Klausur inkl. Lösung

Prof. Dr. Norbert Hampp
Wintersemester2009/2010
Sommersemester 2010
Daniel Kehrlößer
Klausur zum Modul „Physikalische Chemie 2“
Wintersemester 2009/2010 - Sommersemester 2010
30 Juli 2010
Angaben zur Person:
Name, Vorname: ………………………………………………………………………………………………………………………………….
Musterlösung
Geburtsdatum und -ort: ………………………………………………………………………………………………………………………
Matrikelnummer: ……………………………………………………………………………………………………………………………….
Studienfach, Fachsemester: …………………………………………………………………………………………………………………


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

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

Studierende in Studiengängen mit dem Abschluss „Bachelor of Science“ dürfen an dieser Klausur
nur teilnehmen, wenn sie zu diesem Modul angemeldet sind.
Die Klausur besteht (inkl. dieses Blatts) aus insgesamt 11 Seiten. Bitte überprüfen Sie Ihre
Klausur auf Vollständigkeit.
Name und Matrikelnummer auf jedes Blatt schreiben!
Sollten Sie zusätzlich leere Blätter benötigen erhalten Sie diese von den Assistenten. Bitte
vermerken Sie deutlich auf den Klausurbögen, wenn sich Teile der Lösung auf einem
zusätzlichen Blatt befinden. Keine mitgebrachten Blätter verwenden.
Erlaubte Hilfsmittel sind drei (3) beidseitig, selbst von Hand beschriebene DIN-A4 Blätter als
Formelsammlung sowie ein einfacher wissenschaftlicher Taschenrechner. Weitere Hilfsmittel
sind nicht gestattet. Zuwiderhandlung wird als Täuschungsversuch gewertet!
Allgemeine und klare Ansätze! Bei Rechnungen genügt nicht nur das Endergebnis, sondern es
muss vor allem der Lösungsweg klar erkenn- und nachvollziehbar sein (bitte leserlich schreiben)!
Ist die Einheit einer Zahl falsch oder fehlt (wenn die Zahl eine Einheit hat) führt dies zu
Punktabzug!
Verlassen des Platzes/Saales nur nach Meldung beim Assistenten.
Im Falle eines Täuschungsversuchs wird Ihre Klausur eingezogen und mit 0 Punkten bewertet.
Mobiltelefone müssen während der gesamten Klausur ausgeschaltet sein.
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
Erreichbare Punkte
a
10
5
4
2
8
10
4
6
Gesamtsumme
Leistungspunkte:
b c
10
5
4 4
2 2
d
e
f
2
2
2 2
2
3
3
3
5
g
Erreichte Punkte
Summe
20
10
12
14
8
10
20
6
a
b
c
d
e
f
g
Summe
100
Note:
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Naturkonstanten
Atomare Masseneinheit
Boltzmann-Konstante
Bohrscher Radius
Bohrsches Magneton
Dielektrizitätskonstante
Drehimpulsquantum
Elementarladung
Erdbeschleunigung
Gaskonstante
Lohschmidt-Zahl
Masse des Elektrons
Masse des Neutrons
Masse des Protons
Planck-Konstante
Rydberg-Konstante
Vakuumlichtgeschwindigkeit
amu
k
a0
B
0
ħ = h/2
e
g
R
N
me
mn
mp
h
R
c
1,66054 · 10-27 kg
1,38066 · 10-23 J K-1
5,29177 · 10-11 m
9,27402 · 10-24 J T-1
8,85419 · 10-12 C2J-1 m-1
1,05457·10-34 J s
1,602177 · 10-19 C
9,80665 m s-2
8,31447 J K-1 mol-1
6,02214 · 1023 mol-1
9,109339 · 10-31 kg
1,67493 · 10-27 kg
1,67262 · 10-27 kg
6,62608 · 10-34 J s
1,09737 · 105 cm-1
2,99792458 · 108 m s-1
Umrechnungen
1 Joule
1 eV
1 atm
1 bar
1 Torr
6,24150974 x 1018 eV
8065 cm-1
760 Torr
105 Pa
1,33322 mbar
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Integralsammlung


0
 (n  1)

(n  1, a  0)
n1



xn  eax dx   a

 n!

(n

0,1,2,...,
a

0)
 an1

1 
(a  0)
2 a
 1 (n  1 )

2 (n  1, a  0)
 2

 an1 2




  2k  1!! 

n
 ax2
x  e dx   k 1 k
(n  2k,k ist Ganzzahl...,a  0) 
0
a
 2 a

 k!

