2.1 Lineare Gleichungssysteme 29 Beispiel : obiges

2.1 Lineare Gleichungssysteme
29
Beispiel : obiges Gleichungssystem nicht lösbar, da eb4 = 4 6= 0!
Modifikation: ersetzen b4 = 4 durch b4 = 0 y analog folgt dann



0
0
2 −1 2 1
1 −2
 1 −2

 0
3
4
2
2
0
 99K 
(A|~b) = 
 2 −4
 0
8
9 0 3 
0
−1
2 −5 −6 5 0
0
0
3
2
0
0
4
−1
2
0
2
2
−6
0

2
1 

−2 
0
III Rückwärtssubstitution betrachten es erst am Beispiel
Beispiel 2.1.4 Das (modifizierte) Gleichungssystem

1 −2 3
4
 0
0 2 −1

 0
0 0
2
0
0 0
0

2
1 

−2 
0
2
2
−6
0
lautet explizit
x1
− 2x2
+
3x3
2x3
+
−
4x4
x4
2x4
+ 2x5
+ 2x5
− 6x5
=
=
=
2
1
−2
y beschreibt Abhängigkeit der abhängigen Variablen x1 , x3 , x4 , die zu den •-Stellen gehören, von den
freien bzw. unabhängigen Parametern x2 , x5 ; man setze
x2 = λ,
y
x5 = µ für beliebige λ, µ ∈ R
x1 + 3x3 + 4x4 = 2 + 2λ − 2µ
2x3 − x4 = 1
− 2µ
2x4 = −2
Rückwärts-
+ 6µ −−−−−−→ x4 = −1 + 3µ
substitution
x3 = x24 +
x1 = −3
1
2
µ
2
−µ=
|{z}
x3
−4 (−1 + 3µ) +2 + 2λ − 2µ
| {z }
= 6 + 2λ −
y allgemeine Lösung:
  
x1
6 +2λ − 31
2 µ
x2  
λ
  
µ
 
~x = 
2
x3  = 
x4   −1
+3µ
x5
µ


6
  0
 
= 0
 
  −1
0


2

1


 + λ0



0
0
µ
2
31
2 µ

x4

− 31
2

 0

 1
 + µ

 2

 3
1






allgemein:
• freie Variable sind die zu Spalten ohne •-Stelle gehörenden Unbekannten, bezeichnet mit λ1 , . . . , λn−r
• abhängige Variable stehen in den zu •-Stellen gehörigen Spalten, nach ihnen wird (in Abhängigkeit von
λ1 , . . . , λn−r ) aufgelöst
Definition 2.1.5 Die Zahl r wird als Rang der Matrix A bezeichnet, r = rg(A).
30
2 Lineare Algebra
betrachten jetzt wieder Gleichungssystem A~x = ~b aus Definition 2.1.1
Satz 2.1.6
(i) Das lineare Gleichungssystem A~x = ~b besitzt genau dann eine Lösung, wenn gilt
rg(A|~b) = rg(A).
(ii) Das homogene lineare Gleichungssystem A~x = ~0 hat genau dann nur ~x = ~0 als einzige Lösung, wenn
rg(A) = n gilt.
(iii) Ist die Anzahl m der Gleichungen kleiner als die Anzahl n der Unbekannten, d.h. m < n, so besitzt
A~x = ~0 stets nicht-triviale Lösungen ~x 6= ~0.
(iv) Gilt m = n, so ist das inhomogene lineare Gleichungssystem A~x = ~b genau dann eindeutig lösbar,
wenn rg(A) = n gilt.
Beispiel : Man bestimme die Schnittmenge der beiden Ebenen
E1 = {~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = −2},
E2 = {~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 − x2 + 2x3 = −4}.
y gesucht ist die Lösung des linearen Gleichungssystems
 
¶ x1
µ ¶
µ
1
1 1
x2  = −2
1 −1 2
−4
x3
|
{z
} | {z } | {z }
A
µ
Umformung:
1
1
1 1
−1 2
−2
−4
¶
~
x
µ
99K
~b
1
1 1
0 −2 1
−2
−2
¶
y x3 = λ freie Variable, Auflösung von x1 , x2 nach λ:
3
1
x3 = λ
x1 = − λ − 3,
x2 = λ + 1,
2
2
 

