Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren

Taschenbuch
mathematischer Formeln
und moderner Verfahren
Herausgegeben von
Prof. Dr. Horst Stöcker
3., überarbeitete und erweiterte Auflage
/
Verlag Harri Deutsch
Inhaltsverzeichnis
Zahlenrechnen (Arithmetik und Numerik)
1.1
Mengen
Darstellung von Mengen
Mengen Operationen
Gesetze der Mengenalgebra
Abbildung und Funktion
1.2
Zahlensysteme
Dekadisches Zahlensystem
Weitere Zahlensysteme
Darstellung in Rechnern
Homer-Schema zur Zahlendarstellung
1.3
Natürliche Zahlen
Vollständige Induktion
Vektoren und Felder, Indizierung
Rechnen mit natürlichen Zahlen
1.4
Ganze Zahlen
1.5
Rationale Zahlen (gebrochene Zahlen)
Dezimalbrüche
Brüche
Rechnen mit Brüchen
1.6
Rechnen mit Quotienten
Proportion
Dreisatz
1.7
Finanzmathematik
Prozentrechnung
Zins und Zinseszins
Tilgungsrechnung
Rentenrechnung
Abschreibung
1.8
Irrationale Zahlen
1.9
Reelle Zahlen
1.10 Komplexe Zahlen
Körper der komplexen Zahlen
1.11 Rechnen mit reellen Zahlen
Vorzeichen und Betrag
Ordnungsrelationen
Intervalle
Runden und Abschneiden
Rechnen mit Intervallen
Klammerung
Addition und Subtraktion
Summenzeichen
Multiplikation und Division
Produktzeichen
Potenzen und Wurzeln
Exponentation und Logarithmus
1.12 Binomischer Satz
Binomische Formeln
Binomialkoeffizienten
Pascalsches Dreieck
Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
21
21
21
22
24
24
24
25
26
26
27
27
28
28
29
31
31
31
33
33
34
34
35
35
35
36
36
37
38
39
39
39
40
41
41
42
42
43
43
44
45
45
47
47
48
50
51
51
52
52
52
2
INHALTSVERZEICHNIS
Entwicklung von Potenzen von Summen
53
2
Gleichungen und Ungleichungen (Algebra)
2.1
Grundlegende algebraische Begriffe
Nomenklatur
Gruppe
Ring
Körper
Vektorraum
Algebra
2.2
Gleichungen mit einer Unbekannten
Elementare Äquivalenzumformungen
Übersicht der verschiedenen Gleichungsarten
2.3
Lineare Gleichungen
Gewöhnliche lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen in gebrochener Form
Lineare Gleichungen in irrationaler Form
2.4
Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen in gebrochener Form
Quadratische Gleichungen in irrationaler Form
2.5
Kubische Gleichungen
2.6
Gleichungen vierten Grades
Allgemeine Gleichung vierten Grades
Biquadratische Gleichungen
Symmetrische Gleichungen vierten Grades
2.7
Gleichungen beliebigen Grades
Polynomdivision
2.8
Gebrochenrationale Gleichungen
2.9
Irrationale Gleichungen
Wurzelgleichungen
Potenzgleichungen
2.10 Transzendente Gleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmusgleichungen
Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen
2.11 Gleichungen mit Beträgen
Gleichung mit einem Betragsausdruck
Gleichungen mit mehreren Betragsausdrücken
2.12 Ungleichungen
Aquivalenzumformungen bei Ungleichungen
2.13 Numerische Lösung von Gleichungen
Grafische Lösung
Intervallschachtelung
Sekanten verfahren und Regula falsi
Newton-Verfahren
Sukzessive Approximation
54
54
54
56
56
56
57
57
57
58
58
59
59
59
59
60
60
61
61
62
62
62
63
63
63
64
64
64
65
65
65
66
66
67
67
68
68
69
70
70
70
71
71
73
3
Geometrie und Trigonometrie der Ebene
3.1
Ortslinien
3.2
Grundkonstruktionen
Streckenhalbierung
Winkelhalbierung
Senkrechte
Lot
Parallele in gegebenen Abstand
Parallele durch gegebenen Punkt
75
75
76
76
76
77
77
77
77
3.3
78
Winkel
INHALTSVERZEICHNIS
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Winkelangabe
Winkelarten
Winkel an Parallelen
Ähnlichkeit und Strahlensätze
Strahlensätze
Streckenteilung
Mittelwerte
Stetige Teilung (Goldener Schnitt)
Dreiecke
Kongruenz sätze
Ähnlichkeit von Dreiecken
Dreieckskonstruktion
Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks
Berechnung eines beliebigen Dreiecks
Winkel- und Seitenbeziehungen im Dreieck
Höhe
Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
Mittelsenkrechte, Inkreis, Umkreis, Ankreis
Dreiecksfläche
Verallgemeinerter Satz des Pythagoras
Winkelbeziehungen
Sinussatz
Cosinussatz
Tangenssatz
Halbwinkelsälze
Mollweidesche Formeln
Seitensätze
Gleichschenkliges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Satz des Thaies
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Vierecke
Allgemeines Viereck
Trapez
Parallelogramm
Rhombus (Raute)
Rechteck
Quadrat
Sehnenviereck
Tangentenviereck
Drachen viereck
Regelmäßige n-Ecke (Polygone)
Allgemeines regelmäßiges n-Eck
Bestimmte regelmäßige Vielecke (Polygone)
Kreisförmige Objekte
Kreis
Kreisförmige Flächen
Kreisring
Kreisausschnitt (Kreissektor)
Kreisringsektor
Kreisabschnitt (Kreissegment)
Ellipse
'
3
78
79
79
80
80
81
82
82
82
83
83
83
85
85
87
88
88
89
89
90
90
91
91
91
91
92
92
92
92
93
94
95
95
95
95
96
96
96
97
97
97
98
98
99
99
99
100
100
102
102
103
103
103
104
104
105
4
4
INHALTSVERZEICHNIS
Geometrie des Raumes
4.1
Allgemeine Sätze
Satz von Cavalieri
Simpsonsche Regel
Guldinsche Regeln
4.2
Prisma
Schiefes Prisma
Gerades Prisma
Quader (Rechtkant)
Würfel
Schief abgeschnittenes n-seitiges Prisma
4.3
Pyramide
Tetraeder
Pyramidenstumpf
4.4
Reguläre Polyeder
Eulerscher Polyedersatz
Tetraeder
Würfel (Hexaeder)
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
4.5
Sonstige Körper
Prismoid, Prismatoid
Keil
Obelisk
4.6
Zylinder
Allgemeiner Zylinder
Gerader Kreiszylinder
Schiefabgeschnittener Kreiszylinder
Zylinderhuf
Hohlzylinder (Rohr)
4.7
Kegel
Gerader Kreiskegel
Gerader Kreiskegelstumpf
4.8
Kugel
Vollkugel
Hohlkugel
Kugelausschnitt (Kugelsektor)
Kugelabschnitt (Kugelsegment, Kalotte, Kugelkappe)
Kugelzone (Kugelschicht)
Kugelzweieck
4.9
Kugelgeometrie
Allgemeines Kugeldreieck (Eulersches Dreieck)
Rechtwinkliges Kugeldreieck
Schiefwinkliges Kugeldreieck
4.10 Rotationskörper
Ellipsoid
Rotationsparaboloid
Rotationshyperboloid
Tonne (Faß)
Torus (Ring)
