B - Math

Positionssystem
Die reellen Zahlen werden in einem Positionssystem dargestellt.
Die Ziffern haben einen Zahlenwert und einen Stellenwert.
n
x b =
∑
i =−m
i
xi b ,
0  x i  bi ,
b ∈ℕ,
b  2 – Basis
Dezimalsystem:
b = 10 ,
Grundziffern: 0, 1, 2, 3, . . . , 9
Binärsystem:
b = 2 ,
Grundziffern: 0, 1
Hexadezimalsystem:
b = 16 ,
Grundziffern: 0, 1, 2, 3, . . . , 9, A, B, . . . F
(A = 10, B = 11, . . . , F = 15)
Beispiel:
x  10 = 3405,27 = 3 ⋅ 10 3  4 ⋅ 10 2  0⋅ 101  5 ⋅ 100  2 ⋅ 10−1  7 ⋅ 10−2
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Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, WS 2008
Binärsystem
Binärsystem:
b = 2 ,
Grundziffern: 0, 1
Dezimalsystem:
0 1 2 3 4 5 6 7
Binärsystem:
0 1 10 11 100 101 110 111
Alles, was digital ist, basiert auf einem mathematischen
System, das Gottfried Wilhelm Leibniz 1679 erfand, eine
mathematische Sprache, die auch Maschinen verstehen.
Gottfried Wilhelm Leibniz
1646­1716
Leibniz schrieb zu seiner Entdeckung:
“Um Alles aus Nichts zu erzeugen, reicht Eins”.
Gottfried Wilhelm Leibniz war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.
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Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, WS 2008
Sexagesimalsystem der Babylonier
Die Babylonier hatten ein fortschrittliches Zahlensystem. Die Basis ihres Stellenwertsystems war die Zahl 60. Die Einteilung des Tages in 24 Stunden, 60 Minuten
und 60 Sekunden ist eine Folge dieser Methode.
Ein senkrechter Keil galt als Einer und ein waagerechter als Zehner. In unserem
Zahlensystem mit der Basis 10 sind 10 Zahlzeichen, im System der Babylonier mit
der Basis 60 sind nur 2 Zahlzeichen.
1)
2)
1) http://farm3.static.flickr.com/2275/1725761562_75839b47f9.jpg?v=0
2) http://farm1.static.flickr.com/41/82678708_05f0f1fc79.jpg?v=0
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Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, WS 2008
Positionssystem: Aufgabe
Aufgabe :
Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in das Dezimalsystem
1.
11012 ,
1101012
2.
5B816  ,
AFFE16  ,
BEEF 16
1) Detail des babylonischen Ischtar­Tores
http://www.bible-earth.net/logbuch/wp-content/babylon-loewe.jpg
2) Keilschrift
http://www.reiseinfo-tuerkei.de/Urlaub2002/GKeilschrift.jpg
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Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, WS 2008
Positionssystem: Lösung
n
x b =
1.
∑
i =−m
i
xi b ,
b ∈ℕ,
b2
1101 2 = 1⋅ 23  1 ⋅ 22  0 ⋅ 2 1  1 ⋅ 2 0 = 1310 
1101012 = 1 ⋅ 25  1 ⋅ 2 4  0⋅ 2 3  1 ⋅ 2 2  0 ⋅ 21  1 ⋅ 2 0 = 53 10
2.
A = 10 ,
B = 11 ,
C = 12 ,
D = 13 ,
E = 14 ,
F = 15
5B8 16 = 5 ⋅ 162  B ⋅ 16 1  8 ⋅ 160 = 146410 
AFFE16  = A ⋅ 16 3  F ⋅ 16 2  F ⋅ 161  E ⋅ 160 =
= 10 ⋅ 163  15 ⋅ 162  15 ⋅ 16  14 ⋅ 1 = 45054 10 
BEEF 16  = B ⋅ 163  E ⋅ 16 2  E ⋅ 161  F ⋅ 16 0 =
= 11 ⋅ 16 3  14 ⋅ 16 2  14 ⋅ 16  15 ⋅ 1 = 48879 10 
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Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, WS 2008