Gedämpfte und erzwungene Schwingungen

Versuch 354
Gedämpfte und erzwungene
Schwingungen
Thorben Linneweber∗
Marcel C. Strzys∗∗
28.10.2008
Technische Universität Dortmund
Zusammenfassung
Protokoll zum Versuch zur Bestimmung der Parameter gedämpfter
und erzwungener Schwingungen anhand des RCL-Kreises.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theorie
2.1 Die gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . .
2.2 Die erzwungene Schwingung . . . . . . . . . .
2.3 Die Impedanz des RCL-Serienschwingkreises .
2.4 Aufbau und Durchführung . . . . . . . . . . .
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1
1
3
5
6
3 Auswertung und Diskussion
3.1 Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . .
3.2 Aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . .
3.3 Resonanzüberhöhung . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Freqenzabhängigkeit der Phasenverschiebung .
3.5 Impedanzabhängigkeit von der Erregerfrequenz
.
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7
7
10
10
14
16
4 Literatur
∗
∗∗
17
[email protected]
[email protected]
1
1. Problemstellung
Das hier beschriebene Experiment stellt in gewisser Weise eine Erweiterung des zuvor
erwähnten dar: Während der RC-Kreis nur einen Energiespeicher - nämlich die Kapazität C – enthält, wird hier ein System, das aus zwei Energiespeichern besteht, betrachtet. Als 1zweiter
Speicher dient eine Induktivität L, realisiert in einer 1Spule (siehe
EINLEITUNG
Abb.1). Wenn zu einem Zeitpunkt auf irgendeine Weise ein bestimmter Energiebetrag
1
Einleitung
C
In diesem Versuch werden Schwingungen
anL Hand des RCL-Kreises untersucht. Es werden die unterschiedlichen Möglichkeiten der Schwingung
(gedämpft und erzwungen), sowie deren Parameter bestimmt. Neben der
Abb.1: Ungedämpfter
Schwingkreis
Untersuchung von Schwingungen
wird zusätzlich
noch die Impedanz eines
Serienschwingkreises ermittelt.
in den Schaltkreis hineingepumpt wird, besteht jetzt die Möglichkeit, dass die Energie
2 Theorie
ständig zwischen
den beiden Speichern hin und her pendelt. Der Strom I (t) wechselt
also periodisch
anders als beim RC-Kreis, wo er nur in einer Rich2.1 sein
DieVorzeichen
gedämpfte –Schwingung
tung fließt und mit der Zeit abklingt. Das System aus Kapazität und Induktivität kann
Es wir zunächst Abbildung 1 betrachtet. Es sind drei elektrische Bauteialso periodische
Ist im Schaltkreis
kein
energieverbrauchenle in Schwingungen
einem Serienkreis ausführen.
angeordnet: Kondensator,
Spule und
Widerstand.
stellt ein schwingfähiges
System dar, da der Aufbau
magnetischen
des ElementDies
vorhanden,
bleibt der Energieaustausch
zeitlichdes
unbegrenzt
erhalten. Man
Feldes der Spule mit dem Abbau des elektrischen Feldes des Kondensators
bezeichnet diesen Vorgang als ungedämpfte Schwingung.
einhergeht und andersherum. Der Widerstand dämpft diese Schwingungen,
Baut man nun
in den
Schaltkreis
einen
ohmschen
Widerstand
R ein (siehe Abb.2), so
indem
er elektrische
Energie
in einem
irreversiblen
Prozess in Wärmeenergie
umwandelt. und irreversibel elektrische Energie in Joulesche Wärme umgewird in ihm fortwährend
UR (t)
R
UC (t) C
L UL (t)
Abb.2: Gedämpfter Schwingkreis
Abbildung 1: Der RCL-Kreis zur Beobachtung gedämpfter Schwingungen.
wandelt. DasZur
bedeutet,
dass
gesamte elektrische
Energie
im Schaltkreis
Herleitung
der die
Schwingungsformeln
wird das
2. kirchhoffsche
Gesetz mit der Zeit
angewendet:
abnimmt, und
die Amplitude sowohl des Stromes als auch der Spannung am Kondensator eine monoton fallende Funktion der Zeit werden. Man spricht jetzt von einer
gedämpften Schwingung.
UR + UC + UL = 0
d2 Isollen
R dIgedämpfte
1
Im ersten Teil dieses Experimentes
elektrische Schwingungen näher
+
+
I=0
(1)
2
dt
L
dt
LC
untersucht werden. Insbesondere interessiert hier das Zeitgesetz, nach dem die AmDiese Differentialgleichungabnimmt.
lässt sich über
Ansatz: sollen mit Ergebnissen, die
plitude der Kondensatorspannung
Dieden
Messdaten
aus der Lösung der zugehörigen Schwingungsdifferentialgleichung folgen, verglichen
I(t) = Aeiωt
werden.