4.11 Fraktale Geometrie
Skaleninvarianz und Selbstähnlichkeit
Konstruktion selbstä'hnlicher Objekte
Hausdorff-Dimension
Cantor-Menge
-
106
106
106
106
106
107
107
107
107
107
108
108
109
109
109
109
109
110
110
110
111
112
112
112
112
112
113
113
113
114
114
114
114
.1.15
115
116
116
116
116
117
117
117
118
118
119
120
120
120
121
121
121
122
122
122
122
123
INHALTSVERZEICHNIS
Koch-Kurve
Kochsche Schneeflocke
Sierpiriski-Dreieck
Box-counting-Algorithmus
5
123
123
124
124
Funktionen
5.1
Folgen, Reihen und Funktionen
Folgen und Reihen
Eigenschaften von Folgen, Grenzwerte
Funktionen
Klassifikation von Funktionen
Grenzwert und Stetigkeit
5.2
Kurvendiskussion
Definitionsbereich
Symmetrie
Verhalten im Unendlichen
Definitionslücken und Unstetigkeitsstellen
Nullstellen
Vorzeichenverlauf
Steigungsverlauf, Extrema
Krümmung
Wendepunkt
5.3
Steckbrief für Funktionen
125
125
125
126
127
129
130
132
132
132
133
134
134
135
135
137
137
138
Einfache Funktionen
5.4
Konstante Funktion
5.5
Sprungfunktion
5.6
Betragsfunktion
5.7
Deltafunktion
5.8
Gaußklammer-Funktion, Restfunktion
145
145
147
150
154
157
Ganzrationale Funktionen
5.9
Lineare Funktion - Gerade
5.10 Quadratische Funktion - Parabel
5.11 Kubische Funktion
5.12 Potenzfunktion höheren Grades
5.13 Polynome höheren Grades
5.14 Darstellung von Polynomen und spezielle Polynome .
Summen-und Produktdarstellung
Tay lorent wicklung
Horner-Schema
Newtonsches Interpolationspolynom
Lagrange-Polynome
Bezier-Polynome und Splines
Spezielle Polynome
161
161
164
167
170
175
178
178
180
180
182
184
185
190
Gebrochen rationale Funktionen
5.15 Hyperbel
5.16 Reziproke quadratische Funktion
5.17 Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
5.18 Quotient zweier Polynome
Polynomdivision und Partialbruchze riegung
Pade-Approximation
193
193
196
199
203
206
208
6
6
INHALTSVERZEICHNIS
Nichtrationale algebraische Funktionen
5.19 Quadratwurzelfunktion
5.20 Wurzelfunktionen
5.21 Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten
5.22 Wurzeln von rationalen Funktionen
Kegelschnitte
211
211
2!4
217
221
225
Transzendente Funktionen
5.23 Logarithmusfunktion
5.24 Exponentialfunktion
5.25 Exponentialfunktionen von Potenzen
228
228
233
238
Hyperbolische Funktionen
5.26 Hyperbolische Sinus- und Cosinusfunktion
5.27 Hyperbolische Tangens-und Cotangensfunktion
5.28 Sekans hyperbolicus und Cosekans hyperbolicus
244
246
251
257
Areafunktionen
5.29 Areasinus hyperbolicus und Areacosinus hyperbolicus
5.30 Areatangens hyperbolicus und Areacotangens hyperbolicus
5.31 Areasekans hyperbolicus und Areacosekans hyperbolicus
261
262
264
267
Trigonometrische Funktionen
5.32 Sinus- und Cosinusfunktion
Überlagerung von Schwingungen
Periodische Funktionen
5.33 Tangens und Cotangens
5.34 Sekans und Cosekans
271
275
283
288
290
296
Arkusfunktionen
5.35 Arkussinus und Arkuscosinus
5.36 Arkustangens und Arkuscotangens
5.37 Arkussekans und Arkuscosekans
301
302
305
309
Ebene Kurven
5.38 Algebraische Kurven n-ter Ordnung
Kurven zweiter Ordnung
Kurven dritter Ordnung
Kurven vierter und höherer Ordnung
5.39 Rollkurven
5.40 Spiralen
5.41 Andere Kurven
312
312
312
314
316
317
319
321
Vektorrechnung
6.1
Vektoralgebra
Vektor und Skalar
Spezielle Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Vektoraddition
Vektorsubtraktion
Rechengesetze
Lineare (Un-) Abhängigkeit von Vektoren
Basis
6.2
Skalarprodukt oder inneres Produkt
Rechenregeln
Eigenschaften und Anwendungen des Skalarproduktes
Orthogonalisierung von Vektoren
322
322
322
322
323
323
324
. 324
325
326
329
329
329
332
INHALTSVERZEICHNIS
6.3
6.4
Richtungscosinus
Anwendung der Vektorrechnung: Hyperwiirfel
Vektorprodukt zweier Vektoren
Eigenschaften des Vektorproduktes
Mehrfachprodukte von Vektoren
Spatprodukt
1
333
333
334
335
336
336
7
Koordinatensysteme
7.1
Koordinatensysteme in zwei Dimensionen
Kartesische Koordinaten
Polarkoordinaten
Umrechnungen zwischen 2-D-Koordinatensystemen
7.2
2-D-Koordinatentransformation
