W07 - WWW-Docs for B

Einführung
in das Physikalische Praktikum
7. überarbeitete Auflage
Dipl.-Phys. Norbert Philipp
Dipl.-Ing. (FH) Ingo Berger
Dr. rer. nat. Bodo Wolf
B-TU
Brandenburgische
Technische Universität
Cottbus - Senftenberg
Standort: Senftenberg
Großenhainer Str. 57
01968 Senftenberg
7. überarbeitete Auflage
2014
Inhaltsverzeichnis
Physikalisches Praktikum
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung ………………………………………………………………………………………………………………………
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2. Ablauf des Physikalischen Praktikums ………………………………………………………………………….
2.1 Allgemeine Hinweise …………………………………………………………………………………………….
2.2 Versuchsvorbereitung ………………………………………………………………………………………….
2.3 Versuchsdurchführung ………………………………………………………………………………………….
2.4 Versuchsauswertung ……………………………………………………………………………………………..
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3. Ausgewählte Messverfahren …………..……………………………………………………………………………
3.1 Längenmessung …..……………………………………………………………………………………………….
3.1.1 Messschieber ……………………………………………………………………………………………….
3.1.2 Bügelmessschraube ……………………………………………………………………………………..
3.2 Massenbestimmung durch Wägung ….………………………………………………………………….
3.2.1 Wägeprinzipien …………………………………………………………………………………….……..
3.2.2 Messtechnische Begriffe und Eigenschaften von Waagen …………………….……..
3.3 Kalorimetrische Messungen ………………………………………………………………………………….
3.4 Elektrische Messgeräte …………………………………………………………………………………………
3.4.1 Analoge Zeigerinstrumente ………………………………………………………………………….
3.4.2 Digitalmultimeter …………………………………………………………………………………………
3.5 Elektronenstrahloszillograph ………………………………………………………………………………..
3.5.1 Funktionelle Zusammenhänge ……………………………………………………………………..
3.5.2 Zweikanaloszillograph ………………………………………………………………………………….
3.5.3 Triggerung ……………………………………………………………………………………………………
3.5.4 Frequenz- und Spannungsmessung mit dem Oszillographen ………………………..
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4. Auswertung von Beobachtungen …………..……………………………………………………………………..
4.1 Abschätzung der Genauigkeit von Messungen ………………………………………………………
4.1.1 Maximale Messunsicherheit bei Einzelmessung ……………………………………….….
4.1.2 Maximale Messunsicherheit bei indirekter Messung …………………………………….
4.1.3 Messunsicherheit einer Messwertfolge ………………………………………………………..
4.1.4 Messunsicherheit einer Folge bei indirekter Messung …………………………………..
4.1.5 Vertrauensbereiche ……………………………………………………………………………………….
4.2 Angabe der Messergebnisse …………………………………………………………………………………..
4.3 Ausgleich indirekter Messung (lineare Regression) …………………………………………………
4.4 Das gewichtete Mittel …………………………………………………………………………………………….
4.5 Zählstatistik …………………………………………………………………………………………………………….
4.5.1 Zählstatistik seltener Ereignisse ……………………………………………………………………..
4.5.2 Die Normalverteilung …………………………………………………………………………………….
4.5.3 Betrachtungen zur Messunsicherheit …………………………………………………………….
4.6 Graphische Darstellung ………………………………………………………………………………………….
4.6.1 Lineare Zusammenhänge der Form y = a + b·x ………………………………………………
4.6.2 Nichtlineare Zusammenhängen der Form y = a ⋅ xn ……………………………………….
4.6.3 Nichtlineare Zusammenhänge der Form y = a ⋅ ek·x ………………………………………..
4.6.4 Histogramm …………………………………………………………………………………………………..
4.6.5 Wahrscheinlichkeitsdiagramm ……………………………………………………………………….
4.6.6 Darstellung von Winkelabhängigkeiten ………………………………………………………….
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Inhaltsverzeichnis
Physikalisches Praktikum
5. Verhalten im Labor …………………………………………………………………………………………………………
5.1 Allgemeines Verhalten ……………………………………………………………………………………………
5.2 Gesundheits- und Arbeitsschutz, Brandschutz ………………………………………………………..
5.2.1 Feuer- und explosionsgefährliche Stoffe ………………………………………………………..
5.2.2 Gesundheitsgefährdende Stoffe …………………………………………………………………….
5.2.3 Druck- und Vakuumgefäße …………………………………………………………………………….
5.2.4 Kältemischung und verflüssigte Gase ……………………………………………………………..
5.2.5 Elektrische Anlagen ………………………………………………………………………………………..
5.2.6 Ionisierende Strahlung ……………………………………………………………………………………
5.2.7 Laser ………………………………………………………………………………………………………………
5.2.8 Sonstige Bestimmungen …………………………………………………………………………………
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6. Garantie- und Eichfehlergrenzen von Messgeräten nach Herstellerangaben ………………… 54
7. Musterprotokoll ………………………………………………………………………………………………………………
Deckblatt ……………………………………………………………………………………………………………………….
Versuchsanleitung ………………………………………………………………………………………………………….
Messwertprotokoll …………………………………………………………………………………………………………
Auswertung und Diagramme ………………………………………………………………………………………….
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8. Größen und Einheiten …………………………………………………………………………………………………….. 73
9. Literaturhinweise ………..………………………………………………………………………………………………….. 79
Beipiele:
3.1 Bestimmung der Wärmekapazität eines Kalorimeters ………………………………………….. 12
3.2 Ableseberechnung aus Bild 3.14 …………………………………………………………………………… 18
4.1 Längenmessung ………………………………………………………………………………………………………
4.2 Messung eines elektrischen Widerstandes ……………………………………………………………..
4.3 Messung der Brennweite einer dünnen Linse …………………………………………………………
4.4 Mittlere Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendels ……………………………..
4.5 Brennweite einer dünnen Linse ………………………………………………………………………………
4.6 Bestimmung des Direktionsmomentes ……………………………………………………………………
4.7 zum gewichteten Mittel ………………………………………………………………………………………….
4.8 zur doppeltlogarithmischen Darstellung …………………………………………………………………
4.9 zur halblogarithmischen Darstellung ………………………………………………………………………
4.10 Nutzung von Wahrscheinlichkeitspapier ……………………………………………………………...
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Einleitung und Praktikumsablauf
Physikalisches Praktikum
1. Einleitung
Sowohl im Praktikum als auch im Forschungslabor muss der Ablauf eines naturwissenschaftlichen
Experimentes stets in Form eines Versuchsprotokolls niedergeschrieben werden. Das ermöglicht einem selbst oder einem fachkundigen Leser auch nach Beendigung des Experimentes, den Versuchsverlauf zu rekonstruieren und zu überprüfen, sowie eventuelle Fehler zu finden.
Durch ein einheitliches, sauberes und nachvollziehbares Versuchsprotokoll ist es möglich, auf die
Ergebnisse des Experimentes aufzubauen oder diese als Basis für weitere Versuche zu nutzen. Dieses
Vorgehen stellt eine wesentliche Grundlage sowohl bei wissenschaftlichen als auch bei ingenieurtechnischen Fragestellungen dar.
Das bewusst anwendungsorientiert aufgebaute Physikalische Praktikum vertieft und ergänzt die in
den Lehrveranstaltungen und im Selbststudium erworbenen Kenntnisse im Lehrgebiet Physik. Die
Versuchsinhalte sind grundlegende Beispiele aus allen Teilgebieten der Physik. Neben der nachhaltigen Darstellung des Wechselverhältnisses zwischen Naturwissenschaft und Technik werden im Physikalischen Praktikum Fertigkeiten erworben, wie z.B.:
• teamorientierte Vorbereitung (Planung, Organisation, Aufbau), Durchführung und Auswertung
der physikalischen Experimente,
• Messen (mit analogen und digitalen Messverfahren) einschließlich der Handhabung von Messgeräten und Gebrauch physikalisch-technischer Einheiten,
• Anwenden graphischer und mathematischer Verfahren beim Lösen physikalisch-technischer
Aufgaben und der Auswertung von Messungen sowie
• Arbeit mit wissenschaftlicher Literatur (auch Handbücher, Tabellen u. ä.).
Im Praktikum werden weitgehend labortypische Geräte mit zunehmendem Automatisierungsgrad
eingesetzt. Dadurch werden die Studenten in die Lage versetzt, sich mit ihren Anwendungen vertraut
zu machen und in der begrenzten Praktikumszeit eine hinreichend große Anzahl experimenteller Ergebnisse zu gewinnen.
2. Ablauf des Praktikums
2.1 Allgemeine Hinweise
Die Versuche werden in Gruppen zu je zwei Studenten durchgeführt. Die Versuchsfolge bzw. die
Termine der Versuchsdurchführung werden für jede Versuchsgruppe durch Aushang oder durch das
Laborpersonal bekannt gegeben.
Es werden sechs Versuche pro Semester durchgeführt. Alle geforderten Versuche müssen
vor Ablauf der Prüfungszeit abgeschlossen sein. Ist dies nicht der Fall, können in den entsprechenden Folgesemestern Ersatzversuche nach Absprache durchgeführt werden.
Jeder Student erhält eine Testatkarte. Diese dient zum Nachweis des ordnungsgemäß durchgeführten Physikalischen Praktikums und wird dem Studenten nach erfolgreichem Abschluss des gesamten
Versuchsprogramms ausgehändigt.
Jede Versuchsgruppe bekommt zu Beginn des Praktikums einen Protokollhefter vom Laborpersonal
zugewiesen. In diesem Hefter werden neben den Testatkarten auch die abgegebenen vollständigen
Protokolle abgelegt. Dieser Hefter bleibt aus Gründen der Kontrolle und der Durchsicht bis zur Beendigung des gesamten Versuchsprogramms im Physik-Labor und wird nach erfolgreichem Abschluss
des gesamten Versuchsprogramms der Versuchsgruppe ausgehändigt.
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Einleitung und Praktikumsablauf
Physikalisches Praktikum
2.2 Versuchsvorbereitung
Die Studenten haben die Pflicht, die erste Versuchsanleitung des Semesters vom Laborpersonal des
Physikalischen Praktikums (Laborraum 4.244) mindestens eine Woche vor Versuchsbeginn abzuholen. Zu jedem Versuch wird eine Versuchsanleitung an jede Versuchsgruppe ausgegeben (Vorbereitungszeit 2 Wochen).
Diese Versuchsanleitung enthält neben der Aufgabenstellung, die theoretischen Grundlagen in Kurzform, die Auflistung der benötigten Versuchsgeräte, die Fragen zur Versuchsvorbetrachtung und
Hinweise zur Versuchsdurchführung sowie Aufgaben bzw. Hilfestellungen zur Versuchsauswertung.
Die Versuchsanleitung ist vor jedem Versuch durchzuarbeiten, die Fragen der Vorbetrachtung zu beantworten und ein Ablaufplan bzw. ein Entwurf für ein Messwertprotokoll anzufertigen. Literaturhinweise für das notwendige Selbststudium finden Sie im Abschnitt 7 („Einführung in das Physikalischen Praktikum“).
Zum Praktikumstag sind Hilfsmittel für das Zeichnen und Rechnen sowie für den Versuch benötigte
Zeichen- und Funktionspapiere mitzubringen. Das gilt auch für die zu beantworteten Fragen der Vorbetrachtung sowie der vorbereitete Ablaufplan bzw. der Entwurf des Messwertprotokolls.
Sind bei der Vorbereitung auf den Versuch einige Probleme unklar geblieben, so haben die Versuchsgruppen die Möglichkeit, sich vor Beginn des Praktikums den betreffenden Versuchsstand anzuschauen sowie die Probleme mit den Betreuern des Physik-Labors zu klären.
2.3 Versuchsdurchführung
Vor der Durchführung des Versuches haben sich die Studenten von der Vollständigkeit der Arbeitsund Hilfsmittel zu überzeugen. Dabei ist zu kontrollieren, ob defekte Arbeits- oder Hilfsmittel am Versuchsstand vorhanden sind. Für selbst verschuldete oder nicht gemeldete Schäden haftet der Student. Sind eigenständig mechanische oder elektrische Versuchsaufbauten notwendig, ist vor deren
Inbetriebnahme der Betreuer zu informieren.
Die Durchführung des Laborversuches erfolgt entsprechend der Versuchsanleitung!
Durch den Betreuer kann bei Versuchsbeginn eine Kontrolle der Vorbereitung erfolgen. Dazu werden
über die geforderte Versuchsvorbetrachtung, den Stand des Selbststudiums sowie die Ausführung
des Messwertprotokolls Kolloquien (kurze Prüfungsgespräche) am Versuchstag durchgeführt.
Neue Termine werden nach Absprache mit dem Laborpersonal zeitnah aus folgenden Gründen vergeben:
• Krankheit eines Studenten,
• mehr als 15 Minuten Verspätung,
• Überschreitung der Versuchsdauer um 15 Minuten,
• mangelhafte Versuchsvorbereitung,
• Versuchsabbruch durch einen unverschuldeten technischen Defekt bzw.
• Überschreitung des Abgabetermins sowie
• nach 3 Korrekturversuchen des Protokolls.
Der Versuchsplatz ist so zu verlassen, wie er vorgefunden wurde!
Bei unentschuldigtem Fehlen bzw. bei Betrugsversuchen werden Termine vom Laborpersonal nach
dem regulären Praktikum vergeben. Im Wiederholungsfall können die Studenten vom Physikalischen
Praktikum ausgeschlossen werden. Eine Wiederholung des Praktikums ist dann erst im übernächsten
Semester möglich (nach ca. 1 Jahr).
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Einleitung und Praktikumsablauf
Physikalisches Praktikum
2.4 Versuchsauswertung
Jede Versuchgruppe gibt nach einer Woche eine dokumentarische Zusammenstellung des Versuchs
in handschriftlicher, sauberer und übersichtlicher Form mit einem Heftstreifen (Aktendulli) zusammengeheftet ab. Das Protokoll soll alles enthalten, was notwendig ist, um den Lösungsweg der Aufgaben vollständig rekonstruieren oder wiederholen zu können und um die Messergebnisse weiter zu
verwerten (Musterprotokoll, siehe S.57).
Das Protokoll ist übersichtlich zu gliedern und soll folgende Bestandteile enthalten.
a) Deckblatt
Das Deckblatt finden Sie auf der Homepage des Physiklabors. Es ist vollständig auszufüllen.
b) Versuchsanleitung
Die Versuchsanleitung ist nach dem Deckblatt einzuheften und dient als Aufgabenstellung, Versuchsaufbau und Quelle für die benötigten Formeln.
c) Messwertprotokoll
Das beglaubigte Messwertprotokoll ist hinter die Versuchsanleitung zu heften und dient als Bezugsquelle bzw. als Datenbasis für die Ausarbeitung des Protokolls.
Das Messwertprotokoll beinhaltet die Planung des Versuchsablaufs und enthält neben der Festlegung der notwendigen Messungen auch die Untergliederung in einzelne Teilaufgaben und deren
Darstellungsmöglichkeit.
Das Messwertprotokoll ist zum Versuchsbeginn vorzulegen. In ihm werden die während des Experiments primär gemessenen physikalischen Größen (mit Einheiten) einschließlich der ermittelten oder eingeschätzten Messabweichungen eingetragen.
Die Versuchsdurchführung wird auf dem Messwertprotokoll vom Laborpersonal bestätigt.
d) Aufgaben und Berechnungen
Die Aufgaben und Berechnungen sind auf einem Extrablatt (kariert) klar strukturiert, sorfältig und
nachvollziehbar darzulegen (siehe S.63).
Hierbei wird auf die äußere Form großen Wert gelegt („Gegeben“, „Gesucht“, ggf. Skizzen, „Lösungen“). Fehlerrechnungen müssen auch als solche erkennbar sein. Die maximale Messunsicherheit, resultierend aus systematischen und zufälligen Abweichungen der Messungen bzw. der
Teilergebnisse, gehört zur Angabe jedes Messergebnisses. Ergebnisse sind dabei zweimal zu unterstreichen.
e) Graphische Darstellungen
Graphische Darstellungen sind per Hand auf Millimeter- oder andere Funktionspapiere anzufertigen und nur auf einem Blatt darzustellen. Hierbei ist auf die richtigen Skalenbeschriftungen, Skalierungen, Funktionsbeschreibungen, Verwendung von Einheiten, Regressionsgeraden und Bestimmungen der Anstiege sowie deren Messunsicherheit zu achten.
Je nach Aufgabenstellung kann die Berechnung der Endergebnisse unter Verwendung der graphischen Darstellungen erfolgen.
f) Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse
Die in der Aufgabenstellung geforderten Resultate sind unter Beachtung der berechneten maximalen Messunsicherheiten darzustellen und eine kritische Diskussion der Ergebnisse durchzuführen. Dabei sind Übereinstimmungen mit den theoretisch vorhergesagten Zusammenhängen, Vergleiche mit bekannten Material- oder Naturkonstanten und mögliche Ursachen für Abweichungen davon bzw. ein Vergleich verschiedener Messverfahren vorzunehmen sowie den Anteil der
Messunsicherheiten von Teilergebnissen an der ermittelten Messunsicherheit des Endresultats zu
bestimmen.
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Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
3. Ausgewählte Messverfahren
3.1 Längenmessung
3.1.1 Messschieber
Mit Hilfe eines Messschiebers (Bild 3.1) lassen sich Außen-, Innen- sowie Tiefenmaße mit einer
Genauigkeit von mindestens ± 0,1mm auf einfache Art und Weise bestimmen (siehe S.54).
Bild 3.1: Prinzipskizze eines Messschiebers
Der Messschieber besteht aus einem feststehenden und einem beweglichen Teil. Auf dem feststehenden Teil sind einer der zwei Messschenkel und die Millimeterskala angebracht.
Bild 3.2: Messwertablesung
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Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
Auf dem beweglichen Teil befinden sich der andere Messschenkel mit dem Nonius, das Tiefenmaß
und eine Feststellschraube zur Fixierung des Schenkels.
Beim Messen mit einem Nonius entsprechen 10 Skalenteile des Nonius 9 (oder auch 19, 29, 39, ...)
Skalenteile des Maßstabes. Dabei gibt der Nullstrich des Nonius die ganzen Millimeter an.
Derjenige Teilstrich des Nonius, der mit einem beliebigen Teilstrich des Maßstabs „fluchtet“, gibt die
Zehntel-Millimeter an.
Die Ablesung gemäß Bild 3.2 lautet:
a) Messwert = 12,75mm - Unterteilung des Nonius 20 Teile entspricht ±0,05mm
b)Messwert = 11,4 mm - Unterteilung des Nonius 10 Teile entspricht ± 0,1mm
3.1.2 Bügelmessschraube
Mit der Bügelmessschraube (Bild 3.3) lassen sich äußere Abmessungen von Gegenständen (meist bis
25mm) mit einer Genauigkeit von mindestens ±0,01mm messen (siehe S.54). Man benutzt die Steigung eines Gewindes zur Ermittlung von Längen.
Die Schraubspindel S besitzt eine Ganghöhe von
0,5mm, d.h. bei einer vollen Umdrehung bewegt
sie sich um 0,5mm weiter. Die Messtrommel T,
auf deren Umfang 50Skalenteile angebracht sind,
ist mit S fest verbunden und bewegt sich beim
Drehen über eine Skalenhülse mit Millimeterteilung (ganze und halbe Millimeter). Wird also die
Trommel um 1 Skalenteil weitergedreht, so entspricht dies einem Vorschub der Spindel um
0,01mm.
Bild 3.3: Prinzipskizze einer Bügelmessschraube
Das zu messende Objekt wird zwischen die Messflächen A gebracht und die Trommel nach rechts
gedreht, bis die Spindel den Gegenstand berührt. Da man mit einer Schraublehre einen hohen Messdruck erzeugen kann (Messfehler könnte sonst größer als 0,01mm werden), ist die Messtrommel mit
einer „Ratsche“ R versehen, die sich leer weiterdreht, wenn ein gewisser Messdruck überschritten
wird. Beim Messvorgang muss also grundsätzlich an der Ratsche gedreht werden, während das Zurückdrehen der Spindel an der Trommel erfolgt.
Bevor eine Messung durchgeführt wird, muss der Nullpunkt überprüft werden. Steht bei Berührung
der beiden Messflächen A die Trommel nicht auf Null, so ist die Differenz der Ablesungen mit und
ohne Objekt zu bilden.
Das Bild 3.4 zeigt einige Beispiele für die Ablesung der Bügelmessschraube.
Bild 3.4: Messwertablesung
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Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
3.2 Massenbestimmung durch Wägung
3.2.1 Wägeprinzipien
Dem Wägen liegt das Gesetz der Massenanziehung zugrunde. Auch im Schwerefeld der Erde erfährt
jede Masse eine Anziehungskraft, die der Masse proportional ist. Diese Kraft kann dabei mit einer
bekannten Kraft verglichen werden, die auf verschiedene Weise erzeugt werden kann.
• Die Vergleichskraft ist das Gewicht einer bekannten Masse. Bei dieser klassischen Methode
(Balkenwaage) werden die entstehenden Momente verglichen.
• Die Vergleichskraft entsteht durch Streckung einer weichen Feder (Federwaage).
• Die Vergleichskraft entsteht durch Deformierung eines steifen Federkörpers. Diese Deformierung wird z.B. mit Dehnungsmessstreifen oder piezoelektrisch gemessen (Elektromechanische
Waagen).
• Die Vergleichskraft wird pneumatisch oder hydraulisch erzeugt. Dabei ist der Druck ein Maß für
das zu messende Gewicht.
• Die Vergleichskraft wird elektrodynamisch durch eine Magnetspule erzeugt, die sich in einem
permanent-magnetischen Feld befindet. Dabei ist der die Spule durchfließende Strom ein Maß
für das zu messende Gewicht.
• Die Kraft entsteht durch Eintauchen eines Körpers in eine Flüssigkeit. Die Tauchtiefe und also
die damit variierende Auftriebskraft ist ein Maß für das zu messende Gewicht.
Nur im ersten und letzten Fall werden zwei Gewichte miteinander verglichen. Bei Wägeeinrichtungen
nach diesem Prinzip ist die Kalibrierung unabhängig von der Fallbeschleunigung, also standortunabhängig. Bei den anderen Wägeprinzipien ist grundsätzlich der Unterschied der Fallbeschleunigung an
verschiedenen Orten zu berücksichtigen.
3.2.2 Messtechnische Begriffe und Eigenschaften von Waagen
a) Wägebereich
Der Wägebereich (Messbereich) ist der Teil des Anzeigebereichs, für den die Abweichungen einer
Waage eingehalten werden müssen und innerhalb deren die Waage im eichpflichtigen Verkehr benutzt werden darf. Der Wägebereich wird nach oben durch die Höchstlast begrenzt (max.). Die untere Grenze ist die Mindestlast (min.). Sie ergibt sich aus der Forderung, dass die relative Abweichung
einer Wägung einen bestimmten Wert nicht überschreiten darf.
b) Empfindlichkeit
Bei nicht-selbsteinspielenden Waagen und bei Waagen mit Analogskala ist die Empfindlichkeit E der
Quotient aus der Verschiebung (Ausschlag), der Ablesemarke ∆L und der sie verursachenden Belastungsänderung ∆m.
E = ∆L / ∆m
gemessen in Längeneinheiten / Masseeinheiten
Bei Waagen mit Ziffernanzeige ist die Empfindlichkeit E der Quotient aus der Anzahl der Ziffernschritte z zu der sie verursachenden Belastungsänderung ∆m.
E = z / ∆m
gemessen in Anzahl der Ziffernschritte / Masseeinheiten
c) Eichwert
Der Eichwert e wird der Berechnung der Eichfehlergrenzen (siehe S.55) zugrunde gelegt. Er kann
gleich dem Skalenwert oder dem digitalen Ziffernschritt sein.
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Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
3.3 Kalorimetrische Messungen
Wärmemengen werden im Kalorimeter bestimmt. Das sind nach außen wärmeisolierte und mit einer
gewissen Menge einer Flüssigkeit 1 (meist Wasser) bekannter spezifischer Wärmekapazität c gefüllte
Gefäße. Die zu bestimmende Wärmemenge eines beliebig anderen Stoffes 2 ergibt sich aus einer
Energiebilanz der im Inneren des Kalorimeters ausgetauschten Anteile. Man gibt den Körper aus dem
Stoff 2 mit einer Temperatur ϑ2 in das mit Wasser gefüllte Kalorimeter mit der Temperatur ϑ1. Was
der Körper aus dem Stoff 2 an Wärme ∆Q bei ϑ2 > ϑ1 abgibt (bei ϑ2 < ϑ1 aufnimmt), muss das Wasser
aufnehmen (abgeben). Beim Aufstellen der Wärmebilanz wird die Beziehung benutzt, dass die ausgetauschte Wärmemenge ∆Q eine Änderung der Temperatur um ∆ϑ des betreffenden Stoffes (Masse
m, spez. Wärmekapazität c) bewirkt:
ΔQ = c ⋅ m ⋅ ∆ϑ
[c] = J·kg-1·K-1 (3.1)
Um das Kalorimeter näherungsweise als abgeschlossenes System behandeln zu können, wird
durch die Konstruktion ein Energieaustausch mit
der Umgebung weitgehend vermieden.
Das Mehrfachkalorimeter (Bild 3.5a) besteht aus
mehreren ineinandergesetzten Metallgefäßen,
die innen zur Vermeidung von Strahlungsverlusten verspiegelt sind. Verluste infolge Wärmeleitung und Konvektion werden durch die isolierten
Distanzstücke sehr klein gehalten. Dewargefäße
Bild 3.5: Kalorimeteranordnungen
(Bild 3.5b) sind gläserne Vakuumgefäße, deren
Innenwandungen ebenfalls verspiegelt sind. Sie verhalten sich hinsichtlich der Verluste günstiger als
die Mehrfachkalorimeter. In die jeweilige Energiebilanz geht auch die mit dem Kalorimetergefäß und
dem apparativen Zubehör (z.B. Thermometer, Rührer) ausgetauschte Wärmemenge ein. Außerdem
kann und muss der nicht vollständig unterdrückbare Energieaustausch des Kalorimetersystems mit
der weiteren Umgebung berücksichtigt werden.
Die Wärmekapazität K einer Kalorimeteranordnung ist die im Temperaturintervall ∆ϑ ausgetauschte
Wärmemenge ∆Q geteilt durch ∆ϑ. Nach (3.1) ist daher
K = m⋅c =
∆Q
∆ϑ
[K] = J·K-1
(3.2)
Da die Anordnung aus verschiedenen Teilen besteht, ist eine Berechnung der Wärmekapazität
schwierig und die experimentelle Bestimmung vorzuziehen. Das Kalorimeter wird mit einer bestimmten Menge warmen Wassers (Masse mw, Temperatur ϑw) gefüllt und hierzu eine abgemessene Menge
kalten Wassers (Masse mk, Temperatur ϑk) gegossen. Nach erfolgtem Wärmeaustausch stellt sich
eine Mischungstemperatur ϑm ein. Sieht man zunächst von einer Beteiligung der Umgebung an dem
Vorgang ab, so ergibt sich folgende Energiebilanz:
Das kalte Wasser nimmt die Wärmemenge cw · mk(ϑm - ϑk) auf, während das warme Wasser die
Wärmemenge cw · mw(ϑw - ϑm) und die Kalorimeteranordnung die Wärmemenge K(ϑw - ϑm ) abgeben; cw ist die spezifische Wärmekapazität des Wassers, deren geringfügige Temperaturabhängigkeit
hier vernachlässigt wurde. Es gilt also
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Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
(cw ⋅ mw + K ) ⋅ (ϑw − ϑm ) = cw ⋅ mk (ϑm − ϑk )
(3.3)
und die Wärmekapazität der Kalorimeteranordnung wird