Der zweite Teil
des
Experimentes
lösen.
Man
erhält für ω: befasst sich mit Erscheinungen, die auftreten, wenn
an einen Schwingkreis von außen eine Spannung mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit
2
THEORIE
2
ω1,2
r
R
=i
±
2L
1
R2
−
LC
4L2
(2)
und somit für die Lösung der DGL:
I(t) = u1 eiωt + u2 eiωt
Mit den Abkürzungen:
2πµ :=
2πv :=
R
2L
r
1
R2
−
LC
4L2
wird daraus:
I(t) = e−2πµt (u1 ei2πvt + u2 e−i2πvt )
(3)
Die Gestalt der Lösung der DGL hängt nun entscheident davon ab, ob der
Term für ω negativ wird. Man unterscheidet hier in zwei Fälle:
1.Fall:
1
LC
>
R2
4L2
d.h. v ist reell
Damit I(t) reell wird muss dann u1 = u2 sein. Durch den Ansatz
1
u1 = A0 eiη
2
1
u2 = A0 e−iη
2
erhält man als Lösung für die gedämpfte Schwingung:
I(t) = A0 e−2πµt cos (2πvt + η)
(4)
Die Schwingungsdauer hat somit den Wert:
T =
1
2π
=q
v
1
LC −
R2
4L2
(5)
Die Abklingdauer, die charakteristisch für die Abnahme der Amplitude ist
(Nach Tex ist die Amplitude auf den e-ten Teil abgesunken), ergibt sich zu:
(Thomsonsche Schwingungsformel)
2
2
der ungedämpften Schwingung an, wenn R /4L klein gegen 1/LC wird. Die Abnahmegeschwindigkeit der Amplitude ist durch die Größe 2πµ = R/2L charakterisiert. Nach der
Zeit
1
2L
Tex :=
=
2 πµ
R
2 THEORIE
3
hat die Amplitude
auf den e-ten Teil ihres ursprünglichen Wertes abgenommen.
Tex bezeichnet man auch als Abklingdauer.
I (t)
t
Abb.3: Darstellung einer gedämpften Schwingung (Die Einhüllende dieser Kurve wird durch ± e
−2πµ t
Abbildung 2: Darstellung der gedämpften Schwingung.
beschrieben.)
2.Fall: Sei
2L d.h. ~
ν imaginär
In der Gleichung (4) kommen dann nur nochRreelle Exponentialfunktionen vor. Die Lögedämpfte
ist in Abbildung
2 dargestellt.
sung I (t)Die
enthält
keinenSchwingung
oszillatorischen
Anteil mehr.
Es liegt der Fall der aperiodischen
2
2
1/LC < R /4L
Tex :=
Dämpfung vor. Je
nach
Wahl der Integrationskonstanten A1 und A2 kann I (t) zunächst
1
R2
2.Fall: LC
< 4L
2 d.h. v ist imaginär
einen Extremwert erreichen oder sofort monoton gegen null gehen (siehe Abb.4,
durchgezogene
Linien).
Nach3hinreichend
Zeit verläuft
I (t) etwaAnteil
proportional
zu
Dann wird
Gleichung
reell. Es gibtgroßer
also keinen
oszillatorischen
in
2 3 I2 3 wird maximal
der Lösung, so dass2A73 hier29 3Bein Relaxationsverhalten
vorliegt.
t
AB
9E
2
2
2R
3
2 3t 2 3
23−
2
L
−
R
4
L
−
1
L
C
exp
, v = 0 be9C
9F
A8
AC
2
3
2
3
und strebt dann monoton
gegen
Null.
Als
Spezialfall
wird
noch
23
23
9D
A0
A9
AD
trachtet. Dies ist der Grenzfall für welchen gerade keine Oszillation mehr
das heißt,
es liegt
ein wird
einfaches
Relaxationsverhalten
vor, so wie es in V353, Kap.1 beauftritt.
Dann
aus Gleichung
3:
schrieben wurde.
Von Bedeutung ist der Spezialfall:
−√t
R
I(t) = Ae− 2L t = Ae
2
2
1/LC = R ap
/4L
LC
d.h.
