Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik

pORG Komenský, 1030 Wien, Sebastianplatz 3
Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik
Prüfer: Mag. Martin Stoll
8. Klasse ORG
Sommertermin 2006
1. Eine zur y-Achse symmetrische Polynomfunktion 4. Grades verläuft durch P (0|5)
und hat einen Wendepunkt bei Q(2|0).
1 4
x − 32 x2 + 5 lautet,
(a) Beweise, dass die Termdarstellung der Funktion f (x) = 16
indem du die Koeffizienten des Polynoms unbestimmt ansetzt!
(3 P.)
Arbeite in (b), (c) und (d) – unabhängig davon, ob (a) gelingt – mit f (x) =
1 4
= 16
x − 32 x2 + 5 weiter!
(b) Ermittle die Koordinaten ihrer Nullstellen, Extrema und Wendepunkte sowie
die Gleichungen ihrer Wendetangenten!
(7 P.)
(c) Fertige mit Bleistift und Lineal eine Zeichnung des Graphen samt Wendetangenten an! Trage in diese Zeichnung sämtliche in (b) berechneten Punkte
ein!
(3 P.)
(d) Berechne den Inhalt des endlichen Flächenstücks, das der Graph der Funktion
im 1. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt!
(1 P.)
2. Die Schülerinnen eines Oberstufenrealgymnasiums nahmen an einem Sportfest teil.
Für ihre Leistungen beim Weitsprung ergab sich eine Normalverteilung mit dem
Mittelwert 3,65 m und der Standardabweichung 0,25 m.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit lag die Sprungweite einer zufällig ausgewählten
Schülerin (i) zwischen 3,50 m und 3,80 m, (ii) über 4,10 m?
(2 P.)
(b) Wie weit musste eine Schülerin mindestens springen, um zu den besten 10 %
der Teilnehmerinnen zu gehören? Runde sinnvoll!
(2 P.)
(c) Die Schüler des Oberstufenrealgymnasiums führten ebenfalls einen Weitsprungwettbewerb durch. Wie bei den Schülerinnen war die Sprungweite normalverteilt mit 0,25 m Standardabweichung. Wie groß war der Mittelwert, wenn die
Sprungweite bei 95 % der Schüler höchstens 4,36 m betrug? Runde
sinnvoll!
(2 P.)
(d) Das Oberstufenrealgymnasium wird von 400 SchülerInnen besucht. Langjährige Erfahrungen der SportlehrerInnen haben gezeigt, dass diese nur mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,9 bei einem Sportfest erscheinen. In welchem Intervall (symmetrisch um µ) liegt mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der
erscheinenden SchülerInnen?
(3 P.)
(e) Argumentiere möglichst ohne Rechnung: Wie verändert sich das Intervall aus
(d), wenn angenommen wird, dass die SchülerInnen mit der Wahrscheinlichkeit
0,8 bzw. 0,98 beim Sportfest erscheinen?
(1 P.)
1
3. Gegeben seien die Ellipse ell : 3x2 + 4y 2 = 48 und die Hyperbel hyp : 3x2 − y 2 = 3.
(a) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte dieser beiden Kurven sowie den
Schnittwinkel! Zeige außerdem, dass die beiden Kegelschnitte konfokal sind
(d. h. gemeinsame Brennpunkte haben)!
(6 P.)
(b) Das kleinere vom rechten Hyperbelast und der Ellipse begrenzte endliche
Flächenstück rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des so entstehenden Drehkörpers!
(4 P.)
4. Die chinesische Metropole Peking hatte 1940 rund 1,6 Millionen Einwohner. In den
folgenden 60 Jahren wuchs ihre Einwohnerzahl um 330 %.
(a) Stelle die Wachstumsgleichung für die Einwohnerzahl Pekings auf, wenn exponentielles Wachstum vorausgesetzt wird! Gib die Bedeutung aller in der Gleichung vorkommenden Parameter an!
(3 P.)
(b) Rechne mit dieser Gleichung die Einwohnerzahlen für 1980 und 2006 hoch!
Runde sinnvoll!
(1 P.)
(c) Wann wird Peking dieser Gleichung zufolge 10 Millionen Einwohner
haben?
(2 P.)
(d) Wann wird Peking 10 Millionen Einwohner haben, wenn lineares Wachstum
vorausgesetzt wird?
(2 P.)
(e) Wären auch langfristige Hochrechnungen einer Bevölkerungsentwicklung (z. B.
für das Jahr 2200) sinnvoll? Begründe deine Entscheidung!
(1 P.)
5. Biegt man von einer geraden Straße in A um 39, 20 nach links ab und fährt man
danach 4,7 km geradeaus, so landet man in Punkt P . Fährt man jedoch die Straße
weiter und biegt in B (wobei AB = 2,9 km) um 46, 30 nach rechts ab, so gelangt
man nach 2,4 km zu Punkt Q. Wie weit liegen P und Q auseinander?
Runde das Ergebnis sinnvoll! Fertige mit Bleistift und Lineal eine Skizze an, in die
sämtliche bei der Rechnung verwendeten Größen eingezeichnet werden!
(5 P.)
0 − 23 . . . 5
24 − 30 . . . 4
31 − 38 . . . 3
2
39 − 44 . . . 2
45 − 48 . . . 1