 ϑ − ϑk
K = c w  mk m
− m w 

 ϑw − ϑm
(3.4)
Bei den Messungen ist der Wärmeaustausch mit der Umgebung des Kalorimeters trotz aller Vorkehrungen unvermeidlich.
Da der Mischvorgang eine endliche Zeit beansprucht, entspricht die gemessene Mischungstemperatur nicht dem Wert, der sich für den Fall unendlich schnellen Temperaturausgleiches einstellen würde. Er lässt sich jedoch aus einem Temperatur-Zeit-Diagramm (Bild 3.6) durch Extrapolation gewinnen. Dieses Diagramm berücksichtigt auch die Trägheit der Anzeige bei der Temperaturmessung der
verschiedenen Thermometer.
Die Temperatur der Kalorimeterflüssigkeit – in diesem Fall die des warmen Wassers – wird während
einer Vorperiode A-B von etwa 3 – 5min alle 30s abgelesen und notiert.
Die Hauptperiode B-F wird durch das Eingießen
des in diesem Fall kalten Wassers eingeleitet und
umfasst den Mischvorgang, dessen Temperaturverlauf so genau wie möglich bestimmt wird. (Im
beschriebenen Fall möglichst ungefähr aller 5s,
bei länger dauernden Mischungsvorgängen kann
diese Zeit angepasst werden).
Es schließt sich eine Nachperiode F-G von etwa 3
– 5min mit Messungen aller 30s an. Wegen der
Kürze der Vor- und Nachperiode ist der an sich
exponentielle Temperaturverlauf durch die Geraden AB und FG hinreichend genau wiedergegeBild 3.6: Temperatur-Zeit-Diagramm
ben.
Aus diesem Temperaturverlauf lässt sich auf den Temperaturverlauf bei unendlich schnellem Ausgleich schließen, indem eine Senkrechte CE so gezeichnet wird, dass die Flächen BCD und DEF gleich
groß sind.
Als Temperaturen ϑw und ϑm werden diejenigen gewählt, die den Punkten C und E entsprechen.
Beispiel 3.1: Bestimmung der Wärmekapazität eines Kalorimeters
Ausgangsgrößen
gegeben:
cW = 4,182 kJ/kg·K
graphisch ermittelt:
ϑw = (39,1 ± 0,05)°C
ϑm = (31,4 ± 0,05)°C
(u(x) abgeschätzt)
gemessen:
ϑk = (22,9 ± 0,1)°C
mkal = (711,0 ± 0,2)g
(mkal + mw ) = (927,5 ± 0,2)g
(mkal + mw + mk ) = (1146,5± 0,2)g
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Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
Berechnung der Masse des warmen Wassers
mw = (mkal + mw ) − mkal = 927,5g – 711,0g = 216,5g
Abweichung
2 ⋅ u (m) = 2·(0,2g) = 0,4g (abgeschätzt)
⇒
mw = (216,5 ± 0,4)g
Berechnung der Masse des kalten Wassers
mk = (mkal + mw + mk ) − (mkal + mw ) = 1146,5g – 927,5g = 219,0g
Abweichung
2 ⋅ u (m) = 2·(0,2g) = 0,4g (abgeschätzt)
⇒
mk = (219,0 ± 0,4)g
Bestimmungsgleichung eines Kalorimeter
 ϑ − ϑk

− mw 
K = cw  mk m
 ϑw − ϑm

K = 4,182
J 
31,4°C − 22,9°C

− 216,5 g  = 105,6 J/K
 219,0 g ⋅
g⋅K 
39,1°C − 31,4°C

Fehlerberechnung über Min-Max-Methode
Maximum vom K


ϑm ( Max ) − ϑk ( Min )
− mw( Min ) 
K max = cw  mk ( Max )


ϑw( Min ) − ϑm ( Max )


31,45°C − 22,8°C


K max = 4,182 J / g ⋅ K  219,4 g ⋅
− 216,1g  = 140,6 J/K
39,05°C − 31,45°C


Minimum vom K


ϑ
− ϑk ( Max )
K min = cw  mk ( Min ) m ( Min )
− mw ( Max ) 


ϑw( Max ) − ϑm ( Min )


31,35°C − 23°C


K min = 4,182 J / g ⋅ K  218,6 g ⋅
− 216,9 g  = 71,6 J/K
39,15°C − 31,35°C


Bestimmung des absoluten Fehlers von K
K − K min
(140,6 − 71,6)J / K = 34,5 J/K
=
u (K ) = max
2
2
Ergebnis
⇒
K = (105,6 ± 34,5)J/K
⇒
u (K )
= 32,7%
K
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Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
3.4 Elektrische Messgeräte
Im Praktikum werden zur Messung von elektrischen Strömen und Spannungen Zeigerinstrumente
und Digitalmultimeter verwendet.
3.4.1 Analoge Zeigerinstrumente
Auf den Skalenträger des Zeigerinstruments sind
neben dem Skalenteilungen und der Einheit der
gemessenen Größe Zeichen angegeben, die die
Eigenschaften des Messinstruments kennzeichnen:
• Stromart, mit der das Gerät betrieben werden
darf:
– Gleichstrom (DC, direct current)
~ Wechselstrom (AC, alternating current)
• Messwerk, das den Ausschlag erzeugt
• Genauigkeitsklasse, die die systematische Abweichung (Garantiefehler) des Messgerätes angibt (siehe S.56).
Zum Teil ist auf dem Skalenträger oder dem Gehäuse noch die Größe des Innenwiderstandes des Bild 3.7: Analoges Amperemeter
Gerätes oder (bei Strommessern) der Spannungsabfall über dem Messpfad bei Vollausschlag angegeben.
Bei Messgeräten für Gleichstrom sind die Anschlussklemmen mit „+“ und „−“ gekennzeichnet. Beim
Aufbau der Schaltung ist die mit „+“ gekennzeichnete Klemme mit dem Pluspol der Stromquelle bzw.
der Schaltung zu verbinden, die mit „−“ bezeichnete mit dem Minuspol.
Bei Vielfachmessern ist zunächst der unempfindlichste Bereich einzustellen. Erst dann darf unter
ständiger Kontrolle auf Messbereiche höherer Empfindlichkeit umgeschaltet werden.
Beispiel für das Ablesen von Skalen analoger Messgeräte
Bild 3.8: Gleichstrommessbereich
- 14 -
Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
Bild 3.9: Wechselstrommessbereich
Die meisten Spannungsmesser beruhen auf Wirkungen des elektrischen Stromes, sind also nach
Spannungen geeichte Strommesser. Die bei einem bestimmten Strom am Gerät anliegende Spannung ergibt sich durch Multiplikation mit dem Innenwiderstand.
• Voltmeter werden parallel zum interessierenden Schaltungselement geschaltet und haben einen
relativ großen Innenwiderstand im Vergleich zu den übrigen Widerständen des Stromkreises.
• Amperemeter werden in den Weg des Stromes hinein geschaltet (in Reihe) und müssen daher einen relativ geringen Innenwiderstand haben.
3.4.2 Digitalmultimeter
Digitalmultimeter zeigen die an einem Messwiderstand abfallende Spannung digital an. Durch umschaltbare Teiler werden Spannungs- und Strombereiche vorgewählt bzw. Gleichrichter vorgeschaltet. Die Messgenauigkeit wird durch die Spannungsteiler (bzw. Messverstärker) und den AnalogDigital-Konverter begrenzt (siehe S.56). Ansonsten gelten die für den Vielfachmesser gemachten Aussagen. Bei der Messung von Gleichspannung oder Gleichstrom sind mitunter die Eingänge „+“ mit
„high“ und „−“ mit „low“ gekennzeichnet (Bezugspotential).
Werden Stromstärke und Spannung an einem Messobjekt gleichzeitig bestimmt, so tritt durch die
Schaltung stets eine systematische Abweichung auf. Wählt man die Spannung gemäß Bild 3.10, so
wird die Stromstärke, bei der Schaltung nach Bild 3.11 die Spannung zu groß gemessen.
Bild 3.10: spannungsrichtige Schaltung
Bild 3.11: stromrichtige Schaltung
IV
R
=
I R RV
U A RA
=
UR
R
- 15 -
Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
3.5 Elektronenstrahloszillograph
3.5.1 Funktionelle Zusammenhänge
Zur Darstellung und zur Frequenzmessung schnell veränderlicher elektrischer Signale, sowie zur
Spannungsmessung, eignet sich besonders der Elektronenstrahloszillograph. Der wichtigste Bestandteil des Oszillographen ist neben
• dem Y-Verstärker (Vertikalverstärker),
• dem X-Verstärker (Horizontalverstärker),
• dem Zeitablenkgenerator (Sägezahngenerator) und
• dem Synchronisier- und Triggerverstärker
die Elektronenstrahlröhre (auch Kathodenstrahlröhre genannt).
Bild 3.12: schematisch den Querschnitt einer Elektronenstrahlröhre
Der Hauptbestandteil einer Elektronenstrahlröhre ist ein evakuierter Glaskolben. Hier befinden sich
• die Glühkathode K (Emission von Elektronen),
• der Wehnelt-Zylinder W (zur Helligkeitsregelung),
• die Elektronenlinse E (zur Fokussierung des Strahls),
• die Anode A (zur Beschleunigung der Elektronen),
• das Kondensatorplattenpaar C1 (Ablenkkondensator zur Vertikalablenkung des Elektronenstrahls),
• das Kondensatorplattenpaar C2 (zur Horizontalablenkung des Strahls). Die Plattenpaare C1 und
C2 haben häufig eine gemeinsame Erde.
Die Innenseite der Frontscheibe ist als Leuchtschirm ausgebildet.
Liegt an den Plattenpaaren C1 und C2 keine Spannung an, so trifft der von der Kathode ausgehende
Elektronenstrahl unabgelenkt auf die Mitte des Leuchtschirms. Legt man an das Plattenpaar C2 eine
Sägezahnspannung an, so entsteht zwischen den Platten ein elektrisches Feld, dessen Stärke sich
ebenfalls sägezahnförmig ändert, so dass der Elektronenstrahl mit gleichförmiger Geschwindigkeit in
horizontaler Richtung von links nach rechts über den Leuchtschirm „gefahren“ wird. Ist der Strahl am
- 16 -
Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
rechten Bildrand angekommen, so „springt“ er nach links zurück (in einer sehr kurzen Zeitdauer) und
läuft erneut nach rechts usw. Die Geschwindigkeit bzw. Ablenkzeit TA für den Strahl kann in diskreten
Stufen eingestellt werden. Am Einstellknopf ist jedoch nicht TA, sondern TA pro Einteilungseinheit
der Leuchtschirmskala, z.B. 5ms/div oder 5ms/cm, angegeben.
Wird auch an das Plattenpaar C1 (Y-Eingang des Oszillographen) eine zeitabhängige Spannung angelegt, so wird der Strahl gleichzeitig auch in vertikaler Richtung proportional zur Größe des Eingangssignals abgelenkt. Die Empfindlichkeit des Y-Verstärkers kann ebenfalls in Schritten variiert werden
(angegeben in V/div oder V/cm), so dass mit dem Oszillographen auch die Höhe der Spannung des
Eingangssignals gemessen werden kann.
Der Oszillograph kann auch als X-Y-Schreiber betrieben werden. Dazu wird die Horizontalablenkung
ausgeschaltet (es liegt dann keine Sägezahnspannung an dem Plattenpaar C2). Ein zweites Signal
kann nun auf den X-Eingang des Oszillographen gegeben werden. Auf dem Schirm können so funktionale Zusammenhänge Y(X) dargestellt werden.
3.5.2 Zweikanaloszillograph
Ein Zweikanaloszillograph besitzt zwei gleichwertige Y-Verstärker mit zwei Eingangsbuchsen YI und
YII. Obwohl nur eine Elektronenquelle (Kathode), d.h. nur ein Elektronenstrahl zur Verfügung steht,
kann man jetzt trotzdem zwei verschiedene Spannungsverläufe gleichzeitig auf dem Schirm darstellen (bei gleicher Zeitablenkung), wenn man die Verstärker I und II in ständigem Wechsel an das vertikal ablenkende Plattenpaar C1 schaltet. Dies kann auf zwei verschiedene Weisen geschehen:
1. Betriebsart (mit „Alt“ bezeichnet)
Die beiden Y-Verstärker werden durch einen elektronischen Schalter alternierend jeweils für eine
volle Ablenkperiode TA an das Plattenpaar C1 geschaltet. Die Signale 1 und 2 werden also nacheinander aufgezeichnet.
2. Betriebsart (mit „Chop“ bezeichnet)
Die Umschaltung der Y-Verstärker erfolgt hier mit sehr hoher Frequenz (Chopperfrequenz z.B.
800kHz), so dass innerhalb einer Ablenkperiode TA die beiden Signale gleichzeitig erscheinen.
Schaltet man beim Zweistrahloszillographen die Zeitablenkung aus (Taste „Hor.ext.“), so wird automatisch der Verstärker II als X-Verstärker wirksam (X-Y-Betrieb).
3.5.3 Triggerung
Damit bei der Aufzeichnung periodischer Vorgänge auf dem Schirm ein stehendes Bild entsteht,
müsste die Ablenkzeit TA des Elektronenstrahles
(= Periodendauer des Sägezahns) ein ganzzahliges
Vielfaches der Periodendauer des zu registrierenden Vorgangs sein. Diese Forderung ist bei fest
einstellbaren Ablenkzeiten TA (diskreten Stufen)
für beliebige Periodendauern des zu messenden
Signals im Allgemeinen nicht realisierbar.
Um trotzdem ein stehendes Bild zu bekommen,
wird der Start des Sägezahnimpulses durch das
Messsignal selbst über den Triggerverstärker geBild 3.13: Triggerung
- 17 -
Ausgewählte Messverfahren
Physikalisches Praktikum
steuert, und zwar in der Weise, dass der Sägezahnimpuls dann ausgelöst wird, wenn das Messsignal
einen bestimmten einstellbaren Wert (Triggerschwelle) erreicht hat. Nach Ablauf einer Ablenkdauer
TA „wartet“ dann der Elektronenstrahl, bis die Eingangsspannung wieder die Triggerschwelle erreicht
hat, um erneut das Eingangssignal aufzuschreiben.
Neben dieser internen Triggerung ist auch eine externe Triggerung möglich, indem durch eine von
außen zugeführte Spannung der Triggerverstärker ausgelöst wird.
3.5.4 Frequenz- und Spannungsmessung mit dem Oszillographen
Mit dem Oszillographen können Zeiten bzw. Frequenzen und Spannungswerte gemessen werden.
Auf dem Oszillographenschirm sei das Bild einer sinusförmigen Wechselspannung:
Zur Bestimmung der Frequenz ermittelt man
zunächst die Periodendauer T der Wechselspannung. T ist die Zeit, die der Elektronenstrahl benötigt, um in horizontaler Richtung von z.B. einem Maximum zum nächsten zu laufen.
Die Zeit, die der Strahl für 1cm (= 1 Kästchen auf
dem Schirm) benötigt, ist am <TIME/DIVSCHALTER> in Einheiten time/cm abzulesen
(Wert B). Ist x der Abstand von n Perioden, so ist
n ⋅ T = x ⋅ B und
f =
1
n
=
T x⋅B
(3.5)
Zur Bestimmung des Spannungswertes, etwa des
Scheitelwertes der dargestellten Sinusspannung
ermittelt man den Wert ½y in cm bzw. den Ein- Bild 3.14: Oszillographenschirm
heiten der Schirmeinteilung und multipliziert diesen Wert mit dem aus der Schalterstellung am <AMPL> (= Amplifier = Eingangsverstärker) ersichtlichen Wert in V/cm.
Beispiel 3.2: Ableseberechnung aus Bild 3.14
Einstellungen
<TIME/DIV > = 20ms
<AMPL/DIV> = 0,2V
x = 9,5cm für 6Perioden
y = 6cm (Spannung Spitze-Spitze)
T=
9,5cm
ms
= 31,7ms
⋅ 20
6
cm
y = U SS = 2 ⋅ Uˆ
V
= 0,6V.
Uˆ = 3cm ⋅ 0,2
cm
Berechnung der Frequenz und der Effektivspannung
f =
1
1
=
=31,5Hz
T 31,7 ⋅10 −3 s
U eff =
- 18 -
1 ˆ
⋅ U = 0,4V
2
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
4. Auswertung von Beobachtungen
4.1 Abschätzung der Genauigkeit von Messungen
Trotz ständiger Weiterentwicklung der Zuverlässigkeit und Genauigkeit von Messgeräten treten bei
der quantitativen Bestimmung einer physikalischen Größe unvermeidbare Messabweichungen auf.
Zur weiteren Verwendung der Messergebnisse ist es wichtig, ihre Genauigkeit oder ihre Messabweichungen abzuschätzen. Es ist das Ziel dieses Abschnittes, dem experimentell arbeitenden Studenten
hierzu notwendige Kenntnisse zu vermitteln.
In älterer Literatur oder im Sprachgebrauch wird für die Messabweichung oft der Begriff „Fehler“
verwendet. Die verwendeten Termini in dieser Einführung beziehen sich auf die Festlegungen zum
Sprachgebrauch in der DIN1319 Teil 1 (1983).
Nicht betrachtet werden Messabweichungen durch „grobe Fehler“, wie z.B.:
• Versehen des Beobachters bei Bedienung bzw. Ablesung der Messinstrumente
• Irrtum des Beobachters bei Protokollierung oder Auswertung der Messwerte
• Messverfahren oder Messbedingungen ungeeignet.
Diese groben Abweichungen, hier auch groben Fehler in der negativen Bedeutung dieses Wortes,
führen zu nicht auswertbaren Ergebnissen bzw. zu falschen Aussagen. Sie müssen durch Sorgfalt und
Kontrolle vermieden werden. Daher sollte zu jeder Messung mindestens eine Kontrollmessung, möglichst durch eine zweite Person, durchgeführt werden.
Mit einer Messung wird das Ziel verfolgt, den Wert einer physikalischen Größe zu bestimmen. Unvollkommenheiten von Geräten, Maßverkörperungen und menschlichen Sinnesorganen, unkontrollierte äußere Einflüsse (wie Erschütterungen) und Eigenschaften des Messgegenstandes (wie z.B. statistische Gesetzmäßigkeiten des radioaktiven Zerfalls) führen dazu, dass in der Regel das Messergebnis vom „wahren Wert“ abweicht, unabhängig davon, ob ein solcher Wert existiert oder nicht.
Bild 4.1: Streuung der Messwerte
Wir gehen bei der rechnerischen Behandlung der
Messunsicherheit einer physikalischen Größe X
davon aus, dass jede Messung im Prinzip beliebig
oft (n-mal) wiederholbar ist. Dabei stimmen die
einzelnen Messwerte xi nach den obigen Überlegungen nicht überein, sondern streuen um einen
Mittelwert x (Bild 4.1), der mit n → ∞ gegen
einen Grenzwert, den Erwartungswert xE, konvergiert (Bild 4.2).
(Die für Bild 4.1 und 4.2 verwendeten Messwerte
sind in Tabelle 4.1, S.26 erfasst.)
Die Abweichungen der einzelnen Messwerte vom
Erwartungswert heißen zufällige Messabweichungen (zufällige Abweichungen). Da in der PraBild 4.2: Konvergenz des Mittelwertes
xis stets nur eine endliche Anzahl von Messungen
vorliegt, muss die Rechnung eine Näherung für
den Erwartungswert liefern sowie ein Intervall, in dem der Erwartungswert mit einer gegebenen statistischen Sicherheit liegen muss.
- 19 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Auch wenn die Zahl der Messungen n sehr groß (praktisch unendlich) ist, ist der Erwartungswert nicht
das angestrebte Messergebnis. Durch Unvollkommenheiten der Messgeräte, das verwendete Messprinzip u. ä. können zusätzlich zu den zufälligen Abweichungen noch systematische Messabweichungen (systematische Abweichungen) auftreten.
Im Gegensatz zu den zufälligen Abweichungen, die nach Betrag und Vorzeichen regellos schwanken,
ist die systematische Abweichung nach Betrag und Vorzeichen konstant, sie tritt bei jeder Wiederholung der Messung in gleicher Weise wieder auf (z.B. wenn die Masse eines Wägstücks im Bereich der
Herstellungstoleranzen etwas größer als der aufgeprägte Wert ist).
Für die rechnerische Behandlung der systematischen Abweichungen lässt sich keine einfache, allgemeine Theorie angeben, wie es für die zufällige Abweichung möglich ist. Hier sollen nur Hinweise für
eine erste Abschätzung solcher Abweichung gegeben werden.
4.1.1 Maximale Messunsicherheit bei Einzelmessung
In der experimentellen Praxis tritt häufig der Fall auf, dass zur Bestimmung einer physikalischen Größe X nur eine Messung durchgeführt wird, die direkt zum Endergebnis führt (Messung und Kontrollmessung zur Vermeidung grober Fehler werden als eine Messung betrachtet).
Die Messunsicherheit u(X) der Messung wird dann durch die Anteile
• uz(X) zufällige Abweichung
• us(X) systematische Abweichung
bestimmt.
Die zufällige Abweichung ist im einfachsten Fall die Ablesegenauigkeit einer Skale (z.B. bei Vielfachmessern, Thermometern, Messschieber).
Das Bild 4.3 zeigt am Beispiel eines Quecksilberthermometers die Abschätzung einer solchen Messung:
Abgelesen wird das Ende des Quecksilberfadens.
Es befindet sich im angegebenen Beispiel zwischen den Skalenwerten 25°C und 26°C. Teilt
man gedanklich den Bereich zwischen den beiden
Marken der Skale im einfachsten Fall in zwei
gleich große Teile, so kann man sicher abschät- Bild 4.3: Skalenauszug Thermometer
zen, dass der Messwert zwischen 25,5°C und
26,0°C liegen muss (auch eine feinere Teilung ist möglich). Eine gute Interpolation würde einen
Messwert für die Temperatur von 25,7°C ergeben. Betrachten wir den Interpolationsbereich im
Bild 4.3 so kann man den Messwert mit einer Genauigkeit von uz(T) = ±0,3K angeben. Das bedeutet,
dass der „wahre“ Wert in dem Bereich zwischen
ϑ = (25,7 – 0,3)°C = 25,4°C und
ϑ = (25,7 + 0,3)°C = 26,0°C liegt.
Ohne Hilfsmittel (wie z.B. Nonius oder Ableselupe) lassen sich allgemein Ablesegenauigkeiten bis zu
20% eines Skalenwertes erreichen.
Die mögliche systematische Abweichung wird vom Hersteller angegeben (Garantiefehlergrenze, Güteklasse). Auf Seite …. sind für ausgewählte Messgeräte die Garantiefehlergrenzen aufgeführt. Unter
dem Punkt 6.6 Laborthermometer finden Sie für den angegebenen Skalenbereich und Skalenwert
eine systematische Abweichung us(T) = ±1K.
- 20 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Die maximale Messunsicherheit ergibt sich aus der Summe der Beträge beider Abweichungsanteile,
uz(T) und us(T), zu allgemein:
u ( X ) = umax ( X ) = ±( u s ( X ) + u z ( X ) ) ,
(4.1)
in diesem Falle |u(T)| = 1,3K oder u(T) = ±1,3K. Damit lässt sich das Ergebnis der Messung angeben:
ϑ = (25,7 ± 1,3)°C
oder
ϑ = (2 6± 1)°C
Auf Grund der abgeschätzten maximalen Messunsicherheit von etwa 1K ist es sinnvoll, den abgelesenen Wert von 25,7°C auf 26°C zu runden. Die maximale Messunsicherheit begrenzt damit auch die
sinnvolle Angabe der Stellen des ermittelten Wertes.
Zum Vergleich der bei zusammengesetzten Größen auftretenden Abweichungsanteile der einzelnen
Messgrößen ist die Angabe der relativen Messunsicherheit oft gut geeignet. Unter der relativen
Messunsicherheit versteht man das Verhältnis der Abweichung zur gemessenen Größe.
u( X )
Relative Messunsicherheit:
X
=
u(X )
X
(4.2)
oder, durch Teilen von 100 (in Prozent) ausgedrückt:
Relative prozentuale Messunsicherheit:
u(X )
⋅ 100%
X
(4.3)
Ein weiterer möglicher Weg zur Bestimmung der zufälligen Abweichung ist die Ermittlung des Kleinstund des Größtwertes einer Messreihe bei weniger als zehn Messwerte (bei größerer Messwertanzahl
siehe Abschnitt 4.1.3). Dazu liest man, unabhängig voneinander, drei oder vier Werte, ggf. nach jeweils neuer Einstellung ab und bildet die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert.
Diese Differenz kann als zweifache zufällige Abweichung verwendet werden.
Beispiel 4.1: Längenmessung
l / cm
1
2
3
29,4
29,6
29,7
lmax − lmin = 29,7cm – 29,4 cm = 0,3 cm
u z (l ) = 0,15cm
4.1.2 Maximale Messunsicherheit bei indirekter Messung
Im Fall der indirekten Messung setzt sich die zu bestimmende physikalische Größe F funktionell aus
mehreren gemessenen Größen x, y, ... zusammen. Die zugehörigen maximalen Abweichungen dieser
gemessenen Größen u(x), u(y), ... sollten bekannt sein. Zu berechnen ist die maximale Messunsicherheit der Größe F.
Dazu entwickelt man die funktionelle Abhängigkeit F = F(x, y, ...) in eine Taylor-Reihe, die man nach
den linearen Gliedern abbricht:
 ∂F