ν=0 ,
Dieser Grenzfall wird auch als aperiodischer Grenzfall bezeichnet. Hier strebt
dann wird
die Stromstärke am schnellsten - ohne Nulldurchlauf - gegen Null (siehe ge− t
strichelte Linie in Abbildung 3). − 2RL • t
LC
I (t ) = A
2.2
e
= A
e
.
Die erzwungene Schwingung
Es wird nun Abbildung 4 betrachtet. Ein Spannungsgenerator sorgt für eine
sinus-förmige harmonische Anregung:
Ut = u0 eiωt
Analog zur Gleichung 1 erhält man:
2
THEORIE
4
288
I (t)
289
3. Aufstellung und Lösung einer Differentialgleichung für erzwungene Schwingungen
t
In diesem Abschnitt werden am Beispiel des elektrischen Schwingungskreises
die Eigenschaften eines schwingungsfähigen Systems untersucht, das dem Einfluss einer
äußeren periodischen Kraft (Spannung) unterworfen ist. In dem gedämpften SchwingAbb.4: MöglicherMöglicher
Zeitverlauf des
Stromes in
einem
Schwingkreis mit
aperiodischer
Dämpfung
Verlauf
der
Stromstärke
bei
der die
aperiodischer
kreisAbbildung
nach Abb. 3:
2 werde nun eine
Spannungsquelle
eingeschaltet,
eine sinusförDämpfung.
mige
(t) liefert
(siehe Abb.6):
ManWechselspannung
nennt diesen Fall U
den
aperiodischen
Grenzfall. Hier geht I (t) ohne Überschwingen am schnellsten gegen null (gestrichelte Kurve in Abb.4).
L
Gleichung (2) ist ein Beispiel für eine Rlineare Differentialgleichung
2.Ordnung. Diese
sind in der Physik sehr verbreitet. Man kann damit Schwingungsvorgänge in den unterschiedlichsten Disziplinen beschreiben. Etwas vereinfacht kann man sagen, dass sie
U (t)
C
U (t)
immer dann gültig sind, wenn die Periodendauer unabhängig Cvon der Amplitude ist. Ein
Beispiel aus der Mechanik soll im Folgenden noch kurz dargestellt werden. Ein System,
das aus einer Masse m besteht, die an zwei ideal elastischen Federn (Federkonstante
D) aufgehängt ist und eine perforierte Platte durch eine viskose Flüssigkeit (ReibungsAbb. 6:S) Erzeugung
einersich
erzwungenen
in einem elektrischen Schwingkreis
konstante
bewegt, lässt
durch
dieSchwingung
Differentialgleichung
Abbildung
4: Der
RCL-Kreis
mit harmonischer
Anregung
~
U (dt )2 x= U0 edj xω t .
m
+ S
+ Dx = 0
dt
d t2
Die Differentialgleichung (2) nimmt dann die Gestalt an:
(x Auslenkung
aus der Gleichgewichtslage)
d I 2 der Masse m
t
ducQ = U e j ωiωt
L d uc+ +RRC
I +
beschreiben.
LC
+ uc =0 U0 e
(6)
d dt
t 2
C
dt
S
oder
Ziel ist es, die Amplitude
und
den
Phasenunterschied
der Kondensatorspand2 U Cder Erregerspannung
d UC
nung
über
die
Frequenz
auszudrücken.
Anm
(7)
+ RC
+ U C = U0 e j ω t Mit einem
.
D LC
2
d
t
d
t
satz analog zur Lösung von Gleichung 1 erhält man nach kurzer Rechnung
(6)
gewünschten
Gleichungen:
Q (t)die
bedeutet
hierin die
Ladung auf dem Kondensator, und somit stellt
UC(t) = Q (t)/C
−ωRC
(7)
die Spannung am Kondensatorϕ(ω)
dar. = arctan
1 − LCω 2
Im Folgenden soll nun berechnet werden, wie die Amplitude A der KondensatorspanAbb. 5: Schematische Darstellung eines mechanischen Systems, das gedämpfte Schwingungen
nung und ihr Phasenunterschied gegenüber der Erregerspannung U(t) von der Freausführen kann
U0
quenz abhängen. Mit dem Ansatz
UC (ω) = p
(8)
2beiden
2 + ω 2Differentialgleichungen
2C 2
Man erkennt die formale Übereinstimmung
der
(2) und
jωt
(1
−
LCω
)
R
(8)
UC (ω, t) = A (ω) e
(A komplex)
(6). Es entsprechen sich die Größen m und L, S und R sowie D und 1/C. Das mechaEs istSystem
zu erkennen,
dass
Spannung
am
UC (ω)
für
ω Schwin→
∞ Beversucht
man,
eine
Lösung
desdie
Problems
zu finden.