Parallelverschiebung (Translation)
Drehung (Rotation)
Spiegelung (Reflexion)
Skalierung
7.3
Koordinatensysteme in drei Dimensionen
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
Umrechnungen zwischen dreidimensionalen Koordinatensystemen
7.4
Koordinatentransformation in drei Dimensionen
Parallelverschiebung (Translation)
Drehung (Rotation)
7.5
Anwendung in der Computergrafik
7.6
Transformationen
Objektdarstellung und Objektbeschreibung
Homogene Koordinaten
2-D-Translation mit homogenen Koordinaten
2-D-Skalierung mit homogenen Koordinaten
3-D-Translation mit homogenen Koordinaten
3-D-Skalierung mit homogenen Koordinaten
3-D-Rotation von Punkten mit homogenen Koordinaten
Positionierung eines Objektes im Raum
Rotation von Objekten um eine beliebige Achse im Raum
Simulation von Bewegungsabläufen
Spiegelungen
Transformation von Koordinatensystemen
Translation eines Koordinatensystems
Rotation eines Koordinatensystems um eine Hauptachse
7.7
Projektionen
Grundprinzipien
Parallelprojektion
Zentral projektion
Allgemeine Formulierung von Projektionen
7.8
Window-Viewport-Transformationen
339
339
339
339
340
340
340
342
342
343
343
343
344
344
345
345
345
346
347
347
347
349
349
350
351
351
351
352
354
355
356
356
356
357
359
359
359
361
363
365
8
Analytische Geometrie
8.1
Elemente der Ebene
Abstand zweier Punkte
Teilung einer Strecke
Fläche eines Dreiecks
Gleichung einer Kurve
8.2
Gerade
Gleichungsformen der Geraden
Hessesche Normalform
366
366
366
366
366
367
367
367
368
8
INHALTSVERZEICHNIS
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
Schnittpunkt von Geraden
Winkel zwischen Geraden
Parallele und senkrechte Geraden
Kreis
Kreisgleichungen
Kreis und Gerade
Kreisschnitt
Kreistangentengleichung
Ellipse
Gleichungsformen der Ellipse
Brennpunktseigenschaften der Ellipse
Durchmesser der Ellipse
Tangente und Normale der Ellipse
Krümmung der Ellipse
Ellipsenflächen und Ellipsenumfang
Parabel
Gleichungsformen der Parabel
Brennpunktseigenschaften der Parabel
Parabel durchmesser
Tangente und Normale der Parabel
Krümmung einer Parabel
Parabelfiächen und Parabelbogenlänge
Parabel und Gerade
Hyperbel
Gleichungsformen der Hyperbel
Brennpunktseigenschaften der Hyperbel
Tangente und Normale der Hyperbel
Konjugierte Hyperbeln und Durchmesser
Krümmung einer Hyperbel
Flächen einer Hyperbel
Hyperbel und Gerade
Allgemeine Gleichung der Kegelschnitte
Form der Kegelschnitte
Hauptachsentransformation
Geometrische Konstruktion (Kegelschnitt)
Leitlinieneigenschaft
Polargleichung
Elemente im Raum
Abstand zweier Punkte
Teilung einer Strecke
Rauminhalt eines Tetraeders
Geraden im Raum
Parameterdarstellung einer Geraden
Schnittpunkt zweier Geraden
Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden
Fußpunkt des Lotes (Lotgerade)
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Abstand zweier Geraden
Ebenen im Raum
Parameterdarstellung der Ebene
Koordinatendarstellung der Ebene
Hessesche Normalform der Ebene
Umformungen
Abstand Punkt - Ebene
Schnittpunkt Gerade - Ebene
Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen
369
369
370
370
370
371
371
372
372
372
373
373
373
374
374
375
375
376
376
376
376
377
377
377
378
378
379
379
380
380
380
381
381
381
382
382
383
383
383
383
383
384
384
384
384
385
385
385
386
386
386
386
386
387
387
387
INHALTSVERZEICHNIS
8.11
8.12
Fußpunkt des Lotes (Lotgerade)
Spiegelung
Abstand zweier paralleler Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen
Flächen zweiter Ordnung in Normalform
Ellipsoid
Hyperboloid
Kegel
Paraboloid
Zylinder
Allgemeine Fläche zweiter Ordnung
Allgemeine Gleichung
Hauptachsentransformation
Gestalt einer Fläche zweiter Ordnung
Matrizen, Determinanten und lineare Gleichungssysteme
9.1
Matrizen
Zeilen- und Spaltenvektoren
9.2
Spezielle Matrizen
Transponierte, konjugierte und adjungierte Matrizen
Quadratische Matrizen
Dreiecksmatrizen
Diagonalmatrizen
9.3
Operationen mit Matrizen
Addition und Subtraktion von Matrizen
Multiplikation einer Matrix mit skalarem Faktor c
