der Kombinatorik ist divide and conquer.
Dass heisst: Teile das Problem in mehrere kleine Probleme auf, löse diese und verbinde die Lösungen zu einer Lösung des ursprünglichen Problems. Hier sind drei konkrete Erscheinungsformen
dieser Strategie:
Summenregel Ist A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An eine disjunkte Zerlegung einer Menge A (disjunkt soll
heissen, dass keine zwei Teilmengen gemeinsame Elemente haben), so gilt für die Anzahl
|A| der Elemente von A:
|A| = |A1 | + |A2 | + . . . + |An |
Produktregel Besteht ein Auswahlprozess aus r Teilprozessen, die unabhängig voneinander
sind, sodass man im k-ten Prozess genau nk Wahlmöglichkeiten hat, dann ist die Gesamtzahl der Wahlmöglichkeiten gleich n1 · n2 · · · nr .
Ein-/Ausschalt-Formel Das ist die Verallgemeinerung der Summenregel für den Fall, dass
sich die zu zählende Menge nicht in disjunkte Teilmengen zerlegen lässt. Für eine Zerlegung
in zwei bzw. drei Teilmengen lautet sie
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
bzw.
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Aufgabe 14
Begründen Sie die Ein-/Ausschaltformel in den beiden angegebenen Fällen. Dazu ist es hilfreich,
die Vereinigung der zwei bzw. drei Mengen als Venn-Diagramm darzustellen (das heisst, dass
man die Mengen als einander überlappende Kartoffeln aufzeichnet).
Aufgabe 15
Eine Permutation liegt vor, wenn man n verschiedene Dinge in einer anderen Reihenfolge
anordnet. Zeigen Sie, dass man n Dinge auf n! Arten permutieren kann (gar nichts umzuordnen
ist auch eine Permutation). Die Zahl
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1
nennt man die Fakultät von n. Zum Beispiel ist 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Aufgabe 16
Vereinfachen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich
(a)
10! · 11
(b) n! · (n + 1)
(c)
100!
98!
(d)
n!
(n − 1)!
Aufgabe 17
Berechnen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners.
(a)
75!
74!
(b)
12!
9!
(c)
8! − 7 · 7!
(d)
25!
2115
(d)
100! − 100
99! − 1
Aufgabe 18
Aus sechs Tennisspielern soll ein Team für ein Doppel ausgewählt werden. Wieviele Auswahlen
sind im Prinzip möglich?
Aufgabe 19
a. Auf einem Kreis sind 10 verschiedene Punkte eingezeichnet. Wieviele Kreissehnen mit
Endpunkten aus diesen eingezeichneten Punkten lassen sich bilden?
b. Und wieviele Dreiecke mit Eckpunkten lassen sich aus diesen 10 Punkten bilden?
c. Und wie viele Vierecke (ohne überschlagende Kanten)?
Aufgabe 20
12 Schülerinnen wollen Volleyball spielen. Wieviele Einteilungen in zwei Sechsermannschaften
sind denkbar? (462)
* Aufgabe 21
Auf wie viele Arten lässt sich aus drei Rosenarten ein Blumenstrauss mit zwölf Blumen zusammenstellen?
Viele Probleme aus der Kombinatorik entsprechen einem von vier fundamentalen Auswahlprozessen, die man am übersichtlichsten am Urnenmodell studieren kann. Es geht jeweils darum, k
Kugeln aus einer Urne mit n durchnummerierten Kugeln zu ziehen und zu berechnen, auf wie
viele Arten dies geschehen kann. Beim Ziehen muss man auf zwei Aspekte achten:
Mit oder ohne Zurücklegen? Man kann nach jedem Ziehen die Nummer der gezogenen Kugel notieren und dann wieder in die Urne zurücklegen. Oder aber man legt die Kugeln
nicht wieder zurück.
Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Wenn man k = 3 Kugeln ziehen soll, kann es eine Rolle
spielen, ob man erst die Kugel 3, dann 7 und dann 8 zieht, oder erst 8, dann 3 und dann
die 7. In dem Fall gibt es 3! = 6 Möglichkeiten, diese drei Kugeln zu ziehen. Spielt die
Reihenfolge keine Rolle, werden die 3! = 6 möglichen Ziehungen der drei Kugeln als eine
einzige Ziehung gezählt.
Hier sind die Anzahl Möglichkeiten, k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen:
Reihenfolge wichtig
Reihenfolge unwichtig
ohne Zurücklegen
n!
(n − k)!
n
n!
=
k
k!(n − k)!
mit Zurücklegen
nk
n+k−1
n+k−1
=
n−1
k
Das Symbol nk nennt man Binomialkoeffizient und spricht es ”n-über-k” (oder manchmal
auch ”n-tief-k”) aus.
Aufgabe 22
Versuchen Sie, die Formeln in der Tabelle zu begründen. Dazu könnte es hilfreich sein, sich aus
den vorhergehenden Aufgaben eine herauszusuchen, die von dem entsprechenden Typ ist. Für
die Begründung der vierten Formel muss man sich etwas einfallen lassen.
Aufgabe 23
Äquivalent zum Urnenmodell ist das Fächermodell, bei dem man k Kugeln auf n Fächer (oder
Schubladen) verteilen soll. Welche Aspekte muss man hier unterscheiden? Gehen Sie anhand des
Fächermodells noch einmal die Argumente durch, die zu den vier Formeln geführt haben.
Aufgabe 24
Wir nennen jede beliebige Kombination von Buchstaben ein ”Wort” (es spielt keine Rolle, ob es
etwas bedeutet oder nicht). Finden Sie jeweils heraus, wieviele Wörter man aus den Buchstaben
des vorgegebenen Wortes bilden kann:
(a)
WURZEL
(b)
TROST
(c)
ANANAS
(d)
MISSISSIPPI
Aufgabe 25
Die letzte Aufgabe führt auf eine Verallgemeinerung von Binomialkoeffizienten, die Multinomialkoeffizienten. Wenn man eine Zahl zum Beispiel als n = a + b + c + d schreiben kann, so
ist der zugehörige Multinomialkoeffizient
n!
a! b! c! d!
Erläutern Sie die kombinatorische Bedeutung dieses Ausdrucks - also auf welchen Typ von
Fragestellung ist er die Antwort? Inwiefern verallgemeinert er Binomialkoeffizienten? Erfinden
Sie eine eigene Aufgabe, die man mit Hilfe von Multinomialkoeffizienten lösen kann.
Aufgabe 26
Wieviele Diagonalen besitzt ein konvexes n-Eck? (Eine beliebige Figur heisst konvex, wenn für
je zwei Punkte im Inneren des n-Ecks die Verbindungsstrecke ebenfalls im Inneren liegt. Bei
einem n-Eck ist das gleichbedeutend damit, dass alle Innenwinkel kleiner als 180◦ sind.)
* Aufgabe 27
Es treten 2n Tennisspieler zu einem Turnier an. In der ersten Runde spielen alle Teilnehmer
genau einmal und alle Spiele sind Eins zu Eins. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Spieler für
die n Spiele der ersten Runde einzuteilen?