(8)sich
in (7)
eingesetzt
ergibt
eine
nische
führt
demnach
eine
Bewegung
aus,Kondensator
die
ebenfalls
durch
die
gegen Null geht
unddiefür
stimmungsgleichung
für
Funktion
gungsgleichung
(4) beschreiben
lässt.A (ω)
2
- LCω A + jωRC
A + A = U0
r
Nach A aufgelöst bekommt man ω res =
(9)
A
=
U0
2
1 − LCω
Nach (9) hat A den Betrag
+ j ωR C
.
R2
1
−
LC
2L2
=
(
2
)
U0 1 − L C ω
− j ωR C
LCω
+ ω2 R 2 C 2
(1 −
)
2 2
(9)
.
2
THEORIE
5
292
L
R
C
z
Abb.7: Der 5:
Serienschwingkreis
als Zweipol
Zweipol
Abbildung
Der RCL-Kreis als
An seinen Enden beobachtet man einen frequenzabhängigen Widerstand z, der in der
(der sogenannten Resonanzfrequenz ) ein Maximum erreicht, welches höher
Literatur als
wird. Wegen der zumeist vorhandenen Phasenverals Impedanz
U0 sein kann.bezeichnet
Falls
schiebung zwischen der anliegenden Spannung und dem durch den Zweipol fließenden
Strom muss z als komplexe Zahl definiert
1
R2 werden:
z=
2L2
<<
(10)
LC
X + jY
.
gilt, liegt der Fall der schwachen Dämpfung vor. Eingesetzt in Gleichung 8
1
ergibt
sich eine
Spannung am Sie
Kondensator,
die um
den Faktor w
höher
X und Y sind reelle
Widerstände.
tragen die
Bezeichnung
Wirkwiderstand
und
0 RC
ist, als die Erregerspannung. Dieser Faktor wird als Resonanzüberhöhung
Blindwiderstand (Reaktanz). Der Betrag der Impedanz
oder Güte des Schwingkreises bezeichnet. Um die Schärfe der Resonanz an1
zugegen bestimmt man die Frequenzen2 ω+ und
z = X + Y 2 ω− für die UC auf √2 des
Maximalwertes abgesunken ist. Dies eingesetzt in Gleichung 8 gibt für die
Breite der Resonanzkurve:
wird als Scheinwiderstand bezeichnet. Der Verlauf der Größe z(ω) in der komplexen
Zahlenebene nennt man die Ortskurve des Zweipols.
z lässt sich dort durch einen vom
R
ω+ −
ω− ≈ Länge den Scheinwiderstand
(11) darstellt,
Ursprung ausgehenden Pfeil darstellen,
dessen
L
und dessen
α gegen
die reelle
die Phasenverschiebung
zwischen Strom
DieWinkel
Güte der
Resonanzkurve
ist Achse
dann definiert
durch:
und Spannung angibt (Abb.8).
imaginäre
Achse
2.3
q=
w0
ω+ − ω−
z (ω)
(12)
z
Ortskurve
Die Impedanz des RCL-Serienschwingkreises
Zuletzt wird noch die Impedanz eines Schwingkreises,
Y wie in Abbildung 5
gezeigt, ermittelt.
Die komplexen Widerstände der Bauteile werden aufaddiert. Es ergibt sich:
α
reelle
Achse
1
Zs = Rs + i wL −
X
wC
Abb.8: Darstellung der Impedanz eines Zweipols in der komplexen Zahlenebene
Der Scheinwiderstand ergibt sich demnach zu:
Im Experiment ist nun die Ortskurveseines Serienschwingkreises von Interesse. Man
2
1 als
bezeichnet die Anordnung der |Z
Bauteile
gemäß
Abb.7
Serienschwingkreis
, da die
2
(13)
Rs + ωL −
s| =
ωC
Kapazität und die Induktivität in Bezug auf eine Spannungsquelle,
die an dem Enden
des Zweipols angeschlossen, wird, in Serie geschaltet sind. Die Impedanz z des Serienschwingkreises errechnet sich mit den Widerstandsoperatoren
zC = − j 1 ,
z L = j ωL und
zR = Rs
ωC
für die Kapazität, die Induktivität und den ohmschen Widerstand (z.B. V 302, Kap.3) zu
23
9B
23
1
23
9E
23
2
THEORIE
6
Die bedeuted, dass für
ω=√
1
LC
(14)
der Scheinwiderstand maximal wird.
