hlte Kapitel der Mathematikdidaktik Wie viel Termumformung

Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Ausgewählte Kapitel der Mathematikdidaktik
Wie viel Termumformung braucht der Mensch?
Daniel Thieme 501744
Humboldt-Universität zu Berlin
28.10.2008
erstellt mit AMS-LATEX
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
1 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Inhaltsverzeichnis
1
Symbolisches Rechnen
Was heißt schon einfach?
Äquivalente Umformungen
2
Numerisches Rechnen
Wie genau ist eine Zahl auf dem PC?
Substraktionskatastrophe
3
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Vor- und Nachteile beim Einsatz von CAS / Derive
verschiedene Anwendungsaufgaben
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
2 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Was heißt schon einfach?
Äquivalente Umformungen
Elementare algebraische Operationen in Derive
Name im Menü
Algebraisch
Multiplizieren
Faktorisieren
Approximieren
Variablen-Substitution
Lösen
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Derive-Befehl
Simp()
Mltp()
Fktr()
Approx()
Subst()
Solve()
Daniel Thieme
math. Begriff
Vereinfachen
Ausmultiplizieren
Faktorisieren, Hauptnenner
Approximieren
Substituieren
Gleichung lösen
3 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Was heißt schon einfach?
Äquivalente Umformungen
Welcher dieser drei äquivalenten Terme ist der einfachste?
x · (x · (x − 2) − 5) + 6
x3 − 2 · x2 − 5 · x + 6
(x − 1) · (x + 2) · (x − 3)
Die Anwort hängt von den Anforderungen ab.
Der zweite Term ist ökonomisch.
Der dritte dient zur Nullstellenbestimmung.
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
4 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Was heißt schon einfach?
Äquivalente Umformungen
Derive bringt einen Ausdruck beim Vereinfachen in eine
hinreichend einfache Form“.
”
Derive-Hilfe:
Ein Ausdruck ist in hinreichend einfacher Form, wenn im Ausdruck
keine überflüssigen Variablen, Wurzeln und Funktionen mehr
vorkommen und der Polynomgrad nicht mehr weiter reduzierbar ist.
Ungenügend vereinfachte Ausdrücke können zu Fehleinschätzungen
führen. So kann ein Ausdruck quadratisch in einer Variablen
erscheinen, in Wirklichkeit aber nur linear in dieser Variablen sein.
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
5 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Was heißt schon einfach?
Äquivalente Umformungen
Vereinfachen
Derive vereinfacht mathematische Ausdrücke algebraisch. Der
Befehl:
fässt numerische Teilausdrücke, Faktoren und Summanden
zusammen. 2y 3 = 6y , 3x + 7 + x = 4x + 7
wendet mathematische Gesetze wie Potenzgesetze oder
trigonometrische Beziehungen an.
reduziert den Grad von Polynomen. (x + 1)2 − x 2 = 2x + 1
Vereinfachen - Aufgaben
am an und sin(x)2 + cos(x)2
Pn
3
k=1 k
Sei i die imaginäre Einheit. Berechne: i i
(x + 1)2 − x 2 und (x + 1)2
Geht Derive hier didaktisch klug vor?
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
6 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Was heißt schon einfach?
Äquivalente Umformungen
Ausmultiplizieren
Der Befehl:
mulitipliziert Polynome nach vorher bestimmten Variablen aus.
bildet von rationalen Ausdrücken die Partialbruchzerlegung.
kann nach bestimmten Zahlbereichen ausmultiplizieren, soweit
dies möglich ist.
Ausmultiplizieren - Aufgaben
(a + b)2
(a + b)(a − b)
(x + 2y + 1)3
Den Term nach x, y , und x, y ausmultiplizieren.
1
4
· b 2 · (7ab −
1
2
· a2 ) −
3
4
· b · (ab · (b − 56 a) +
1
10
· ab 2 ) −
1
40
· ab 2 · (20a + 37b)
Tipp: Lieber zuviele Klammern, als zuwenig.
