Analysis - Mathe

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Analysis: Klausur
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Analysis
Klausur zu Extrempunkten, Interpretation von Graphen von
Ableitungsfunktionen, Tangenten, Extremwertaufgaben
(Bearbeitungszeit: 90 Minuten)
Gymnasium J1
Alexander Schwarz
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November 2015
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Pflichtteil - ohne Hilfsmittel
Aufgabe 1: (2 VP)
Bilde die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
2
a) f(x) = 2 − 2 cos(x)
b) fk (x) = k x 2
x
Aufgabe 2: (3 VP)
Untersuche die Funktion f mit f(x) =
1 4 4 3
x − x + x 2 auf Extremstellen.
2
3
Aufgabe 3: (5 VP)
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ einer Funktion f.
Entscheide, ob die folgenden Antworten jeweils wahr oder falsch sind.
Begründe deine jeweilige Antwort.
a)
b)
c)
d)
Der Graph von f hat im Intervall −1 ≤ x ≤ 3 genau zwei Wendepunkte.
Der Graph von f ′′ hat im Intervall −0,8 ≤ x ≤ 3 genau zwei Nullstellen.
Der Graph von f ist im Bereich -1 < x < 2 rechtsgekrümmt.
Es gilt: f(0) > f(1).
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Wahlteil - mit GTR und Formelsammlung
Aufgabe 4: (11 VP)
Auf einem Abenteuerspielplatz wird der Querschnitt eines Geländes beschrieben durch den
Graphen der Funktion g mit
g(x) = −0,0025x 3 + 0,09x 2 − 0,6x (x und g(x) in Metern)
Zwei 5 m hohe Masten besitzen einen horizontalen Abstand von 20 m.
Der Fußpunkt des linken Mastes befindet sich im Koordinatenursprung. An den oberen
Enden der beiden Masten ist das Seil einer Seilrutsche befestigt.
a) Wie hoch liegt der Fußpunkt des rechten Mastes über dem des linken ?
b) Bestimme die mittlere Steigung des Geländes zwischen den beiden Masten.
Der Verlauf des Seiles der Seilrutsche wird durch den Graphen der Funktion f mit
f(x) = 0,04x 2 − 0,6x + 5
beschrieben.
c) Aus Sicherheitsgründen müssen Kinder, die von rechts nach links rutschen, mindestens
die letzten 5 m vor dem linken Mast aufwärts fahren. Überprüfe, ob diese Forderung
erfüllt ist.
d) Überprüfe, ob das Seil überall eine vertikale Höhendifferenz von mindestens 2 m zum
Gelände aufweist.
e) An welcher Stelle zwischen den Masten verläuft das Seil parallel zum Gelände ?
f) Im Zuge von Bauarbeiten wird eine Schnur vom Fußpunkt des linken Mastes geradlinig
zum rechten Mast gespannt. In welcher Höhe muss der Befestigungspunkt am rechten
Mast mindestens liegen ?
Aufgabe 5: (5 VP)
2
und ein Punkt B(z/f(z)) mit z > 0.
x
a) Zeige, dass die Tangente im Punkt B an den Graphen f die Gleichung
2
4
t: y = − 2 x + besitzt.
z
z
b) Die Tangente t schneidet die x-Achse im Punkt A und die y-Achse im Punkt C.
Bestimme die Koordinaten des Punktes B so, dass der Umfang von Dreieck OAC
minimal wird.
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
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Lösungen
Aufgabe 1:
a) f(x) = 2x −2 − 2 cos(x) ; dann gilt: f ′(x) = −4x −3 + 2 sin(x)
2
b) fk (x) = k x 2 = x k ; dann gilt fk′ (x) =
2 k2 −1
⋅x
k
Aufgabe 2:
Untersuche die Funktion f mit f(x) =
1 4 4 3
x − x + x 2 auf Extremstellen.
2
3
1 4 4 3
x − x + x2
2
3
Ableitungen: f ′(x) = 2x 3 − 4x 2 + 2x und f ′′(x) = 6x 2 − 8x + 2
f(x) =
Notwendige Bedingung: f ′(x) = 0
(
)
2x 3 − 4x 2 + 2x = 0 ⇒ 2x ⋅ x 2 − 2x + 1 = 0
Lösung der Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt:
Gleichung I): 2x = 0 ⇒ x = 0
2± 4−4 2±0
=
=1
Gleichung II): x 2 − 2x + 1 = 0 ⇒ x1,2 =
2
2
Hinreichende Bedingung:
f ′′(0) = 2 > 0 ; bei x = 0 existiert ein relatives Minimum:
f ′′(1) = 0
Ob bei x = 1 eine Extremstelle vorliegt, kann anhand des Ergebnisses nicht beurteilt werden.
Man muss dies mit Hilfe eines Vorzeichenwechsels der Ableitungsfunktion prüfen.
f ′(0,5) = 2 ⋅ 0,5 ⋅ (0,52 − 2 ⋅ 0,5 + 1) = 0,25 > 0
f ′(2) = 16 − 16 + 4 = 4 > 0
Bei x = 1 existiert kein VZW bei der Ableitungsfunktion.