Multiplikation von Vektoren, Skalarprodukt
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
Multiplikation von Matrizen
Rechenregeln der Matrixmultiplikation
Multiplikation mit einer Diagonalmatrix
Matrizenmultiplikation nach dem Falk-Schema
Zeilensummen- und Spaltensummenproben
9.4
Determinanten
Zweireihige Determinanten
Allgemeine Rechenregeln für Determinanten
Determinantenwert null
Dreireihige Determinanten
Determinanten höherer (n-ter) Ordnung
Berechnung n-reihiger Determinanten
Reguläre und inverse Matrix
Berechnung der inversen Matrix mit Determinanten
Rang einer Matrix
Bestimmung des Ranges mit Unterdeterminanten
9.5
Lineare Gleichungssysteme
Systeme von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
9.6
Numerische Lösungsverfahren
Gaußscher Algorithmus für lineare Gleichungssysteme
Vorwärtselimination
Pivotisierung
Rückwärtseinsetzen
LR-Zerlegung
Lösbarkeit von (m x n)-Gleichungssystemen
Gauß-Jordan-Verfahren zur Matrixinversion
Berechnung der inversen Matrix A _ 1
9.7
Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme
Gesamtschritt-Verfahren (Jacobi)
9
388
388
388
388
389
389
389
390
390
391
391
391
392
392
394
394
396
396
396
397
398
400
402
402
403
403
405
405
406
407
408
409
410
410
411
413
413
415
417
417
418
419
420
421
422
424
424
424
425
426
427
430
432
434
436
437
10
INHALTSVERZEICHNIS
9.8
9.9
9.10
9.11
Einzel schritt verfahren (Gauß-Seidel)
Konvergenzkriterien für iterative Verfahren
Speicherung der Koeffizientenmatrix
Tabelle der Lösungsmethoden
Eigenwertgleichungen
Systeme von Ungleichungen und Lineare Optimierung
Aufgabenstellung
Mathematische Modellformulierung
Matrizenschreibweise der linearen Optimierung
Umwandlung von Ungleichungen in Gleichungen - Schlupfvariablen
Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen: Grafische Lösung
Simplexmethode, Simplexalgorithmus
Dualität in der linearen Optimierung
Tensoren
Rechenregeln für Tensoren
438
439
440
441
442
445
445
445
446
446
447
448
451
451
452
10 Boolsche Algebra - Anwendung in der Schaltalgebra
10.1 Grundbegriffe
Aussagen und Wahrheitswerte
Aussagenvariablen
10.2 Boolesche Verknüpfungen
Negation, nicht, not
Konjunktion, und, and
Disjunktion, (inklusives) oder, or
Rechenregeln
10.3 Boolesche Funktionen
Verknüpfungsbasis
10.4 Normalformen
Disjunktive Normalform
Konjunktive Normalform
Darstellung von Funktionen durch Normalformen
10.5 Karnaugh-Veitch-Diagramme
Erstellen eines KV-Diagrammes
Eintragen einer Funktion in ein KV-Diagramm
Minimierung mit Hilfe von KV-Diagrammen
10.6 Minimierung nach Quine und McCluskey
454
454
454
455
455
455
456
456
456
458
458
459
459
459
460
462
462
462
463
464
11 Graphen und Algorithmen
11.1 Graphen
Grundbegriffe
Darstellung von Graphen
Bäume
11.2 Matchings
11.3 Netzwerke
Flüsse in Netzwerken
Eulerscher Zug und Hamiltonscher Kreis
467
467
467
468
469
470
471
471
471
12 Differentialrechnung
12.1 Ableitung einer Funktion
Differential
Differenzierbarkeit
12.2 Differentiationsregeln
Ableitungen elementarer Funktionen
Ableitungen trigonometrischer Funktionen
Ableitungen hyperbolischer Funktionen
Konstantenregel
Faktorregel
473
473
474
474
475
475
475
476
476
476
INHALTSVERZEICHNIS
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
Potenzregel
Summenregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Logarithmische Ableitung von Funktionen
Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung
Ableitung von Funktionen in Polarkoordinaten
Ableitung einer impliziten Funktion
Ableitung der Umkehrfunktion
Tabelle der Differentiationsregeln
Mittelwertsätze
Satz von Rolle
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Erweiterter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Höhere Ableitungen
Steigungsverlauf, Extrema
Krümmung
Wendepunkt
Näherungsverfahren zur Differentiation
Grafische Differentiation
Numerische Differentiation
Ableitung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Partielle Ableitung
Totales Differential
