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Kapitel 2
Vektorbündel und Tensoren
Dieses Kapitels gehört wie die vorangegangenen Kapitel zum Bereich der Differentialtopologie und noch nicht zur Riemannschen Geometrie. Das Tangentialbündel
wird zu beliebigen Bündeln aus Vektorräumen verallgemeinert, die sehr schnell für
weitere Konstruktionen wie etwa mehrfache Ableitungen notwendig werden. Außerdem werden einige Objekte aus der Linearen Algebra bereitgestellt: Die Algebra
der Tensorprodukte von Vektoren und die endlich-dimensionale äußere Algebra zu
einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Der Wert dieser Objekte für die Differentialgeometrie wird in diesen Abschnitten bereits dadurch etwas klarer, dass sie
die Definition weiterer Differentialoperatoren ermöglichen. Die äußere Algebra liefert im vorletzten Abschnitt ein topologisches Instrument zur Unterscheidung von
Mannigfaltigkeiten, die de Rham-Kohomologie. Die äußere Algebra verallgemeinert
den Begriff der Determinante. Im letzten Abschnitt wird die äußere Algebra zur
Definition eines Integrals auf Mannigfaltigkeiten analog zum Integrationsbegriff auf
dem Rn verwendet.
2.1
Vektorbündel
Man stößt schnell auf die Notwendigkeit der Verallgemeinerung der Konstruktion
des Tangentialbündels. Z.B. kann man zu einer Funktion f : M → R die Ableitung
Tp f : Tp M → Tf (p) R R als 1-Form im Dualraum (Tp M )∗ auffassen; und T f
würde man dann gerne als je eine 1-Form an jedem Punkt aus M betrachten.
Definition 2.1.1. Seien M, B, Z C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei π : M → B eine
C ∞ -Abbildung, (Uj )j∈J eine offene Überdeckung von B sowie
hj : π −1 (Uj ) → Uj × Z
Diffeomorphismen, so dass π|π−1 (Uj ) = (Projektion auf 1. Faktor) ◦ hj . Dann heißt
π zusammen mit (hj )j∈J Faserbündel mit typischer Faser Z. Die hj heißen
lokale Trivialisierungen. B heißt Basis, M Totalraum des Bündels.
Wie bei der Definition von C ∞ -Strukturen auf Mannigfaltigkeiten werden Faserbündel mit kompatiblen lokalen Trivialisierungen als gleich betrachtet.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
K. Köhler, Differentialgeometrie und homogene Räume, DOI 10.1007/978-3-8348-8313-1_2
36
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
M
Z
B
Abb. 2.1: Faserbündel
Beispiel. i) T B → B.
proj
ii) Das triviale Bündel M := B × Z →1 B.
iii) Für K = R, C, H ist K n+1 \ {0} ein Faserbündel über Pn K mit Faser K \ {0}
via
π : K n+1 \ {0} → Pn K
(x0 , . . . , xn ) 7→ (x0 : · · · : xn ) .
Bemerkung. i) π ist als Verknüpfung der Submersion Uj × Z → Uj und des
Diffeomorphismus hj eine Submersion und surjektiv, da (Uj )j∈J eine Überlagerung ist.
ii) Jedes hj zu Uj um x ∈ B induziert einen Diffeomorphismus π −1 ({x}) → {x}×Z.
Deswegen wird Mx := π −1 ({x}) Faser über x genannt (Abb. 2.1).
iii) Für j, k ∈ J ist hj ◦ h−1
: (Uj ∩ Uk ) × Z → (Uj ∩ Uk ) × Z von der Form
k
(idUj ∩Uk , gjk ), wobei für ∀x ∈ Uj ∩ Uk die Übergangsabbildung gjk|x ein Diffeomorphismus von Z ist.
iv) Der Faserungssatz von Ehresmann [Du, ch. 9.5] besagt, dass jede eigentliche
Submersion ein Faserbündel ist.
Definition 2.1.2. Eine #Z-fache Überlagerung ist ein Faserbündel mit diskreter Faser Z.
2.1. VEKTORBÜNDEL
37
Abb. 2.2: Zylinder und Möbiusband als R-Linienbündel über S 1 .
Z.B. ist S n → Pn R eine zweifache Überlagerung.
Definition 2.1.3. Ein Schnitt eines Faserbündels π : M → B ist eine C ∞ Abbildung s : B → M mit π ◦ s = idB . Die Menge der Schnitte sei Γ∞ (B, M ) =
Γ(B, M ).
Insbesondere bettet ein Schnitt B in M ein.
Definition 2.1.4. Ein Faserbündel E zusammen mit einer Wahl lokaler Trivialisierungen heißt K-Vektor(raum)bündel vom Rang r ∈ N0 für K = R oder C,
falls
1) Z ein r-dimensionaler K-Vektorraum ist und
2) die Übergangsabbildungen gjk|x : Z → Z K-linear sind.
Auch hier werden wieder Vektorbündel mit kompatiblen lokalen Trivialisierungen
als gleich betrachtet. Dann ist jede Faser Ex := π −1 ({x}) ein K-Vektorraum mit
den von hj unabhängigen Vektorraumoperationen
−1
−1
λ · h−1
j ((p, v)) + µ · hj ((p, w)) = hj ((p, λ · v + µ · w))
für v, w ∈ V, λ, µ ∈ K. Denn für eine andere Trivialisierung hk ist h−1
j ((p, v)) =
h−1
((p,
g
(v))),
und
aus
der
Linearität
von
g
folgt
die
Gleichheit
der
Vektorraukj
kj
k
moperationen für hj und hk . Als kanonischen Schnitt hat jedes Vektorbündel E →
B den Nullschnitt s ≡ 0, der B kanonisch in E einbettet. Ein K-Vektorbündel
vom Rang 1 heißt K-Linienbündel.
Beispiel. 1) Das Tangentialbündel.
2) Zylinder und Möbiusband → S 1 als R-Linienbündel (Abb. 2.2).
Die folgende formell vergleichsweise einfache Konstruktion ist eines der bemerkenswertesten Hilfsmittel bei der Behandlung von Vektorbündeln.
38
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
N
M
f
p
Abb. 2.3: Pullback von Vektorbündeln und Schnitten.
Definition 2.1.5. Sei f : M → N C ∞ -Abbildung und π : E → N ein Vektorbündel. Dann ist der pull-back von E auf M das Vektorbündel
proj1
f ∗ E := {(p, v) ∈ M × E | π(v) = f (p)} → M .
|
{z
}
v∈Ef (p)
Falls E lokale Trivialisierungen hj : π −1 (Uj ) → Uj × V hat, so hat f ∗ E lokale
Trivialisierungen
f ∗ hj : (f ∗ E)|f −1 (Uj ) = {(p, v) | p ∈ f −1 (Uj ), v ∈ Ef (p) }
(proj1 ,proj2 ◦hj )
→
f −1 (Uj )×V .
Dies induziert einen pull-back von Schnitten f ∗ : Γ(N, E) → Γ(M, f ∗ E), s 7→ s◦f
bzw. (f ∗ s)p := sf (p) (Abb. 2.3). Insbesondere ist für eine Basis (s` )` von E|Uj eine
lokale Basis von f ∗ E durch (f ∗ s` )` gegeben, und somit lässt sich lokal jeder Schnitt
Pk
als `=1 g` f ∗ s` mit g` ∈ C ∞ (f −1 (Uj ), R) schreiben.
Bemerkung. An der Stelle p ∈ M wird also der Vektorraum Ef (p) angeheftet. Die
umgekehrte Konstruktion eines Vektorbündels auf N aus einem auf M hingegen
funktioniert so nicht; schon weil die Bilder f (Uj ) offener Mengen im Allgemeinen
nicht offen sind.
Definition 2.1.6. Für Vektorbündel π : E → M, π̃ : F → M heißt f : E → F
Vektorbündel-Homomorphismus, falls
EA
AA
AA
AA
A
f
M
/F
}
}
}}
}}
}~ }
kommutiert und ∀x ∈ M die Abbildung fx : Ex → Fx linear ist.
39
2.1. VEKTORBÜNDEL
Definition 2.1.7. Seien π : E → M, π̃ : F → M Vektorbündel mit lokaler Trivialisierung hj : π −1 (Uj ) → Uj × V , h̃j : π̃ −1 (Uj ) → Uj × W (die Überdeckungen zu
E, F können ohne Einschränkung gleich gewählt werden, indem man andernfalls
alle Schnitte Uj ∩ Ũk bildet). Dann ist die direkte Summe E ⊕ F → M das Vekproj1
torbündel {(x, v, w) | v ∈ Ex , w ∈ Fx , x ∈ M } → M mit lokaler Trivialisierung
ĥj : {(x, v, w) | x ∈ Uj , v ∈ π −1 (Uj ), w ∈ π̃ −1 (Uj )} → Uj × (V ⊕ W ) .
Analog definiert man die Vektorbündel E ∗ , Hom(E, F ), E/F für ein Unterbündel
F ⊂ E. Z.B. ist E ∗ := {(x, α) | α ∈ Ex∗ , x ∈ M } mit lokaler Trivialisierung
h∗j : {(x, α) ∈ Hom(Ex , R) | x ∈ Uj }
→ Uj × V ∗
(x, α) 7→ (x, α ◦ h−1
j (x, ·))
für hj : E|Uj → Uj × V . Zu Bündelhomomorphismen f : E → E 0 , g : F → F 0 wird
kanonisch f ⊕ g : E ⊕ E 0 → F ⊕ F 0 , ker f, im f etc. definiert.