∂F
F (x + u ( x ),y + u ( y ),...) ≈ F ( x,y,...) + 
u (x ) +
u ( y ) + ...
∂y
 ∂x

- 21 -
(4.4)
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Diese Näherung ist nur dann zulässig, wenn die Abweichungen nicht zu groß sind (relative Abweichung u(x)/x unter 10%) oder wenn die Funktion linear von den Variablen abhängt.
Nun sind Messabweichungen u(x), u(y), ... erstens nur dem Betrag nach gegeben und zweitens im
Allgemeinen unabhängig voneinander. Die resultierende maximale Messunsicherheit u(F) erhält
man, indem die Summanden der Klammern auf der rechten Seite der Gleichung (4.4) betragsweise
aufsummiert werden:
u (F ) =
∂F
∂F
u(x ) +
u ( y ) + ...
∂x
∂y
(4.5)
Die Gleichung (4.5) erhält man auch, wenn das totale Differential der Funktion F gebildet wird
dF =
∂F
∂F
dx +
dy + ...
∂x
∂y
und die Differentiale dF, dx, dy, ... durch die Abweichungen u(F), u(x), u(y), ... ersetzt und die Beträge
aller Summanden gebildet sowie addiert werden.
Treten die gemessenen Größen x, y, ... in der Funktion F speziell in der Form eines Produktes auf, z.B.
F = A ⋅ xa ⋅ yb
(A,a,b = konstant),
(4.6)
so kann man einfacher mit Hilfe der logarithmischen Differentiation zur relativen Messunsicherheit
gelangen. Man bildet zunächst den natürlichen Logarithmus von F,
d (ln F ) = ln F = ln A + a ln x + b ln y ,
und berechnet dann das totale Differential d(lnF) dieses Ausdruckes
1
1
1
dF = a d x + b d y
F
x
y
Nun ersetzt man die Differentiale durch die entsprechenden Abweichungen, bildet die Beträge der
einzelnen Summanden und erhält die relative Messunsicherheit
u (F )
u(x )
u( y )
= a⋅
+ b⋅
F
x
y
.
(4.7)
Bilden die gemessenen Größen durch eine Multiplikation oder eine Division den Endwert der Messung, so addieren sich die relativen Abweichungen unter Beachtung der Exponenten zur maximalen
Messunsicherheit des Endwertes.
Die folgenden Beispiele sollen die Bestimmung der maximalen Messunsicherheit bei indirekter Messung demonstrieren.
- 22 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Beispiel 4.2: Messung eines elektrischen Widerstandes
Zur Bestimmung des elektrischen Widerstandes werden Spannung U und Strom I gemessen.
Der Widerstand R wird nach dem Ohmschen Gesetz ermittelt.
Bestimmung der Messabweichung
Spannung
Strom
• eingestellter Messbereich
• abgelesener Wert
UMB = 10V
U = 9,15V
IMB = 1A
I = 0,821A
0,2V
uZ(U) = ±0,1V
0,02A
uZ(I) = ±0,01A
uS(U) = ±0,15V
uS(I) = ±0,015A
• Gesamt Messunsicherheit
u(x)= uZ(x)+ uS(x)
u(U) = ±0,25V
u(I) = ±0,025A
• Berechnungsgrundlage (Ohm. Gesetz)
R=
• zufällige Messunsicherheit uZ(x)
Abweichung durch ungenaue Ablesung
• systematisch Messunsicherheit uS(x)
Genauigkeitsklasse 1,5
(1,5% vom Skalenendwert)
9,15V
U
= 11,1443Ω
=
I
0,821A
Maximale Messunsicherheit mit der Min-Max-Methode
• Bestimmung von Rmax
Rmax =
U max
9,4V
=
= 11,809Ω
I min
0,796 A
• Bestimmung von Rmin
Rmin =
U min
8,9V
=
= 10,520Ω
I max 0,846 A
• Bestimmung von u (R )
u (R ) =
Rmax − Rmin
= 0,644Ω
2
Maximale Messunsicherheit über vollständiges Differential
Zur Berechnung der partiellen Ableitungen gelten die gleichen Differenziationsregeln wie für
Funktionen mit einer Veränderlichen.
∂R
∂R
u (R ) =
• Bestimmung der Ableitungen
⋅ u (U ) +
⋅ u (I )
∂U
∂I
∂R 1
=
∂U I
• Einsetzen in die Gleichung
∂R
U
=− 2
I
∂I
u (R ) =
U
1
⋅ u (U ) + − 2 ⋅ u (I )
I
I
u (R ) =
1
9,15V
⋅ 0,25V + −
⋅ 0,025 A
0,821A
(0,821A)2
u (R ) = 0,3045Ω + 0,3394Ω = 0,644Ω
- 23 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Maximale Messunsicherheit nach logarithmischer Differentiation
• Ermittlung des relativen Fehlers
u (R ) u (U ) u (I )
=
+
R
U
I
u (R ) 0,25V 0,025A
= 0,0578 ⇒ 5,78%
=
+
R
9,15 V 0,821A
u (R )
= 11,1443Ω · 0,0578 = 0,644Ω
R
• Ermittlung des absoluten Fehlers
u (R ) = R ⋅
Ergebnisdarstellung
R = (11,14 ± 0,64)Ω
Beispiel 4.3: Messung der Brennweite einer dünnen Linse
Die Brennweite einer dünnen Linse kann berechnet werden, wenn für eine optische Abbildung mit dieser Linse Gegenstandsweite g und Bildweite b bekannt sind.
1 1 1
= +
f g b
oder f =
g ⋅b
g +b
Die Gegenstandsweite g und die Bildweite b sind je nach Messung nicht unabhängig voneinander. Sie können z.B. auch aus den Messungen von dem Gegenstandsort l1, dem Linsenort l2
und dem Bildort l3 bestimmt werden. (Bezugspunkt für Messung von l beliebig)
Setzt man für g und b den Gegenstandsort,
Linsenort und Bildort ein, so erhält man
g = l2 − l1 bzw. b = l3 − l2 .
Eingesetzt in die Ausgangsgleichung ergibt:
f =
(l2 − l1 ) ⋅ (l3 − l2 ) .
l3 − l1
Bild 4.4: Skizze zur Brennweitenbestimmung
Totales Differential: Für die Rechnung ist es günstig, zunächst das totale Differential zu bilden
und erst anschließend den Zusammenhang zwischen g und b zu berücksichtigen:
df =
df
∂f
∂f
∂f
⋅ dl1 +
⋅ dl2 +
⋅ dl3
∂l1
∂l2
∂l3
2
2
2
2
(
(
(
l3 − l2 )
l3 − l2 ) − (l2 − l1 )
l2 − l1 )
=−
⋅ dl +
⋅ dl2 +
⋅ dl .
(l3 − l1 )2 1
(l3 − l1 )2
(l3 − l1 )2 3
- 24 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Nach ersetzen der Differentiale dli durch die Abweichungen u(li) und Einsetzen von g und b
ergibt sich:
u( f ) = −
b2
b2 − g 2
g2
(
)
(
)
⋅
u
l
+
⋅
u
l
+
⋅ u (l ) .
(g + b )2 1 (g + b )2 2 (g + b )2 3
Für Abbildungen mit g ≈ b wirkt sich demnach eine Abweichung (z.B. bei der Scharfeinstellung
des Bildes) von l2 kaum auf die Bestimmung von f aus.
Zahlenbeispiel:
• Bankmaßstab für abgelesene Werte l1 = 203,2mm
l2 = 432,5mm
l3 = 689,7mm
• Berechnung von g und b
g = l2 − l1 = 229,3mm
b = l3 − l2 = 257,2mm
• Berechnung der Brennweite f
f =
Messunsicherheiten
• Ableseunsicherheit für alle
• Abweichung der Scharfeinstellung
g ⋅b
= 121,23mm
g +b
li = ±1mm
l2 = ±2mm
uz(l1) =uz (l3) = ±1mm
uz(l2) = ±3mm
• Systematische Abweichung (vgl. Garantiefehlergrenzen S…)
us(li) = ± 0,2mm+5⋅10-4⋅l
us(l1) = ± (0,2+ 0,10)mm = ±0,30mm
us(l2) = ± (0,2+ 0,22)mm = ±0,44mm
us(l3) = ± (0,2+ 0,35)mm = ±0,55mm
u(li) = uz(li)+us(li)
• gesamte Messunsicherheit
u(l1) = ± 1,30mm
u(l2) = ± 3,44mm
u(l3) = ± 1,55mm
257,2 2 mm 2
257,2 2 mm 2 − 229,3 2 mm 2
u( f ) = −
1,30 mm +
3,44 mm
(229,3mm + 257,2mm )2
(229,3mm + 257,2mm)2
229,3 2 mm 2
+
1,55 mm
(229,3mm + 257,2mm)2
u ( f ) = 0,3633mm + 0,1973mm + 0,2221mm = 0,7827mm
u ( f ) 0,7827 mm
=
= 0,0065
f
121,23mm
Ergebnisdarstellung:
⇒
0,65%
f = (121,2 ± 0,8)mm
- 25 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
4.1.3 Messunsicherheit einer Messwertfolge
Eine Folge von Ergebnissen einer direkten Messung (Schwingungsdauer T eines mathematischen
Pendels) ist in Tabelle 4.1 dargestellt.
i,n
i,n
Ti/s
T /s
sT / s
1
3,23
26
2
3,35
3,290
0,0600
27
3
3,43
3,337
0,0785
28
4
3,29
3,325
0,0672
29
5
3,30
3,320
0,0590
30
6
3,35
3,325
0,0539
31
7
3,35
3,329
0,0500
32
8
3,22
3,315
0,0586
33
9
3,28
3,311
0,0559
34
10
3,34
3,314
0,0534
35
11
3,38
3,320
0,0541
36
12
3,47
3,333
0,0662
37
13
3,27
3,328
0,0655
38
14
3,36
3,330
0,0635
39
15
3,37
3,333
0,0620
40
16
3,35
3,333
0,0600
41
17
3,20
3,326
0,0661
42
18
3,25
3,322
0,0664
43
19
3,42
3,327
0,0682
44
20
3,30
3,326
0,0666
45
21
3,22
3,320
0,0687
46
22
3,33
3,321
0,0671
47
23
3,23
3,317
0,0681
48
24
3,22
3,315
0,0670
49
25
3,33
3,316
0,0657
50
Tabelle 4.1: Messwertfolge bei einem mathematischen Pendel
3,18
3,20
3,33
3,28
3,28
3,27
3,33
3,12
3,21
3,34
3,22
3,28
3,24
3,32
3,28
3,41
3,16
3,37
3,42
3,33
3,46
3,38
3,34
3,40
3,39
3,311
3,307
3,308
3,307
3,306
3,305
3,305
3,299
3,297
3,298
3,296
3,296
3,294
3,295
3,295
3,297
3,294
3,296
3,299
3,299
3,303
3,305
3,305
3,307
3,309
0,0695
0,0713
0,0701
0,0690
0,0680
0,0671
0,0662
0,0725
0,0729
0,0722
0,0723
0,0714
0,0710
0,0701
0,0693
0,0707
0,0729
0,0729
0,0744
0,0737
0,0766
0,0765
0,0756
0,0763
0,0764
Ti/s
T /s
sT / s
Die Tabelle enthält neben der Nummer der Messung i bzw. der damit identischen Zahl der Messungen in der laufenden Folge n, den Messwerten xi = Ti (arithmetisches Mittel) der ersten n Messungen
nach
1 n
(4.8)
x = ∑ xi .
n i =1
Aus der grafischen Darstellung dieser Messwertfolge im Bild 4.1 erkennt man die gleichmäßige
Streuung der Einzelmesswerte xi und die mit wachsendem n zunehmende Annäherung des Mittelwertes an einen Grenzwert, den Erwartungswert xE (Bild 4.2):
n
x E = lim ∑ xi
n→∞
(4.9)
i =1
Ohne systematische Abweichung ist der Erwartungswert gleich dem wahren Wert. Mit xE lässt sich
die zufällige Abweichung u ′zi einer einzelnen Messung angeben:
u ′zi = xi − x E .
(4.10)
- 26 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Stehen nicht unendlich viele Messungen zur Verfügung, so erhält man die scheinbare zufällige Abweichung der i-ten Einzelmessung aus
u zi = xi − x .
(4.11)
Für beide zufälligen Abweichungen gilt, wie man durch Einsetzen nachweisen kann,
1 n
u ′zi = 0
∑
n →∞ n
i =1
lim
und
n
∑u
i =1
zi
= 0.
(4.12)
Die zufälligen Abweichungen führen zur Streuung der Messwerte. Als quantitatives Maß für die
Streuung wird der Erwartungswert der Quadrate der zufälligen Abweichungen der Einzelwerte, die
Varianz, definiert:
1 n 2
1 n
(xi − xE )2
u
=
lim
∑
∑
zi
n→∞ n
n →∞ n
i =1
i =1
σ x2 = lim
(4.13)
und als Standardabweichung
σ x = σ x2 .
(4.14)
Unterteilt man den Bereich der Messwerte xi in jmax Intervalle gleicher Breite ∆x, so kann man die
Häufigkeit hj angeben, mit der die Messwerte in einem Wertebereich a j ≤ xi ≤ a j +1 liegen. Die Häufigkeitsverteilung der Messwerte aus Tabelle 4.1 ist in Tabelle Tabelle 4.2 und im Bild 4.5 als Histogramm graphisch dargestellt.
Es zeigt sich, dass kleine Abweichungen von dem Schätzwert für xE häufiger auftreten als größere.
Daraus resultiert, dass man die beste Schätzung erhält, wenn
n
Qmin = ∑ ( xi − x E )
2
i =1
erfüllt ist.
j
aj / s
hj
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,05
3,1
3,15
3,2
3,25
3,3
3,35
3,4
3,45
3,5
0
1
2
10
9
11
10
5
2
0
Tabelle 4.2: Wertetabelle
Bild 4.5: Darstellung der Häufigkeitsverteilung, Histogramm
- 27 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Aus dQ / dxE = 0 folgt sofort das arithmetische Mittel nach Gleichung (4.8) als bester Schätzwert für
xE. Diese Methode wird nach Gauß die „Methode der kleinsten Quadrate“ genannt (Vergleiche auch
Abschnitt 4.2).
Analog der Näherung des Erwartungswertes durch das arithmetische Mittel bei einer endlichen Anzahl von Messwerten erfolgt die Definition der Varianz für eine endliche Anzahl von Messwerten für
die Größe x:
1 n
2
(4.15)
(xi − x )2 .
sx =
∑
n − 1 i =1
Die Größe
s x = s x2 =
1 n
(xi − x )2
∑
n − 1 i =1
(4.16)
heißt Standardabweichung der Stichprobe und stellt den sogenannten „erwartungsgetreuen“
Schätzwert für σx dar. Der Faktor n - 1 bedeutet die Normierung der Fehlersumme auf die Anzahl der
Wiederholungsmessungen.
In Tabelle 4.1 ist diese Standardabweichung sx als sT für die jeweils n ersten Messwerte angegeben.
Mit dem Übergang zu n→∞ und einer infinitesimalen Intervallbreite dx erhält man eine Wahrscheinlichkeitsdichte ϕ ( x ) für das Auftreten eines kontinuierlich verteilten Messwertes x in diesem Intervall, die als Gaußsche Normalverteilung bezeichnet wird (Beispiel Bild 4.5)
ϕ (x ) =
 ( x − µ )2 
1