(n  2k  1,k ist Ganzzahl...,a  0)
 k 1

 2a



1
1
cx  d
dx  
ln
bc  ad ax  b
 ax  b    cx  d


0
eax dx 
2


1
 x lnxdx  lnlnx


sinn1 (ax)  cos(ax) n  1

sinn2 (ax)dx (für n  0)
na
n
cosn1 (ax)  sin(ax) n  1
cosn (ax)dx 

cosn2 (ax)dx (für n  0)
na
n

sinn (ax)dx  

Formelsammlung
Hn (x)  (1)n ex
2
dn x2
e
dxn


Pn (x) 
n
1 dn  2
x 1 
n
n 

2 n! dx 
Lkn (x) 
ex x k dn x nk
e x 

n! dxn 
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Aufgabe 1:
1
Die Funktion  n (x)  N 
2n n!
 Hn (x)  e

1 m 2
x
2
beschreibt die Wellenfunktionen des harmonischen
Oszillators, wobei Hn(x) die Hermite-Polynome sind.
a) Bestimmen Sie die Normierungskonstante N für den Grundzustand.
b) Berechnen Sie den Energieeigenwert des Grundzustandes.
a) Bedingung für die Normierung:


1   n* (x)  n (x)dx

2Punkte
Für den Grundzustand ergibt sich n=0. Dies bedeutet für das Hermite Polynom:
H0  x   (1)0 ex
d0  x2
e
dx 0
2
 ex  e  x  1
2
2
2Punkte
Damit ergibt sich für die Funktion:
1
 0 (x)  N 
20 0!
e

1 m 2
x
2
2Punkte
1 m 2

x
(x)  N  e 2
0
Daraus folgt für die Normierungsbedingung:

1

N e

1 m 2
x
2
N e

1 m 2
x
2
dx


1N 
2
e

m
2Punkte
x2
dx

Mit Hilfe des Integrals

e
 ax2
dx 
0
1 
(a  0)
2 a
ergibt sich:
1  N2  2 
1

2 m
1


2
m
N
N 4
2 Punkte
m

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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
b) Es gilt für die Energie eine harmonischen Oszillators
Ĥ  E
(2 Punkte)
Dabei setzt sich er Hamiltonoperator wie folgt zusammen:
ˆ  Eˆkin  Vˆ
H
(2 Punkte)
d2 1 2

kx
2m dx2 2
Mit der Wellenfunktion des Grundzustands aus Aufgabenteil a) ergibt sich:
Ĥ  

2
2
d2
1
  kx2  E
2m dx2
2
1 m
2
1 m

x2

x2
d2
1

N e 2
 kx2N  e 2
 E
2
2m dx
2
Anwenden des Operators führt zu:
1 m

d
m
  N
x e 2
dx
1 m
d2
m  2
  N
e
2
dx
1 m
d2
m  2



N
e
dx2
Mit  

(2 Punkte)
x2
x2
x2
1 m 2

x 
 m   m
  N
x  
x e 2


 

N
m2 2
2
x e
2

(2 Punkte)
1 m 2
x
2
k
bzw. k  2m
m
1 m 2
1 m 2
 m  1 m x2

x  1

x
m2 2
2
2
e 2
 N 2 x2  e 2
 E
 N
   mx N  e 2
2m 
 2
2
1 m

1
  Ne 2
2
1 m

1
  Ne 2
2
x2
x2
1 m

1
 m 2x2  Ne 2
2
x2
1 m

1
 m 2x2N  e 2
2
x2
 E
(2 Punkte)
 E
Der Energieeigenwert des Grundzustandes ist somit
1

2
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Aufgabe 2:
a) Berechnen sie die de Broglie Wellenlänge eines Elektrons mit der Geschwindigkeit v = 0,1 c.
b) Welche Wellenlänge hat ein Tennisball (57 g) gleicher Geschwindigkeit?
Die de Broglie Wellenlänge ist:
h
  mit p  m  v ergibt sich:
p