  
 3 
−3
x1
−3 − 32 λ
−2
 

  
 1 
1
y x2  =  1 + 2 λ  =  1  +λ  2  = ~u + λ~v
x3
λ
|
0
{z }
~
u
|
1
{z }
~
v



 3 
−3
−2




 1 
3
y E1 ∩ E2 = L = ~x ∈ R : ~x = ~u + λ~v =  1  + λ  2  ,


0
1



λ∈R


Gerade
2.2 Basis und Dimension
31
x3
L
E1 : x1 + x2 + x3 = −2
−2
E2 : x1 − x2 + 2x3 = −4
x2
2
−2
−2
0
2
x1
2.2
Basis und Dimension
Definition 2.2.1 Eine nichtleere Teilmenge U ⊂ Rn heißt Unter(vektor)raum von Rn , falls für alle ~x, ~y ∈ Rn
und λ ∈ R gilt
(U1) ~x, ~y ∈ U
=⇒
(U2) ~x ∈ U , λ ∈ R
~x + ~y ∈ U
=⇒
λ~x ∈ U
Bemerkung∗ : U 6= ∅ y ∃ ~x ∈ U
λ=0
−−−→
(U2)
0~x = ~0 ∈ U
für beliebige Unterräume U
Beispiele : (a) U = {0}, U = Rn Unterräume des Rn
(b) Geraden L ⊂ R3 und Ebenen E ⊂ R3 mit ~0 ∈ L, ~0 ∈ E Unterräume des R3 :
~x ∈ L ⇐⇒ ∃ µ ∈ R, ~u, ~v ∈ R3 : ~x = ~u + µ~v
y λ~x ∈ L ⇐⇒ ∃ γ ∈ R : λ~u + λµ~v = ~u + γ~v ⇐⇒ ∃ γ ∈ R : (λ − 1)~u =
(γ − λµ)~v =⇒ ∃ % ∈ R : ~u = %~v y L = {~x ∈ R3 : ~x = β~v , β ∈ R} y ~0 ∈ L
λ bel.
(c) sei L(A|~0) Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems y U = L(A|~0)
Unterraum: ~x, ~y ∈ U ⇐⇒ A~x = A~y = ~0 =⇒ A(λ~x) = ~0, A(~x + ~y ) = ~0
(d) sei L(A|~b), ~b 6= ~0, Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems y
L(A|~b) kein Unterraum: seien ~x ∈ L(A|~b), ~y ∈ L(A|~b) ⇐⇒ A~x = ~b, A~y = ~b y
A(~x + ~y ) = 2~b 6= ~b y ~x + ~y 6∈ L(A|~b)
erweitern Definition 1.3.4 naheliegend
32
2 Lineare Algebra
Definition 2.2.2 (i) Die Vektoren a~1 , . . . , a~k ∈ Rn , k ∈ N, heißen linear unabhängig genau dann, wenn
für alle λ1 , . . . , λk ∈ R aus der Eigenschaft
k
X
λi a~i = λ1 a~1 + · · · + λk a~k = ~0
i=1
folgt λ1 = · · · = λk = 0. Anderenfalls heißen die Vektoren a~1 , . . . , a~k linear abhängig.
(ii) Ein Vektor ~b ∈ Rn heißt Linearkombination der Vektoren a~1 , . . . , a~k ∈ Rn , falls es Zahlen λ1 , . . . , λk ∈
R gibt, so dass gilt
~b = λ1 a~1 + · · · + λk a~k .
(iii) Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren a~1 , . . . , a~k ∈ Rn , k ∈ N, heißt lineare Hülle (oder
Spann) der Vektoren a~1 , . . . , a~k ∈ Rn ,
span (a~1 , . . . , a~k ) = {λ1 a~1 + · · · + λk a~k : λ1 , . . . , λk ∈ R} .
Bemerkung∗ : seien

a11
 ..
A= .
an1
···
..
.
···

a1k
..  ,
. 

a1i
 
a~i =  ...  ,
ank


λ1
k
X
 
~y =  ...  y
λi a~i = ~0 ⇐⇒ A~y = ~0
ani

λk
i=1
d.h. a~1 , . . . , a~k linear unabhängig genau dann, wenn A~y = ~0 nur triviale Lösung ~y = ~0 besitzt
Satz 2.2.3 Seien a~1 , . . . , a~k ∈ Rn , k ∈ N. Dann ist U = span (a~1 , . . . , a~k ) ein Unterraum des Rn .
B e w e i s∗ : einsetzen und nachrechnen
³
´
Definition 2.2.4 Seien U ein Unterraum des Rn und b~1 , . . . , b~k ∈ U , k ∈ N. Dann heißt b~1 , . . . , b~k Basis
von U , falls folgende zwei Eigenschaften gelten:
(B1) b~1 , . . . , b~k sind linear unabhängig,
³
´
(B2) U = span b~1 , . . . , b~k .
Die Anzahl der Elemente einer Basis von U heißt Dimension von U , dim U = k.
Bemerkung∗ :
• Dimensionsbegriff stimmt mit ‘herkömmlicher’ Vorstellung (für Rn , n = 1, 2, 3) überein
• alle Basen U haben gleiche Anzahl von Elementen y dim U wohldefiniert
³
´
Satz 2.2.5 Ist b~1 , . . . , b~k Basis des Unterraumes U ⊂ Rn , so lässt sich jeder Vektor ~x ∈ U in eindeutiger
Weise als Linearkombination der b~m , m = 1, . . . , k, schreiben, d.h. jedes ~x ∈ U besitzt eine Darstellung
~x = λ1 b~1 + · · · + λk b~k
für eindeutig bestimmte Zahlen λ1 , . . . , λk ∈ R.