Extrema von Funktionen in zwei Dimensionen
Extrema mit Nebenbedingungen
Anwendungen der Differentialrechnung
Berechnung unbestimmter Ausdrücke
Kurvendiskussion
Extremal aufgaben
Fehlerrechnung
Nullstellensuche nach Newton
13 Differentialgeometrie
13.1 Ebene Kurven
Darstellung von Kurven
Ableitung in impliziter Darstellung
Ableitung in Parameterdarstellung
Ableitung in Polarkoordinaten
Bogenelement einer Kurve
Tangente, Normale
Krümmung einer Kurve
Evoluten und Evolventen
Wendepunkte, Scheitel
Singulare Punkte
Asymptoten
Einhüllende einer Kurvenschar
13.2 Raumkurven
Darstellung von Raumkurven
Begleitendes Dreibein
Krümmung
Windung (Torsion) einer Kurve
Frenetsche Formeln
13.3 Flächen
Darstellung einer Fläche
Tangentialebene und Flächennormale
11
476
476
476
477
477
478
478
479
479
479
480
481
481
481
482
482
483
484
485
486
486
486
487
487
489
489
490
490
490
492
493
494
494
496
496
496
496
496
496
497
497
498
500
500
500
501
502
502
502
503
505
505
506
506
506
506
12
INHALTSVERZEICHNIS
Singulare Flächenpunkte
507
14 Unendliche Reihen
14.1 Reihen
14.2 Konvergenzkriterien
Spezielle Zahlenreihen
14.3 Taylor-und MacLaurin-Reihen
Formel von Taylor
Taylor-Reihe
14.4 Potenzreihen
Konvergenzbetrachtungen für Potenzreihen
Eigenschaften konvergenter Potenzreihen
Umkehrung von Potenzreihen
14.5 Spezielle Reihen-und Produktentwicklungen
Binomische Reihen
Spezielle Binomische Reihen
Reihen von Exponentialfunktionen
Reihen von logarithmischen Funktionen
Reihen von trigonometrischen Funktionen
Reihen von Arkusfunktionen
Reihen von Hyperbelfunktionen
Reihen von Areafunktionen
Partialbruchentwicklungen
Unendliche Produkte
508
508
508
511
511
511
512
513
513
514
515
516
516
516
516
517
518
518
519
519
519
520
15 Integralrechnung
15.1 Integralbegriff und Integrierbarkeit
Stammfunktion
Unbestimmtes und bestimmtes Integral
Geometrische Deutung
Regeln zur Integrierbarkeit
Uneigentliche Integrale
15.2 Integrationsregeln
Regeln für unbestimmte Integrale
Regeln für bestimmte Integrale
Tabelle der Integrationsregeln
Integrale einiger elementarer Funktionen
15.3 Integrationsverfahren
Integration durch Substitution
Partielle Integration
Integration durch Partialbruchzerlegung
Integration durch Reihenentwicklung
15.4 Numerische Integration
Rechteckregel
Trapezregel
Simpson-Regel
Romberg-Integration
Gauß-Quadratur
Tabelle der numerischen Integrations verfahren
15.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung
15.6 Kurven-, Flächen- und Volumenintegrale
Bogenlänge (Rektifikation)
Flächeninhalt
Rotationskörper (Drehkörper)
15.7 Funktionen in Parameterdarstellung
Bogenlänge in Parameterdarstellung
Sektorenformel
521
521
521
521
522
523
524
525
525
526
527
527
529
529
532
534
536
538
538
538
538
539
541
542
544
544
544
545
546
547
547
547
INHALTSVERZEICHNIS
15.8
15.9
Rotationskörper in Parameterdarstellung . . '
Mehrfachintegrale und ihre Anwendungen
Definition von Mehrfachintegralen
Flächenberechnung
Schwerpunkt von Bögen
Trägheitsmoment von Bögen
Schwerpunkt einer Fläche
Trägheitsmoment von Flächen
Schwerpunkt eines Körpers
Trägheitsmoment eines Körpers
Schwerpunkt von Drehkörpern
Technische Anwendung der Integralrechnung
Statisches Moment, Schwerpunkt
Massenträgheitsmoment
Statik
Arbeitsberechnungen
Mittelwerte
13
548
548
548
549
550
550
550
551
551
551
551
552
552
554
556
556
556
16 Vektoranalysis
16.1 Felder
Symmetrien in Feldern
16.2 Differentiation und Integration von Vektoren
Skalenfaktoren in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
Differentialoperatoren
16.3 Gradient und Potential
16.4 Richtungsableitung und Vektorgradient
16.5 Divergenz und Gaußscher Integralsatz
16.6 Rotation und Stokesscher Integralsatz
16.7 Laplace-Operator und Greensche Formeln
16.8 Kombinationen von div, rot und grad, Berechnung von Feldern
Zusammenfassung
558
558
559
560
562
563
564
566
567
569
572
573
575
17 Komplexe Variablen und Funktionen
17.1 Komplexe Zahlen
Imaginäre Zahlen