⋅ exp −
2

2
σ
σ 2π


(4.17)
µ ist der Zentralwert der Verteilung, σ charakterisiert den Abstand der Wendepunkte dieser Funktion vom Zentralwert.
Für diskrete Messwerte xi ist µ der Erwartungswert xE und σ die Standardabweichung sx.
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert xi in einem vorgegebenen Bereich
a ≤ x ≤ b auf der x-Achse liegt, benötigt man das Integral über die Dichtefunktion (Verteilungsfunktion der Gaußverteilung, Gaußsches Fehlerintegral oder Fehlerintegral):
Bereich a bis b
-∞ bis µ - σ
-∞ bis µ
-∞ bis µ + σ
µ - 1σ bis µ + 1σ
µ - 2σ bis µ + 2σ
µ - 3σ bis µ + 3σ
Anteil der Messwerte / %
15,9
50,0
84,1
68,3
95,4
99,7
b−µ
b
1
Φ = ∫ ϕ ( x )dx =
2π
a
∫
e
−
t2
2
dt
a−µ
σ
x−µ
mit
t=
oder
x = µ + t ⋅σ
σ
Tabelle 4.3: Verteilungsfunktion der Gaußverteilung
Zerlegt man eine Folge xi in zwei Teilfolgen, so gelten folgende Aussagen:
- 28 -
σ
.
(4.18)
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Für jede Teilfolge lässt sich ein Mittelwert bilden und so die Abweichung des Mittelwertes einer Folge
von Messwerten bestimmen. Damit erhält man für die Messunsicherheit des Mittelwertes einer
Messwertfolge sx
n
1
sx =
⋅ sx =
n
∑ (x
i =1
i
− x)
2
(4.19)
n(n − 1)
Diese Definition bezeichnet man als Standardabweichung des Mittelwertes.
Unter Beachtung der statistischen Verteilung der Messwerte folgt daraus der Vertrauensbereich des
Mittelwertes
x ± t ⋅ sx = x ± t ⋅
sx
(4.20)
n
t
Statistische
Sicherheit / %
1
2
3
68,3
95,4
99,7
Der Wert der Zahl t gibt die statistische Sicherheit an, mit der der
wahre Wert zwischen der unteren Vertrauensgrenze x − t ⋅ s x und
der oberen Vertrauensgrenze x + t ⋅ s x liegt.
4.1.4 Messunsicherheit einer Folge bei indirekter Messung
Zur Bestimmung einer Größe Z werden die Größe X und die Größe Y gemessen, es ergibt sich außer
den xi noch eine von Werten yi mit Mittelwert und Erwartungswert. Man kann für den Sonderfall,
dass der Zusammenhang Z = Z(X,Y) linear ist, eine neue mittelbare Größe
Z = a ⋅ X + b ⋅Y + C
definieren und den Wert
zi = a ⋅ xi + b ⋅ yi + C
als Wert in der Folge zur Bestimmung von Z auffassen. Die Konstanten, die die Größen X und Y zur
mittelbaren Größe Z linear verknüpfen, charakterisieren den physikalischen Zusammenhang. Einfach
ergibt sich auch die Beziehung zwischen den Erwartungswerten
z E = a ⋅ xE + b ⋅ y E + C
und analog auch die Varianz:
1 n
2a ⋅ b n
2
(
zi − z E ) = a 2 ⋅ σ x2 + b 2 ⋅ σ y2 + lim
∑
∑ (xi − xE ) ⋅ ( yi − yE )
n →∞ n
n→∞
n i=1
i =1
σ z2 = lim
(4.21)
Der Ausdruck
1 n
(xi − xE ) ⋅ ( yi − yE ) = cov(x, y )
∑
n→∞ n
i =1
lim
(4.22)
heißt Kovarianz von X und Y, und der Ausdruck
- 29 -
Auswertung von Beobachtungen
ρ ( x, y ) =
Physikalisches Praktikum
cov( x, y )
σ x ⋅σ y
(4.23)
ist der Korrelationskoeffizient.
Für endliche Reihen wird xi − xE wieder u z ( xi ) = xi − x und analog yi − y E auch u z ( yi ) = yi − y . Mit
ρ → r bei diesem Übergang erhält man den Korrelationskoeffizienten aus
n
r=
∑ u (x )u ( y )
z
i =1
n
i
z
i
n
.
(4.24)
∑ u (x )∑ u ( y )
i =1
2
z
i
2
z
i =1
i
Der Korrelationskoeffizient kann Werte zwischen -1 und +1 annehmen. Es bedeutet:
•r =0 :
• r = +1 :
• r = -1 :
keine Korrelation zwischen xi und yi,
gleichsinnige strenge Korrelation,
ungleichsinnige (entgegengesetzte) strenge Korrelation.
Für den Fall r = 0, das heißt keine Korrelation zwischen den xi und yi , lässt sich folgendes Sonderproblem behandeln:
Ausgehend von Gleichung (4.21), erhält man für den Fall endlicher Messwertfolgen die Zusammensetzung der Standardabweichung der einzelnen Folgen bei der indirekten Messung:
s z2 = a 2 ⋅ s x2 + b 2 ⋅ s y2 + 2a ⋅ b ⋅ s x ⋅ s y ⋅ r .
(4.25)
Für r = 0 entfällt das gemischte Glied in der Summe (4.25). Nimmt man bei einer indirekten Messung
einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe Z und den mit Abweichungen (der
Gaußschen Normalverteilung entsprechend) behafteten Größen X, Y in der Form Z = Z ( X , Y ) an,
dann erhält man analog zur Gleichung (4.25) mit r = 0 auch einen Näherungswert für die Standardabweichung des gesuchten Wertes Z:
2
2
 ∂Z  2  ∂Z  2
sz = 
 sy
 sx + 
 ∂Y 
 ∂X 
(4.26)
Diese Gleichung, die die Standardabweichung bedingter Beobachtungen zur Standardabweichung
des Endwertes zusammenfügt, heißt Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz.
4.1.5 Vertrauensbereiche
Der im Abschnitt 4.1.4 mit der Gleichung (4.20) bestimmte Vertrauensbereich des Mittelwertes
(auch Konfidenzintervall genannt),
x ± t ⋅ sx = x ± t ⋅
sx
n
,
gibt die Messunsicherheit des Mittelwertes an (seine Abweichung vom wahren Wert). Der Wert t zur
Festlegung des Vertrauensbereiches bestimmt dabei die statistische Sicherheit, mit der der wahre
Wert zwischen der unteren Vertrauensgrenze und der oberen Vertrauensgrenze liegt.
- 30 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Für den im Praktikum geeigneten Wert t = 2 beträgt die statistische Sicherheit S dafür,
dass der wahre Wert in diesem Bereich liegt, 95%.
Das heißt aber auch, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit I – S dafür 5% beträgt.
Diese Aussage resultiert aus dem Gaußschen Fehlerintegral (Integral über die Gaußsche Normalverteilung, nach Gleichung (4.18)) und gilt damit nur für den Fall n→∞ und wenn die Verteilung der
Messwerte der Gültigkeit dieser Funktion gehorcht.
Bei einer endlichen Anzahl von Werten treten starke Abweichungen von der Normalverteilung auf
und damit auch zwischen σ und s. Anstatt der Gaußverteilung muss die t- oder Studentverteilung
angewendet werden. Diese Verteilung ist von der Anzahl der Messungen n abhängig.
Für n→∞ geht die t-Verteilung in die Normalverteilung über. Gibt man eine statistische Sicherheit S
oder eine Irrtumswahrscheinlichkeit I-S vor, so bestimmt der standardisierte Parameter t das Vertrauensintervall gemäß der Gleichung (4.20). Die nicht elementar berechenbaren Werte für t sind für
S = 95% und S = 99% in Tabelle 4.4 dargestellt.
Anzahl n der
Einzelwerte
Praktikum
S = 95%
Anzahl n der
Einzelwerte
S = 99%
2
12,71
63,66
22
3
4,30
9,93
24
4
3,18
5,84
26
5
2,78
4,60
28
6
2,57
4,03
30
8
2,37
3,50
40
10
2,26
3,25
50
12
2,20
3,11
60
14
2,16
2,98
80
16
2,13
2,95
100
18
2,11
2,90
200
20
2,09
2,86
über 200
Tabelle 4.4: Werte für t bei verschiedenen statistischen Sicherheiten
Praktikum
S = 95%
S = 99%
2,07
2,06
2,05
2,04
2,03
2,02
2,01
2,00
1,99
1,98
1,97
1,96
2,81
2,79
2,77
2,76
2,74
2,70
2,68
2,66
2,64
2,63
2,60
2,58
4.2 Angabe der Messergebnisse
Das endgültige Messergebnis einer Messreihe mit überwiegend zufälligem Abweichungsanteil wird
durch den Mittelwert und den Vertrauensbereich angegeben, wobei für letzteren die statistische
Sicherheit S bzw. die Irrtumswahrscheinlichkeit 1 − S festzulegen ist.
Soll die Angabe des Ergebnisses in der Einheit der Messgröße X erfolgen, wählt man als Schreibweise
X = x ± uz (X ) = x ± t ⋅ sx .
(4.27)
Bevorzugt man dagegen die Angabe der Messunsicherheit als relative Größe, ist das Ergebnis in der
Form
 u (X ) 
 t ⋅ sx 
(4.28)
X = x 1 ± z
 = x 1 ±

x 
x 


anzugeben.
- 31 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Falls die systematischen Anteile der Abweichung us nicht erfassbar, d.h. unbekannt bzw. nicht messbar sind, ist ihr abschätzbarer Wert zu berücksichtigen. Im Falle u s ( X ) < u z ( X ) summiert man als
praktikable Näherung die beiden Abweichungsanteile und erhält als endgültiges Messergebnis
X = x ± (us (X ) + u z (X ) ) .
(4.29)
Liegen die systematischen Fehleranteile in der Größenordnung der zufälligen Fehleranteile oder
übertreffen diese gar, so ist auf eine statistische Analyse der Abweichungen zu verzichten und eine
Abschätzung für den Wert von uz(X) vorzunehmen.
Alle Angaben der Messunsicherheit sind in der Regel aufzurunden. Die endgültigen Ergebnisse rundet
man auf signifikante Stellen, d. h., es wird nur noch die Stelle angegeben, in der sich die Messunsicherheit bemerkbar macht.
Beispiel 4.4: Mittlere Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendels
Die mittlere Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendels wurde aus einer mit einer
quarzstabilisierten Digitalstoppuhr ermittelten Messwertfolge berechnet (Messwerte dazu
finden Sie in Tabelle4.1).
• Mittelwert:
T = 3,31s
• Standardabweichungen:
sT = ± 0,0764s
sT = ± 0,0108s
• Vertrauensbereich:
S = 95%
(für n = 50 folgt aus Tabelle 4.2)
t = 2,01
u z (T ) = ± 2,01 ⋅ 0,0108s = ± 0,0217s
• systematische Abweichung:
u s (T ) = ± 0,01s
(kleinste angezeigte Stelle der Stoppuhr, Drift vernachlässigbar)
u (T ) = u z (T ) + u s (T ) = (0,0217 + 0,01)s = 0,0317s
u (T )
= 0,0096 ~ 1%
T
• Messunsicherheit:
T = (3,31 ± 0,03)s
Messergebnis:
bzw.
T = 3,31(1 ± 0,01)s
Beispiel 4.5: Brennweite einer dünnen Linse
Die Brennweite einer dünnen Linse wurde aus wiederholten, unabhängigen Messungen von
Gegenstands- und Bildweite ermittelt (jeweils 15 Messungen, ohne etwas an der Position von
Gegenstand oder Bild zu verändern). Die Messergebnisse sind unkorreliert:
1 1 1
= +
f g b
bzw.
f =
- 32 -
g ⋅b
.
g +b
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Als Messgerät wurde ein Bankmaßstab verwendet.
Die Berechnung von Mittelwerten und Standardabweichung erfolgte z. B. mit dem Statistikprogramm eines Taschenrechners:
b = 97,72cm
⇒
g = 119,68cm
f = 53,795cm
• Standardabweichung des Mittelwertes:
s g = ±0,054cm
sb = ± 0,07cm
• Mittelwerte:
Die Berechnung der zufälligen Abweichung für f (für den Fall unkorrelierter Messwerte nach
(4.25)) ergibt:
2
 ∂f
  ∂f

s f =  ⋅ s g  +  ⋅ sb 

 ∂g
  ∂b
2
∂f
b2
=
∂g (g + b )2
mit
2
und
∂f
g2
=
∂b (g + b )2
2
 b2
  g2



 = 0,0239cm
⋅
+
⋅
s
s
sf = 
g
 (g + b )2
  (g + b )2 b 

 

Die systematische Abweichung erhält man aus den Garantiefehlergrenzen für den Bankmaßstab (Siehe S…):
u s (l ) = 0,2mm + 5⋅10-4 ⋅ l
u s ( g ) ~ u s (b ) = ± 0,07cm
⇒
Beide Anteile bilden die systematische Abweichung von f (entsprechend Abschnitt 4.1.2)
us ( f ) =
∂f
∂f
⋅ us (g ) +
⋅ u s (b )
∂g
∂b
b2
g2
us ( f ) =
⋅ u (g ) +
⋅ u (b )
(g + b )2 s
(g + b )2 s
u s ( f ) = 0,35cm
Messunsicherheit mit t = 2,145 für n = 15 aus Tabelle 4.4:
u( f ) = u z ( f ) + us ( f )
u ( f ) = t ⋅ s f + us ( f ) = 2,145 · 0,239cm + 0,35cm = 0,863cm
u( f )
= 0,016 = 1,6%
f
Messergebnis:
f = (53,8 ± 0,9)cm
bzw.
f = 53,80 (1± 0,016)cm
(Der im Praktikum angebotene Versuch zur Brennweitenbestimmung schreibt eine andere Versuchsdurchführung vor, damit ändert sich auch die Auswertung und die Art der Bestimmung
der maximalen Messunsicherheit.)
- 33 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
4.3 Ausgleich indirekter Messung (lineare Regression)
In den Betrachtungen zum Ausgleich von direkten Beobachtungen im Abschnitt 4.1.3 ging es darum,
aus einer Messreihe x1, ..., xn einen Wert abzuschätzen, der als wahrscheinlichster Wert diese Messreihe repräsentiert und um den die Einzelmesswerte nach einer Normalverteilung streuen. Ergebnis
der Näherung war das arithmetische Mittel nach Gleichung (4.8) und als Maß für die Streuung des
Mittelwertes die Standardabweichung des Mittelwertes nach Gleichung (4.19).
In diesem Abschnitt wird der Fall behandelt, dass zwischen der einen gemessenen Größe X und der
anderen gemessenen Größe Y ein funktioneller Zusammenhang besteht.
Y = F ( X ) , oder, für einzelne Messwerte
yi = F ( xi ) , i = 1, ... n
(4.30)
In der Messung werden also zu den X-Werten xi, mit denen ein ganzer Bereich durchfahren wird, die
dazugehörigen Y-Werte yi bestimmt. Aus den vorliegenden Wertepaaren (xi, yi) sind Aussagen über
die Funktion F zu gewinnen. Das wird durch die Tatsache erschwert, dass die Messwerte yi und xi
zufällige Abweichungen aufweisen. Darüber hinaus ist in der Regel die Zahl der Gleichungen, gegeben
durch die Zahl der Messwertpaare, größer als die Zahl der aus dem Gleichungssystem (4.30) für die
Funktion F zu bestimmenden Konstanten, d. h., jede herausgegriffene Teilmenge von Wertepaaren
führt zu anderen Lösungen.
Zur Vereinfachung wird angenommen, dass nur die Y-Werte zufällige Abweichungen aufweisen und
die X-Werte genau bekannt sind. (Die zufälligen Abweichungen der X-Werte sind klein gegen die zufälligen Abweichungen der Y-Werte.). Damit lassen sich die scheinbar zufälligen Abweichungen definieren:
u zi ( yi ) = yi − F ( xi ) .
(4.31)
Nach der Methode der kleinsten Quadrate wird die Extremalforderung
n
n
i =1
i =1
Q = ∑ u zi2 = ∑ ( yi − F ( xi )) → Min.
2
Um den mathematischen Aufwand zur Lösung dieser Gleichung zu begrenzen, wird hier nur der Fall
der linearen Abhängigkeit zwischen den Größen X und Y betrachtet:
F ( xi ) = yi = a + bxi .
(4.32)
Damit wird
Q = Q(a, b ) = ∑ ( yi − (a + b ⋅ xi )) ,
und die Extremalforderung führt auf
∂Q
=0
∂a
Daraus folgt:
∑y
2
n
i =1
n
∂Q
= 0.
∂b
und
n
i
− n ⋅ a − b∑ xi = 0
i =1
n
n
i =1
i =1
∑ xi ⋅ yi − a∑ xi − b∑ xi2 = 0
i =1
(5.33)
Diese Gleichungen heißen die Gaußschen Normalengleichungen und stellen ein Gleichungssystem
für die Bestimmung der beiden die lineare Funktion F(xi) charakterisierenden Größen a und b dar:
- 34 -
Auswertung von Beobachtungen
b=
n
n
n
i =1
i =1
i =1
2
n∑ xi ⋅ yi − ∑ xi ⋅ ∑ yi
b=
 n 
n ∑ x −  ∑ xi 
i =1
 i=1 
n
n
a=
Physikalisches Praktikum
2
i
n
n
i =1
i =1
i
i =1
i
i
 n 
n∑ x −  ∑ xi 
i =1
 i=1 
n
x 2 − (x )
2
n
∑ x ⋅∑ y − ∑ x ⋅ y ∑ x
2
i
xy − x ⋅ y
i
i =1
2
a=
y ⋅ x 2 − xy ⋅ x
(4.34)
x 2 − (x )
2
2
i
Aus den Überlegungen im Abschnitt 4.1 geht hervor, dass die Konstanten genau durch unendlich
viele Messungen bestimmt werden können. Bei einer endlichen Anzahl von Messungen erhält man
für jede Konstante nur einen Näherungswert und einen von der statistischen Sicherheit abhängigen
Vertrauensbereich.
Auch in diesem Falle ergibt die Varianz das Quadrat der Standardabweichung:
s y2 =
n
1 n
(u zi ( yi ))2 = 1 ∑ ( yi − (a + b ⋅ xi ))2
∑
n − 2 i =1
n − 2 i =1
(4.35)
Der Ersatz von n − 1 durch n − 2 gegenüber der Gleichung (4.16) ist dadurch bedingt, dass die Anzahl
der bezüglich n voneinander unabhängigen Wertepaare durch die aus den Messwerten berechneten
Parameter a und b um zwei reduziert wurde.
Die Standardabweichung für a und b erhält man aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz
nach Gleichung (4.26), wobei auf den mathematischen Beweis auf Grund der Übersichtlichkeit verzichtet wird. a und b sind dabei die in Abhängigkeit von yi schwankenden einzelnen Funktionen aus
der Gleichung (4.34).
2
 ∂b 
2
s = s ⋅∑
 = sy ⋅
i =1  ∂yi 
2
b
2
y
n
n
n
n
= s y2 ⋅
2
= s 2y ⋅
∑x
2
 ∂a 
2
sa2 = s y2 ⋅ ∑ 
 = sy ⋅
∂
y
i =1 
i 
n
2