Aufgaben
Übung 2.1.8. Sei M n ⊂ Rn+k eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Lokal
existiert f : U → Rk mit f −1 (0) = M ∩ U . Damit identifizieren wir Tp M mit
ker Tp f ⊂ Tp Rn+k ∼
= Rn+k . Bezüglich des kanonischen Skalarproduktes auf Rn+k
sei
Np := {v ∈ Tp Rn+k | v⊥Tp M }
(p ∈ M ).
Zeigen Sie, dass das Normalenbündel
N := {(p, Np ) | p ∈ M } → M, (p, Np ) 7→ p
ein Vektorbündel ist. Tipp: Betten Sie N als Untermannigfaltigkeit ein.
Übung 2.1.9. Sei M = S n ⊂ Rn+1 und N das Normalenbündel aus Aufgabe
2.1.8.
1) Beweisen Sie, dass
N = {(p, v) ∈ Rn+1 × Rn+1 | v ∈ R · p, p ∈ S n }
und dass dieses Vektorbündel isomorph zum trivialen R-Linienbündel O ist.
2) Zeigen Sie, dass T S n ⊕ O isomorph zum trivialen Rn+1 -Bündel O⊕(n+1) ist.
Übung 2.1.10. Seien E, F Vektorbündel auf M mit Übergangsabbildungen gjk ,
hlm . Beschreiben Sie die Übergangsabbildungen von E ∗ , E ⊕ F und Hom(E, F ).
Übung* 2.1.11. Sei K = R oder C und L ein K-Linienbündel. Zeigen Sie, dass
HomK (L, L) kanonisch isomorph zum trivialen Bündel ist.
Übung 2.1.12. Sei K = R, C oder H. L sei der Quotient von K n+1 \ {0} × K
durch die Relation (x, λ) ∼ (µx, λµ−1 ) für jedes µ ∈ K × . Zeigen Sie, dass die
Projektion π : L → Pn K, [(x, λ)] 7→ [x] ein Vektorbündel ist (das tautologische
Linienbündel des Pn K).
40
2.2
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
Tensoren
Tensorprodukte wurden von Graßmann 1844 in seiner Ausdehnungslehre“ unter
”
dem Namen offenes Produkt“ eingeführt. Zusammen mit seinem Schüler Tullio
”
Levi-Civita entwickelte Gregorio Ricci-Curbastro 1900 nach einigen Vorarbeiten
daraus den Begriff der Tensoren auf Mannigfaltigkeiten ([RCLC]). Das Tensorprodukt löst unter anderem die folgenden zwei Problemstellungen:
1) Stelle Räume der Form Hom(End(Bil(V, W )), Bil(V ∗ , V )) auf einheitliche übersichtliche Weise dar. Z.B. ist dieser Raum zu End(Hom(W, EndV )) auf kanonische
Weise isomorph, was nicht auf den ersten Blick offensichtlich ist.
2) Zu K-Vektorräumen V, W ist ein Vektorraum U gesucht, der groß“ genug ist,
”
um jede bilineare Abbildung σ : V × W → Z mit beliebigen Vektorräumen Z durch
eine lineare Abbildung fσ : U → Z zu repräsentieren. Von allen möglichen Wahlen
für U suchen wir die kleinste“ Wahl.
”
Definition 2.2.1. Das Tensorprodukt V ⊗ W zweier Vektorräume V, W ist ein
Vektorraum mit einer bilinearen Abbildung
κ:V ×W →V ⊗W ,
(v, w) 7→ v ⊗ w
mit der universellen Eigenschaft: ∀σ : V × W → Z bilinear ∃1 fσ linear, so dass
κ /
V × WL
V ⊗ W
LLL
LLL
f
σ
σ LL
LL% Z
kommutiert.
Das heißt (V ⊗ W )∗ = Bil(V, W ) mit den bilinearen Abbildungen V × W → R,
denn Z := R liefert einen Monomorphismus Bil(V, W ) # (V ⊗ W )∗ , und Verknüpfung mit κ gibt eine bilineare Abbildung zu jedem Element von (V ⊗ W )∗ .
Für endlich-dimensionale V, W ist somit V ⊗ W = Bil(V, W )∗ mit v ⊗ w = (σ 7→
σ(v, w)). Insbesondere ist dim V ⊗ W = dim V · dim W , und für Basen (v1 , . . . , vn ),
(w1 , . . . , wm ) von V, W ist (vj ⊗ wk ) 1≤j≤n eine Basis von V ⊗ W . Für allgemeines
1≤k≤m
σ : V × W → Z wird fσ : V ⊗ W → Z, ω 7→ ω(σ). Die Elemente von V ⊗ W
heißen Tensoren. Jeder Tensor hat also die Form v1 ⊗ w1 + · · · + vm ⊗ wm mit
v1 , . . . , vm ∈ V, w1 , . . . , wm ∈ W . Nicht jeder Tensor lässt sich als v ⊗ w schreiben.
Bemerkung. Allgemein konstruiert man das Tensorprodukt als den von (vj ⊗
wk ) j∈J erzeugten Vektorraum für Basen (vj )j , (wk )k von V, W . Die Eindeutigkeit
k∈K
˜
gilt, weil für ein zweites Tensorprodukt κ̃ : V × W → V ⊗W
wegen
V ⊗W
rr9 O
rr
rrr
˜
fκ̃
V × WK
fκ
KKK
KKK
KKK κ̃
% ˜
V ⊗W
,
κ rrr
41
2.2. TENSOREN
die Gleichheit κ = f˜κ ◦ fκ̃ ◦ κ folgt. Wegen der Eindeutigkeit in
κ /
V × WK
V ⊗
W
KKK
KKK id ˜
κ KKK fκ ◦fκ̃
% V ⊗W
∼
=
˜ .
folgt f˜κ ◦ fκ̃ =id, also fκ̃ : V ⊗ W → V ⊗W
Lemma 2.2.2. Für Vektorräume U, V, W gilt
can.
can.
(1) (U ⊕ V ) ⊗ W ∼
= U ⊗W ⊕V ⊗W ,
(2) V ⊗ R ∼
= V ,
can.
can.
(3) (U ⊗ V ) ⊗ W ∼
= U ⊗ (V ⊗ W ) ,
(4) V ⊗ W ∼
= W ⊗V ,
(distributiv, neutrales Element, assoziativ, kommutativ). Für endlich-dimensionale
Vektorräume V, W ist
can.
can.
(5) (V ⊗ W )∗ ∼
= V ∗ ⊗ W∗ ,
(6) Hom(V, W ) ∼
= V∗⊗W .
Bemerkung. Bil erfüllt zwar (1) und (4), aber es gibt keinen kanonischen Isomorphismus Bil(Bil(U, V ), W ) ∼
= Bil(U, Bil(V, W )).
Beweis. (letzte Relation als Beispiel) f : V ∗ ⊗ W → Hom(V, W ), α ⊗ w 7→ (v 7→
α(v) · w) ist ein Monomorphismus und aus Dimensionsgründen bijektiv.
Für A ∈ Hom(Rn , Rm ) wird genauer f −1 (A) =
P
akj ej ⊗ ek .
Bemerkung. Damit lässt sich jede verschachtelte Kombination von Bil, Hom, ⊗,
∗ angewendet auf endlich-dimensionale Vektorräume V1 , . . . , Vm als Tensorprodukt
von V1 , . . . , Vm , V1∗ , . . . , Vm∗ schreiben. Z.B. ist für Vektorraum-Homomorphismen
f : V → V 0, g : W → W 0
f ⊗ g ∈ Hom(V, V 0 ) ⊗ Hom(W, W 0 ) = V ∗ ⊗ V 0 ⊗ W ∗ ⊗ W 0 = Hom(V ⊗ W, V 0 ⊗ W 0 ) .
Definition 2.2.3. Der Raum der q-Multilinearformen auf V ist
V ∗⊗q = V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ .
|
{z
}
q−mal
Die Tensoralgebra auf V ist
(+, ⊗).
N
V ∗ :=
L
q≥0
V ∗⊗q mit der Ring-Struktur zu
Analog zu Definition 2.1.7 definiere E⊗F = Hom(E ∗ , F ) und f ⊗g für Vektorbündel
E, F bzw. Vektorbündel-Homomorphismen f, g.
Definition 2.2.4. Das Vektorbündel T ∗ M := (T M )∗ heißt Kotangentialbündel
von M . Die Schnitte von Tqp M := T M ⊗p ⊗ T ∗ M ⊗q heißen (p, q)-Tensoren oder
p-fach kovariante, q-fach kontravariante Tensoren.