2.4
Aufbau und Durchführung
Im Folgendem soll ein kurzer Überblick über die Einzelversuche und ihre
Durchführung gegeben werden.
• Der unbekannte Dämpfungswiderstand soll bestimmt werden. Dazu
schließt man den RCL-Kreis an ein Nadelimpulsgenerator an und misst
die Kondensatorspannung mit Hilfe eines Oszilloskopes. So sollte durch
den kurzen Spannungsimpuls das System zur Schwingung angeregt
werden und am Bildschirm des Oszilloskopes der Schwingvorgang ähnlich
zur Abbildung 2 auf Seite 3 zu erkennen sein. Der davon angefertigte
Thermodruck ist derart auswertbar, dass der Dämpfungswiderstand
bestimmt werden kann.
• Man bestimmt den Dämpfungswiderstand für den der aperiodische
Grenzfall vorliegt. Hierfür wird ein regelbarer Widerstand verwendet
und so eingestellt, dass auf dem Bildschirm des Oszilloskopes der aperiodische Grenzfall zu erkennen ist. (Vergleiche mit der gestrichtelten
Linie in Abbildung 3 auf Seite 3)
• Die Frequenzabhängigkeit der Kondensatorspannung an einem Serienresonanzkreis soll ermittelt werden. Die Kondensatorspannung wird
mit einem Millivoltmeter für einen Frequenzbereich bestimmt, der mit
einem Sinusgenerator durchlaufen wird. Zusätzlich wird auch immer
die Generatorspannung unter Last gemessen.
• Die Frequenzabhängigkeit der Phase zwischen Kondensator- und Erregerspannung wird bestimmt. Hierfür werden beide Spannungen an das
Oszilloskop angeschlossen und ein Frequenzbereich - wie zuvor auch mit einem Sinusgenerator durchlaufen. Es werden die Nulldurchgänge
der Spannungen gemessen, um auf die Phasendifferenz schließen zu
können.
• Im letzten Versuchsteil soll die Frequenzabhängigkeit des Scheinwiderstandes gemessen werden. Hierfür wird ein Impedanzmesser verwendet. Es werden verschiedene Frequenzen eingestellt und die Phase und
die Widerstände notiert.
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
3
3.1
7
Auswertung und Diskussion
Gedämpfte Schwingung
Mit den aus einem Thermodruck entnommenen Werten soll nun der Dämpfungswiderstand
bestimmt werden. Die entnommenen Wert finden sich in der folgenden Tabelle:
StreckeX [cm] StreckeY [cm] Zeit [ms] Spannung [V]
0,40
3,10
0,04
0,16
0,70
2,80
0,07
0,14
1,00
2,50
0,10
0,13
1,35
2,20
0,14
0,11
1,65
1,90
0,17
0,10
1,95
1,70
0,20
0,09
2,30
1,55
0,24
0,08
2,60
1,40
0,27
0,07
2,90
1,20
0,30
0,06
3,20
1,10
0,33
0,06
3,55
0,90
0,36
0,05
3,85
0,80
0,39
0,04
4,15
0,70
0,43
0,04
4,45
0,60
0,46
0,03
4,80
0,55
0,49
0,03
5,10
0,50
0,52
0,03
5,40
0,40
0,55
0,02
5,75
0,35
0,59
0,02
6,05
0,30
0,62
0,02
6,35
0,28
0,65
0,01
6,67
0,20
0,68
0,01
7,00
0,15
0,72
0,01
Umrechnungsfaktor (Strecke-Zeit): 1,0256 [ms/cm]
Umrechnungsfaktor (Strecke-Spannung): 0,0513 [V/cm]
Ln(U/[V])
-1,84
-1,94
-2,05
-2,18
-2,33
-2,44
-2,53
-2,63
-2,79
-2,88
-3,08
-3,19
-3,33
-3,48
-3,57
-3,66
-3,89
-4,02
-4,17
-4,26
-4,58
-4,87
Dabei wird der natürliche Logarithmus der Spannung berechnet und in die
Berechnung mit einbezogen, da nach 3 die Formel für den Stromstärkeabfall
und damit auch für den Spannungsabfall eine e-Funktion ist und der Graph
durch die Verwendung von ln(Uc/[U]) eine Gerade ergibt (die y-Achse wird
dadurch einheitenlos). Für diese Gerade ist es nun möglich eine lineare Ausgleichrechnung durchzuführen und über die Steigung der Ausgleichsgerade
den Dämpfungswiderstand zu ermitteln. Graphisch dargestellt sind die Werte in Abbildung 6.