n∑ xi2 −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
i =1
2
i


n ∑ x −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
2
i
n
1
2
nx − x 2
x2
2
nx − x
2
= sb2 ⋅ x 2
(4.36)
Hinweise zur praktischen Handhabung:
Ausgleichsrechnungen mittels linearer Regression sind Bestandteil eines jeden wissenschaftlichen
Taschenrechners und können mit diesem bestimmt werden. Die Standardabweichungen sa und sb für
die Koeffizienten a und b sind nicht direkt dem Taschenrechner entnehmbar, jedoch alle zur Berechnung entsprechend der Gleichung (4.36) notwendigen Zwischenergebnisse.
Nichtlineare Zusammenhänge zwischen den Messgrößen X und Y können in einigen Fällen linearisiert
und wie beschrieben ausgewertet werden (Siehe dazu Abschnitt 4.6: Grafische Darstellungen).
- 35 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Beispiel 4.6: Bestimmung des Direktionsmomentes
Zur Bestimmung des Direktionsmomentes D eines einseitig eingespannten, senkrecht hängenden Stabes wurde die statische Methode angewendet. Das Drehmoment M wird durch die
Umlenkung von zwei gleichgroßen Gewichtskräften über Rollen tangential an eine Teilkreisscheibe (360°-Winkelmesser) mit dem Radius R = 50,6mm erzeugt.
Die in Abhängigkeit von den angehängten
Massen m = m1 + m2 gemessenen Torsionswinkel αi sind in der folgenden Messwerttabelle angegeben. Für die Torsion
gilt mit dem Direktionsmoment D des Stabes
M = D ⋅α und
M = m⋅ g ⋅ R .
Damit ist
g⋅R
αi =
⋅ mi .
D
Der lineare Ausgleich mit yi = a + bxi liefert mit b den Anstieg der Funktion und
mit a den Torsionswinkel, der dem Drehmoment M = 0 zuzuordnen ist. Für die
Auswertung des Experiments ist
Bild 4.6: Prinzipskizze
b=
g⋅R
D
[b] = 1°/g.
mi / g
Gibt man in die Rechnung αi in Einheiten 1° und
mi in g ein, so ist das gesuchte Richtmoment mit
der Umrechnung des Winkels in das Bogenmaß
D=
mit
g ⋅ R 180° K
⋅
=
b
π
b
K = 2,810⋅10-3 Nm·1°·g-1.
i
20
1
40
2
60
3
80
4
100
5
140
6
180
7
240
8
300
9
Tabelle 4.5: Messwerttabelle
αi / 1°
5,0
9,5
14,5
19,0
25,0
33,0
44,0
59,5
71,0
Der lineare Ausgleich liefert entsprechend den Gleichungen (4.34) mit dem Programm Regressionsanalyse des Taschenrechners sowie aus Bild 4.8
a = 0,17°,
b = 0,240 °g-1,
r = 0,999
Mit diesem berechneten Wert von b ergibt sich das Direktionsmoment D
D = 0,117Nm.
- 36 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Berechnung der Standardabweichungen sα, sa und sb:
i
mi / g
Messwert αi / 1°
berechneter Regressionswert αi’ / 1°
(αi - αi’)2/(1°)2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20
40
60
80
100
140
180
240
300
5,0
9,5
14,5
19,0
25,0
33,0
44,0
59,5
71,0
4,98
9,79
14,60
19,41
24,22
33,84
43,46
57,89
73,32
0,0004
0,0841
0,0100
0,1681
0,6084
0,7056
0,2916
2,5921
1,7424
∑ (α
i
− α i'
)
2
=
6,2027
Tabelle 4.6: Auswertungstabelle
• Zwischenergebnisse:
9
∑ mi2 = 221600g2
i =1
• Nach Gleichung (4.35): sα =
9
∑m
i =1
= 1160g
i
1
2
⋅ 6,2027 (1°) = 0,9413°
7
• Nach Gleichung (4.36): sa = 0,9413° ⋅
sb = 0,9413° ⋅
221600g 2
= 0,550°
9 ⋅ 221600g 2 − 1345600g 2
9
= 0,0035°·g-1
2
9 ⋅ 221600 g − 1345600 g
2
Mit t = 2,306 bei n = 9 (Tabelle 4.4) ergibt sich:
0,0035°g −1
s
= ± 0,0027°·g-1.
u z (b ) = ±t ⋅ b = ±2,306 ⋅
n
9
Nimmt man K ohne zufällige Abweichung an, so ist die zufällige relative Abweichung von D
gleich der zufälligen relativen Abweichung von b.
u z (b ) u z (D )
=
b
D
⇒
u z (D ) =
u z (b )
⋅ D = 0,0013Nm.
b
Die systematische Abweichung wird in der bekannten Form der Abschätzung der Maximalabweichungen zusammengesetzt:
u s (D ) u s (R ) u s (α ) u s (m )
.
=
+
+
D
R
α
m
Für αi und mi kann eine mittlere Messung (z.B. m = 140g) angenommen werden. Mit den dazu
aus den Garantiefehlergrenzen (Siehe S…) abgelesenen Werten ist
- 37 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
 0,03mm 0,4° 0,32g 
 = 0,0018Nm.
u s (D ) = ±0,117 Nm
+
+
33° 140g 
 50 mm
D = (0,117±0,003)Nm
Messergebnis:
⇒
u (D )
= 2,6%
D
Der Korrelationskoeffizient r = 0,999 zeigt an, dass die Messwerte gleichsinnig korreliert sind
und damit die Gesetzmäßigkeit αi ~ mi durch die Messung bestätigt wird.
4.4 Das gewichtete Mittel
Wird eine Messgröße durch mehrere Messungen xi mit unterschiedlichen Messunsicherheiten u(xi)
bestimmt, so lässt man die Einzelmessungen mit größerer Messabweichung mit einem geringeren
Gewichtungsfaktor gi in das Gesamtergebnis eingehen. Als gewichteten Mittelwert verwendet man
n
x=
∑g ⋅x
i =1
i
i
(4.37)
n
∑g
i =1
i
mit den Gewichtsfaktoren
gi =
1
.
(u (xi ))2
(4.38)
Die Messunsicherheiten im gewichteten Mittelwert sind
∑ g (x
n
()
ux =
i =1
i
i
−x
n
)
(n − 1)∑ g i
2
.
(4.39)
i =1
Bei auf unterschiedliche Weise ermittelten Messreihen mit verschiedenen Standardabweichungen ist
das gewichtete Mittel ebenfalls anwendbar, dabei werden die jeweiligen Messwerte durch die Mittelwerte und die Messabweichungen durch die Standardabweichungen ersetzt.
Beispiel 4.7: zum gewichteten Mittel
Die Ermittlung dreier unterschiedlicher Messungen eines Widerstandes ergaben:
R1 = (11 ± 1)Ω
R2 = (12 ± 1)Ω
R3 = (10 ± 3)Ω.
- 38 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
• Bestimmung der Gewichtsfaktoren:
1
1
g1 =
= 2 =1
2
(u (R1 )) (1)
1
1
g2 =
= 2 =1
2
(u (R2 )) (1)
1
1
g3 =
= 2 = 0,111
2
(u(R3 )) (3)
• Gewichteter Mittelwert:
g ⋅ R + g 2 ⋅ R2 + g 3 ⋅ R3 11 + 12 + 1,11
R= 1 1
=
= 11,42Ω
g1 + g 2 + g 3
2,111
• Messunsicherheit:
()
uR =
()
(
)
2
(
)
(
2
g1 R1 − R + g 2 R2 − R + g 3 R3 − R
(n − 1)(g1 + g 2 + g3 )
)
2
1 ⋅ (− 0,42 ) + 1 ⋅ (0,58 ) + 0,111 ⋅ (− 1,42 )
= 0,418Ω
uR =
2 ⋅ 2,111
Messergebnis:
2
2
2
R = (11,42 ± 0,42)Ω
Das Ergebnis verdeutlicht, dass der Messwert R3 nur einen geringen Einfluss auf das Endergebnis hat.
4.5 Zählstatistik
4.5.1 Zählstatistik seltener Ereignisse
Wenn man z.B. mehrmals unter unveränderten Versuchsbedingungen die Anzahl der Zerfallsereignisse während der Zeitdauer ∆t bei einem langlebigen radioaktiven Präparat bestimmt, so wird man im
allgemeinen verschiedene Anzahlen erhalten, die um einen Mittelwert streuen. Es soll nun die Wahrscheinlichkeit angegeben werden, mit der während eines Zeitintervalls ∆t genau n Zählereignisse registriert werden.
Dazu wird zunächst das Zeitintervall ∆t in m gleich große Teilintervalle dt zerlegt. Die Zahl m soll so
groß sein, dass die Wahrscheinlichkeit für zwei oder mehr Zerfallsereignisse während dt vernachlässigbar ist. Es genügt dann, die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Zerfall während des Zeitintervalls dt zu betrachten. Diese hängt von dt und damit von m ab und wird mit pm bezeichnet.
Die Bestimmung der Anzahl der Zählereignisse während ∆t kann unter der genannten Voraussetzung
als ein m-stufiges Experiment aufgefasst werden, bei dem in jeder Stufe entweder ein Zerfall stattfindet oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit p(n), bei diesem Experiment genau n Zählereignisse zu registrieren, ist durch die Binominalverteilung gegeben:
- 39 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
 m
m− n
p(n ) =   ⋅ p mn ⋅ (1 − p m )
n
(4.40)
In Gleichung (4.40) tritt noch die von der Feinheit der Unterteilung abhängige Wahrscheinlichkeit pm
auf. Die vorgenommene Unterteilung war jedoch vollkommen willkürlich. Betrachtet wird deshalb
der Erwartungswert n für die Anzahl der Zählereignisse im gesamten Zeitintervall ∆t:
n = m ⋅ pm .
(4.41)
Macht man nun die Unterteilung von ∆t immer feiner, so wächst m gegen unendlich, während n
unverändert bleibt. Nach dem Poissonschen Grenzwertsatz folgt dann, dass sich die Binominalverteilung nach Gleichung (4.40) mit wachsendem m der Poissonverteilung
nn
⋅ exp(− n )
p n ( n) =
n!
(4.42)
nähert (Bild 4.7).
Wird also bei gleichbleibenden Zeitintervallen ∆t
mehrfach die Anzahl n der Zählereignisse bestimmt, so sind die gemessenen Werte poissonverteilt. Beachten Sie, dass die Poissonverteilung
nicht symmetrisch zum Erwartungswert n ist
und dass der wahrscheinlichste Wert im allgemeinen von n verschieden ausfällt.
Die Standardabweichung σ einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist definiert als die positive Wurzel
aus dem Erwartungswert der Abweichungsquadrate:
Bild 4.7: Prinzipskizze
σ=
∑ p(n ) ⋅ (n − n )
2
(4.43)
n
Für die Standardabweichung der Poissonverteilung ergibt sich:
σ= n.
(4.44)
4.5.2 Die Normalverteilung (siehe auch Abschnitt 4.1.3)
Ist n größer als etwa 50, so kann man die Poissonverteilung nach Gleichung (4.42) gut durch die
Normal- oder Gaußverteilung approximieren:
Fn ,σ (n ) =
 (n − n )2 
1
.
⋅ exp −
2

2
σ
σ 2π


(4.45)
Die Poissonverteilung besitzt nur einen Parameter, nämlich den Erwartungs- oder Mittelwert n . Bei
der Normalverteilung hingegen treten zwei unabhängige Parameter auf, der Mittelwert n und die
Standardabweichung σ.
- 40 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Bei der Bestimmung der Anzahl von Zählereignissen muss die Standardabweichung unverändert bleiben, wenn man von der Poissonverteilung zur Normalverteilung übergeht. Diese Aussage der Gleichung (4.44) gilt deshalb auch, wenn man die Normalverteilung zugrunde legt. Damit wird aus der
zweiparametrischen Verteilung (4.45) die einparametrische Verteilung:
Fn (n ) =
 (n − n )2 