Daher existiert bei x = 1 keine Extremstelle (sondern ein Sattelpunkt)
Aufgabe 3:
a) Die Aussage ist falsch, da das Schaubild der Ableitungsfunktion nur eine Extremstelle
besitzt.
b) Die Aussage ist richtig, da das Schaubild der Ableitungsfunktion zwei Punkte mit
waagrechter Tangente besitzt (bei x ≈ −0,2 und x = 2).
c) Die Aussage ist falsch. Der Graph von f ist rechtsgekrümmt, wenn das Schaubild der
Ableitungsfunktion streng monoton fallend ist.
Im Intervall -1 < x < 2 ist diese Monotonie jedoch nicht gegeben.
d) Die Aussage ist richtig. Das Schaubild von f ist von x = 0 bis x = 1 streng monoton
fallend, da das Schaubild der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse verläuft.
Daher ist f(0) > f(1).
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Aufgabe 4:
a) Der rechte Mast befindet sich bei x = 20.
Fußpunkt des rechten Mastes liegt auf der Höhe g(20) = 4 Meter.
Fußpunkt des linken Mastes liegt auf der Höhe g(0) = 0 Meter.
Der Fußpunkt des rechten Mastes liegt 4 Meter über dem des linken Mastes.
b) Gesucht ist die Steigung zwischen den Punkten O(0/0) und A(20/4):
4−0
m=
= 0,2
20 − 0
c) Es soll geprüft werden, ob das Schaubild von f(x) im Intervall 0 ≤ x ≤ 5 streng monoton
fallend ist.
Es gilt f ′(x) = 0,08x − 0,6 .
Bedingung: f ′(x) < 0 ⇒ 0,08x − 0,6 < 0 ⇒ x <
0,6
⇒ x < 7,5
0,08
Bei der Seilrutsche fahren die Kinder die letzten 7,5 m aufwärts.
Die Sicherheitsanforderung ist daher erfüllt.
d) Die vertikale Höhendifferenz wird berechnet durch die Funktion
h(x) = f(x) − g(x)
Gesucht ist das Maximum von h(x) im Intervall 0 ≤ x ≤ 20 .
Lösung mit dem GTR:
Das relative Minimum beträgt 2,037 m.
Am Rand des Intervalls gilt h(0) = h(20) = 5 m .
Da die Randwerte nicht kleiner sind als das relative Minimum, ist das absolute Minimum
2,037 m . Die vertikale Höhendifferenz beträgt überall mindestens 2 m .
e) Das Seil und das Gelände verlaufen parallel, wenn gilt: g′(x) = h′(x)
Lösung der Gleichung mit dem GTR:
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Das Seil verläuft bei x = 13,33 parallel zum Gelände.
Da in der Aufgabenstellung "zwischen den Masten" steht, ist die weitere Lösung x = 0
nicht gefragt.
f)
Die Schnur entspricht einer Tangente, die man vom Punkt O(0/0) aus an die
Geländefunktion g(x) anlegt.
Ansatz für Tangentengleichung: y = f ′(u) ⋅ (x − u) + f(u)
Einsetzen des Punktes: 0 = f ′(u) ⋅ (0 − u) + f(u)
Lösung der Gleichung mit dem GTR:
Als Lösung ergibt sich u = 18.
Tangentengleichung mit GTR: y = 0,21x
Die Tangente besitzt an der Stelle x = 20 den y-Wert y = 4,2.
Da der rechte Mast erst auf der Höhe y = 4 beginnt, muss der Befestigungspunkt
mindestens 0,2 m über dem Fußpunkt liegen.
Aufgabe 5:
2
−2
= 2x −1 und f ′(x) = −2x −2 = 2 .
x
x
allgemeine Tangentengleichung an der Stelle z: y = f ′(z) ⋅ (x − z) + f(z)
2
2
2
2 2
2
4
Es gilt y = − 2 (x − z) + ⇒ y = − 2 x + + ⇒ y = − 2 x + was zu zeigen war.
z
z
z
z z
z
z
a) Es gilt f(x) =
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4
b) Schnittpunkt mit y-Achse: C(0 / )
z
2
4
Schnittpunkt mit x-Achse: − 2 x + = 0 ⇒ −2x + 4z = 0 ⇒ x = 2z ; also A(2z/0)
z
z
4
 4
OA = 2z ; OC = ; AC = (2z)2 +  
z
z
Umfang des Dreiecks: U(z) = 2z +
2
4
 4
+ (2z)2 +  
z
z
2
Der Umfang mit minimal für z = 1,414. Der minimale Umfang beträgt U = 9,66.
Randbetrachtung: Für z → 0 und z → ∞ strebt U(z) → ∞ .
Das absolute Minimum befindet sich bei z = 1,414.
Koordinaten von B: B(1,414/f(1,414) = B(1,414/1,414)
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