Nach den unten stehenden Formeln wird nun die Steigung m und der yAchsenabschnitt b der Ausgleichsgeraden und deren Fehler bestimmt.
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
8
1,00
Spannung [V]
0,10
Messwerte
Expon. (Messwerte)
0,01
y = 0,2076e-4,22x
0,00
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
Zeit [ms]
Abbildung 6: Darstellung des Spannungsabfalles am Kondensator.
P
P
N
N
1
1
x
·
y
−
x
y
k
k
k
k
k=1
k=1
k=1
N
N
xy − x̄ · ȳ
=
m = ¯2
2
P
P
2
N
N
x − x̄
1
1
2
k=1 xk − N
k=1 xk
N
!
!
N
N
1 X
1 X
b = ȳ − m · x̄ =
yk − m
xk
(15)
N
N
1
N
PN
k=1
k=1
Fehler:
v
u
N
u 1 X
u
∆m = t
(yk − b − m · xk )2 · N −2
k=1
v
u
N
u1 X
x2k
∆b = ∆m · t
N
k=1
N
N
P
2
N
2 −
x
x
k=1 k
k=1 k
PN
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
9
Es ergeben sich folgende Werte:
x̄ = 0, 38ms
ȳ = −3, 2
xy
¯ = −1, 4ms
x¯2 = 0, 18ms2
1
ms
b = (1, 57 ± 0, 04)
m = (−4, 22 ± 0, 09)
Nach Gleichung 3 entspricht die Steigung dem Exponenten der e-Funktion.
Wir erhalten also für Gerät2 [L = (10, 14 ± 0, 03)mH;R = (54, 7 ± 0, 5)Ω] :
R
2L
R = 2mL = 85Ω
m=−
Nach Gaußscher Fehlerfortpflanzung ergibt sich für den Fehler von R:
s
∆L 2
∆m 2
+
·R
∆R =
m
L
∆L = 0, 03mH
∆R = 2Ω
Das endgültige Ergebnis für R ist somit:
R = (85 ± 2)Ω
Zusätzlich kann die Abklingdauer Tex als negativer Kehrwert von m bestimmt werden:
Tex = −
1
= (0, 24 ± 0, 01)ms
m
(16)
Dieser Wert soll nun mit der Herstellerangabe für den Dämpfungswiderstand
des RCL-Bauteiles verglichen werden, der R = (54, 7 ± 0, 5)Ω beträgt.
Der Unterschied zwischen dem gemessenen und dem angegebenen Wert kann
mit bei der Messung zusätzlich auftretenen Widerständen erklärt werden.
Diese Widerstände sind in den verwenden Leitungen, sowie in der Spule, zu
finden, wobei die Energieverluste an der Spule den größeren Anteil ausmachen.
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
3.2
10
Aperiodischer Grenzfall
Ein regelbarer Dämpfungswiderstand wird so eingestellt, dass auf dem Oszilloskop der aperiodische Grenzfall sichtbar wird (also gerade keine Schwinung mehr auftritt). Der Wert dieses Widerstandes an diesem Punkt ist für
das verwendete Bauteil R = 3, 50kΩ. Die Werte des Bauteils waren nach
Herstellerangaben:
C = (2, 088 ± 0, 006)nF
L = (10, 14 ± 0, 03)mH
(17)
Da die Schwingung der Spannung beim aperiodischen Grenzfall verschwinden soll (vergleiche Theorie), lässt sich der Dämpfungswiderstand aus C und
L berechnen aus:
r
R=
4L
C
Mit den obigen Werten errechnet sich R = (4, 4 ± 0, 0)kΩ.
Auch diese Differenz von R = 0, 9kΩ (Abweichung von 25,7%) lässt sich mit
den in der Messung zusätzlich auftretenen Widerständen aus Leitungen und
Spule (wie vorstehend) erklären, wodurch ein kleinerer Dämpfungwiderstand
in der Messung nötig ist, um den aperiodischen Grenzfall zu erzeugen, als
nach der theoretischen Berechnung.