⋅ exp −

n
2
2π ⋅ n


1
n
p n (n )
Fn ( n)
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
0,0000
0,0007
0,0054
0,0215
0,0458
0,0563
0,0422
0,0201
0,0063
0,0014
0,0002
0,0001
0,0010
0,0059
0,0208
0,0439
0,0564
0,0439
0,0208
0,0059
0,0010
0,0001
(4.46)
Beim radioaktiven Zerfall ist es z.B. nur sinnvoll, in
Gleichung (4.45) bzw. (4.46) für n natürliche Zahlen
einzusetzen. Die Normalverteilung beschreibt jedoch
nicht nur die Zählstatistik bei radioaktiven Prozessen, sondern ist praktisch auf jede Zufallsvariable
anwendbar, deren Streuung durch voneinander unabhängige Ereignisse verursacht ist. Im Allgemeinen
sind die Gleichungen (4.45) bzw. (4.46) also für den
ganzen Bereich der reellen Zahlen definiert.
Kann eine Zufallsvariable beliebige reelle Werte annehmen, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz
bestimmter Wert x0 auftritt, gleich null. Es ist dann
nur sinnvoll, nach der Wahrscheinlichkeit p(I) zu
Tabelle 4.7: Vergleich zwischen Poisson- und
fragen, mit der ein Versuchsergebnis in einem InterNormalverteilung n = 50,σ = n .
vall I = [a ,b] liegt. Bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen müssen zur Beantwortung dieser Frage die Einzelwahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse in I aufsummiert werden. Bei der kontinuierlichen Normalverteilung erhält man die
gesuchte Wahrscheinlichkeit p(I) durch Integration über I:
(
)
b
p( I ) = ∫ Fn ( x )dx
(4.47)
a
Die Gleichungen (4.45) und (4.46) geben also nicht direkt eine Wahrscheinlichkeit, sondern vielmehr
die Wahrscheinlichkeit pro Einheitsintervall, also eine Wahrscheinlichkeitsdichte an. Genau wie man
die Masse eines inhomogenen Körpers durch Integration der Dichtefunktion über das betrachtete
Volumen erhält, so erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsvariablen in einem
bestimmten Intervall liegt, durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte über dieses Intervall.
4.5.3 Betrachtungen zur Messunsicherheit
Die numerische Berechnung des Integrals nach Gleichung (4.47) liefert die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Einzelmessung höchstens um
∆n vom Mittelwert n abweicht. Man erhält die schon aus Abschnitt
4.1.3 bekannten Ergebnisse:
∆n
p
1σ
2σ
3σ
0,68
0,95
0,99
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe von Zählergebnissen ein Einzelergebnis um mehr als σ
vom Mittelwert abweicht, liegt demnach bei 32%. Führt man nur eine einzige Messung mit dem Ergebnis n1 aus, so kann man umgekehrt schließen, dass ein Mittelwert n , der sich in einer längeren
Messreihe einstellen würde, mit 68% Wahrscheinlichkeit um nicht mehr als σ vom Einzelergebnis
- 41 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
abweichen würde. Da n nicht bekannt ist, wählt man n1 als absolute Messabweichung bei der
Bestimmung von n . Das Messergebnis für den durch eine einzige Messung bestimmten Mittelwert
ist dann
n = n1 ± n1
(4.48)
Die relative Abweichung bei (4.47) nimmt mit wachsender Anzahl der gemessenen Ereignisse ab:
∆n
n
=
1
.
n
(4.49)
Werden k Einzelmessungen mit den Ergebnissen ni (i = 1,...,k) durchgeführt, kann der Mittelwert als
Ergebnis angegeben werden:
n=
1 k
∑n
k i =1 i
(4.50)
Die relative Abweichung dieses Mittelwertes wird nun nicht durch die Standardabweichung der Einzelmessung, sondern ausschließlich von der Gesamtzahl der registrierten Zählereignisse bestimmt.
∆n
n
=
1
≠
k
∑n
i =1
1
.
n
(4.51)
i
Soll beispielsweise eine relative Abweichung von 1% erreicht werden, so müssen insgesamt 10000
Ereignisse gezählt werden. Dabei spielt es keine Rolle, ob dies in mehreren Einzelexperimenten oder
in einem einzigen Experiment geschieht.
4.6 Graphische Darstellung
Graphische Darstellungen, die den Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen X und Y
veranschaulichen und die durch Eintragen von Messwerten von Hand in Koordinatenpapier, durch
Schreiber- oder Plotterdarstellungen oder durch Grafiksoftware am PC erstellt werden, erfüllen in der
laborpraktischen Arbeit mehrere Aufgaben.
In erster Linie dienen sie zur Veranschaulichung der Messergebnisse und damit gleichzeitig zur Kontrolle und qualitativen Auswertung der Messung. Bei der Auswertung können aus markanten Kurvenpunkten (Extremwerte, Schnittpunkte mit vorgegebenen Abszissen- oder Ordinatenwerten, qualitative Änderungen der funktionellen Abhängigkeit u. ä.) direkt physikalische Größen abgelesen werden.
Bei jeder graphischen Darstellung von Messergebnissen in Koordinatensystemen bilden die Maßzahlen physikalischer Größen die Koordinaten der Messpunkte. Diese Maßzahlen erhält man, wenn der
Messwert durch die verwendete Einheit dividiert wird. In das Diagramm sind diese deutlich markiert
(Kreuze) einzutragen.
Die Koordinatenachse ist zu beschriften mit dem Quotienten aus der aufgetragenen physikalischen
Größe und der verwendeten Einheit (Bild 4.8).
Graphische Darstellungen sind grundsätzlich mit einer Funktionsgleichung und einem Diagrammtitel
mit entsprechender Nummerierung zu versehen.
- 42 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
4.6.1 Lineare Zusammenhänge der Form y = a + b·x
Diese funktionellen Zusammenhänge werden auf Papier mit Millimeterteilung dargestellt.
Aufgrund von Messungenauigkeiten werden n > 2 Messpunkte (xi, yi) nicht genau auf einer Geraden
liegen. Der vertikale Abstand zwischen dem i-tem Messpunkt und einer willkürlich durch die Messpunkte gelegten Geraden sei di. Die Ausgleichsgerade, die die Messwerte am besten beschreibt, erfüllt die Bedingung, dass die Summe der „Abstandsquadrate“
n
∑d
i =1
2
i
minimal wird. In vielen Fällen reicht es aus, eine „Ausgleichsgerade“ nach Augenmaß im Diagramm
einzutragen, so dass die Abweichungen der Messpunkte nach oben und nach unten sich etwa aufheben.
Bild 4.8: Abhängigkeit des Drehwinkels α von der Gesamtmasse m
Aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Geraden lassen sich dann die Konstanten a und b
der Geradengleichung entnehmen (siehe Bild 4.8 unter Verwendung der Geradenkoordinaten P2 und
P1 ergibt sich der Geradenanstieg zu
b=
∆α α 2 − α1
=
).
∆m m2 − m1
Bei höherer Anforderung an die Genauigkeit errechnet man die Konstanten a und b mit dem Taschenrechner mittels der linearen Regression und nutzt die erhaltenen Werte zum Zeichnen der Geraden.
- 43 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Bei Verwendung eines PC mit entsprechender Software (z.B. MS Excel) kann die Konstruktion über
die Trendberechnung zu eingetragenen Messwerten erfolgen. Der ermittelte funktionale Zusammenhang ist anzugeben (Bild 4.9).
Die aufgetretenen Messabweichungen sind in der Form von „Fehlerbalken“ anzutragen. Dabei sind
folgende Vorgehensweisen möglich:
• Die auftretenden Messabweichungen der über Ordinate und Abszisse aufgetragenen Messwerte sind nach den in Abschnitt 4.1 beschriebenen Methoden zu ermitteln und an mindestens
zwei Messwerte angetragen.
• Für den relativ am meisten von der Trendlinie entfernten Messpunkt werden die Fehlerbalken
an den Messwert so angetragen, dass die Fehlerkreuze die Trendlinie erreichen. Daraus kann
die maximale relative Abweichung für diesen Messpunkt abgelesen und auf die anderen Messwerte übertragen werden.
Mit der Erstellung der Fehlerbalken ist auch die Angabe eines Vertrauensbereiches zu der erstellten
Trendlinie möglich. Dazu ist eine Trendlinie so zu erstellen, das die maximalen Werte der Fehlerbalken erfasst werden und eine weitere Trendlinie, die die minimalen Werte der Fehlerbalken erfasst.
Zur exakten Berechnung der Messabweichung unter Verwendung
der linearen Regression ist wie in Abschnitt 4.3 dargestellt zu verfahren.
Bild 4.9: Abhängigkeit des Drehwinkels α von der Gesamtmasse m (Darstellung mit Fehlerbalken)
- 44 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
4.6.2 Nichtlineare Zusammenhängen der Form y = a ⋅ xn
Bei diesen Zusammenhängen ist es zweckmäßig, auf der Abszisse statt x den Wert xn aufzutragen,
damit man als Schaubild wieder eine Gerade erhält.
So ist beispielsweise das s-t–Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung eine Gerade,
wenn s über t2 abgetragen wird.
Bei manchen Messungen variieren die betrachteten Messgrößen über mehrere Größenordnungen
(z.B. Frequenz im Hörbereich). In diesem Fall ist die Verwendung von Logarithmen-Papier sinnvoll. Auf
diesem Koordinatenpapier, bei dem beide Achsen logarithmisch eingeteilt sind, erscheinen alle Zusammenhänge der Form y = a ⋅ xn als Gerade, da
(
)
log y = log a ⋅ x n = n ⋅ log x + log a
Wie diese Gleichung zeigt, erlaubt diese Form der Darstellung auch die Bestimmung des Exponenten
n aus dem Anstieg der Darstellung (analog vorigem Abschnitt, wobei für P2 und P1 die logarithmierten
Messwerte verwendet werden).
Die Erstellung der Fehlerbalken erfolgt entsprechend der Beschreibung in Abschnitt 4.6.1
Beispiel 4.8: zur doppeltlogarithmischen Darstellung
Nachweis des photometrischen Abstandsgesetzes- Abhängigkeit der Bestrahlungsstärke E
vom Abstand r Lichtquelle Empfänger. Der Exponent des Zusammenhanges ist zu bestimmen.
Bild 4.10: Abhängigkeit der Bestrahlungsstärke Ev vom Abstand r (Lichtquelle – Empfänger)
Durch die logarithmische Darstellung sowohl der Ordinate als auch der Abszisse wird der
Graph der Darstellung eine Gerade. Für die Fehlerbalken wurde für den Abstand r eine relative Abweichung von 3%, für die Bestrahlungsstärke von 10% abgeschätzt und eingetragen.
- 45 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Der Anstieg ergibt sich zum einen aus der Regressionsrechnung (siehe Bild 4.10) zu n = -1,87
oder wird zum anderen aus zwei Koordinatenpunkten der Geraden ermittelt.
Zum Beispiel P1(Ev1,r1) und P2(Ev2,r2) ergibt:
n=
log (Ev1 / Ev 2 ) log Ev1 − log Ev 2 log 20000 − log 200
=
=
=-1,87.
log (r1 / r2 )
log r1 − log r2
log 5,3 − log 62
Damit ergibt sich im Rahmen der abgeschätzten Messgenauigkeit (Festlegung der Fehlerbalken) eine Proportionalität von E ~ 1 / r2, welche dem theoretischen Wert entspricht.
4.6.3 Nichtlineare Zusammenhänge der Form y = a ⋅ ek·x
Koordinatenpapier mit nur einer logarithmisch unterteilten Achse ist besonders geeignet, um exponentielle Abhängigkeiten y = a⋅ exp(kx) darzustellen. Trägt man nämlich y auf der logarithmischen
Achse auf, so erhält man wegen
ln y = k ⋅ x + ln a
eine Gerade, deren Steigung durch den Faktor k bestimmt ist.
Anmerkung:
Die Darstellung ln y und lg y unterscheidet sich nur um einen für die graphische
Darstellung und Auswertung unwichtigen Faktor lg e = 0,43.
Beispiel 4.9: zur halblogarithmischen Darstellung
Aus der aufgenommenen Entladungskurve eines Kondensators soll die Abklingkonstante τ bestimmt werden.
Bild 4.11: Zeitliches Verhalten beim Ausschaltvorgang am Kondensator (linear skaliert)
- 46 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
Bild 4.12: Zeitliches Verhalten beim Ausschaltvorgang am Kondensator (Spannung log. skaliert)
Der Spannungsverlauf wird theoretisch durch die Gleichung
 t
U = U 0 exp − 
 τ
beschrieben, wobei die Zeitkonstante τ durch τ = R·C berechnet werden kann. Bild 4.12
zeigt die Darstellung der Messwerte in einfacher logarithmischer Teilung
1
ln U = ln U 0 − ⋅ t ,
τ
also einer Geraden mit dem negativen Anstieg 1/τ. Durch die Verwendung einer logarithmisch geteilten Ordinate ergibt sich eine Gerade als Graph. Die Fehlerbalken für t wurden
entsprechend einer Zeitmessgenauigkeit von 10% eingetragen, die der Spannungsmessung U
ergeben sich aus den Toleranzen der Bauelemente zu 20%.
Die Bestimmung der Zeitkonstanten τ ist auf zwei Wegen möglich:
• Unter Verwendung des Anstiegs b = -1/τ. Dieser kann entweder aus der Regressionsrechnung mit b = -0,0348 (siehe Bild4.9) und damit τ = 28,74s bestimmt werden oder unter
Verwendung zweier Koordinatenpunkte der Geraden, z.B. ergibt sich für P1(U1, t1) und
P2(U2, t2) der Wert b = (ln10 – ln1)/(0 – 67) = 0,0344 und damit τ = 29,07s.
1
U (t =0 ) = 0,368
e
An der Stelle der Geraden, an der die Anfangsamplitude auf den Wert U0 · e-1 = U0 · 0,368
abgefallen ist, kann man τ direkt ablesen (Bild 4.12, τ = 28s)
• Für den Fall t = τ gilt:
U (t =τ ) = U (t =0 ) ⋅
Die Berechnung ergibt τ = R·C = 100kΩ ⋅ 200 µF = 20s. Die Abweichungen von ca. 30% zu den
Messwerten liegen an den Bauelementetoleranzen, wie durch die Fehlerbalken verdeutlicht
wird.
- 47 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
4.6.4 Histogramm
Bei einer Darstellung in einem Histogramm werden die Messwerte in gleichbreite Intervalle eingeordnet und die Häufigkeit der Messwerte in diesen Intervallen als Balkenhöhe aufgetragen.
• Balkenbreite:
• Balkenhöhe:
Intervalleinteilung
Anzahl der Messwerte im Intervall.
Das Beispiel für ein Histogramm zeigt die Darstellung der Häufigkeitsverteilung in Bild 4.5, dabei ist
eine Intervallbreite ∆T = 0,05s gewählt.
4.6.5 Wahrscheinlichkeitsdiagramm
Mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsdiagramms kann geprüft werden, ob sich die Verteilung des untersuchten Merkmals einer Normalverteilung anpasst und wie groß außerdem der Mittelwert x und
die Standardabweichung σ sind. Das Wahrscheinlichkeitsnetz ist ein Koordinatensystem, dessen Ordinate so eingestellt wurde, dass die Summenprozentkurve der Normalverteilung eine Gerade wird
(Bild 4.13)
Beispiel 4.9: Nutzung von Wahrscheinlichkeitspapier
Für dieses Beispiel dient die Datenbasis aus Tabelle 4.2
hj
j
aj / s
hj
∑h
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,05
3,1
3,15
3,2
3,25
3,3
3,35
3,4
3,45
3,5
0
1
2
10
9
11
10
5
2
0
0%
2%
4%
20%
18%
22%
20%
10%
4%
0%
Σ hj
j
Summenhäufigkeit
0%
2%
6%
26%
44%
66%
86%
96%
100%
100%
50
Tabelle 4.8: Wertetabelle
Bild 4.13: Wahrscheinlichkeitspapier
Aus dem Wahrscheinlichkeitsdiagramm kann direkt der Mittelwert des Wertebereiches x
oder a = 3,27s abgelesen werden. Die Streuung von 2σ liegt zwischen 3,19s und 3,35s und
beträgt 0,16s.
Durch einen Vergleich der Wertepunkte mit der Regressionsgeraden, ist zu erkennen, dass
die Verteilung der Datenmengen fast normalverteilt ist.
- 48 -
Auswertung von Beobachtungen
Physikalisches Praktikum
4.6.6 Darstellung von Winkelabhängigkeiten
Bei der Darstellung einer Messgröße, die von einem Winkel abhängt, wird Polarkoordinatenpapier
verwendet. Die Beträge werden hier radial vom Zentrum her abgetragen, die Winkeleinteilung ist
durch das Koordinatenpapier vorgegeben. Diese können auf der linken sowie auf der rechten Seite
des Diagramms angetragen werden.
Bild 4.14: Darstellung der Richtstrahlcharakteristik einer Glühlampe 60W, matt, (Abstand zum Messsensor
20cm).
- 49 -
Verhalten im Labor
Physikalisches Praktikum
5. Verhalten im Labor
5.1 Allgemeines Verhalten
Die Studenten haben sich im Labor so zu verhalten, dass Personen nicht gefährdet werden
oder gar zu Schaden kommen und Geräte, Anlagen und Einrichtungen
nicht beschädigt oder zerstört werden.
Das setzt
• ein hohes Maß an Disziplin,
• Rücksichtnahme,
• konzentriertes Arbeiten,
• Einhalten grundsätzlicher Regeln des Gesundheits-, Arbeits- und Brandschutzes sowie
• das Befolgen der von den Betreuern für den speziellen Versuch gegebenen Anweisungen voraus.
Die Rücksichtnahme auf die nachfolgenden Studierenden erfordert von jedem Einzelnen,
mit dem ihm anvertrauten Inventar sorgfältig umzugehen und nach Beendigung der Arbeiten
den Praktikumsplatz in einem ordnungsgemäßen Zustand zu verlassen.
Die zur Verfügung gestellten Arbeitsmittel sind sparsam zu verwenden bzw. pfleglich zu behandeln.
Insbesondere sind zu beachten:
• Der Verbrauch von Versuchssubstanzen, Wasser, Gas, Elektroenergie, Eis usw. ist so gering wie
möglich zu halten.
• Empfindliche und teure Geräte sind mit ganz besonderer Sorgfalt zu benutzen. Zu diesen gehören u.a. Analysenwaagen, Mikroskope sowie elektronische und elektrische Messgeräte. Spektrallampen dürfen nur so lange eingeschaltet bleiben, wie es für die Experimente unbedingt erforderlich ist.
• Die ausgelegten Verzeichnisse, Tabellen, Aufgabenstellungen usw. sowie Skalen, Bildschirme,
Mattscheiben usw. dürfen nicht durch Markieren, Beschriften oder Unterstreichungen entwertet werden.
5.2 Gesundheits- und Arbeitsschutz, Brandschutz
5.2.1 Feuer- und explosionsgefährliche Stoffe
a) Verhütung von Bränden:
• Bunsenbrenner sowie elektrische Heiz- und Wärmegeräte sind so aufzustellen, dass sich keine
benachbarten Gegenstände entzünden können. Daher sind unbedingt feuerfeste Untersätze zu
verwenden. Brandgefahr besteht auch beim Wegwerfen noch glimmender Streichhölzer.
• Mit brennbaren Flüssigkeiten ist vorsichtig umzugehen. Das bezieht sich im Praktikum vor allem
auf Azeton, Ether und Ethanol. Sie sind von offenen Flammen und Funken fernzuhalten. Die
Brände kommen dadurch zustande, dass diese Dämpfe schwerer als Luft sind.
• Das Rauchen in Praktikumräumen ist untersagt!
- 50 -
Verhalten im Labor
Physikalisches Praktikum
b) Verhalten bei Bränden:
Wer einen Brand bemerkt, hat unverzüglich weitere, in der Nähe befindliche Personen darauf aufmerksam zu machen; gemeinsam mit diesen sind folgende Schritte zu unternehmen:
• Über den Notruf 112 (Feuerwehr/Rettungsdienst) ist die Feuerwehr von einem erreichbaren Telefon zu alarmieren.
• Bis zum Eintreffen der Feuerwehr ist der Brand mit den zur Verfügung stehenden Handfeuerlöschern zu bekämpfen.
Dabei darf nicht blindlings in den Rauch gespritzt werden, sondern das Löschmittel ist unmittelbar auf den Brandherd zu leiten. Unter Spannung stehende elektrische Anlagen und Geräte unbedingt vom Netz trennen – Notschalter betätigen – !
Im Brandraum sind möglichst Tür und Fenster geschlossen zu halten, um Zugluft und damit ein
weiteres Ausbreiten des Feuers zu verhindern.
• Brennende Personen nicht mit Handfeuerlöscher anspritzen, sondern Brandschutzdecken oder
anderes Deckmaterial zum Ersticken der Flammen nutzen.
5.2.2 Gesundheitsgefährdende Stoffe
a) Quecksilber
Quecksilber kommt im Praktikum häufig in Glasgeräten vor. Wird ein solches Gerät zerbrochen, so
zerspritzt das Quecksilber in feinste Kügelchen und verdampft daher bereits bei Zimmertemperatur
sehr stark. Da schon sehr geringe Mengen Quecksilberdampf Vergiftungserscheinungen hervorrufen
können, ist es unbedingt erforderlich, auch kleinste Quecksilbertröpfchen aufzusammeln. Während
für größere Tröpfchen eine Quecksilberzange verwendet wird, sind feinste Spritzer in Ritzen und Fugen durch Bestreuen mit Zinkstaub oder Jodkohle unschädlich zu machen.
b) Ätzgifte
Als Ätzgifte bezeichnet man solche Stoffe, die die Haut angreifen und das Gewebe zerstören und auf
diese Weise meist schlecht heilende Wunden hervorrufen. Dabei sind die zarten Schleimhäute des
Mundes und der Augen besonders gefährdet. Zu dieser Gruppe gehören u. a. Säuren und Laugen, die
auch im Praktikum Anwendung finden können.
Bei Unfällen sind die verätzten Stellen sofort mit reichlich Wasser abzuspülen. Anschließend ist sofort
ein Arzt aufzusuchen.
c) Organische Lösungsmittel
Organische Lösungsmittel werden bei einer Anzahl von Versuchen als Versuchssubstanzen oder Reinigungsmittel verwendet. Bei diesen Stoffen ist eine Gefährdung durch das Einatmen der Dämpfe
möglich. Es ist daher vorsichtig mit ihnen umzugehen. Das Verdampfen größerer Mengen ist zu vermeiden.
Außerdem können organische Lösungsmittel Schäden hervorrufen, wenn sie ins Auge gelangen. Bei
denjenigen Versuchen, bei denen die Gefahr des Herumspritzens besteht, sind die bereitliegenden
Schutzbrillen oder –schirme zu verwenden.
d) Kohlenmonoxid
Kohlenmonoxid ist ein brennbares, farb-, geruch- und geschmackloses Gas, das im Leuchtgas zu 5 –
10% enthalten ist. Es hat eine viel höhere Affinität zum Hämoglobin als Sauerstoff und kann daher zur
Erstickung führen. Deshalb ist darauf zu achten, dass kein unverbranntes oder unvollständig verbranntes Leuchtgas ausströmt.
- 51 -
Verhalten im Labor
Physikalisches Praktikum
5.2.3 Druck- und Vakuumgefäße
a) Druckflaschen
Flaschen für verdichtete oder verflüssigte Gase müssen stets so aufgestellt werden, dass sie nicht
umfallen können. Die Flaschen und Reduzierventile dürfen erst nach Unterweisung durch den Betreuer bedient werden. Weiterführende Eingriffe in die Anlage sind nicht gestattet.
b) Evakuierte Gefäße
Durch Implosion von evakuierten Glasgefäßen können Schnittverletzungen auftreten. Besonders gefährdet sind die Augen. Das gilt nicht nur für solche Gefäße, die erst im Praktikum luftleer gepumpt