Algebraische Darstellung komplexer Zahlen
Kartesische Darstellung komplexer Zahlen
Konjugiert komplexe Zahlen
Betrag einer komplexen Zahl
Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen
Exponentialdarstellung komplexer Zahlen
Umrechnung zwischen kartesischer und trigonometrischer Darstellung
Riemannsche Zahlenkugel
17.2 Elementare Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
Multiplikation und Division komplexer Zahlen
Potenzieren im Komplexen
Radizieren im Komplexen
17.3 Elementare Funktionen einer komplexen Variablen
Folgen im Komplexen
Reihen im Komplexen
Exponentialfunktion im Komplexen
Natürlicher Logarithmus im Komplexen
Allgemeine Potenz im Komplexen
Trigonometrische Funktionen im Komplexen
Hyperbelfunktionen im Komplexen
Inverse trigonometrische, inverse hyperbolische Funktionen im Komplexen . . .
576
576
576
576
577
577
578
578
579
579
580
581
581
582
584
585
586
586
587
588
588
589
589
591
592
14
INHALTSVERZEICHNIS
17.4
17.5
17.6
Anwendungen komplexer Funktionen
Darstellung von Schwingungen in der komplexen Ebene
Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz
Ortskurven
Inversion von Ortskurven
Ableitung von Funktionen einer komplexen Variablen
Definition der Ableitung im Komplexen
Ableitungsregeln im Komplexen
Cauchy-Riemannsche Differenzierbarkeitsbedingungen
Konforme Abbildungen
Integration in der komplexen Ebene
Komplexe Kurvenintegrale
Cauchyscher Integralsatz
Stammfunktionen im Komplexen
Cauchysche Integralformeln
Taylorreihe einer analytischen Funktion
Laurentreihen
Klassifikation singulärer Punkte
Residuensatz
Inverse Laplacetransformation
18 Differentialgleichungen
18.1 Allgemeines
18.2 Geometrische Interpretation
18.3 Lösungsmethoden bei Differentialgleichungen erster Ordnung
Trennung der Variablen
Substitution
Exakte Differentialgleichung
Integrierender Faktor
18.4 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
Variation der Konstanten
Allgemeine Lösung
Bestimmung einer partikulären Lösung
Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . .
18.5 Einige spezielle Gleichungen
Bernoullische Differentialgleichung
Riccatische Differentialgleichung
Clairautsche Differentialgleichung
18.6 Differentialgleichungen 2. Ordnung
Einfache Spezialfälle
18.7 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
Zurückführung spezieller Differentialgleichungen 2. Ordnung auf Differentialgleichungen 1. Ordnung
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
18.8 Differentialgleichungen n-ter Ordnung
18.9 Systeme von gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung
18.10 Systeme von linearen homogenen Dgln. mit konstanten Koeffizienten . . . .
18.11 Partielle Differentialgleichungen
Lösung durch Separation
18.12 Numerische Integration von Differentialgleichungen
Eu ler-Verfahren
Verfahren von Heun
Modifiziertes Eu ler-Verfahren
Runge-Kutta-Verfahren
Runge-Kutta-Verfahren für Systeme von Differentialgleichungen
593
593
594
594
595
597
597
597
598
598
600
600
601
601
602
602
603
604
604
605
606
606
607
609
609
609
609
610
610
610
611
611
612
612
612
612
613
613
613
614
615
615
616
617
619
624
625
627
628
631
631
631
633
633
638
INHALTSVERZEICHNIS
Differenzenverfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen
Die Methode der finiten Elemente
15
639
641
19 Fourier-Transformation
19.1 Fourier-Reihen
Einleitung
Definition und Koeffizienten
Konvergenzbedingung
Erweitertes Intervall
Symmetrien
Fourier-Reihe in komplexer und spektraler Darstellung
Formeln zur Berechnung von Fourier-Reihen
Fourier-Entwicklung einfacher periodischer Funktionen
Fourier-Reihen (Tabelle)
19.2 Fourier-Integrale
Einleitung
Definition und Koeffizienten
Konvergenzbedingungen
Komplexe Darstellung, Fouriersinus- und -Cosinustransformation
Symmetrien
Faltung und einige Rechenregeln
19.3 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
Definition und Koeffizienten
Shannonsches Abtasttheorem
Diskrete Sinus- und Cosinustransformation
Fast-Fourier-Transformation (FFT)