42
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
Die Tensoren formen somit eine zweifach graduierte R-Algebra, die für dim M > 0
unendlich-dimensional ist.
p−1
Definition 2.2.5. Für 1 ≤ j ≤ p, 1 ≤ k ≤ q sei Tr jk : Tqp M → Tq−1
M die
Kontraktion (oder Spur)
X
Tr jk (
X1 ⊗ · · · ⊗ Xp ⊗ α1 ⊗ · · · ⊗ αq )
. fehlt &
X
cj ⊗ α1 ⊗ · · · ⊗ α
:=
αk (Xj ) X1 ⊗ · · · ⊗ Xp ⊗ · · · ⊗ X
ck ⊗ · · · ⊗ αq .
| {z }
∈C ∞ (M )
Das innere Produkt eines Vektorfeldes X mit einem (p, q + 1)-Tensor ω ist der
(p, q)-Tensor ιX ω := Tr 11 (X ⊗ ω), d.h. für Vektorfelder Y1 , . . . , Yq ist
(ιX ω)(Y1 , . . . , Yq ) = ω(X, Y1 , . . . , Yq ) ∈ T0p M
bzw. 0 für ω ∈ T0p M .
Mit Hilfe der Kontraktion lassen sich viele einfache Vektorraum-Abbildung einheitlich beschreiben, etwa die Verknüpfung von Homomorphismen Tr 12 : Hom(V, W )⊗
Hom(W, U ) → Hom(V, U ) oder Einsetzungs-Abbildungen wie eben das innere Produkt.
Definition 2.2.6. Sei f : M → N C ∞ und ω ein kontravarianter Tensor auf N .
Der pull-back f ∗ ω ∈ Γ(M, T ∗ M ⊗q ) von ω ist der kontravariante Tensor auf M
mit
(f ∗ ω)p (X1 , . . . , Xq ) := ωf (p) (Tp f (X1 ), . . . , Tp f (Xq ))
(X1 , . . . , Xq ∈ Tp N ) .
Im grundlegenden Unterschied zum direkten Bild von Vektoren muss f hier also
kein Diffeomorphismus sein.
f
g
Lemma 2.2.7. Für zwei C ∞ -Abbildungen M → N → P ist (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ ,
also ist ∀q ∈ N0
Mannigfaltigkeiten
R-Vektorräume
→
C ∞ -Abbildungen
lineare Abbildungen
M
f
7→ Γ(M, Tq0 M )
7
→
f∗
ein kontravarianter Funktor.
Beweis. Mit der Kettenregel:
[(g ◦ f )∗ ω] (X1 , . . . , Xq ) = ω(T (g ◦ f )X1 , . . . , T (g ◦ f )Xq )
= (g ∗ ω)(T f (X1 ), . . . , T f (Xq ))
= f ∗ (g ∗ ω)(X1 , . . . , Xq ) .
43
2.2. TENSOREN
Dies ist der Grund dafür, dass die Multilinearformen auf T M kontravariante
Tensoren heißen. Entsprechend nennt man die Schnitte in T0p M kovariante Tensoren, obwohl sie weder auf besondere Weise ko- noch kontravariant sind, denn sie
lassen sich nur durch Diffeomorphismen f : M → N übertragen. Für Diffeomorphismen wird f ∗ auf beliebigen Tensoren definiert, indem man für ein Vektorfeld
X ∈ Γ(N, T N ) f ∗ X := (f −1 )∗ X setzt. Dann gilt weiter (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ , und
für jeden Diffeomorphismus f ist f ∗ Tr jk ω = Tr jk f ∗ ω, da für X ∈ Γ(M, T M ), α ∈
Γ(M, T ∗ M )
Tr f ∗ (α ⊗ X)|p
= (f ∗ α)(f∗−1 X)|p = αf (p) (T f ◦ T f −1 (X))
= α(X)|f (p) = f ∗ (α(X))|p .
Mit Hilfe des pull-backs lassen sich die bisherigen Derivationen für reell-wertige
Abbildungen und Vektorfelder auf beliebige Tensoren übertragen:
Satz 2.2.8. Es gibt eindeutig einen additiven Operator LX auf Γ(M, T•• M ), die
Lie-Ableitung, mit den Eigenschaften
1) ∀f ∈ C ∞ (M ) : LX f = X.f ,
2) ∀Y ∈ Γ(M, T M ) : LX Y = [X, Y ],
3) LX ist eine Derivation auf der Algebra der Tensoren:
LX (ω ⊗ η) = LX ω ⊗ η + ω ⊗ LX η ,
4) LX kommutiert mit Kontraktionen: LX Tr jk ω = Tr jk (LX ω).
Die Eigenschaften (3) und (1) implizieren, dass LX R-linear ist. Außerdem folgt,
dass LX Tensoren von Typ (p, q) auf ebensolche abbildet.
Beweis. Eindeutigkeit: Sei KX ein zweiter solcher Operator. Nach (1),(2) ist
KX = LX auf Funktionen und Vektorfeldern. Wie in Hilfssatz 1.4.2 sind KX , LX
lokale Operatoren, es genügt also der Vergleich auf einer Karte ϕ : U → V um
jeden Punkt p ∈ M . Sei nun α ∈ Γ(U, T ∗ U ) und Yj := ϕ∗ ej . Dann ist für alle j
(KX α)(Yj )
=
(4)
=
(3)
Tr ((KX α) ⊗ Yj ) = Tr (KX (α ⊗ Yj ) − α ⊗ KX Yj )
KX (α(Yj )) − α(KX Yj )
(1),(2)
=
X.(α(Yj )) − α([X, Yj ]) . (2.1)
Da (Yj,p ) eine Basis von Tp M ist, folgt KX α|p = LX α|p . Mit (3) folgt iterativ
KX = LX auf allen Tensoren.
Existenz: Mit
LX : Γ(M, Tqp M ) → Γ(M, Tqp M )
∂
∗
ΦX ω
ω 7→
∂t |t=0 t
folgt:
44
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
∂
∂
X∗
X
∂t |t=0 Φt f = ∂t |t=0 f ◦ Φt = T f (X).
∗
1.5.6
∂
∂
2) LX Y = ∂t
ΦX Y = ∂t
ΦX Y = −[Y, X]
|t=0 t
|t=0 −t ∗
∂
3), 4) Wende ∂t
auf
|t=0
1) LX f =
∗
an.
∗
∗
X
X
ΦX
t (ω ⊗ η) = Φt ω ⊗ Φt η
bzw.
= [X, Y ].
∗
∗
X
ΦX
t Tr jk ω = Tr jk Φt ω
Ähnlich wie Satz 1.4.3 wäre auch hier die Eindeutigkeit falsch, wenn überall in den
Voraussetzungen C ∞ durch analytisch ersetzt würde.
Durch Iteration folgt für ω ∈ Γ(M, Tqp M ) in Verallgemeinerung von Gleichung (2.1)
X.(ω(Y1 , . . . , Yq ))
=
(LX ω)(Y1 , . . . , Yq ) + ω([X, Y1 ], Y2 , . . . , Yq )
+ · · · + ω(Y1 , . . . , Yq−1 , [X, Yq ]) .
Bemerkung. Die Derivation von reell-wertigen Funktionen lässt sich auch punktweise als Ableitung in Richtung eines einzelnen Vektor beschreiben. Für Vektorfelder hingegen ergibt die Lie-Klammer nur eine Ableitung in Richtung eines ganzen
Vektorfeldes, die nicht nur von dem Wert eines Vektorfeldes X an einer Stelle p
abhängt, sondern auch von den 1. Ableitungen dieses Feldes bei p. Diesen Makel
hat die Lie-Ableitung auf allen Tensoren bis auf jene vom Grad (0, 0). In Kapitel 3.2 wird ein Ableitungsbegriff behandelt, der dieses Problem behebt, aber von
zusätzlichen Wahlen abhängt.
An dem Beispiel aus dem vorherigen Beweis, LX α ∈ Γ(M, T ∗ M ) mit (LX α)(Y ) =
X.α(Y ) − α([X, Y ]), sieht man, dass es nicht immer ganz offensichtlich ist, ob ein
Operator auf den Tensoren ein Tensor ist. Folgende elegante Charakterisierung ist
zum Nachweis der Tensorialität häufig sehr nützlich.
Satz 2.2.9. Sei P : Γ(M, E) → Γ(M, F ) eine Abbildung für Vektorbündel E, F
über M . Dann ist P genau dann C ∞ (M )-linear, wenn P ∈ Γ(M, Hom(E, F )). Mit
anderen Worten gilt P (f s + gs̃) = f P (s) + gP (s̃) ∀f, g ∈ C ∞ (M ), s, s̃ ∈ Γ(M, E)
genau dann, wenn P faserweise bestimmt ist als Pp ∈ Hom(Ep , Fp ) ∀p und die
Abbildung p 7→ Pp C ∞ ist.
Beispiel. Zu festem p0 ∈ M erfüllt z.B. die R-lineare Abbildung P : Γ(M, R) →
Γ(M, R), f 7→ f (p0 ) nicht diese Bedingung.
Beweis. ⇐“ klar.
”
⇒“ Sei p ∈ M, s, s̃ ∈ Γ(M, E) mit sp = s̃p . Auf einer Trivialisierung h : π −1 (U ) →
”
U × Rm sei (sj )j eine Familie von Schnitten, die faserweise
eine Basis von E|U
P
bildet (etwa sj|p := h−1 (p, ej )). Dann ist (s − s̃)|U = j fj · sj mit fj ∈ C ∞ (U ).
n
bei p
Sei τ ∈ C ∞ (M ), τ = 01 auf
M \U . Dann ist
P (s)p − P (s̃)p
= τ (p)2 · P (s − s̃) = P (τ 2 · (s − s̃))p


X
X
= P τ 2
fj sj  =
τ (p) fj (p) ·P (τ sj )p = 0 .
| {z }
j
j
=0
45
2.2. TENSOREN
P
P
Also definiert P̃p : Ep → Fp , j fj · sj (p) 7→ j fj P (τ sj )p (mit fj ∈ R) eine von
der Trivialisierung unabhängige lineare Abbildung. Wegen P (τ sj ) ∈ Γ∞ (M, F )
hängt P̃ glatt von p ab.