h
m v
a) Für ein Elektron gilt:
h  6,626  10 34 J  s
me  9,109  10 31 kg
(5 Punkte)
v  0,1c  0,1  2,998  10 m  s
Damit ergibt sich
8
1
  2,43  1011 m
b) Für einen Tennisball ergibt sich:
  3,87  1040 m
(5Punkte)
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Aufgabe 3:
Angenommen Sie hätten einen kleinen Elektronensensor mit einem Volumen von 1 pm 3 mit dem
Sie das H2+ - Molekülion abtasten könnten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit an den folgenden
Orten ein Elektron zu registrieren jeweils
i)
für den Grundzustand und
ii)
für den Moment, gleich nachdem das Elektron in das antibindende Molekülorbital
angeregt wurde.
a) An Kern A.
b) An Kern B.
c) In der Mitte zwischen A und B.
(4 Punkte)
(4 Punkte)
(6 Punkte)
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist definiert als P   d wenn wir annehmen das unser
Elektronensensor ein Volumen von 1,00 pm3 können wir in guter Näherung schreiben
2
P   d mit d  1,00pm3
2
i)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Grundzustandes des H2+-Ions ist gegeben mit:
 2  N 2 (A  B)2
mit

A
e
rA
a0

, B
a
3
0
e
rB
a0
und N  0,56
 a03
a) Für den Fall das wir ein Elektron am Kern A registrieren setzen wir r A=0 und rb=106 pm
Die Wahrscheinlichkeit ein Elektron am Kern A anzutreffen ergibt sich dann zu:
P   d =8,6  107 pm3  1,00pm3  8,6  107
b) Für den Fall das wir ein Elektron am Kern B registrieren setzen wir r A=106 pm und rb=0 Die
Wahrscheinlichkeit ein Elektron am Kern B anzutreffen ergibt logischerweise auf Grund der
Symmetrie ebenfalls zu:
2
P   d =8,6  107 pm3  1,00pm3  8,6  107
c) Für den Fall ein Elektron in der Mitte zwischen den Kernen A und B anzutreffen setzen wir
rA = rb = 53 pm und erhalten:
2
P   d =3,64  107 pm3  1,00pm3  3,64  107
2
ii)
Für das antibindende Orbital verfahren wir anlog unter Verwendung der entsprechenden
Wahrscheinlichkeitsdichte:
 2  N 2 (A  B)2
mit

A
e
rA
a0

a
3
0
, B
e
rB
a0
 a03
und N  1,099
Es ergeben sich folgende Ergebnisse:
a) P = 2,0 ∙10-6
b) P = 2,0 ∙10-6
c) P = 0
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Aufgabe 4:
Geben Sie für jedes der nachfolgend dargestellten Moleküle alle Symmetrieelemente sowie die
Punktgruppe an. Verwenden Sie die Symbole nach Schoenflies (entspricht den Bezeichnungen im
Atkins).
Molekül
CO2
Symmetrieelemente
Punktgruppe
E
C1
E, C2, h, S2 = i
C2h
E, C2, 2 v
C2v
E, C5, S5, 5 C2, h, 5 V
D5h
E, h
Cs =Ch
E, C3, S3, 3 C2, h, 3 v
D3h
E, C∞, ∞ C2, S2=i, h, ∞ v
D∞h
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Aufgabe 5:
Das Rotationsspektrum von 23Na35Cl zeigt Linien mit einem konstanten Abstand von 8309 MHz.
Berechnen Sie die Bindungslänge.
Es gilt mit J = 0
  2B(J  1)
  2B
B  4154MHz  13,85m1
Mit B 
I
4 cI
4 cB
r

und I    r2 ergibt sich
 2,02  1045 kg  m2
I

23u  35u
 1,66  1027 kg  u1  2,3  1026 kg
23u  35u
r=296 pm
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Aufgabe 6:
Die Kraftkonstante von 79Br79Br beträgt 240 N∙m-1.
Schwingungsfrequenz und die Nullpunktsenergie.