Spezielle Paare von Fourier-Transformierten
Fourier-Transformierte (Tabelle)
Spezielle Fourier-Sinus-Transformierte
Spezielle Fourier-Cosinus-Trans formierte
19.4 Wavelet-Transformation
Signale
Lineare Signalanalyse
Symmetrietransformationen
Zeit-Frequenz-Analyse und Gabor-Transfomation _
Wavelet-Transformation
Diskrete Wavelet-Transformation
643
643
643
643
644
645
647
648
649
650
655
657
657
657
658
658
659
660
661
661
662
662
664
668
668
670
671
672
672
673
674
674
676
680
20 Laplace- und z-Transformationen
20.1 Einleitung
20.2 Definition der Laplace-Transformation
20.3 Transformationssätze
20.4 Partialbruchzerlegung
Partialbruchzerlegung mit einfachen reellen Nullstellen
Partialbruchzerlegung mit mehrfachen reellen Nullstellen
Partialbruchzerlegung mit komplexen Nullstellen
20.5 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Laplace-Transformation: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
Beispiele: Lineare Differentialgleichungen
Laplace-Transformierte (Tabelle)
20.6 z-Transformation
Definition der z-Transformation
Konvergenzbedingungen für die z-Transformation
Umkehrung der z-Transformation
Rechenregeln
683
683
683
685
691
691
692
693
694
695
696
698
701
709
709
710
711
712
16
INHALTSVERZEICHNIS
Rechenregeln zur z-Transformation
Tabelle von z-Transformierten
21 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
21.1 Kombinatorik
21.2 Zufällige Ereignisse
Grundbegriffe
Ereignisrelationen und Ereignisoperationen
Strukturdarstellung von Ereignissen
21.3 Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten
Methoden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
21.4 Zufallsgrößen und ihre Verteilungen
Einzelwahrscheinlichkeit, Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
Kenngrößen von Verteilungen
Spezielle diskrete Verteilungen
Spezielle stetige Verteilungen
21.5 Grenzwertsätze
Gesetze der großen Zahlen
Grenzwertsätze
21.6 Mehrdimensionale Zufallsgrößen
Verteilungsfunktionen zweidimensionaler Zufallsgrößen
Zweidimensionale diskrete Zufallsgrößen
Zweidimensionale stetige Zufallsgrößen
Unabhängigkeit von Zufallsgrößen
Kenngrößen zweidimensionaler Zufallsgrößen
Zweidimensionale Normalverteilung
21.7 Grundlagen der mathematischen Statistik
Beschreibung von Messungen
Fehlerarten
21.8 Kenngrößen zur Beschreibung von Meßwertverteilungen
Lageparameter, Mittelwerte von Meßreihen
Streuungsparameter
21.9 Spezielle Verteilungen
Häufigkeitsverteilungen
Verteilung von Stichprobenfunktionen
21.10 Stichproben-Analyseverfahren (Test-und Schätztheorie)
Schätz verfahren
Konstruktionsprinzipien für Schätzfunktionen
Momentenmethode
MaximunvLikelihood- Verfahren
Methode der kleinsten Quadrate
X2 -Minimum-Methode
Methode der Quantile, Perzentile
Intervallschätzung
Intervallgrenzen bei Normalverteilung
Prognose- und Konfidenzintervallgrenzen bei Bmomialverteilung und hypergeometrischer Verteilung
Intervall grenzen bei Poisson-Verteilung
Bestimmung des Stichprobenumfangs n
Prüfverfahren
Parametertests
Parametertests bei der Normalverteilung
Hypothesen über den Mittelwert beliebiger Verteilungen
Hypothesen überp von Binomial- und hypergeometrischen Verteilungen . . . .
714
714
717
717
718
718
719
720
721
722
722
722
723
725
725
726
728
735
742
742
743
744
744
745
746
747
747
748
750
750
752
753
753
755
756
756
757
761
762
764
764
764
765
765
766
766
768
769
770
770
771
774
774
776
776
INHALTSVERZEICHNIS
Anpassungstests
Anwendung: Annahmestichproben- und Ausschußprüfung
21.11 Zuverlässigkeit
21.12 Ausgleichsrechnung, Regression
Lineare Regression, Methode der kleinsten Quadrate
Regression n-ter Ordnung
17
777
778
779
781
782
784
22 Fuzzy-Logik
22.1 Unscharfe Menge
22.2 Fuzzy-Konzept
22.3 Funktionsgraphen für die Modellierung unscharfer Mengen
22.4 Verknüpfung unscharfer Mengen
Elementare Operationen
Rechengesetze für unscharfe Mengen
Regeln für Familien unscharfer Mengen
t-Norm und t-Konorm
Nichtparametrisierte Operatoren: t-Normen und s-Normen (t-Konormen) . . . .