0
Korollar 2.2.10. Eine Abbildung P : Γ(M, Tqp M ) → Γ(M, Tqp0 M ) ist genau dann
0
+q
M ).
C ∞ (M )-linear, wenn P ∈ Γ(M, Tqp0 +p
Deshalb heißen C ∞ (M )-lineare Abbildungen zwischen Vektorbündeln tensoriell.
Beispiel. i) Ein q-fach kontravarianter Tensor ist dasselbe wie eine C ∞ (M )-lineare
Abbildung P : Γ(M, T M ⊗q ) → C ∞ (M ), d.h. wie eine Abbildung
P̃ : Γ(M, T M ) × · · · × Γ(M, T M ) → C ∞ (M ) ,
|
{z
}
q−mal
die in jeder Variable C ∞ (M )-linear ist.
ii) Die Abbildung Γ(M, T M ×T M ) → Γ(M, T M ), (X, Y ) 7→ [X, Y ] ist kein Tensor.
iii) Für festes f ∈ C ∞ (M ) ist df : Γ(M, T M ) → C ∞ (M ), X 7→ LX f ein Tensor,
denn ∀g ∈ C ∞ (M ): LgX f = T f (gX) = g · T f (X). Für X ∈ Tp M ist dfp (X) =
proj2 (Tp f (X)) und df ∈ Γ(M, T ∗ M ) das Differential von f . Zum Beispiel ist für
die kartesische Koordinate xj : Rn → R
dxj = (
∂xj
∂xj
,...,
) = (0, . . . 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ (Rn )∗ .
∂x1
∂xn
Aufgaben
Übung* 2.2.11. Stellen Sie für endlich-dimensionale Vektorräume V, W, Z folgende Abbildungen als Kontraktionen dar:
1) Die Komposition Hom(V, W ) ⊗ Hom(W, Z) → Hom(V, Z), ϕ ⊗ ψ 7→ ψ ◦ ϕ.
2) Die Auswertungsabbildung Hom(V, W ) ⊗ V → W , ϕ ⊗ v → ϕ(v).
Übung 2.2.12. Sei
A=
0 −2
−1 1
∈ End(C2 ) .
Finden Sie eine Basis (v1 , v2 ) von C2 , bezüglich derer A die Gestalt λ1 v 1 ⊗ v1 +
λ2 v 2 ⊗ v2 mit λ1,2 ∈ C hat. Dabei ist (v 1 , v 2 ) die zu (v1 , v2 ) duale Basis, i.e.
v j (vk ) = δjk .
Übung 2.2.13. 1) Zeigen Sie, dass h·, ·i : su(n) × su(n) → R, (X, Y ) 7→ Tr (X Ȳ t )
ein Skalarprodukt auf su(n) ist. Beweisen Sie, dass Ad : SU(n) → End(su(n))
Werte in den Isometrien für dieses Skalarprodukt annimmt.
2) Interpretieren Sie für n = 2 Ad als eine Abbildung von SU(2) nach SO(3).
Bestimmen Sie den Kern dieser Abbildung.
46
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
Übung 2.2.14. Sei ι : S n → Rn+1 die kanonische Einbettung und ϕ1 , ϕ2 seien die
stereographischen Projektionen. Das euklidische Skalarprodukt h·, ·i ist eine Biline∗
arform auf T Rn+1 , also ist g := ι∗ h·, ·i ∈ T ∗ S n ⊗ T ∗ S n . Bestimmen Sie (ϕ−1
j ) g
für j = 1, 2.
N
Übung 2.2.15. Seien M, X, Y, f wie in Übung 1.4.12 und ω ∈ Γ(M, T ∗ M ) mit
ω(x,y) := sin(x)dx ⊗ dy + cos(y)(dx + 2dy) + 1. Berechnen Sie ω ⊗ ω, f ∗ ω, ιX ω,
ιX (ω ⊗ ιY ω), LX ω und LX (Y ⊗ ω).
2.3
Äußere Algebra
Die Tensoralgebra ist eine unendlich-dimensionale Algebra, in die T ∗ M eingebettet ist. Diese unendliche Dimension führt häufig zu Schwierigkeiten. In diesem Abschnitt konstruieren wir eine endlich-dimensionale Algebra ΛT ∗ M , die T ∗ M enthält
und die Konstruktion der Determinante verallgemeinert. Diese Konstruktion wurde von Graßmann1 in demselben Artikel eingeführt, in dem er die Vektorräume
erfand.
Definition 2.3.1. Für q ∈ N0 heißt eine q-Form ω ∈ V ∗⊗q alternierend
:⇔ Falls von q Vektoren v1 , . . . , vq zwei gleich sind, ist ω(v1 , . . . , vn ) = 0
⇔ Falls q Vektoren v1 , . . . , vq linear abhängig sind, ist ω(v1 , . . . , vn ) = 0.
Die q-te äußere Potenz von V ∗ ist der Vektorraum
Λq V ∗ := {ω ∈ V ∗⊗q | ω alternierend} .
Dann ist Λq V ∗ = 0 für q > n, da q > n Vektoren immer linear abhängig sind.
Weiter ist Λ0 V ∗ = R, Λ1 V ∗ = V ∗ und Λn V ∗ wird für eine Basis (e1 , . . . , en ) von
V ∗ von (v1 , . . . , vn ) 7→ det((ej (vk ))jk ) erzeugt. Für σ ∈ Sq ist
ω(vσ(1) , . . . , vσ(q) ) = sign σ · ω(v1 , . . . , vq )
(schreibe zum Beweis σ als Produkt von Transpositionen). Also ist
πΛ : V ∗⊗q
ω
→ Λq V ∗
1 X
sign σ · ω ◦ σ
7→
q!
σ∈Sq
eine Vektorraum-Projektion. Nach der Leibnizformel ist
πΛ (α1 ⊗ · · · ⊗ αq )(v1 , . . . , vq ) =
1 1844,
Hermann Günther Graßmann, 1809–1877
1
det((αj (vk ))jk ) .
q!
47
2.3. ÄUSSERE ALGEBRA
Lemma und Definition 2.3.2. Mit dem äußeren Produkt
∧ : Λp V ∗ × Λq V ∗
→ Λp+q V ∗
(p + q)!
(α, β) 7→
πΛ (α ⊗ β) =
p!q!
X
[σ]∈Sp+q /Sp ×Sq
sign σ · (α ⊗ β) ◦ σ
Ln
wird Λ• V ∗ := q=0 Λq V ∗q eine Algebra, die äußere Algebra zu V ∗ . Das Produkt
∧ ist superkommutativ, α ∧ β = (−1)pq β ∧ α .
Beweis. Als Projektion von ⊗ ist ∧ bilinear. Für einen Unterraum U ⊂ V bezeichne U 0 ⊂ V ∗ den Verschwindungsraum im dualen Vektorraum. Dann ist im πΛ =
(V ∗ )⊗q /ker πΛ = ((ker πΛ )0 )∗ , also ker πΛ = ((im πΛ )∗ )0 bzw.
Jq := ker πΛ|(V ∗ )⊗q = span{α1 ⊗ · · · ⊗ αq | ∃j 6= k : αj = αk } .
N ∗
N
V und somit der Quotient
Also
N ∗ist J :=Lker π∗Λ|⊗q V ∗ ein Ideal in der Algebra
V /J = q (V ) /Jq ein Ring bzgl. der Multiplikation [α] ∧ [β] := [α ⊗ β].
N ∗
πΛ
im πΛ = Λ• V ∗ auf diese Weise
V /J →
Nach dem Homomorphiesatz erhält
eine Ringstruktur.
1
p p+1
p+q
Superkommutativität: Sei τ := q+1
. . . p+q
.
.
.
∈ Sp+q , dann ist sign τ =
1
q
pq
(−1) und
α∧β =
1
p!q!
X
σ∈Sp+q
= sign τ ·
1
p!q!
σ(α ⊗ β) =
X
σ∈Sp+q
1
p!q!
X
σ∈Sp+q
(σ ◦ τ )(α ⊗ β)
σ(β ⊗ α) = (−1)pq β ∧ α .
Der Umweg über die Verschindungsräume zeigt hier, dass ker πΛ ein Ideal ist, obwohl πΛ kein Ringhomomorphismus ist. Man kann die Assoziativität auch umständlicher, aber elementarer mit der Definition nachrechnen. Allgemein ist
n1 + · · · + nk
α1 ∧ · · · ∧ αk =
πΛ (α1 ⊗ · · · ⊗ αk )
n1 , . . . , n k
X
=
sign σ · (α1 ⊗ · · · ⊗ αk ) ◦ σ .
[σ]∈Sn1 +···+nq /Sn1 ×···×Snk
Damit ist für eine Basis (e1 , . . . , en ) von V ∗ (ej1 ∧ · · · ∧ ejq | 1 ≤ j1 < · · · < jq ≤ n)
eine Basis von Λq V ∗ , denn für 1 ≤ k1 ≤ . . . kq ≤ n ist
1 falls ∀` : j` = k`
j1
jq
(e ∧ · · · ∧ e )(ek1 , . . . , ekq ) =
0 sonst.