werden, sondern auch für Dewargefäße, Röntgenröhren, Kathodenstrahlröhren usw.
Beim Experimentieren ist daher Vorsicht geboten. Schutzvorrichtungen dürfen nicht entfernt werden, beim Umgang mit ungeschützten evakuierten Gefäßen sind Schutzbrillen oder -schirme zu verwenden.
5.2.4 Kältemischung und verflüssigte Gase
Beim Herstellen von Kältemischungen aus fester Kohlensäure und organischen Lösungsmitteln
schäumt die Flüssigkeit durch das gasförmig entweichende Kohlendioxid heftig auf. Um ein Überlaufen zu vermeiden, ist vorsichtig vorzugehen.
• Schädliche Dämpfe!
• Brandgefahr!
• Augen schützen!
Beim Arbeiten mit flüssigen Gasen müssen Schutzbrillen oder –schirme getragen werden.
Dewargefäße sind vor dem Füllen einwandfrei zu trocknen.
5.2.5 Elektrische Anlagen
Stromquellen mit einer Spannung von mehr als 50V können bei der Berührung
der Spannung führenden Leiter lebensgefährliche Schäden hervorrufen.
Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand zu erfolgen. Die
Schaltung ist übersichtlich aufzubauen, Bedienelemente müssen leicht zugänglich sein. An den Versuchsplätzen bereits fest verlegte Leitungen dürfen nicht verändert werden.
An die auf- oder umgebauten Schaltungen darf erst nach Prüfung durch den Betreuer Spannung angelegt werden.
Unter Spannung stehende Anlagen müssen ständig überwacht werden. Treten Unregelmäßigkeiten
auf, so dürfen keine eigenmächtigen Korrekturen an der Schaltung vorgenommen werden, sondern
es ist auszuschalten und der Betreuer zu benachrichtigen.
Besondere Vorsicht ist beim Umgang mit Spannungen über 500V geboten. Es ist mit Lebensgefahr
verbunden, wenn Schutzvorrichtungen außer Betrieb gesetzt werden.
Bei Unfällen ist die Spannung sofort abzuschalten. Ist das nicht möglich, so muss versucht werden,
von einer elektrisch isolierten Stelle (Holzstuhl, Holztisch o. ä.) den Verunglückten von der Leitung zu
trennen. Auch bei geringfügigen elektrischen Schlägen muss der Verunglückte sofort durch eine zweite Person zur Untersuchung zu einem Arzt gebracht werden. Bei Atemstillstand ist an Ort und Stelle
eine Atemspende vorzunehmen.
- 52 -
Verhalten im Labor
Physikalisches Praktikum
5.2.6 Ionisierende Strahlung
Das Verhalten beim Umgang mit ionisierender Strahlung und Geräten, die solche Strahlung erzeugen,
ist in der Strahlenschutzverordnung (StrlSchV) und in der Röntgenverordnung (RöV) festgelegt. Da im
Praktikum nur bauartzugelassene Geräte und Präparate minimaler Aktivität verwendet werden, sind
hier nur Hinweise zum ordnungsgemäßen Umgang mit diesen angegeben. Weitere Ausführungen
über die Gefährdungen und gesetzlichen Bestimmungen befinden sich u. a. in dem Skript „Strahlenschutz“, welches im Physiklabor bei Bedarf erhältlich ist.
a) Röntgenstrahlen
Im Praktikum wird an einer Schulröntgenanlage gearbeitet. Dieses bauartzugelassene Gerät ist mit
verschiedenen Sicherheitsschaltern versehen, so dass der Betrieb entsprechend der Bedienungsanleitung mehrfach abgesichert ist. Ein Strahlenaustritt ist nur bei mutwilliger Zerstörung möglich.
b) Radioaktive Präparate
Die Aktivität der im Physikalischen Praktikum verwendeten Präparate ist sehr gering. Trotzdem können bei leichtfertigem Umgang Strahlenschäden auftreten. Aus diesem Grund dürfen Präparate nicht
längere Zeit in unmittelbare Nähe des menschlichen Körpers gebracht werden. Sie sind nach
Gebrauch sofort wieder in den dafür vorgesehenen Behälter zu legen. Jegliches Manipulieren an den
Quellen ist verboten. Während des Arbeitens mit radioaktiven Präparaten sind Essen, Trinken und
der Gebrauch von Kosmetika untersagt.
Während einer Schwangerschaft ist jede Arbeit unter Einwirkung ionisierender Strahlung verboten.
5.2.7 Laser
Die maximale Leistung der im Praktikum verwendeten Laser beträgt 1mW. Bei Lasern dieser Leistungsklasse besteht eine Gefährdung nur dann, wenn die Netzhaut des Auges direkt vom Laser bestrahlt wird. Der Strahlengang des Lasers ist daher nur im vom Versuch benötigten Bereich zu belassen und auch bei Justierung niemals direkt in die Laseraustrittsöffnung sehen!
5.2.8 Sonstige Bestimmungen
Es ist unzulässig, organische Flüssigkeiten, Säuren, Laugen oder Kältemischungen in die Ausgüsse zu
schütten. Zur Entsorgung sind die Abfallflaschen an den Arbeitsplätzen zu verwenden.
Streichhölzer, Glasscherben und andere Abfälle sind nicht in die Papierkörbe zu werfen, sondern direkt in die dafür bereitstehenden Behälter.
Das Besteigen von Stühlen und Tischen ist nicht gestattet. Es sind Leitern bereitgestellt, wenn Teile
der Versuchsapparatur nicht unmittelbar zugänglich sind.
Der Aufenthalt während des Praktikums erfolgt nur am Arbeitsplatz für das vorgesehene Experiment.
Gleichzeitig arbeitende Versuchsgruppen sind nicht zu stören.
- 53 -
Fehlergrenzen
Physikalisches Praktikum
6. Garantie- und Eichfehlergrenzen von Messgeräten nach Herstellerangaben
1 Längenmaße mit Teilung
l: gemessene Länge
u(l): Betrag der Teilungsabweichung
• Stahlmaßstäbe:
• Bank- bzw. Schulmaßstäbe:
• Büromaßstäbe:
u(l) = 50µm + 5 · 10-5 · l
u(l) = 200µm + 5 · 10-4 · l
u(l) = 200µm + 10-3 · l
• Messschieber:
u(l) = 50µm + 10-4 · l
• Bügelmessschrauben:
Genauigkeitsklasse I
Genauigkeitsklasse II
u(l) = 2µm + 5 · 10-6 · l
u(l) = 5µm + 10-5 · l
• Messuhren:
Messbereich
Genauigkeitsgrad I
Genauigkeitsgrad II
• Maßstabprüfokulare:
• Maßstabmessplatten:
2 Winkelmesser
Skalenwert 1°
gemessener Winkel > 180°
• Durchmesser 100mm:
• Durchmesser 150, 200mm:
3 Messzylinder
VN : Nenninhalt
(max. messbares Volumen)
u(l) / µm
u(l) / µm
0…3mm
0…10mm
0…25mm
10
15
15
25
22
40
u(l) = 20µm
u(l) = 2µm
u(α) Teilungsabweichung
u(l) = 10’ + 0,1’ · α/1°
u(l) = 10’ + 0,05’ · α/1°
u(V): Betrag der Eichabweichung
VN / ml
10
25
50
100
250
500
1000
2000
u(V) / ml
0,1
0,5
0,5
1
2
5
10
20
4 Pyknometer
VI : angebebener Istinhalt
VI / ml
u(VI) / ml
u(V): Betrag der Eichabweichung
1
5
10
25
50
0,003
0,003
0,005
0,01
0,02
- 54 -
Fehlergrenzen
Physikalisches Praktikum
5 Stoppuhren
t : gemessene Zeit
u(t): Betrag der Eichabweichung
Halbschwingungsdauer
(Zeigertakt)
Dauer eines
Zeigerumlaufes
u(t)
0,1s
30s
0,2 + 5 · 10-4 · t
0,2s
60s
0,4 + 5 · 10-4 · t
6 Laborthermometer
ϑ : gemessene Temperatur
u(T): Beträge der Skalenteilungsfehlers
Skalenwert / K
ϑ / °C
-5 … +60
60 … 110
110 … 210
210 … 310
310 … 400
1
0,5
0,2
0,1
0,7
1,0
1,5
2,0
2,5
0,5
–
1,0
1,5
–
0,2
0,3
0,5
–
–
0,15
0,25
–
–
–
• Thermometer des Kalorimeters: u(T) = 0,02K
7 Waagen
a) Feinwaagen Gleicharmige Balkenwaage mit Einspielungslage
(Die größte der 3 in der Tabelle erklärten Größen u(mi)
E : Empfindlichkeit
m: gemessene Masse
ist die systematische Abweichung uS(m).)
u1(m) 1 Skt / E
u2(m) 2 · 10-3 g
2 · 10-5 g
u3(m) 2 · 10-3 g
1 · 10-5 g
Für alle Belastungen
0 … 1000g
0 … 100g
m 100 … 200g
200 … 5000g
b) Elektronische Präzisionswaagen (Siehe bei digital anzeigenden Messgeräten)
• Anzeigegenauigkeit
e = 1digit
c) Wägestücke
Nennmasse
m
2000g
1000g
500g
200g
100g
50g
20g
10g
5g
2g
1g
Handelsgewichtsstücke M3
Präzisionsgewichtsstücke M1
Feingewichtsstücke F2
u(m)/mg
m
1000
500
250
100
50
100
50
25
10
5,0
3,0
2,5
2,0
1,6
1,2
1,0
–
7,5
3,0
1,5
0,75
0,45
0,30
0,23
0,23
0,15
0,15
500mg
200mg
100mg
50mg
20mg
10mg
5mg
2mg
1mg
u(m)/mg
u(m)/mg
- 55 -
Nennmasse
Plättchengewichtsstücke
u(m)/mg
0,8
0,6
0,5
0,4
0,3
0,25
0,2
0,2
0,2
Fehlergrenzen
Physikalisches Praktikum
6.8 Elektrische Messgeräte
6.8.1 Analoge Messgeräte
Die Angabe der Genauigkeitsklasse (zulässige Abweichung in Prozent des Messbereichsendwertes)
finden Sie auf dem Skalenträger bzw. in den Geräteunterlagen.
Bespiel:
Der im Beispiel verwendete Vielfachmesser hat eine Genauigkeitsklasse von 1,5. Der benutzte
Strommessbereich beträgt 400mA bei Vollausschlag. Somit beträgt die maximale Messabweichung bei diesem Messbereich 6mA, unabhängig von der Höhe der gemessenen Stromstärke.
Da es sich hierbei um Absolutwerte handelt, ist der relative Fehler bei z.B. Ι1 = 50mA größer als
bei z.B. Ι2 = 350mA.
Somit ist
I1 = (50 ± 6)mA ⇒ relativer Fehler = 12%
I2 = (350 ± 6)mA ⇒ relativer Fehler = 1,7%.
Aus diesem Grund ist es für die Fehlerbetrachtung wichtig, dass zur Messung immer der optimale Messbereich gewählt wird.
Eine weitere Messunsicherheit wird verursacht durch die Ableseunsicherheit.
6.8.2 Digitale Messgeräte
Für digital anzeigende Messgeräte verschwindet die Ableseungenauigkeit. Die maximale Messunsicherheit setzt sich in der Regel aus drei Anteilen zusammen:
• Digitalisierungsfehler (kleinste angezeigte Einheit),
• Abweichung, bezogen auf den Bereichsendwert, und
• Abweichungen, bezogen auf den aktuellen Messwert.
Die Abweichungsanteile aus Bereichsendwert und aktuellem Messwert sind den Geräteunterlagen zu
entnehmen.
Beispiel:
Eingestellter Messbereich 2V, angezeigter Messwert 1,239V.
• Digitalisierungsfehler:
• Abweichungsanteil Bereich:
• Abweichungsanteil Messwert:
1⋅10-3V
4⋅10-3V
5⋅10-4V
Maximale Messabweichung: 0,001V + 0,004V + 0,0005V = 0,0055V
6.8.3 Normalwiederstände
Bei 15 … 25°C und geringer Belastung gilt:
u (R )
= 3 · 10-4 = 0,03%.
R
- 56 -
Musterprotokoll
Physikalisches Praktikum
7. Musterprotokoll
Physikalisches
Praktikum
PROTOKOLLBLATT
Überprüfen Sie, ob Ihr Protokoll folgendes beinhaltet: Deckblatt, Versuchsanleitung, beglaubigtes Messw ertprotokoll, Auf gaben und
Berechnungen sow ie Diagramme auf Millimeter- bzw . auf Halb - oder doppeltlogarithmischen Papier.
Alles w ird dann mit einem Aktendulli (Heftstreifen) zusammen geheftet
Teilnehmer 1
Teilnehmer 2
Teilnehmer 3
Name, Vorname
Name, Vorname
Name, Vorname
Termin des Versuches Versuchskürzel und Name des Versuches
Seminargruppe
Korrekturbemerkungen des Betreuers
Protokolleingang
Rückgabe zur Überarbeitung
Protokoll akzeptiert
Standort: Senftenberg
- 57 -
Musterprotokoll
Physikalisches Praktikum
W07
Gasthermometer
Physikalisches Praktikum
Das Gasthermometer ist zur Untersuchung der Gesetzmäßigkeiten idealer Gase geeignet. Insbesondere ermöglicht es eine experimentelle Einführung der absoluten Temperaturskala und gestattet die
Bestimmung des absoluten Nullpunktes. Weiterhin wird der Spannungskoeffizient von Luft bestimmt.
1. Theoretische Grundlagen
1.1 Beschreibung und technische Daten des Gasthermometers
Das Thermometer besteht aus einer einseitig geöffneten Glaskapillare, in der mittels eines kleinen
Quecksilbertropfens ein Gasvolumen eingeschlossen werden kann (Bild 1). Die Länge des eingeschlossenen Gasvolumens kann auf einer an der Kapillare angebrachten Millimeterskala abgelesen
werden.
In einer Ausbauchung am offenen oberen Ende des Gasthermometers befindet sich Silika-Gel zur
Trocknung der in die Kapillare eintretenden Luft. Durch eine gasdurchlässige Fritte zwischen der Ausbauchung und der Kapillare wird verhindert, dass Quecksilber aus dem Gasthermometer austreten
kann.
Eine zweite, kleine Ausbauchung direkt vor der Glasfritte dient zum Sammeln des Quecksilbers, falls
der Quecksilbertropfen durch Erschütterung in kleine Kügelchen zersprungen ist.
Zum Gerät gehört ein großes temperaturschockbeständiges Reagenzglas zur Aufnahme eines Wärmebades, dessen Temperatur z.B. mit einem Bunsenbrenner variiert werden kann.
1.2 Gasfeder
Das im Gasthermometer durch einen leicht beweglichen Quecksilbertropfen eingeschlossene Gasvolumen lässt sich als Gasfeder betrachten, die einige Analogien zu einer Schraubenfeder aufweist. Wirkt auf den Quecksilbertropfen eine Kraft F, so wird dieser aus seiner Ruhelage, gekennzeichnet durch die Ruhelänge x0 bzw. durch das Ruhevolumen
V0 = AKap ⋅ x 0 ,
(1)
um den Wert ∆x abgelenkt (siehe Bild 1). Die auf den Quecksilbertropfen
auszuübenden Kräfte lassen sich experimentell in einfacher Weise als
Druckkräfte realisieren: Herrscht über dem Quecksilbertropfen zusätzlich
zum Umgebungsluftdruck pat eine Druckkomponente ∆p, so wird auf den
Tropfen die Kraft
Bild 1: Skizze Gasfeder
F = ∆p ⋅ AKap
(2)
ausgeübt. Der Pfropfen verschiebt sich dann so lange, bis die Gasfeder eine gleich große Gegenkraft
ausübt. In einem Teilversuch soll untersucht werden, ob für die Gasfeder analog zur Schraubenfeder
das Hooke’sche Gesetz
F = k ⋅ ∆x
(3)
gilt, d.h. der lineare Zusammenhang von einwirkender Kraft F und Änderungsweg ∆x (k: Federkonstante).
- 58 -
Musterprotokoll
Physikalisches Praktikum
1.3 Boyle-Mariotte’sches Gesetz (Isotherme Zustandsänderung)
Die Zustandsgrößen Gasdruck und Gasvolumen einer abgeschlossenen Gasmenge bei konstanter
Temperatur sind nicht unabhängig voneinander. Innerhalb des durch den Quecksilbertropfen abgeschlossenen Volumens des Gasthermometers soll bei konstanter Temperatur der Druck p über einen
größeren Bereich geändert werden. Das jeweilige Gasvolumen V ist zu bestimmen.
Es ist im Versuch nachzuweisen, dass für die isotherme Zustandsänderung das Boyle-Mariotte‘sche
Gesetz gilt:
p ⋅ V = konst.
(4)
Gay-Lussac’sches Gesetz (Isobare Zustandsänderung)
Die Zustandsgrößen Volumen und Druck einer vorgegebenen Gasmenge sind von der Temperatur
abhängig. Für die durch den Quecksilbertropfen eingeschlossene Gasmenge im Gasthermometer soll
die Temperaturabhängigkeit des Volumens bestimmt werden. Der Temperaturbereich soll sich von
0°C bis ca. 100°C erstrecken.
Untersucht wird, ob ein linearer Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur besteht. Durch
Extrapolation nach tiefen Temperaturen sind ein absoluter Temperatur-Nullpunkt und damit eine
absolute Temperaturskala definierbar.
Der Spannungskoeffizient γ (räumliche Ausdehnungskoeffizient) beschreibt die Ausdehnung des Ga∆V
ses bei einer Erhöhung der Temperatur:
= γ ⋅ ∆ϑ ([γ] = K-1, V0: Volumen bei 0°C)
V0
2. Versuch
2.1 Vorbetrachtung
Aufgabe: Erläutern Sie kurz mit eigenen Worten die Gesetze von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac.
Was beinhalten Sie und in welcher Beziehung stehen Sie zu einander.
2.2 Versuchsdurchführung
2.2.1 Verwendete Geräte
Gasthermometer:
Außendurchmesser der Kapillaren: (8,00 ± 0,05)mm
Innendurchmesser der Kapillaren: (2,70 ± 0,05)mm
Gesamtlänge: 475mm
Thermometer, Kolbenprober, Stativmaterial, Wägesatz, Dreiwegehahn, Butangasbrenner, großes
Reagenzglas zur Temperierung, Messschieber
2.2.2 Versuchshinweise
Sammeln des Quecksilbers und Einstellung eines Gasvolumens:
Ein Kolbenprober (Bild 2, rechts) ist mit einem Schlauch an der Olive des Gasthermometers anzuschließen. Ein intakter Quecksilbertropfen lässt sich nun durch Erzeugung von Unterdruck mittels des
Kolbenprobers in die kleine Ausbauchung unter der Glasfritte bringen. Ist der Quecksilbertropfen in
kleine Kügelchen zersprungen, so sind die Kügelchen durch zusätzliches leichtes Klopfen an der Kapillare in die Ausbauchung zu befördern. Ein kleines, am abgeschmolzenen Ende des Gasthermometers
hängen gebliebenes Quecksilberkügelchen schadet bei den Messungen nicht.
- 59 -
Musterprotokoll
Physikalisches Praktikum
Je nach Größe des gewünschten, neu einzustellenden
Gasvolumens (bei Umgebungsdruck) ist mit dem Kolbenprober entsprechender Unterdruck einzustellen,
wobei das Gasthermometer mit dem abgeschmolzenen Ende nach oben gehalten wird. Durch langsames
Schwenken des abgeschmolzenen Endes nach unten ist
jetzt der Quecksilbertropfen in den Eingang der Kapillare zu bringen. Wird der Kolbenprober nun vorsichtig
entspannt, verschiebt sich der Quecksilbertropfen in
der Kapillare und nimmt schließlich seine Ruhelage bei
Umgebungsdruck an. Gegebenenfalls ist diese Prozedur mehrere Male zu wiederholen.
Aufgabe 1: Bestimmung der Längenänderung des
Quecksilbertropfens zur aufgewendeten Kraft
• Überprüfen Sie, ob der Versuchsaufbau dem Bild 2
mit angeschlossenem Kolbenprober 100ml und
geöffneten Dreiwegehahn entspricht.
• Ermitteln Sie den Durchmesser dKolben und die Masse mKolben des Kolbens.
• Bestimmen Sie das Ruhevolumen V0 im Gasthermometer bei geöffnetem Dreiwegehahn. Lesen Sie
Bild 2: Versuchsaufbau
x0 (siehe Bild 1) ab (x0 sollte bei ca. 2/3 der Gesamtlänge der Kapillare
liegen).
• Legen Sie auf den Kolbenprober nacheinander verschiedene Gewichtsstücke der Masse m in 100g-Schritten auf und messen Sie die
sich einstellende Länge x (bis maximal m=1400g). Der Gewichtsteller ist möglichst symmetrisch zu belasten, d.h. verwenden Sie
mehrere Gewichtsstücke.
• Messen Sie den örtlichen Luftdruck.
Aufgabe 2: Bestimmung des Volumens als Funktion der Temperatur
• Bauen Sie nach Bild 3 den Versuch um und geben Sie in das äußere
Reagenzglas eine Eis-Wasser-Mischung (ϑ ≈ 0°C) und ein Thermometer.
• Führen Sie die Messung bei normalem Luftdruck durch. Dazu öffnen
Sie den Dreiwegehahn und ziehen vorsichtig den Kolben aus dem
Kolbenprober.
• Lesen Sie die Temperatur ϑ und die Auslenkung x ab (1. Messwert).
• Erhitzen Sie mit dem Bunsenbrenner das Wasser innerhalb des großen Reagenzglases bis zum Siedepunkt und lesen Sie die Auslenkung x ab.
• Lassen Sie das Gasthermometer abkühlen und lesen Sie jeweils in
10°C-Schritten die Länge x ab.
• Die Messung ist mit Erreichen von 30°C zu Ende.
Bild 3: Versuchsaufbau
- 60 -
Musterprotokoll
Physikalisches Praktikum
2.3 Versuchsauswertung
Aufgabe 1a: Nachweis des Hooke’schen Gesetzes
• Weisen Sie durch die graphische Bestimmung der Abhängigkeit
∆x = f(F) den Bereich der Gültigkeit des Hooke‘schen Gesetzes nach.
• Tragen Sie die Regressionsgeraden für den linearen Bereich ein, bestimmen Sie deren Anstieg
und schätzen Sie die relative Messunsicherheit durch Antragen der Fehlerbalken ab.
Für die Bestimmung der Kraft F ergibt sich aus der Versuchsanordnung und der Gleichung (2)
F=
(m + m
Kolben
AKolben
)g
AKap .
(5)
Aufgabe 1b: Nachweis des Boyle-Mariotte’schen Gesetzes
• Stellen Sie die Funktion lg p = f (lg V) graphisch dar.
• Interpretieren Sie dieses Diagramm und leiten Sie aus dem Anstieg der Graden die Beziehung
zwischen p und V her.
• Wie groß ist das Produkt aus Druck und Volumen p·V? Geben Sie die Messunsicherheit (absolut
und relativ) an.
Der Druck p auf der Luftsäule unter dem Quecksilbertropfen ergibt sich aus einer Summe verschiedener Drücke. Dazu gehört der Luftdruck pat, der Druck pHg der durch die Masse und die Fläche des Quecksilbers entsteht, der Druck des Kolbens pKolben und der Differenzdruck ∆p.
p = pat + p Hg + p Kolben + ∆p
• pat
• pHg =
p: abs. Druck auf die Luftsäule unter dem Quecksilbertropfen
Luftdruck ⇒ messen
mHg ⋅ g
mit ρHg = 13,55 ⋅ 103
AKap
⋅g
m
• p Kolben = Kolben
AKolben
m⋅ g
• ∆p =
AKolben
kg
m3
hHg als Länge des Quecksilbers ⇒ messen
mKolben, dKolben ⇒ messen
m: Masse der Auflagegewichte
Das eingeschlossene Gasvolumen V ergibt sich aus
V = AKap ⋅ x
.
Aufgabe 2: Bestimmung des Volumens als Funktion der Temperatur
• Stellen Sie die Funktion V = f(ϑ) graphisch dar.
• Tragen Sie die Regressionsgerade ein, bestimmen Sie deren Anstieg und schätzen Sie die relative Messunsicherheit durch Antragen der Fehlerbalken ab.
• Bestimmen Sie in einem weiteren Diagramm der gleichen Funktion, aber mit geeigneter Achsenwahl den Schnittpunkt der Messgeraden mit der Temperaturachse bei V = 0 und den absoluten Temperatur-Nullpunkt.
• Ermitteln Sie unter Verwendung des Ergebnisses der Regressionsrechnung den Spannungskoeffizienten γ einschließlich der Messunsicherheit.
- 61 -
Messwertprotokoll
Physikalisches Praktikum
W07
Gasthermometer
Physikalisches Praktikum
Aufgabe 1
• Kolbendurchmesser:
dKolben = 30,8mm
(mit Messschieber gemessen)
Abweichung: uZ(dKolben) = 50µm + 10-4 · 30,80mm = 53 · 10-3mm
(20% kleinster Skalenteilung)
uS(dKolben) = 0,02mm
mKolben = 318,8g
• Kolbenmasse:
(Feinwaage, Ablesbarkeit 0,1g)
Abweichung: u(mKolben) = 0,2g
(syst. + zuf. Anteil abgeschätzt)
x0 = 305mm
• Ruhelänge:
Abweichung: u(x) = u(x0) = 0,5mm
(syst. + zuf. Anteil abgeschätzt)
pat = 766Torr
(1Torr entspricht 133 Pa)
Abweichung: u(pat) = 1Torr
(syst. + zuf. Anteil abgeschätzt)
• Luftdruck:
• Länge des Hg-Fadens: hHg = 12mm
Abweichung: u(hHg) = 0,5mm
Messwerte Aufgabe 1
(syst. + zuf. Anteil abgeschätzt)
Messwerte Aufgabe 2
m/g
x/mm
∆x/mm
m/g
x/mm
V/10-6m3
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
295
291
287
284
281
277
274
271
267
265
262
260
257
254
250
10
14
18
21
24
28
31
34
38
40
43
45
48
51
55
0
100
90
80
70
60
50
40
30
213
288
283
277
269
262
254
246
236
1,22
1,65
1,62
1,58
1,54
1,50
1,45
1,41
1,35
Mit V = AKap ⋅ x
V=
π
⋅d2 =
π