Parametrisierte t- und s-Normen
Kompensatorische Operatoren
22.5 Fuzzy-Relationen
22.6 Fuzzy-Inferenz
22.7 Defuzzifizierungsmethoden
22.8 Beispiel: inverses Pendel
22.9 Fuzzy-Realisierungen
786
786
787
787
791
791
794
795
795
797
797
798
799
801
803
804
808
23 Neuronale Netze
23.1 Arbeitsweise und Struktur
Arbeitsweise
Struktur
23.2 Umsetzung des Neuronen-Modells
Zeitunabhängige Systeme
Zeitabhängige Systeme
Verwendung
23.3 Überwachtes Lernen
Prinzip des überwachten Lernens
Standard Backpropagation
Backpropagation Through Time
Verbesserte Lernmethoden
Hopfield-Netz
23.4 Unüberwachtes Lernen
Prinzip des unüberwachten Lernens
Kohonen-Modell
809
809
809
810
811
811
811
812
813
813
814
815
816
817
819
819
819
24 Nutzung von Computern
24.1 Betriebssysteme
Einführung in MS-DOS
Einführung in UNIX
24.2 Höhere Programmiersprachen
Programmstrukturen
Objektorientierte Programmierung
821
821
823
825
827
828
831
Einführung in PASCAL
24.3 Grundstruktur
24.4 Variablen und Typen
Ganze Zahlen
Reelle Zahlen
Boolesche Werte
833
833
833
834
834
834
18
INHALTSVERZEICHNIS
24.5
24.6
24.7
24.8
24.9
Felder, ARRAYs
Zeichen und Zeichenketten
Datensätze RECORDs
Zeiger
Selbstdefinierte Typen .
Anweisungen
Zuweisungen und Ausdrücke
Ein- und Ausgabe
Verbundanweisung
Bedingte Anweisungen IFundCASE
Schleifen FOR, WHILE und REPEAT
Prozeduren und Funktionen
Prozeduren
Funktionen
Lokale und globale Variablen, Parameterübergabe
Rekursion
Grundlegende Algorithmen
Dynamische Datenstrukturen
Suchen
Sortieren
Computergrafik
Grund funktionen
835
836
836
837
838
839
839
840
841
842
843
844
844
845
845
847
848
848
849
850
852
852
Einführung in C
Grundstrukturen
Operatoren
Datenstrukturen
Schleifen und Verzweigungen
853
853
855
857
860
Einführung in C++
Variablen und Konstanten
Überladen von Funktionen
Überladen von Operatoren
Klassen
Instantiierung von Klassen
f riend-Funktionen
Operatoren als Memberfunktionen
Konstruktoren
Abgeleitete Klassen (Vererbung)
Klassenbibliotheken
863
863
863
864
864
865
865
865
866
867
868
Einführung in FORTRAN
Programmaufbau
Datenstrukturen
Operatoren
Schleifen und Verzweigungen
Unterprogramme
869
869
869
872
872
873
Computeralgebra
Strukturelemente von Mathematica
Strukturelemente von Maple
Algebraische Ausdrücke
Gleichungen und Gleichungssysteme
Lineare Algebra
Differential- und Integralrechnung
Programmierung
Kurvenanpassung und Interpolation mit Mathematica
876
876
879
882
883
884
884
886
887
INHALTSVERZEICHNIS
Grafik
25 Integraltafeln
25.1 Integrale rationaler Funktionen
Integrale mit P = ax + b, a^O
Integrale mit xm/(ax + 6)™, P = ax + b, a j= 0
Integrale mit 1/ (xn(ax + 6) m ), P = ax + b 6 ^ 0
Integrale mit ax + b und ex + d c / 0
Integrale mit a + x und b + x a ^ b
Integrale mit P = ax2 + bx + c
(o^O)
Integrale mit xn/(ax2 + bx +c)m,
P = ax2 + bx + c a jt 0
Integrale mit l/(x"(ax2 + bx + c) m ), P = ax2 + bx +c c ^ O
Integrale mit P = a2 ± x2
Integrale mit l/{a2±x2)n,
P = a2±x2
o^0
Integrale mit xn/(a2 ±x2)m,
P = a2 ± x2 a^0
Integrale mit 1/(z"(a 2 ± z 2 ) m ) P = a2 ± x2 a^0
Integrale mit P = a3 ± x3 a / 0
Integrale mit o4 + x4 a > 0
Integrale mit a4 - x4 a > 0
25.2 Integrale irrationaler Funktionen
Integrale mit x1!2 und P = ax + b a, b ^ 0
Integrale mit (ax + b)1/2
P = ax + b a^O
Integrale mit (ax + bf12 und (ex + d)1/2 , a,c^0
2
2 12
Integrale mit R = (a + x ) '
a+0
Integrale mit S = (x2 - a 2 ) 1 / 2 a ^ 0
2
2 1 2
Integrale mit T = ( a - a : ) '
a/0
Integrale mit (ax2 + bx + c) 1 / 2 -X" = ax 2 + fa + c a / 0
25.3 Integrale transzendenter Funktionen
Integrale mit Exponentialfunktionen, a ^ 0
Integrale mit logarithmischen Funktionen x > 0
Integrale mit Hyperbelfunktionen a ^ 0
Integrale mit inversen Hyperbelfunktionen
Integrale mit Sinus- oder Cosinusfunktionen a ^= 0
Integrale mit Sinus-und Cosinusfunktionen a^0
Integrale mit Tangens-oder Cotangensfunktionen a ^ 0
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen a ^ 0
25.4 Bestimmte Integrale
Bestimmte Integrale mit algebraischen Funktionen
Bestimmte Integrale mit Exponentialfunktionen
Bestimmte Integrale mit logarithmischen Funktionen
Bestimmte Integrale mit trigonometrischen Funktionen
19
888
890
890
890
890
891
892
893
893
893
894
894
895
895
896
897
897
898
898
898
899
900
901
902
904
905
906
906
907
909
910
910
915
918
919
920
920
921
922
923