Insbesondere gilt dim Λq V ∗ = nq , dim Λ• V ∗ = 2n .
Notation: Setze A• (M ) := Γ(M, Λ• T ∗ M ).
Auf der äußeren Algebra gibt es einen grundlegenden neuen Differentialoperator:
48
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
Theorem und Definition 2.3.3. Es existiert eindeutig eine additive Abbildung
d ∈ End(Aq+1 (M )) mit
1) d(Aq (M )) ⊂ Aq+1 (M ),
2) ∀α ∈ Aq (M ), β ∈ A• (M ) : d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)q α ∧ dβ,
3) d : C ∞ (M ) → Γ(M, T ∗ M ) ist das Differential auf Funktionen,
4) ∀f ∈ C ∞ (M ) : d2 f = 0.
Die Abbildung d heißt äußere Ableitung oder der de Rham-Operator2 .
Beweis. Ein Operator d, der (2) erfüllt, muss wie in Hilfssatz 1.4.2 ein lokaler
q
Operator sein. Sei
P nun ϕ : U → V eine Karte auf M∞ und ω ∈ A (M ). Dann
−1 ∗
ist (ϕ ) ω|U = |I|=q fI dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq mit fI ∈ C (V ) für alle Multiindices
I = {j1 , . . . , jq }, 1 ≤ j1 < . . . jq ≤ n, d.h.


X
ω|U = ϕ∗ 
fI dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq 
|I|=q
X
=
|I|=q
(fI ◦ ϕ) d(xj1 ◦ ϕ) ∧ · · · ∧ d(xjq ◦ ϕ) .
Sei dU ein Operator auf U , der (1)-(4) erfüllt, dann folgt eindeutig
(2)
dU ω|U =
X
|I|=q
(1)
d(fI ◦ ϕ)
| {z }
= ϕ∗
∂fI
j ∂xj
P
∧d(xj1 ◦ ϕ) ∧ · · · ∧ d(xjq ◦ ϕ) .
dxj
Andererseits erfüllen diese dU (1) und (3). (4) gilt ebenfalls:
(dU )2 (f ◦ ϕ) = ϕ∗
X
j,k
∂2f
dxj ∧ dxk = 0 .
∂xj ∂xk
Und (2) folgt mit dem Spezialfall α = ϕ∗ f dxj1 ∧· · ·∧dxjq , β = ϕ∗ g dxk1 ∧· · ·∧dxkq .
Insbesondere gibt es auf jeder Mannigfaltigkeit höchstens einen Operator d mit
U0
(1)-(4). Für zwei Karten ϕ : U → V, ψ : U 0 → V 0 folgt also dU
|U ∩U 0 = d|U ∩U 0 , d.h.
dU ist von der Wahl von U unabhängig und d somit global definiert.
Aus den Regeln für ⊗ folgt für f : M → N, α, β ∈ A(N ), X ∈ Γ(N, T N )
f ∗ (α ∧ β) = f ∗ α ∧ f ∗ β ,
LX (α ∧ β) = LX α ∧ β + α ∧ LX β .
Beispiel. Nach der Kettenregel ist für g ∈ C ∞ (N, R), f : M → N
f ∗ dg = dg ◦ T f = d(g ◦ f ) = d(f ∗ g) .
2 1931,
Georges de Rham, 1903–1990
49
2.3. ÄUSSERE ALGEBRA
Lemma 2.3.4. Für U, U 0 ⊂ Rn , f : U → U 0 ist
f ∗ (dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) = det f 0 · dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
Beweis. Diese Gleichung folgt aus der eindeutigen axiomatischen Charakterisierung der Determinante. Weil Λn (Rn )∗ eindimensional ist, gibt es eine Funktion
g ∈ C ∞ (Rn ) mit f ∗ (dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) = g · dx1 ∧ · · · ∧ dxn . Die Funktion g hängt
alternierend von den n Spalten von f 0 ab, ist also bis auf einen konstanten Faktor
det f 0 . Für f =id ist der Faktor 1, also folgt g = det f 0 .
Lemma 2.3.5. Für den de Rham-Operator gilt
1) d2 = 0 bzw. im d ⊂ ker d, d.h.
d
d
0 → A0 (M ) → · · · → An (M ) → 0
ist ein Komplex von R-Vektorräumen.
2) ∀ϕ ∈ C ∞ (M, N ), ω ∈ A• (N ) : d(ϕ∗ ω) = ϕ∗ dω.
3) ∀X ∈ Γ(M, T M ), ω ∈ A• (M ) : LX dω = dLX ω.
Beweis. Alle diese Eigenschaften sind lokal, also kann man ohne Einschränkung
annehmen, dass die Formen Monome sind.
(1) folgt mit dem 3. Axiom für d und Induktion über den Grad mit
d2 (α ∧ β) = (−1)q+1 dα ∧ β + (−1)q dα ∧ β = 0 .
(2) gilt für 1-Formen, da die Formel für f · dg gilt. Per Induktion über den Grad
mit dem 3. Axiom folgt die Behauptung.
∂
X∗
(3) folgt durch Anwenden von ∂t
auf ΦX∗
t dω = dΦt ω.
|t=0
Bemerkung. Der Operator ιX : Aq (M ) → Aq−1 (M ) hat ähnliche Eigenschaften:
Es ist ι2X = 0 und ιX (α ∧ β) = ιX α ∧ β + (−1)q α ∧ ιX β (Übung 2.3.17).
Satz 2.3.6. (Homotopieformel von Élie Cartan3 ) Für jedes Vektorfeld X und ω ∈
A• (M ) gilt LX ω = (d ◦ ιX + ιX ◦ d)ω = (d + ιX )2 ω .
Insbesondere hat LX auf Differentialformen die zweite Wurzel d + ιX .
Beweis. Mit d und ιX ist auch KX := (d + ιX )2 ein lokaler Operator.
a) Auf Funktionen f ist (d ◦ ιX + ιX ◦ d)f = df (X) = LX f .
b) KX operiert als Derivation auf A• (M ): Für α ∈ Aq (M ), β ∈ A• (M ) ist
KX (α ∧ β)
3 Élie
= (d + ιX )((d + ιX )α ∧ β + (−1)q α ∧ (d + ιX )β)
= KX α ∧ β + (−1)q−1 (d + ιX )α ∧ (d + ιX )β
+(−1)q (d + ιX )α ∧ (d + ιX )β + α ∧ KX β
= KX α ∧ β + α ∧ KX β .
Cartan, 1869-1951
50
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
c) Auf 1-Formen ist LX = KX , denn P
KX df = dιX df = dKX f = dLX f = LX df ,
und lokal hat jede 1-Form die Gestalt
fj dxj .
Also folgt KX = LX auf ganz A• (M ) wie im Beweis von Satz 2.2.8.
Diese Formel ermöglicht also die Berechnung von LX über d. Umgekehrt kann man
mit Hilfe der Homotopieformel d in Termen von LX beschreiben:
Satz 2.3.7. Seien X0 , . . . , Xq Vektorfelder auf M und sei ω ∈ Aq (M ), dann ist
dω(X0 , . . . , Xq )
q
X
cj , . . . , Xq )
(−1)j Xj . ω(X0 , . . . , X
=
j=0
+
X
cj , . . . , X
ck , . . . , Xq ) .
(−1)j+k ω([Xj , Xk ], X0 , . . . , X
0≤j<k≤q
Beweis. Per Induktion über q: Für q = 0 ist die Behauptung klar. Sei nun die
Aussage wahr für alle q − 1-Formen. Nach der Leibniz-Regel für Tensoren ist
LX0 (ω(X1 , . . . , Xn ))
= (LX0 ω) (X1 , . . . , Xn )
| {z }
dιX0 ω+ιX0 dω
+
q
X
ω(X1 , . . . , [X0 , Xj ], . . . , Xq )
j=1
=
=
P
−
(dιX0 ω)(X1 , . . . , Xq )
|
{z
}
+dω(X0 , . . . , Xq )
j+k ω(X ,[X ,X ],X ,...,X
d ,...,X
d ,...,Xq )
0
1
j
j
k
k
1≤j<k≤q (−1)
Pq
d ,...,Xq ) nach Ind.−Vor.
−
(−1)j Xj .ω(X0 ,...,X
j
j=1
q
X
ck , . . . , Xq ) .
(−1)k ω([X0 , Xk ], X1 , . . . , X
k=1
Beispiel 2.3.8. Für α ∈ A1 (M ) ist dα(X, Y ) = X.α(Y ) − Y.α(X) − α([X, Y ]).
Satz von Frobenius 2.3.9. 4 Sei H ⊂ T M n ein Untervektorbündel vom Rang
k, so dass für X, Y ∈ Γ(M, H) auch [X, Y ] wieder ein Schnitt von H ist. Dann
existiert zu jedem p ∈ M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit N ⊂ M mit
p ∈ N und T N = H|N .