3.3
Resonanzüberhöhung
Zur Bestimmung der Resonanzüberhöhung und der Breite der Resonanzkurve wird die Kondensatorspannung in Abhängigkeit von der Generatorfrequenz Uc aufgenommen. Um Fehler zu vermeiden wird auch die GeneUc
ratorspannung U0 im Freqenzbereich notiert und die Relaltivspannung U
o
gebildet Die Werte finden sich in der folgenden Tabelle:
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
f [Hz]
10,084
101,68
1000,45
3026,48
7821,8
10658,8
12260,0
13841,9
14718
15995
17648
18864
20122
21051
22100
29485
31063
31820
32227
32570
33559
34179
34591
35024
35786
36831
38120
39410
43303
52184
65823
70361
79222
93848
100100
Uc [V]
1,40
1,40
1,40
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
4,00
4,50
4,80
4,90
5,00
5,10
5,00
4,90
4,80
4,50
4,00
3,50
3,00
2,00
1,00
0,50
0,40
0,30
0,20
0,17
U0 [V]
1,37
1,37
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,30
1,30
1,30
1,30
1,30
1,25
1,25
1,25
1,30
1,35
1,35
1,35
1,36
1,36
1,36
1,36
11
Uc/U0
1,02
1,02
1,04
1,04
1,07
1,11
1,15
1,19
1,22
1,26
1,33
1,41
1,48
1,56
1,63
2,96
3,33
3,56
3,63
3,85
3,92
3,85
3,77
3,69
3,60
3,20
2,80
2,31
1,48
0,74
0,37
0,29
0,22
0,15
0,13
Die Werte werden zur Veranschaulichung graphisch dargestellt (Abbildung 7).
Zusätzlich wird eine Gerade mit dem √12 -fachen der Maximalspannung eingetragen, um die Breite der Resonanzkurve zu ermitteln (Abbildung 8).
U
Die Resonanzüberhöhung ω01RC ergibt sich aus c,max
U0 .das Maximum der obigen Kurve liegt bei Uc,max = 5, 1V und die zugehörige Generatorspannung
beträgt U0 = 1, 3V . Daraus folgt eine Güte bzw. Resonanzüberhöhung q
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
12
4,5
4
3,5
Uc/Uo
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
Frequenz [Hz]
Abbildung 7: Abhängigkeit der Relativspannung am Kondensator von der
Frequenz der Speisespannung - Logarithmisch dargestellt.
4,3
Relativspannung Uc/Uo
3,8
3,3
2,8
Resonanzkurve
1/sqrt(2)Umax
2,3
1,8
1,3
20000
25000
30000
35000
40000
45000
Frequenz[Hz]
Abbildung 8: Abhängigkeit der Relativspannung am Kondensator von der
Frequenz der Speisespannung um die Resonanzfrequenz.
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
13
von:
q = 3, 9
Die Resonanzüberhöhung soll nun wiederum mit dem theoretischen Wert
aus den Herstellerangaben verglichen werden. Die Herstellerangaben sind
für diese Messung:
R = (523, 9 ± 0, 5)Ω
L = (10, 14 ± 0, 03)mH
C = (2, 088 ± 0, 006)nF
Damit gibt sich für q:
r
1 L
q=
R C
q = 4, 2
(18)
Um die Breite b der Resonanzkurve zu berechen werden aus dem Graphen
die Frequenzen an den Schnittpunkten zwischen dem Graph der Messwerte
und der Horizontalen (siehe Abbildung 8) Werte entnommen:
ν − ≈ (28300 ± 50)Hz
ν + ≈ (88300 ± 50)Hz
⇒ b = (9800 ± 100)Hz
Auch dieser Wert soll mit dem Theoriewert verglichen werden, der sich der
Näherungsformel 11 berechnen lässt (da die Näherungsformel mit Kreisfrequenzen rechnet, ist das Ergebnis dieser zum Vergleich mit den Messwerten
durch 2π zu teilen):
3
51, 67 10s
b≈
2π
b ≈ 8, 224kHz
Diese Unterschiede (Abweichung von 19,2%) rühren ebenfalls wie in den
vorherigen Aufgaben aus dem größeren realen Dämpfungswiderstand in der
Messung gegenüber der Theorie her.