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
7 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Was heißt schon einfach?
Äquivalente Umformungen
Faktorisieren
Der Befehl sucht Faktoren, die ausmultipliziert den ursprünglichen
Ausdruck ergeben. Der Befehl:
kann Ausdrücke bezüglich einiger oder aller Variablen zerlegt
werden.
Faktorisieren - Aufgaben
x2 − x − 1
50! (Tipp: Primzahlenzerlegung)
6
22 + 1
7
22 + 1 (Tipp: 34 min bei 3,2 Ghz, bitte hier nicht
ausprobieren)
Hauptnenner bilden
28.10.2008
Derive
Termumformungen
1
a+1
+
1
a
Daniel Thieme
8 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Was heißt schon einfach?
Äquivalente Umformungen
Substitution
Substitution - Aufgaben
Sei x, y ∈ R+ .
√ √
√
Vereinfache x y − xy .
Setze dann x = −1 und y = −1 ein. Zeigt Derive etwas
falsches an?
Pn
m
k=1 k
Setze m = 0, 1, 2 . . . ein und vereinfache. Versuche auch reelle
und negative Zahlen einzusetzen.
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
9 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Wie genau ist eine Zahl auf dem PC?
Substraktionskatastrophe
Zum einen ist die Darstellung einer Zahl durch den Speicher und
die Rechenzeit prinzipiell beschränkt. Zum anderen werden bei
Approximationen auch alle Zwischenschritte näherungsweise
berechnet.
Dabei kann sich ein relativ kleiner Fehler zu einer beträchtlichen
Größenordnung fortpflanzen.
Genauigkeit - Aufgaben
√
√ √
√
x x( x + 1 + x − 1 − 2 x). Setze x = 1000000.
Vereinfache den Ausdruck einmal mit 5 und einmal mit 13
Nachkommastellen. Welche Schlussfolgerungen kann man
daraus ziehen?
Dabei soll aber nicht der Eindruck entstehen, dass man jede
Approximation durch ausreichende Stellenzahl beliebig gut
durchführen kann. Man muss unbedingt die Güte von
Näherungsberechnungen beachten. Siehe Kondition von
Algorithmen.
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
10 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Wie genau ist eine Zahl auf dem PC?
Substraktionskatastrophe
Der PC approximiert eine reelle Zahl als Gleitkommazahl.
−03
+2, 7034 · 10
| {z } | {z }
Mantisse
Exponent
35
1
= +5, 0000 · 10−01 und
= +4, 9296 · 10−01
2
71
1 35
−
= +0, 0704 · 10−01 = +7, 0400 · 10−03
2 71
Die roten Stellen erscheinen durch Normalisierung und erhalten
keine Information. Derive liefert hier:
1 35
−
= 0, 07042253 = +7, 0423 · 10−03
2 71
Diese Zahl stellt die bessere Approximation dar.
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
11 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Wie genau ist eine Zahl auf dem PC?
Substraktionskatastrophe
Die letzten Ziffern wurden durch die begrenzte Stellenzahl der
Mantisse und durch die etwa gleich großen Minuend und
Subtrahend ausgelöscht.
Substraktionskatastrophe
Folgerung:
Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen ist eine Differenz von etwa
gleich großen Zahlen zu vermeiden.
Substraktionskatastrophe - Aufgaben
p
√
Wandel lims7→0 2 − 4 − s 2 so um, dass keine gefährliche
Substraktion mehr vorkommt.
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
12 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Vor- und Nachteile beim Einsatz von CAS / Derive
verschiedene Anwendungsaufgaben
Vorteile
Entlastung der Schüler von langwierigen algebraischen Rechnungen.
Man kann sich auf die Ideen und nicht auf die formale Umsetzung
konzentrieren. → experimentelle Mathematik
Sofern zeitnah berechenbar ist der Umgang mit großen Zahlen /
Formeln sehr einfach möglich.