Beweis. Sei ϕ eine Karte um p. Dann bilden die Linearformen αj := ϕ∗ dxj
(1 ≤ j ≤ n) eine Basis von T ∗ M , also gibt es eine Teilmenge I ⊂ {1, . . . , n},
für die (αj|Hp )j∈I eine Basis von Hp∗ ist. Sei U die offene Umgebung von p, auf der
(αj|H )j∈I eine Basis von H ∗ bleibt, und (Xj )j∈I sei punktweise die duale Basis von
H. Wegen dαj = 0 ist für j, m, ` ∈ I
αj ([Xm , X` ]) = Xm .( αj (X` ) ) − X` .(αj (Xm )) = 0 .
| {z }
=0 oder 1
4 1875,
Ferdinand Georg Frobenius, 1849-1917. Tatsächlich erklärt Frobenius in diesem Artikel
detailliert, dass und wie das Resultat 1840 von Heinrich Wilhelm Feodor Deahna, 1815-1844,
bewiesen wurde.
51
2.3. ÄUSSERE ALGEBRA
Nach der Voraussetzung ist [Xm , X` ] ∈ H, also gleich Null. Somit existiert N ⊂ U
nach Satz 1.5.9.
Aufgaben
Übung* 2.3.10. Für f ∈ End V und für das charakteristische Polynom von f gilt
χf =
n
X
∗
(−X)n−q Tr f|Λ
qV ∗ .
q=0
Übung* 2.3.11. Für Unterräume U, W ⊂ V mit U ⊕ W = V ist ∀k
can.
Λk (U ∗ ⊕ W ∗ ) ∼
=
k
M
q=0
Λq U ∗ ⊗ Λk−q W ∗ .
Übung 2.3.12. Sei M := R3 , ω ∈ A• (M ) die Differentialform ω = y dx ∧ dz +
∂
∂
∂
∂
∂
− y ∂z
, Y := x ∂x
+ y ∂y
+ z ∂z
∈ Γ(M, T M ). Sei f : R3 →
(x + y) dy und X := x ∂x
3
z y x
R , (x, y, z) 7→ (e , e , e ). Berechnen Sie
d(ιX ω) − LX ω ,
den Fluss Φ von Y ,
f∗ X ,
f ∗ω .
Übung 2.3.13. Seien M, X, Y, f wie in Übung 1.4.12 und ω ∈ Γ(M, Λ• T ∗ M ) mit
ω(x,y) := sin(x)dx∧dy+cos(y)(dx+2dy)+1. Berechnen Sie ω∧ω, ιX ω, ιX (ω∧ιY ω),
LX ω und dω.
Übung* 2.3.14. Seien E ein Vektorbündel auf M mit Übergangsabbildungen gjk .
Beschreiben Sie die Übergangsabbildungen von det E := Λrang E E.
Übung 2.3.15. Sei M m ⊂ Rm+1 eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Zeigen Sie Λm+1 Rm+1 |M ∼
= N ⊗ Λm T M mit dem Normalenbündel N .
Übung* 2.3.16. Zeigen Sie für die rechte Seite in Beispiel 2.3.8 direkt, dass sie
tensoriell in X und Y ist.
Übung 2.3.17. Überprüfen Sie für das innere Produkt ιX : T ∗ M ⊗q → T ∗ M ⊗(q−1)
mit einem Vektorfeld X
1) ιX bildet Aq (M ) auf Aq−1 (M ) ab.
2) Für ω ∈ Aq (M ) ist ι2X ω = 0.
3) Für α ∈ Ak (M ), β ∈ A` (M ) gilt die Leibnizregel
ιX (α ∧ β) = (ιX α) ∧ β + (−1)k α ∧ ιX β .
4) Für α ∈ A1 (M ), ω ∈ Aq (M ) ist
ιX (α ∧ ω) + α ∧ ιX ω = α(X) · ω
(d.h. als Gleichung von Operatoren auf den Differentialformen ιX ◦(α∧)+(α∧)◦
ιX = α(X)).
52
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
5) Für Vektorfelder X, Y gilt als Gleichung von Operatoren auf A• (M )
LX ◦ ιY − ιY ◦ LX = ι[X,Y ] .
Tipp: Die ersten vier Gleichungen lassen sich punktweise überprüfen.
2.4
De Rham-Kohomologie
Mit Hilfe der äußeren Algebra und des de Rham-Operators lässt sich vergleichsweise schnell eine wichtige Invariante von Mannigfaltigkeiten konstruieren, eine
graduierte R-Algebra H • (M ) zu jeder Mannigfaltigkeit M . Diese Invariante ist für
das Kapitel 4 grundlegend.
Definition 2.4.1. Die Formen in ker d bzw. im d heißen geschlossene bzw.
exakte Formen. Die de Rham-Kohomologie5 ([deR]) einer Mannigfaltigkeit M
ist die Familie von R-Vektorräumen
H q (M ) := ker d|Aq (M ) /im d|Aq−1 (M )
für q ∈ N0 .
Bemerkung. Für kompakte M lässt sich mit Hilfe der harmonischen Analysis
dim H q (M ) < ∞ und die Poincaré-Dualität H p (M ) ∼
= H n−p (M ) beweisen
([War]). Vektorbündel lassen sich als im Wesentlichen als Gitterpunkte in H • (M )
interpretieren; eine sehr abgeschwächte Version dieses Resultats folgt in Übung
3.2.20 und Satz 4.2.4.
Eine aus der Kohomologie abgeleiteteP
ganzahlige Invariante von Mannigfaltigkeiten
ist die Euler-Charakteristik χ(M ) := (−1)q dim H q (M ) ∈ Z∪{∞}, die in Kapitel
4 weiter untersucht wird.
Lemma 2.4.2. Die Kohomologie erfüllt
1) H q (M ) = 0 für q > dim M .
can.
2) H 0 (M ) ∼
= R.
3) Das Dachprodukt auf A• (M ) induziert eine Ring-Struktur auf H • (M ) (das cupProdukt), mit der H • (M ) eine superkommutative Z-graduierte R-Algebra wird.
4) Jedes ϕ ∈ C ∞ (M, N ) induziert einen R-Algebren-Homomorphismus
ϕ∗ : H • (N ) → H • (M ) .
Beweis. 1) Aq (M ) = 0 für q > dim M , da dann ∀p ∈ M : Λq Tp∗ M = 0.
2) H 0 (M ) = {f ∈ C ∞ (M ) | df = 0} = {f : M → R konstant} ∼
= R.
3) Für α, β ∈ ker d ist d(α ∧ β) = 0, und für α ∈ ker d ist dβ ∧ α = d(β ∧ α), also
ker d ∧ ker d ⊂ ker d, im d ∧ ker d ⊂ im d.
4) Wegen d ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ d bildet ϕ∗ : A• (N ) → A• (M ) ker dN nach ker dM ab und
im dN nach im dM .
5 1931,
Georges de Rham, 1903-1990
53
2.4. DE RHAM-KOHOMOLOGIE
Wie bei den Differentialformen erhält
Mannigfaltigkeiten
→
C ∞ − Abbildungen
M 7→
ϕ 7→
man somit einen kontravarianten Funktor
R − Algebren
Algebra − Homomorphismen
H • (M )
ϕ∗
R1
Beispiel. Es ist H 1 (S 1 ) ∼
= R: Auf S 1 ∼
= R/Z ist dx nicht exakt, da 0 dx = 1 6= 0.
R1
Sei nun α ∈ A1 (S 1 ) beliebig, d.h. α = f dx mit f ∈ C ∞ (S 1 ). Setze c := 0 f dx
Rx
und F (x) := 0 (f (t) − c) dt. Dann ist F (0) = F (1) = 0, also F ∈ C ∞ (S 1 ), und
α = c dx + dF , also [α] = c · [dx] in H 1 (S 1 ). Als R-Algebra ist somit H • (S 1 ) =
R[X]/(X 2 ) mit X := [dx].
Bemerkung. Ganz analog wird die Kohomologie mit kompaktem Träger
Hc• (M ) als der Quotient der geschlossenen Formen mit kompaktem Träger durch
das Bild von d auf den Formen mit kompaktem Träger definiert (ebenfalls in de
Rhams Doktorarbeit). Für kompaktes M ist dann H • (M ) = Hc• (M ).
s
→ M , s(p) := (p, 0) der Nullschnitt, ist
Satz 2.4.3. Mit den Abbildungen M × R ←
π
s∗ , π ∗ : H • (M × R) ∼
= H • (M ).
Beweis. Sei N := R×M . Wir konstruieren eine Abbildung K : Aq (N ) → Aq−1 (N )
mit 1 − π ∗ s∗ = d ◦ K + K ◦ d. Dann bildet die rechte Seite geschlossene auf exakte
Formen ab, operiert also als 0 auf H • (N ), und folglich ist 1 = π ∗ s∗ auf H • (N ).
Setze αt : N → N, (u, p) 7→ (tu, p) für t ∈ R und X ∈ Γ(N, T N ), X|(u,p) = u∂u .
Dann ist Φt (u, p) = (et u, p) = αet (u, p) der Fluss zu X. Für ω ∈ Aq (N ), t > 0 folgt
∂ ∗
α ω
∂t t
∂ ∗
1
1
Φ
ω = Φ∗log t LX ω = αt∗ (dN ιX ω + ιX dN ω)
∂t log t
t
t
1
1
= dN ( αt∗ ιX ω) + αt∗ ιX dN ω .
t
t
=
Dies ist auch bei t = 0 wohldefiniert, da T(u,p) αt (X) = tu∂u und somit
1
( αt∗ ιX ω)(u,p) = ω(tu,p) (u∂u , T αt (·), . . . , T αt (·)) .
t
R1
Sei nun K : Aq (N ) → Aq−1 (N ), ω 7→ 0 1t αt∗ ιX ω ∧ dt. Dann ist
Z 1
∂ ∗
(1 − π ∗ s∗ )ω = α1∗ ω − α0∗ ω =
αt ω ∧ dt
|{z}
|{z}
∂t
0
=s◦π
=id
1
1
=
d ( αt∗ ιX ω) ∧ dt +
t
0
= dKω + Kdω .