⋅ (2,7 ) ⋅ 10 −6 m 2 ⋅ 0,213m
4
4
−6
V = 1,22 ⋅ 10 m 3
Mit ∆x = x0 − x
- 62 -
2
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
W07
Gasthermometer
Physikalisches Praktikum
Aufgabe 1:
Berechnung der Kraft auf den Quecksilbertropfen nach Gleichung (5):
F = (m + m Kolben ) ⋅ g ⋅
AKap
= (m + mKolben ) ⋅ g ⋅
AKolben
d 2 Kap
d 2 Kolben
m (2,7 mm )
F = (m + 0,3188kg ) ⋅ 9,81 2 ⋅
s (30,8mm )2
2
F = (m ⋅ 0,0751 + 0,024)N
Darstellung der Ergebnisse aus Tabelle 1 im Diagramm 1.
m/g
∆x/mm
F/10-3N
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
10
14
18
21
24
28
31
34
38
40
43
45
48
51
55
24,03
31,57
39,11
46,65
54,19
61,73
69,27
76,80
84,34
91,88
99,42
106,96
114,50
122,04
129,57
Aus dem Diagramm ∆x = f(F) lässt sich ein linearer Zusammenhang bis zu einer Kraft von ca. 95 bis 100mN erkennen. Damit ist der Nachweis des Hookeschen Gesetzes
nach der Gleichung (3) mit der Proportionalität von Auslenkung und einwirkender Kraft erbracht.
Die bei weiterer Erhöhung der Kraft F auftretende Nichtlinearität ist auf den nicht vollständig dichten Kraftübertragungsweg über die Luft zum Quecksilbertropfen zurückzuführen.
Die Messabweichungen im linearen Teil der Kurve werden
durch in das Diagramm eingetragene Fehlerbalken festgestellt. Festgelegt wurden diese so, dass alle Messwerte mit
ihrem Fehlerbalken durch die Trendkurve erfasst werden.
u (F )
= 3%
F
Tab.1: Berechnungsergebnisse
zur Kraft F
u (∆x )
= 3%
∆x
Berechnung des Druckes auf die Luft unter der Quecksilbersäule:
• Luftdruck:
pat = (766 ± 1)Torr
pat = 766 · 133Pa = (1019 ± 1)hPa
• Dichte Quecksilber:
ρHg = 13,55 · 103Kg/m3
- 63 -
(1Torr entspricht 133 Pa)
(Tabellenwert)
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
Druck des Quecksilbertropfens
p Hg =
mHg ⋅ g
AKap
=
p Hg = 13,55 ⋅ 10 3
ρ Hg ⋅ VHg
AKap
=
ρ Hg ⋅ AKap ⋅ hHg ⋅ g
AKap
Kg
m
⋅ 12 ⋅ 10 −3 m ⋅ 9,81 2 = 1,595kPa
3
m
s
u ( p Hg )
rel. Abweichungen:
p Hg
=
u (hHg )
hHg
absolute Abweichung: u ( p Hg ) = p Hg ⋅
⇒
= ρ Hg ⋅ hHg ⋅ g
=
0,5
⋅ 100% = 4,16%
12
u ( p Hg )
p Hg
p Hg = (1,60 ± 0,07)kPa
Druck des Kolbens
m
⋅ g mKolben ⋅ g
p Kolben = Kolben
=
π ⋅d2
AKolben
4
0,3188kg ⋅ 9,81m ⋅ s −2
pkolben =
= 4,198kPa
π ⋅ 30,8 ⋅ 10 −3 m 2
4
(
rel. Abweichungen:
)
u ( p Kolben ) u (mKolben )
u (d Kolben )
0,2g
0,073mm
=
+2
=
+2
= 0,54%
p Kolben
mKolben
d Kolben
318,8g
30,8mm
absolute Abweichung:
⇒
u ( pKolben ) = p Kolben ⋅
u ( p Kolben )
p Kolben
pKolben = (4,20 ± 0,02)kPa
Druckänderung durch Auflagegewichte
m⋅ g
9,81m ⋅ s −2
g
m
= m · 1,317kPa
∆p =
= m⋅
=
⋅
2
π ⋅ d Kolben
π ⋅ 30,8 ⋅ 10 −3 m 2
AKolben
4
4
(
)
u (d Kolben )
u (∆p ) u (m )
=
+2
(im ungünstigsten Fall m = 0,1kg)
∆p
m
d Kolben
u (∆p ) 0,2g
0,073mm
=
+ 2⋅
= (0,2 + 0,5)% = 0,7%
∆p
100g
30,8mm
rel. Abweichungen:
absolute Abweichung:
u (∆p ) = ∆p ⋅
u (∆p )
1,32kPa · 0,7% = 0,001kPa
∆p
- 64 -
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
Berechnung der Gesamtwerte siehe folgende Tabelle2 (Berechnung von V mit V = AKap ⋅ x )
-6
3
m/kg
x/mm
V/10 m
lgV/m
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
295
291
287
284
281
277
274
271
267
265
262
260
257
254
250
1,69
1,67
1,64
1,63
1,61
1,59
1,57
1,55
1,53
1,52
1,50
1,49
1,47
1,45
1,43
-5,77
-5,78
-5,78
-5,79
-5,79
-5,80
-5,80
-5,81
-5,82
-5,82
-5,82
-5,83
-5,83
-5,84
-5,84
3
3
3
∆p/10 Pa
p/10 Pa
lgp/Pa
p·V/N·m
0,00
1,32
2,63
3,95
5,27
6,58
7,90
9,22
10,53
11,85
13,17
14,48
15,80
17,12
18,43
101,88
103,19
104,51
105,83
107,14
108,46
109,78
111,09
112,41
113,73
115,04
116,36
117,68
118,99
120,31
5,01
5,01
5,02
5,02
5,03
5,04
5,04
5,05
5,05
5,06
5,06
5,07
5,07
5,08
5,08
Mittelwert
172,08
171,94
171,74
172,08
172,38
172,02
172,22
172,38
171,85
172,56
172,58
173,22
173,16
173,05
172,21
172,36
Tab.2: Zusammenstellung der zur Auswertung Aufgabe 2 und 3 notwendigen Zwischenergebnisse
Diskussion der Ergebnisse
Aus dem Diagramm2 lgp = f(lgV) ist der Anstieg
∆ (lgV )
= −1
∆ (lg p )
zu entnehmen. Die Rundung von -0,9951 zu -1 von weniger als 0,8% wird zunächst als Messunsicherheit erklärt und im folgenden berechnet.
Es folgt: p ~ 1 / V bzw. p·V = konst. und damit ist der Nachweis des Boyle-Mariotte´schen´Gesetzes
erbracht.
Die maximale Abweichung für p·V wird für den ungünstigsten Messwert m = 0,1kg ermittelt:
u ( pV ) u ( p ) u (V )
=
+
pV
p
V
u ( p ) u ( pat ) u ( p Hg ) u ( p Kolben ) u (∆p )
= (0,1 + 4,2 + 0,5 + 0,7)% = 5,5%
=
+
+
+
p
pat
p Hg
p Kolben
∆p
mit
und
u (d Kap ) 0,5mm
u (V ) u (∆x )
0,05mm
= (3,0 + 3,7)% = 6,7%
+2
=
+2
=
V
d Kap
2,7 mm
291mm
∆x
rel. Abweichungen
⇒
u ( p ⋅ V ) u ( p ) u (V )
=
+
= (5,5 + 6,7)% = 12,2%.
p ⋅V
p
V
p ⋅ V = (171,9 ± 21,0)kPa
Die so ermittelte Messunsicherheit ist größer als die in der Tabelle erfassten Abweichungen vom
Mittelwert, dies unterstreicht die Aussage des Nachweises der Konstanz von p·V im Rahmen der
Messunsicherheit.
- 65 -
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
Aufgabe 2:
ni
Messwert
ϑ / °C
ϑ 2/ °C2
Messwert
x / mm
Messwert
-6 3
Vi / 10 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
100
90
80
70
60
50
40
30
–
10000
8100
6400
4900
3600
2500
1600
900
213
288
283
277
269
262
254
246
236
1,22
1,65
1,62
1,58
1,54
1,50
1,45
1,41
1,35
3338
38000
Tab.3: Zwischenrechnungsergebnisse
Regressionswert
-6 3
Vi’ / 10 m
1,227
1,665
1,621
1,577
1,533
1,490
1,446
1,402
1,358
Mittelwert
2
-12
6
(Vi-Vi’) / 10 m
0,000049
0,000225
0,000001
0,000009
0,000049
0,000100
0,000016
0,000064
0,000064
0,000577
siehe Diagramm 3 V = f(ϑ) Der lineare Ausgleich mit yi = a + b ⋅ xi liefert mit b den Anstieg der
Funktion und mit a das Volumen, das der Temperatur [ϑ ] =°C zuzuordnen ist:
V = 4,4⋅10-9⋅ϑ + 1,23⋅10-6
• Bestimmung des Spannungskoeffizienten
γ=
∆V
b
4,4 ⋅ 10 −9 m 3
= =
= 3,58 · 10-3K-1
V0°C ⋅ ∆ϑ a 1,23 ⋅ 10 −6 m 3 K
• Bestimmung der Messunsicherheit aus zufälliger und systematischer Abweichung
unter Verwendung der Gleichungen nach Abschnitt4.3 der „Einführung in das Physikalische ...“.
Zunächst Bestimmung der Standardabweichungen für den Anstieg b und den Anfangswert a (entspricht V0) unter Verwendung der Standardabweichung für y (entspricht V):
Zufällige Abweichung uZ(γ) des Spannungskoeffizienten
• Bestimmung der Standardabweichung für V:
1 n
Vi − Vi '
∑
n − 2 i =1
(
sV =
)
2
=
1 9
Vi − 1,23 ⋅10 −6 + 4,4 ⋅10 −9 ⋅ϑi
∑
9 − 2 i =1
(
(
Zwischenergebnis Taschenrechner
∑ (V − V )
9
i =1
sV =
i
i
' 2
= 0,00058 ⋅10 −12 m 6
1
⋅ 0,00058 ⋅10 −12 m 6 = 0,0091 ⋅10 −6 m 3
7
- 66 -
))
2
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
• Bestimmung der Standardabweichung für den Anstieg b
n
9
3
−6
sb = sV
= 0,0469 · 10-9m3·K-1
=
0
,
0091
⋅
10
m
2
2
2
2
9 ⋅ 38000°C − 3338°C
n ⋅ϑ − ϑ
• Bestimmung der zufälligen Abweichung von b
sb
0,0469 ⋅ 10 −6 m 3 ⋅ K −1
u Z (b ) = ±t ⋅
= ±2,3 ⋅
= ± 0,036 · 10-9m3·K-1
n
9
(t = 2,3 bei n = 9 und S = 95% (Tab.4.4 der „Einführung ...“))
• Bestimmung der Standardabweichung für Anfangswert V0
sV0 = sb ⋅ ϑ 2 = 0,0469 ⋅ 10 −9 m 3 ⋅ °C −1 ⋅ 38000°C 2 = 9,14 · 10-9m3
• Bestimmung der zufälligen Abweichung von V0
sV
9,14 ⋅ 10 −9 m 3
u Z (V0 ) = ±t ⋅ 0 = ±2,3 ⋅
= ± 7,01 · 10-9m3
n
9
• Bestimmung der zufälligen Abweichung von γ
rel. Abweichung
u Z (γ )
γ
absolute Abweichung:
 0,036   0,007 
 u (b )   u (V ) 
=  Z  +  Z 0  = 
 +
 = 0,00996 = 1%
 b   V0 
 4,4   1,23 
2
2
u Z (γ ) = γ ⋅
u Z (γ )
γ
2
2
= 3,58 · 10-3K-1 · 1% = 0,04 · 10-3K-1
Systematische Abweichung uS(γ) des Spannungskoeffizienten
• Bestimmung für V
u s (d Kap ) u s ( x )
u s (V )
=2
+
(Verwendung des mittleren Messwertes bei 60°C)
V
d Kap
x
u s (V )
0,05mm 0,2mm
=2
+
= (3,70 + 0,08)% = 3,8%
V
2,7mm 262mm
• Bestimmung für b
us(V) = 0,057⋅10-6 m3
us(V0) = 0,024⋅10-6 m3
us(ϑ) = 0,2K
b=
(20% der Skalenteilung)
∆V
∆ϑ
u S (b ) u (∆V ) u (∆ϑ )
u (V )
u (ϑ )
=
+
=2
+2
= 2· (0,057/1,5) + 2· (0,2K/60K) = 8,2%
b
V
ϑ
V
ϑ
- 67 -
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
• Bestimmung der systematischen Abweichung für γ
u s (γ )
γ
=
u S (b ) u (V0 )
+
= 8,2% + (0,024/1,22) = 10,2%
b
V0
absolute Abweichung:
u S (γ ) = γ ⋅
u S (γ )
γ
= 3,58 · 10-3K-1 · 10,2% = 0,37 · 10-3K-1
Bestimmung der Gesamtabweichung für γ
u (γ ) = u Z (γ ) + u S (γ ) = (0,04 + 0,37) · 10-3K-1 = 0,41 · 10-3K-1
oder
u (γ )
γ
=
u Z (γ )
u (γ ) = γ ⋅
Messergebnis:
γ
+
u (γ )
γ
u S (γ )
γ
= (1 + 10,2)% = 11,2%
= 3,58 · 10-3K-1 · 11,2% = 0,41 · 10-3K-1
γ = (3,58 ± 0,41) · 10-3K-1
u (γ )
γ
= 11,2%
Siehe Diagramm 4 V = f(ϑ)
Es ergibt sich aus der Darstellung ein Schnittpunkt bei ϑ = -280°C. Mit der Abweichung von 11,2%
ergibt sich ein Wert von ϑ = -(280 ± 31)°C. Damit wird der Tabellenwert von –273°C gut erfasst.
- 68 -
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
Diagramm 1: Aufgabe 1
- 69 -
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
Diagramm 2: Aufgabe 2
- 70 -
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
Diagramm 3: Aufgabe 3
- 71 -
7. Protokollauswertung
Physikalisches Praktikum
Diagramm 4: Aufgabe 3
- 72 -
Größen und Einheiten
Physikalisches Praktikum
8. Größen und Einheiten
Vorsätze zum Bilden von Vielfachen von Einheiten
Vorsatz
Vorsatzzeichen
Vorsatz
Vorsatzzeichen
Faktor
Exa
E
10
18
Mega
M
10
Peta
P
10
15
Kilo
k
10
Tera
T
10
12
Hekto
h
10
Giga
G
10
9
Deka
da
10
Faktor
Vorsatz
Vorsatzzeichen
Vorsatz
Vorsatzzeichen
6
Dezi
d
10
-1
Nano
n
10
3
Zenti
c
10
-2
Piko
p
10
2
Milli
m
10
-3
Femto
f
10
1
Mikro
µ
10
-6
Atto
a
10
Faktor
Raum und Zeit
Physikalische
Größen
Formelzeichen
Einheiten
Beziehung zwischen den Einheiten
s
h
r
l
Meter
m
Weg
Höhe
Radius
Fläche
A
Quadratmeter
Hektar
m
ha
Kubikmeter
Liter
m
l
1l = 10 m
α, β, γ, ϕ
Rad
Grad
Minute
Sekunde
rad
°
’
’’
1rad = 1m/1m
1° = (π/180) rad = 60’
1’ = (π/10800) rad = 60’’
1’’ = (π/648000) rad
Länge
Volumen
Ebener Winkel,
Drehwinkel
V
Basiseinheit
2
4
1ha = 10 m
3
-3
3
T
t
Sekunde
Periode
(Umlaufzeit,
Schwingungsdauer)
Minute
Stunde
Tag
min
h
d
1min = 60s
1h = 3600s
1d = 86400s
Frequenz
f
Hertz
Hz
1Hz = 1s
Zeit
s
Basiseinheit
-1
Mechanik
Physikalische
Größen
Formelzeichen
Geschwindigkeit
v, u
Beschleunigung
Fallbeschleunigung
Einheiten
Beziehung zwischen den Einheiten
-1
1m/s = 1m · s
-2
1m/s = 1m · s
Meter pro Sekunde
m·s
a
g
Meter pro
Quadratsekunde
m·s
WinkelGeschwindigkeit
ω
Radiant pro
Sekunde
rad · s
WinkelBeschleunigung
α
Radiant pro
Quadratsekunde
Masse
m
Dichte
ρ
-1
2
-2
-1
1rad/s = 1 · s
rad · s
-2
1rad/s = 1 · s
Kilogramm
kg
Basiseinheit
Tonne
Atomare Masseeinheit
t
u
1t = 10 kg
-27
1u = 1,66052 · 10 kg
Kilogramm pro
Kubikmeter
-1
2
-2
3
-3
kg · m
- 73 -
3
1kg/m = 1kg · m
-3
Faktor
-9
-12
-15
-18
Größen und Einheiten
Physikalische
Größen
Physikalisches Praktikum
Formelzeichen
Einheiten
Beziehung zwischen den Einheiten
-2
Kraft
F
Newton
Druck
p
Pascal
Bar
Torr
Pa
Bar
Torr
1Pa = 1N · m = 1kg · m · s
Arbeit
W
Energie
Ε
Joule
Wattsekunde
Elektronenvolt
J
Ws
eV
1J = 1N · m = 1kg · m · s
1Ws = 1J
-19
1eV = 1,602·10 J
Leistung
P
Joule pro Sekunde
J·s
1J/s = 1J · s = 1kg· m · s
Watt
W
1W = 1J · s
N
1N = 1kg·m·s
-2
-1
2
-1
-1
-2
2
-3
-1
S
Kraftstoß
-2
-1
Newtonsekunde
N·s
1N · s = 1kg · m · s
1N · m = 1kg · m · s
Impuls
P
Drehmoment
M
Newtonmeter
N·m
Trägheitsmoment
J
Kilogramm mal
Quadratmeter
kg · m
2
-2
2
Thermodynamik
Physikalische
Größen
Formelzeichen
Temperatur
T
Kelvin
K
Basiseinheit
ϑ
Grad Celsius
°C
0°C = 273,15K
Wärme
Q
Joule
J
1J = 1N · m = 1kg · m · s
Spezifische
Wärmekapazität
c
Joule pro Kilogramm mal Kelvin
Spezifische
Gaskonstante
R
Einheiten
Beziehung zwischen den Einheiten
-1
J · kg · K
2
-1
-1
1J/kg · K = 1J · kg · K
-2
-1
Elektrizität und Magnetismus
Physikalische
Größen
Formelzeichen
Elektrische
Stromstärke
I
Ampere
A
Basiseinheit
Elektrische
Ladung
Q
Coulomb
C
1C = 1A · s
Elektrische
Arbeit
W
Joule
J
1J = 1V · A · s
1J = 1W · s
1J = N · m
Elektrische
Leistung
P
Watt
W
1W = 1V · A
-1
1W = 1J · s
Elektrische
Spannung
U
Volt
V
1V = 1W · A
2
-3
-1
1V = 1kg · m · s · A
Einheiten
Beziehung zwischen den Einheiten
- 74 -
-1
Größen und Einheiten
Physikalische
Größen
Physikalisches Praktikum
Formelzeichen
Einheiten
Beziehung zwischen den Einheiten
-1
-1
Elektrische
Feldstärke
E
Volt pro Meter
Elektrische
Kapazität
C
Farad
F
1F = 1C · V
-1
1F = 1A · s · V
Elektrischer
Widerstand
R
Ohm
Ω
1Ω = 1C · A
Spezifischer
elektrischer
Widerstand
ρ
Ohmmeter
Magnetischer
Fluss
Φ
Weber
Magnetische
Flussdichte
B
Induktivität
L
-1
1V/m = 1W · A · m
V·m
-1
-1
3
Ω·m
-3
1Ω · m = 1m · kg · s · A
2
-1
1W · m = 1Ω · m · m
Wb
1Wb = 1V · s
2
1Wb = 1T · m
Tesla
T
1T = 1V · s · m
-2
1T = Wb · m
Henry
H
1H = 1V · s · A
-1
1H = 1Wb · A
-2
-2
-1
Physikalische Chemie
Physikalische
Größen
Formelzeichen
Stoffmenge
n
Mol
Molare Masse
M
Kilogramm pro Mol
kg · mol
Molare
Volumen
VM
Kubikmeter
pro Mol
m · mol
(Objektmenge)
Einheiten
Beziehung zwischen den Einheiten
mol
3
Naturkonstanten
Elementarladung
e
Basiseinheit
-19
1,60219 ·10
-1
1kg/mol = 1kg · mol
-1
1m /mol = 1m · mol
C
m0e
0,91095 ·10 kg
Ruhemasse des Protons
m0p
1,67265 ·10 kg
Ruhemasse des Neutrons
m0n
0,91095 ·10 kg
e·m0e-1
3
-30
Ruhemasse des Elektrons
Spezifische Ladung eines Elektrons
3
-27
-27
11
1,75880 ·10
C · kg
-1
-27
Atomare Masseeinheit
u
1,66057 ·10 kg
Plancksche Wirkungsquantum
h
6,62618·10
Gravitationskonstante
γ
(6,670 ± 0,007) · 10
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
c
2,99792 ·10 m · s
Elektrische Feldkonstante
ε0
8,85419 ·10
Magnetische Feldkonstante
µ0
1,25664 ·10 V· s · A ·m
-34
J· s
-11
8
-12
-6
- 75 -
2
-1
-1
A · s ·V · kg
-1
-2
N · m · kg
-1
-2
-1
-1
Größen und Einheiten
Physikalisches Praktikum
Umrechnung von Einheiten
Längen, Flächen, Volumenmaß
Längenmaß
Flächenmaß
6
1000km
1km
1m
1dm
1cm
1mm
1µm
1nm
= 10 m
3
= 10 m
0
= 10 m
-1
= 10 m
-2
= 10 m
-3
= 10 m
-6
= 10 m
-9
= 10 m
2
1km
(1ha
(1ar
2
1m
2
1dm
2
1cm
2
1mm
2
1µm
Volumenmaß
6
2
= 10 m
4 2
= 10 m )
2 2
= 10 m )
0 2
= 10 m
-2 2
= 10 m
-4 2
= 10 m
-6 2
= 10 m
-12 2
= 10 m
3
3
10 m × 10 m
2
2
(10 m × 10 m)
1
1
(10 m × 10 m)
0
0
10 m × 10 m
-1
-1
10 m × 10 m
-2
-2
10 m × 10 m
-3
-3
10 m × 10 m
-6
-6
10 m × 10 m
3
1m
3
1dm
3
1cm
3
1mm
3
1µm
0
3
= 10 m
-3 3
= 10 m
-6 3
= 10 m
-9 3
= 10 m
-18 3
= 10 m
0
0
0
10 m × 10 m × 10 m
-1
-1
-1
10 m × 10 m × 10 m
-2
-2
-2
10 m × 10 m × 10 m
-3
-3
-3
10 m × 10 m × 10 m
-6
-6
-6
10 m × 10 m × 10 m
= 1l
= 1ml
=1µl
Druck
-2
2
1Pa = N·m
2
1N·mm
1bar
1Torr
2
1kp·cm = at
-2
bar
2
Pa, N·m
N·mm
1
6
10
5
10
2
1,33 · 10
4
9,81 · 10
10
1
-1
10
-4
1,33 · 10
-2
9,81 · 10
10
1
10
1
-3
1,33 · 10
-1
9,81 · 10
7,5 · 10
3
7,5 · 10
2
7,5 · 10
1
2
7,36 · 10
1,02 · 10
1
1,02 · 10
1,02
-3
1,36 ·10
1
J
kW·h
(kp·m)
(kcal)
(PS·h)
1
6
3,6 · 10
9,81
3
4,186 · 10
6
2,65 · 10
0,278 · 10
1
-6
2,72 · 10
-3
1,16 · 10
0,736
0,102
5
3,67 · 10
1
2
4,27 · 10
6
0,27 · 10
0,239 · 10
2
8,6 · 10
-3
2,35 · 10
1
2
6,32 · 10
0,378 · 10
1,36
-6
3,70 · 10
-3
1,58 ·10
1
W
kW
(kp·m/s)
(kcal/h)
(PS)
0,102
2
1,02 · 10
1
0,119
75
0,86
2
8,6 · 10
8,43
1
2
6,32 · 10
1,36 · 10
1,36
-3
13,3 · 10
-3
1,58 ·10
1
-6
-5
Torr
kp·cm
-3
-5
Arbeit
1J
1kW·h
(1kp·m)
(1kcal)
(1PS·h)
-6
-3
-6
Leistung
1W
1kW
(1kp·m/s)
(1kcal/h)
(1PS)
1
3
10
9,81
1,16
2
7,36 · 10
-3
10
1
-3
9,81 · 10
-3
1,16 · 10
0,736
-3
Dichten (bei 20°C)
Fest
ρ / g·cm-3
Fest
ρ / g·cm-3
Fest
ρ / g·cm-3
Aluminium
Blei
Bronze
Diamant
Fensterglas
Gold
Graphit
2,7
11,39
8,8
3,51
2,5
19,3
2,25
Konstantan
Kupfer
Magnesium
Messing
Platin
PVC
Porzellan
8,8
8,93
1,74
8,4
21,45
1,35
2,3
Quarzglas
Silber
Stahl
Wismut
Wolfram
Zink
Zinn
2,2
10,5
7,8
9,8
19,3
7,13
7,28
Flüssig
ρ / g·cm-3
Flüssig
ρ / g·cm-3
Flüssig
ρ / g·cm-3
Aceton
Ethanol
0,791
0,789
Glyzerol
Methanol
1,260
0,792
Petroleum
Quecksilber
0,81
13,55
- 76 -
Größen und Einheiten
Physikalisches Praktikum
(bei 101,3kPa und 0°C)
Gasförmig
ρ / kg·m-3
Gasförmig
ρ / kg·m-3
Gasförmig
ρ / kg·m-3
Argon
Kohlendioxid
1,78
1,97
Luft (trocken)
Sauerstoff
1,29
1,43
Stickstoff
Wasserstoff
1,25
0,09
Dichte von Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur(0 … 100)°C
ϑ/°C
ρ / g·cm-3
ϑ/°C
ρ / g·cm-3
ϑ/°C
ρ / g·cm-3
ϑ/°C
ρ / g·cm-3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,99984
0,99990
0,99994
0,99996
0,99997
0,99996
0,99994
0,99990
0,99985
0,99978
0,99973
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0,99963
0,99953
0,99941
0,99927
0,99913
0,99897
0,99880
0,99862
0,99843
0,99823
0,99802
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
0,99780
0,99756
0,99732
0,99707
0,99681
0,99654
0,99626
0,99597
0,99567
0,9940
0,9922
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
100
0,9902
0,9880
0,9857
0,9832
0,9806
0,9778
0,9749
0,9718
0,9686
0,9653
0,9583
Schallgeschwindigkeit (Richtwerte für 20°C und Normaldruck)
v / m·s-1
Aluminium
Beton
Blei
Eis
Glas
Gummi
5100
3800
1300
3230
4000 … 5500
40
v / m·s-1
Kupfer
Stahl
Ziegelmauerwerk
Benzin
Wasser bei 4°C
Wasser bei 15°C
3900
5100
3600
1160
1400
1460
v / m·s-1
Kohlendioxid
Luft bei 0°C
Luft bei 10°C
Luft bei 20°C
Luft bei 30°C
Wasserstoff
260
331
337
343
349
1280
Lichtgeschwindigkeiten
c / km·s-1
Diamant
Flintglas
125000
186000
c / km·s-1
Kronglas
Wasser
200000
225000
c / km·s-1
Luft
Vakuum
299711
299792
Brechzahlen
für den Übergang des Lichts aus Luft in den betreffenden Stoff (nLuft ≈ nVak) für die gelbe Natriumlinie
(λ = 589,3nm)
n
Diamant
Ethanol
Eis
Flintglas leicht
Flintglas schwer
n
2,417
1,362
1,310
1,608
1,754
Glyzerol
Kronglas leicht
Kronglas schwer
Luft
Polyethylen
n
1,469
1,515
1,615
1,0003
1,510
Quarzglas
Steinsalz
Vakuum
Wasser
Zimtsäureethylester
1,459
1,544
0,99971
1,333
1,559
Strahlungskonstante (bei 20°C)
c / W·m-2·K-4
Aluminium (poliert)
Aluminium (matt)
Kupfer (poliert)
-8
0,23 · 10
-8
0,40 · 10
-8
0,28 · 10
c / W·m-2·K-4
Kupfer (oxidiert)
Messing (poliert)
Messing (matt)
- 77 -
-8
3,60 · 10
-8
0,28 · 10
-8
1,25 · 10
c / W·m-2·K-4
Stahl (poliert)
Stahl (matt)
schwarze Fläche
-8
0,34 · 10
-8
5,40 · 10
-8
5,67 · 10
Größen und Einheiten
Physikalisches Praktikum
Relative Dielektrizitätskonstanten
Isolierstoff
εr
Isolierstoff
εr
Isolierstoff
εr
Bernstein
Glas
Glimmer
Hartpapier
2,8
5 ...16
5 ... 10
3,5 … 5
Keramik
Luft
Paraffin
Polystyren
100 ... 10000
1,0006
2,0
2,6
Porzellan
Trafo-Öl
Vakuum
Wasser
6
2,5
1
81
Spezifische elektrische Widerstände (bei 20°C)
Metalle
10-6 Ω·m
Legierungen
10-6 Ω·m
Isolierstoffe
Ω·m
Aluminium
Blei
Eisen
Kupfer
Quecksilber
Silber
Wolfram
0,028
0,21
0,10
0,017
0,96
0,16
0,053
Bürstenkohle
Chromnickel
Eisen leg. (4Si)
Konstantan
Manganin
Nickelin
Stahlguss
50
1,2
0,5
0,5
0,43
0,40
0,18
Bernstein
Glas
Glimmer
Holz
Polystyren
PVC
Trafo-Öl
>10
11
12
10 … 10
13
15
10 … 10
9
13
10 … 10
16
… 10
13
… 10
10
13
10 … 10
16
Längen-Ausdehnungskoeffizient (bei t = 0 … 100°C)
α / 10-6 K-1
Aluminium
Blei
Bronze
Gold
Gusseisen
Kadmium
Konstantan
23,8
29,0
17,5
14,2
10,5
30,0
15,2
α / 10-6 K-1
Kupfer
Messing
Molybdän
Neusilber
Nickel
Nickelstahl
Platin
α / 10-6 K-1
16,5
18,5
5,2
18,0
13,0
1,5
9,0
Prozellan
Quarzglas
Silber
Stahl
Wolfram
Zink
Zinn
4,0
0,5
19,7
12,0
4,5
30,0
23,0
Volumen-Ausdehnungskoeffizient
γ / 10-3 K-1
Aceton
Ethanol
Benzin
1,64
1,4
1,0
γ / 10-3 K-1
Ethylacetat
Glyzerin
Methanol
1,37
0,5
1,49
Wärmedurchgangskoeffizient
Petroleum
Terpentinöl
Wasser
-2
3
10
5,8
4,1
5,3
2,4
20
1,5
3,8
0,7
2,4
4,1
- 78 -
0,4
1,8
3,6
1,0
1,0
0,18
-1
k / W·m ·K
Dicke des Stoffes in mm
50
100
120
4,3
3,7
3,5
Stoff
Eisenbeton
Glas
Hartschaum
Holzwand
Kalksandstein
Kiesbeton
Ziegelstein
γ / 10-3 K-1
1,7
3,1
3,4
2,9
250
2,4
380
510
2,2
2,3
2,0
1,7
1,4
1,5
1,3
Literatur
Physikalisches Praktikum
9. Literaturhinweise
Alle Literaturhinweise beziehen sich nur auf spezielle Literatur zum Physikalischen Praktikum. Allgemeine Physiklehrbücher sind nicht erfasst, dafür sollten die Empfehlungen des jeweiligen Dozenten
genutzt werden.
Walcher, W.
Praktikum der Physik
Teubner Verlag (Teubner Studienbücher)
Geschke, D. (Hrsg.)
Physikalisches Praktikum
Teubner Verlag Leipzig
Eichler, H.J.; Kronfeldt,
H.D., Sahm, J.
Das Neue Physikalische Praktikum
Springer
Becker, J.; Jodl, H.-J.
Physikalisches Praktikum für Naturwissenschaftler
und Ingenieure
VDI – Verlag
Taylor, J.R.
Fehleranalyse
VCH Verlagsgesellschaft
Adunka, F.
Messunsicherheiten Theorie und Praxis
Vulkan – Verlag
Gränicher, H.
Messung beendet – was nun?
Vdf / Teubner
Squires, G.L.
Messergebnisse und ihre Auswertung
De Gruyter Verlag
Kunze, H.-J.
Physikalische Messmethoden
Teubner Verlag (Teubner Studienbücher)
DIN 1319 T1 – T4
Grundbegriffe der Messtechnik
DIN 461
Graphische Darstellung in Koordinatensystemen
- 79 -