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
3.4
14
Freqenzabhängigkeit der Phasenverschiebung
Es soll nun die Phasenverschiebung zwischen Kondesatorspannung und der
Erregerspannung betrachtet werden. Es wird dabei der zeitliche Abstand a
der Graphen der beiden Spannungen mittels eines Oszilloskops bestimmt
und mit der Schwingungsdauer b der Spannungen über ϕ = ab · 360◦ die
Phasenverschiebung ϕ errechnet. Die Werte sind wie folgt:
f [Hz]
5000
10000
15000
20000
24790
27301
29500
30230
31056
31984
32408
32908
33230
33570
33919
34587
35372
36278
37001
38246
41455
45493
46035
48055
52579
58350
65457
74916
80134
a [micro s]
1,30
1,30
1,45
1,70
2,25
2,85
3,70
4,00
4,60
5,80
6,00
6,50
6,90
7,20
7,60
8,00
8,40
8,80
9,20
9,60
9,80
10,00
9,60
9,20
8,60
8,00
7,20
6,40
6,00
b [micro s]
200,00
100,00
66,67
50,00
40,34
36,63
33,90
33,08
32,20
31,27
30,86
30,39
30,09
29,79
29,48
28,91
28,27
27,56
27,03
26,15
24,12
21,98
21,72
20,81
19,02
17,14
15,28
13,35
12,48
Phase in ◦
2,34
4,68
7,83
12,24
20,08
28,01
39,29
43,53
51,43
66,78
70,00
77,00
82,54
87,01
92,80
99,61
106,96
114,93
122,55
132,18
146,25
163,77
159,10
159,16
162,78
168,05
169,66
172,61
173,09
In Abbildung 9 werden auch diese wieder graphisch aufgetragen. Hier werden
die Werte für ν 0 , ν 1 und ν 2 entnommen, diese Frequenzen sind so definiert,
dass bei ν 0 die Phase ϕ = 90◦ , bei ν 1 die Phase ϕ = 45◦ und bei ν 2 die
Phase ϕ = 135◦ groß ist.
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
15
200
180
160
Phase [°]
140
120
Messwerte
100
45°
80
135°
90°
60
40
20
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
Frequenz [Hz]
Abbildung 9: Abhängigkeit der Phase zwischen Generator- und Kondensatorspannung zur Generatorfrequenz.
Um dies besser zu entnehmen werden auch in dieser Darstellung wieder horizontale Geraden eingefügt.
Die entnommenen Werte sind dabei:
ν 0 ≈ 33, 8kHz
ν 1 ≈ 30, 2kHz
ν 2 ≈ 38, 8kHz
⇒ ν 2 − ν 1 = 8, 6kHz
Die Theoriewerte ergeben sich durch:
r
1
LC
R
ν2 − ν1 =
L
ν0 =
Eingesetzt ergibt sich (hierbei muss auch wieder der 2π Unterschied zwischen
3
AUSWERTUNG UND DISKUSSION
16
Kreisfrequenz und Frequenz beachtet werden):
ν 0 = 34, 66kHz
ν 2 − ν 1 = 8, 233kHz
(19)
Die Differenz von ν 0 erklärt sich aus der Schwierigkeit exakte Werte aus dem
Graphen abzulesen, da nur einige Punkte des Graphen bekannt sind. Der
Unterschied bei der Differenz von ν 1 und ν 2 ist wieder durch den Einfluss
des unterschiedlichen Dämpfungswiderstandes zu erklären.
3.5
Impedanzabhängigkeit von der Erregerfrequenz
Zuletzt soll die Frequenzabhängigkeit der Gesamtimpedanz des RCL-Kreises
in Abhängigkeit zu der Erregerspannung gesetzt werden. Die Messung erfolgte hierbei mit Hilfe eines Impedanzmessgerätes. Es ergaben sich die in
der Tabelle zu findenen Messwerte:
f [Hz]
10000
15000
25000
30000
31000
32000
33000
34000
35000
36000
37000
38000
39000
40000
45000
50000
55000
z [kOhm]
6,90
4,10
1,60
0,86
0,76
0,60
0,59
0,56
0,54
0,56
0,60
0,67
0,74
0,83
1,30
1,78
2,25
Teta [◦ ]
-75,0
-75,0
-70,0
-50,0
-45,0
-35,0
-25,0
-2,5
0,0
12,5
26,0
35,0
42,5
50,0
65,0
75,0
80,0
Diese werden nun in Abbildung 10 graphisch dargestellt. Zudem wird eine
nach 13 berechnete Theoriekurve in das Diagramm eingefügt, um diese zu
vergleichen.
Die Differenz der theoretischen und der praktisch gemessenen Werte ist wie man dem Diagramm entnehmen kann - marginal. Daraus kann gefolgert
werden, dass das Impedanzmeter eine genaue Messung im Bereich der hier
vorliegenden Frequenzen ermöglicht.
4
LITERATUR
17
8
7
Impedanz [kOhm]
6
5
4
Theorie
3
Messwerte
2
1
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Generatorfrequenz[Hz]
Abbildung 10: Scheinwiderstand in Abhängigkeit zur Frequenz.
4
Literatur
1 Skript zum Versuch 354 des physikalischen Anfängerpraktikums an der
TU Dortmund zu finden unter:
http://praktikum.physik.uni-dortmund.de/neu/a-praktikum/anleitungen.html
(Stand 08.11.2008)