Z
N
Z
0
1
1 ∗
α ιX dN ω ∧ dt
t t
Korollar 2.4.4. (Poincaré 6 -Lemma) H q (Rn ) = H q (Punkt) =
n
R
0
falls
q=0
q6=0
.
6 1899 (ohne Beweis), Jules Henri Poincaré, 1854-1912. Wie Samelson in [Sam] erläutert, wurde
diese Aussage bereits 1889 von Volterra bewiesen ([Volt]).
54
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
Beweis. Induktion mit H • (Rn × R) ∼
= H • (Rn ).
Dieses Lemma besagt also, dass für q > 0 jede geschlossene q-Form auf dem Rn
(oder auf Mannigfaltigkeiten, die zu Rn diffeomorph sind, etwa sternförmige Gebiete im Rn ) bereits exakt sein muss.
Beispiel. Sei η := ex+y dx ∧ dy ∈ A2 (R2 ) und s : R → R2 , x 7→ (x, 0), dann ist
∂
und
s∗ η = 0 wegen s∗ dy = 0, X = y ∂y
Kη =
Z
0
1
αt∗ ιX η ∧
dt
=−
t
Z
0
1
ex+ty ty dx ∧
dt
= (ex − ex+y ) dx ,
t
somit η = η − π ∗ s∗ η = d(Kη) + Kdη = d ((ex − ex+y ) dx) .
Zwei Abbildungen f, g ∈ C ∞ (M, N ) heißen (C ∞ -)homotop, falls es eine Abbildung F ∈ C ∞ (M × R, N ) gibt mit F (·, 0) = g, F (·, 1) = f . Die Abbildung F heißt
dann Homotopie.
Bemerkung. Man kann mit Hilfe von Approximationen zeigen, dass f, g genau
dann C ∞ -homotop sind, wenn sie über über eine stetige Abbildung F homotop
sind ([Hi, ch. 2.2]).
Korollar 2.4.5. Für homotope Abbildungen f, g ∈ C ∞ (M, N ) ist f ∗ = g ∗ auf
H • (N ).
Beweis. Sei M × R
s1 , g = F ◦ s0 und
s0 ,s1
←
→
π
M mit s0 (p) = (p, 0), s1 (p) = (p, 1). Dann ist f = F ◦
2.4.3
2.4.3
f ∗ = s∗1 F ∗ = (π ∗ )−1 F ∗ = s∗0 F ∗ = g ∗ .
Bemerkung. Jede stetige Abbildung ist stetig homotop zu einer C ∞ -Abbildung
(via Weierstraß-Approximation), deshalb ist stetig homotop= C ∞ -homotop.
Zwei Mannigfaltigkeiten haben denselben (C ∞ -)Homotopie-Typ (sind homotopieäquivalent), falls es C ∞ -Abbildungen f : M → N, g : N → M gibt, so dass
f ◦ g, g ◦ f homotop zu idN , idM sind. M heißt zusammenziehbar, falls es den
Homotopietyp eines Punktes hat.
Korollar 2.4.6. M, N haben denselben Homotopietyp ⇒ H • (M ) ∼
= H • (N ). Ins•
∼
besondere ist H (M ) = R für M zusammenziehbar.
Beweis. Aus g ∗ f ∗ = id∗M auf H • (M ) (nach Korollar 2.4.5) folgt die Surjektivität von g ∗ und die Injektivität von f ∗ . Genauso impliziert f ∗ g ∗ = id∗N , dass f ∗
surjektiv, g ∗ injektiv ist.
Die Kohomologie kann folglich Mannigfaltigkeiten nur bis auf Homotopie-Äquivalenz unterscheiden. Anders ausgedrückt können zwei Mannigfaltigkeiten M, N mit
verschiedenen Kohomologieringen nicht denselben Homotopietyp haben. Z.B. hat
S 1 nicht denselben Homotopietyp wie ein Rn .
2.5. INTEGRATION
55
Aufgaben
Übung 2.4.7. Bestimmen Sie die Kohomologie des zwei-dimensionalen Torus
M := R2 /Z2 als H 1 (M ) ∼
= R2 , H 2 (M ) ∼
= R. Was ist die Ring-Struktur? Tipp:
Gehen Sie ähnlich wie bei S 1 vor.
Übung 2.4.8. Sei M eine Mannigfaltigkeit und X ∈ Γ(M, T M ).
1) Zeigen Sie, dass LX die Nullabbildung auf der Kohomologie induziert.
2) Sei ω eine geschlossene 2-Form und Φ ein globaler Fluss zu X, so dass ∀t ∈
R : Φ∗t ω = ω. Zeigen Sie, dass es lokal auf M eine reell-wertige Funktion f gibt
mit ιX ω = df .
Bemerkung:
Teil (2) tritt in der Hamiltonschen Mechanik mit symplektischer Form
P
ω = dpj ∧ dqj , Hamiltonschem Fluss Φt und Hamilton-Funktion f = H auf.
Übung* 2.4.9. Beweisen Sie Hc0 (M ) = 0, wenn M nicht kompakt ist, und anderenfalls Hc0 (M ) = R.
2.5
Integration
Während die meisten bisherigen Betrachtungen im Wesentlichen lokal waren und
hauptsächlich verwendeten, dass Mannigfaltigkeiten lokal diffeomorph zu einem Rn
sind, setzt Integration lokale Objekte zu einem globalen Objekt zusammen. Hier
wird zum ersten Mal die Zweitabzählbarkeits-Bedingung an Mannigfaltigkeiten unvermeidbar.
Lemma 2.5.1. Jede Mannigfaltigkeit M ist parakompakt, d.h. jede offene Überdeckung (Uj )j∈J hat eine lokal endliche offene Verfeinerung (Ũk )k∈K , genauer:
1) ∀k∃j : Ũk ⊂ Uj ,
2) ∀p ∈ M ∃ Umgebung V von p : {k ∈ K | Ũk ∩ V 6= ∅} ist endlich.
Beweis. Wähle für jedes p ∈ M eine Umgebung Up aus der Überdeckung und
eine offene Umgebung Vp mit Vp ⊂ Up ; eine solche existiert wegen der lokalen
Homöomorphie zum Rn . Reduziere die Überdeckung (Vp )p∈M mit der LindelöfS
Eigenschaft auf eine abzählbare (Vpj )j∈N und für k ∈ N setze Ũk := Upk \ `<k Vp` .
Für jedes p ∈ M und m ∈ N minimal mit p ∈ Vpm ist dann p ∈ Ũm . Für n ∈ N
minimal mit p ∈ Vpn ist Ũk ∩ Vpn = ∅ für alle k > n.
Satz 2.5.2. (Zerlegung der Eins) Sei M eine C ∞ -Mannigfaltigkeit, (Uj )j∈J eine
offene Überdeckung von M . Dann gibt es eine (Uj )j untergeordnete Zerlegung
der Eins, d.h. eine Familie von C ∞ -Abbildungen (τk : M → R+
0 )k∈K mit
1) ∀k∃j : supp τk ⊂⊂ Uj ,
2) ∀p ∈ M : {k ∈ K | τk (p) 6= 0} ist endlich,
56
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
1
0
1
2
3
4
5
6
Abb. 2.4: Eine Zerlegung der Eins auf R.
3)
P
k τk
≡ 1.
Beispiel. Abb. 2.4 für die Überdeckung (Uj )j = (]−∞, 3[, ]0, 4[, ]1, 5[, ]1, 7[, ]3, ∞[)
von R. Wir werden oft implizit eine Wahl j(k) für τk ∈ Uj(k) fixieren.
Beweis. Sei (ϕ` : U`0 → V` )`∈L ein Atlas mit ∀`∃j : U`0 ⊂ Uj (dies kann durch
Schneiden eines Atlanten mit den Uj erreicht werden). Zu jedem p ∈ M wähle eine
Karte ϕ`(p) und eine Testfunktion λp ∈ Cc∞ (V`(p) , R+
0 ) mit λp (ϕ`(p) (p)) > 0. Setze
+
µp : M → R0 ,
(
0
U`(p)
λp ◦ ϕ`(p)
µp :=
auf
0
0
M \ U`(p)
.
Reduziere mit der Parakompaktheit die offene Überdeckung (supp◦ µp )p∈M auf
µ
eine lokal endliche (supp◦ µp )p∈K . Dann ist τp := P 0 p µ 0 wohldefiniert und
p ∈K p
P
0
supp τp ⊂⊂ U`(p)
⊂ Uj , τp ≥ 0, p∈K τp ≡ 1.
Definition 2.5.3. Eine Volumenform auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist eine n-Form ω mit ωp 6= 0 ∀p ∈ M .
Satz 2.5.4. Für eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit sind äquivalent:
1) Es gibt eine Volumenform,
2) Λn T ∗ M ist ein triviales Bündel,
3) M ist orientierbar, d.h. es existiert ein Atlas, dessen Kartenwechsel positive
Jacobi-Determinanten haben (vgl. Übung 1.3.10).