Alle schulischen Fragestellungen sind implementiert.
Nachteile
Gefahr der ungenügenden Sicherung von math. Grundfertigkeiten
Man beweist“ Sätze die widerlegt wurden.
”
Bei unerwarteten Ergebnissen muss man ohnehin von Hand
nachrechnen. (Kann aber auch ein Vorteil sein)
Mathematisch fragwürdiger Umgang mit gut konditionierten
Formeln. (Meiner Meinung nach eher zu vernachlässigen)
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
13 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Vor- und Nachteile beim Einsatz von CAS / Derive
verschiedene Anwendungsaufgaben
Arbeiten mit Teilausdrücken
Das Verständis von zusammengesetzten Ausdrücken ist ein
elementarer Bestandteil der Mathematik. Derive kann hier in
besonderer und wertvoller Weise dazu beitragen. Per mehrmaligem
Maus-Klicken auf die Teilausdrücke einer Gleichung kann man die
Terme in Derive markieren und gesondert beeinflussen. Dabei wird
die hierarchische Struktur einer Gleichung (und damit die
vorzunehmenden Äquivalenzumformungen) besonders sichtbar.
A=B⇔
x 4 3x 3 5x 2
7x
1
+
+
=
−
2
4
4
4
2
x 4 3x 3 5x 2
+
+
2
4
4
4
F
x
C=
=
G
2
A=C +D +E =
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
14 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Vor- und Nachteile beim Einsatz von CAS / Derive
verschiedene Anwendungsaufgaben
Beweis des großen Fermatschen Satzes
178212 + 184112 = x 12
Welche erlaubten Zahlen für x ergeben sich laut dem großen
Satz von Fermat?
√
Berechne näherungsweise 12 178212 + 184112 .
Was sagt das Ergebnis über den großen Satz von Fermat aus?
Herleitung der Ellipsengleichung
Die Ellipse wird als die Ortslinie aller derjenigen Punkte
erklärt, welche von zwei vorgegebenen Punkten eine feste
Abstandsumme besitzen.
Sei F = (−e, 0), E = (e, 0) und P = (x, y ).
Leite aus |P − F | + |P − E | = 2a die Ellipsengleichung her.
√
Tipp: Zum Schluss setze e = a2 − b 2 .
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
15 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Vor- und Nachteile beim Einsatz von CAS / Derive
verschiedene Anwendungsaufgaben
weitere Aufgaben
Löse ln x = x − 2.
Sei z = x + iy und w = u + iv .
Bereche z1 , zw , wz , zz, z+z
2 und
limn7→∞
2n+1
3n−2
und
z−z
2i .
P5
knk
limn7→∞ P3 k=0n2k−1
k=1
−x 2
sin x
** limx7→0 e√1−x−1+x
2 +ax 2 −1
Das Ergebnis von Derive stimmt nicht für alle a. Welche sind
dies und wie könnte man dort den Grenzwert berechnen?
p
√
** Warum erscheint trotz Umformung von lims7→0 2 − 4 − s 2
bei Derive eine Substraktionskatastrophe. Wie könnte man
dem entgegenwirken?
Diskussion: Wie viel Termumformung braucht der Mensch?
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
16 / 17
Symbolisches Rechnen
Numerisches Rechnen
Anwendungsgebiete für CAS / Derive
Vor- und Nachteile beim Einsatz von CAS / Derive
verschiedene Anwendungsaufgaben
Quellen
KUTZLER, B.: Mathematik am PC - Einführung in Derive
KOEPF, W.: Derive für den Mathematikunterricht
KOEPF, W. et al.: Mathematik mit Derive
www.fh-lueneburg.de/mathe-lehramt/mathe-lehramt.
htm
www.ikg.rt.bw.schule.de/leucas/cas.htm
www.hsg-kl.de/faecher/inf/algorithmus/numerik/
index.php
28.10.2008
Derive
Termumformungen
Daniel Thieme
17 / 17