1
2
k

792 u2
 1,66  1027 kg  u1
79u  79u
  6,56  1026 kg


1
2
240Nm1
 9,63  1012 Hz
6,56  1026 kg
E0 
1
2
k

E0 
1
2
240Nm1
 3,19  1021 J
26
6,56  10 kg
Berechnen
Sie
die
fundamentale
(2Punkte)
(2Punkte)
(2Punkte)
(2Punkte)
(2Punkte)
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Aufgabe 7:
Die nachfolgende Abbildung zeigt das Infrarotspektrum von Iodwasserstoff (HI). Rechnen Sie mit
folgenden Werten mH = 1,0073 amu und mI = 126,8985 amu.
a) Ordnen Sie die Banden den einzelnen spektralen Übergangen zu. Fertigen Sie dazu eine
Skizze an, die Energieniveaus der Rotation in den beiden Schwingungszustanden auf einer
gemeinsamen Energieskala darstellt (ein sog. Termschema). Beschriften Sie jedes
Energieniveau mit der dazugehörenden Schwingungs- und Rotationsquantenzahl (v, J). Es
genügt wenn Sie jeweils die untersten sieben Rotationsniveaus einzeichnen.
b) Das gezeigte Spektrum besteht aus so genannten Zweigen. Markieren Sie die Zweige in dem
Spektrum und geben Sie deren Bezeichnung an. Was ist die charakteristische Gemeinsamkeit
der Spektralbanden in den Zweigen?
c) Berechnen Sie die Rotationskonstante für den Schwingungsgrundzustand und den ersten
angeregten Schwingungszustand.
d) Wie groß sind die Trägheitsmomente und die Kernabstande für den Schwingungsgrundzustand und den ersten angeregten Schwingungszustand?
e) Welchem Schwingungstyp entspricht der Übergang von v = 0 nach v = 1? Warum kann dieser
Übergang in dem Spektrum nicht beobachtet werden?
f) Wie groß ist die zum Übergang v = 0 nach v = 1 zugehörige Kraftkonstante?
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
a)
b)
Der R-Zweig besteht aus Linien mit ΔJ = +1, der P-Zweig aus Linien mit ΔJ = –1
c) Um die Rotationskonstante für den Schwingungszustand v = 0 zu berechne, misst man die
Wellenzahldifferenz zwischen den Übergängen, die auf demselben Rotationsniveau für v = 1
enden, aber von verschiedenen Niveaus v = 0 ausgehen. Zur Berechnung der
Rotationskonstante für v = 1 ermittelt man die Wellenzahldifferenzen zwischen den
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Übergängen, die von demselben Rotationszustand in v = 0 ausgehen und auf verschiedenen
Niveaus v = 1 enden.
Diese Methode nennt sich Verfahren der Kombinationsdifferenzen. Die erhaltenen Werte
sind nachfolgend in einer Tabelle zusammengefaßt.
Somit sind die Rotationskonstanten B0 = 6,43 cm-1 (für v = 0) und B1 = 6,25 cm-1 (für
v = 1).
d) I 
4 cB
I0=4,351∙10-47 kg m2 I1=4,476∙10-47 kg m2
Mit µ=1,6594∙10-27 kg ergibt sich:
r0=161,9 pm r1=164,2 pm
e) Bei zweiatomigen Molekülen gibt es nur eine einzige Schwingung und somit nur einen
Schwingungstyp, die Streckschwingung
Der Übergang v=0  v=1 mit J=0 ist der Q-Zweig. Er ist nicht erlaubt, da für das HI-Molekül
die Auswahlregel J=±1 gilt.
f)
Wenn der Übergang v=0  v=1 mit J=0 erlaubt wäre, würde man ich bei 2230 cm-1
beobachten. Die Kraftkonstante errechnet sich dann zu:
k  2  4 2 c2 2  293Nm1
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
Aufgabe 8:
Die Extinktionskoeffizienten von Tyrosin und Tryptophan bei 240 nm und 280 nm wurden bestimmt.
Mit Hilfe dieser Werte sollen Sie die Konzentrationen der beiden Aminosäuren in einer Lösung
unbekannter Zusammensetzung bestimmt werden. Aus dem UV-VIS Spektrum dieser Lösung wurde
eine Extinktion von 0,717 bei 240 nm und von 0,239 bei 280 nm in einer Küvette mit 1 cm
Schichtdicke bestimmt. Die Absorption des Lösungsmittels werde vernachlässigt.
240 nm
Tyrosin
Tryptophan

Tyr
240
280 nm
1
1
 11300 l  mol  cm
Trp
 240
 1960 l  mol1  cm1

Tyr
280
 1500 l  mol1  cm1
Trp
 280
 5380 l  mol1  cm1
Es gilt das Lambert-Beer’sche Gesetz E=∙c∙d mit d=1 cm
Das Lambert-Beersche Gesetz ist additiv. Die Extinktionen der beiden Substanzen in der Mischung
addieren sich zur Gesamtextinktion. Wir können daher für die beiden Wellenlängen folgende
Gleichungen aufstellen und dann das Gleichungssystem lösen.
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Name: ……………………………………………………………………………….
Matrikelnummer: ………………….…………….
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