57
2.5. INTEGRATION
Beweis. (1)⇒(2) Die Abbildung M × R → Λn T ∗ M, (p, r) 7→ (p, r · ωp ) zur Volumenform ω liefert die Trivialisierung.
(2)⇒(3) Sei nun Λn T ∗ M = M × R und (ϕj : Uj → Vj )j ein Atlas von M mit
zusammenhängenden Uj . Überall auf Uj ist ν := ϕ∗j (dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) 6= 0, da ϕ∗j
∗
n ∗
invertierbar ist mit (ϕ∗j )−1 = (ϕ−1
j ) . Also ist ν|p ∈ Λ Tp M = R entweder überall
auf Uj positiv oder überall negativ. Setze

ϕj
falls ν > 0



 0 1


0

1 0

ψj :=
1
0 
ϕj falls ν < 0 .





.

0
..


0
1
(ψj ◦ ψk−1 )∗ dx1
Dann ist
∧ · · · ∧ dxn = f · dx1 ∧ · · · ∧ dxn mit f ∈ C ∞ (Vj ∩ Vk , R+ )
und andererseits nach Lemma 2.3.4 f = det T (ψj ◦ ψk−1 ).
(3)⇒(1) Sei (ϕj : Uj → Vj )j ein orientierter Atlas. Wegen der Parakompaktheit
von M kann ohne Einschränkung (Uj ) lokal endlich
gewählt werden. Sei (τk ) eine
P
untergeordnete Zerlegung der Eins. Setze ω := k τk · ϕ∗j(k) (dx1 ∧ · · · ∧ dxn ). Dann
ist ∀j
>0
}|
{
zX
−1
−1 ∗
τk · det T (ϕj(k) ◦ ϕj ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
(ϕj ) ω =
|{z}
|
{z
}
k
≥0
>0
Definition 2.5.5. Eine Orientierung ist die Wahl einer Äquivalenzklasse von
Atlanten mit positiver Jacobi-Determinante aller Kartenwechsel. M zusammen mit
einer solchen Wahl heißt orientierte Mannigfaltigkeit.
Korollar 2.5.6. M ist zusammenhängend und orientierbar ⇒ M hat genau zwei
verschiedene mögliche Orientierungen.
Beweis. Sei σ : Λn T ∗ M → M × R eine fest gewählte Trivialisierung. Nach Satz
2.5.4 entspricht die Wahl einer Orientierung der Wahl des Vorzeichens eines Schnittes
ω ∈ Γ(M, σ(Λn T ∗ M \ {0})) = Γ(M, M × R \ {0}) = C ∞ (M, R \ {0}) .
Also liefern zwei Volumenformen ω0 , ω1 dieselbe Orientierung, falls es ein f ∈
offen
C ∞ (M, R+ ) gibt mit ω0 = f · ω1 . Für V ⊂ Rn , f ∈ C(V, R) sei
Z
Z
f dx1 ∧ · · · ∧ dxn :=
f dλ
V
V
mit dem Lebesgue-Maß dλ.
Definition 2.5.7. Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit. Für einen orientierten
Atlas (ϕj : Uj → Vj )j von M und eine untergeordnete Zerlegung (τk )k∈K der Eins
sei das Integral von ω ∈ Aq (M ) über M
Z
XZ
∗
ω :=
(ϕ−1
j(k) ) (τk · ω)
M
k∈K
Vj(k)
58
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
(d.h. 0 für q < dim M ).
Wir beschränken uns auf Integrale von Formen mit kompaktem Träger, um Konvergenz-Probleme nicht diskutieren zu müssen.
R
Satz 2.5.8. M : A•c (M ) → R hängt nur von der Orientierung ab, nicht von dem
Atlas oder der Zerlegung der Eins.
Im Beweis verwenden wir die Transformationsformel auf Rn nach Analysis III:
offen
Für V ⊂ Rn , f ∈ Cc (Rn , R), ϕ Diffeomorphismus ist
Z
Z
f dλ =
(f ◦ ϕ) · | det T ϕ| dλ .
ϕ(V )
V
Andererseits ist nach Lemma 2.3.4 für eine n-Form ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∈ Anc (Rn )
(f ◦ ϕ)ϕ∗ (dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) = (f ◦ ϕ) · det T ϕ · dx1 ∧ · · · ∧ dxn ,
R
also ϕ(V ) ω = sign det(T ϕ) · V ϕ∗ ω . Die mögliche Vorzeichenänderung ist der
Grund für die Orientierungs-Voraussetzungen.
ϕ∗ ω
R
=
Beweis. Sei (ψm : Ũm → Ṽm )m ein zweiter orientierter Atlas, (σ` )` eine passende
−1
Zerlegung der Eins, dann ist wegen det(T (ϕj(k) ◦ ψm(`)
)) > 0
XZ
k
Vj(k)
∗
(ϕ−1
j(k) ) (τk ω)
=
XZ
=
XZ
=
XZ
k,`
k,`
`
ϕj(m) (Uj(k) ∩Ũm(`) )
ψm(`) (Uj(k) ∩Ũm(`) )
Ṽm(`)
∗
(ϕ−1
j(k) ) (τk σ` ω)
−1 ∗
∗
(ϕj(k) ◦ ψm(`)
) (ϕ−1
j(k) ) (τk σ` ω)
−1 ∗
(ψm(`)
) (σ` ω) .
Bemerkung 2.5.9. Jede Wahl einer Volumenform ω liefert ein (signiertes) Maß
auf M via
Z
Cc (M ) → R, f 7→
f ·ω .
M
Bemerkung. Bei einer konkreten Rechnung wird man in aller Regel Integrale
nicht direkt mit der Definition bestimmen, sondern zunächst eine Teilmenge A ⊂ M
vom Maß 0 suchen, so dass M \ A disjunkte Vereinigung der Definitionsbereiche
n
1 auf U
von Karten ϕJ : Uj → Vj ist. Mit der Zerlegung der Eins τj := 0 sonstj wird
R
P R
∗
dann M ω = j Vj (ϕ−1
j ) ω.
Korollar 2.5.10. (Transformationsformel) Für einen orientierungserhaltenden
R
R
Diffeomorphismus f : M → N , U ⊂ M und ω ∈ A(N ) ist f (U ) ω = U f ∗ ω.
Beweis. Für einen Atlas (ϕj ) von M liefert ϕj ◦ f −1 einen Atlas von N .
59
2.5. INTEGRATION
•
Satz
R 2.5.11. (Spezialfall des Satzes von Stokes) Für M orientierbar, ω ∈ Ac (M )
ist M dω = 0.
Beweis. Für einen orientierten Atlas (ϕj : Uj → Vj )j , mit einer untergeordneten
Zerlegung der Eins (τk ) ist
Z
Z
X
XZ
∗
dω =
d(
τk ω) =
(ϕ−1
d(τk ω)
j(k) )
| {z }
M
M
Vj(k)
k
=
k
XZ
k
supp⊂⊂Uj(k)
h
i
∗
(ϕ−1
j(k) ) τk ω
|
{z
}
d
Vj(k)
P
d` ···∧dxn ,supp⊂⊂Vj(k)
=: ` fk,` dx1 ∧...dx
=
Z
X ∂fk,`
∂x`
Rn k,`
d` · · · ∧ dxn
dx` ∧ dx1 ∧ . . . dx

Fubini
=

Z X
∂f
k,`
d` · · · ∧ dxn .

dx`  dx1 ∧ . . . dx
Rn−1
R k,` ∂x`
{z
}
|
Z
=0
kompakte Untermannigfaltigkeit N ⊂⊂ M induziert
RKorollar 2.5.12. RFür eine
•
eine
Abbildung
:
H
(M
) → R.
N
N
Korollar 2.5.13. Für M n kompakt und orientierbar ist H n (M ) 6= 0.
Beweis. Für eine Volumenform ω auf M ist [ω] ∈ H • (M ) \ {0} wegen
0.
R
M
ω 6=
Bemerkung. Insbesondere ist für n > 0 M nicht zusammenziehbar, da H n (M ) 6=
H n (Punkt).
Bemerkung.
EsRgibt den Begriff Mannigfaltigkeit mit Rand“, für den dann ganz
R
”
ähnlich M dω = ∂M ω folgt. Dafür gilt dann
Korollar 2.5.14. Sei M eine kompakte orientierte (Unter-)mannigfaltigkeit (des
Rn ) mit Rand ∂M 6= 0. Dann existiert keine C ∞ -Abbildung ϕ : M → ∂M mit
ϕ|∂M = id.
Beweis. Sei ω eine Volumenform auf ∂M . Dann ist
Z
Z
Z
Z
Stokes
0=
ϕ∗ |{z}
dω =
d(ϕ∗ ω) =
ϕ∗ ω =
M
=0
M
∂M
ω>0.
∂M
Korollar 2.5.15. Sei f : B n → B n eine C ∞ -Abbildung, dann hat f mindestens
einen Fixpunkt.
Beweis. Angenommen, f habe keinen Fixpunkt. Sei ϕ : B n → ∂B n = S n−1 die
Abbildung, die x ∈ B n den Schnittpunkt des Strahls f (x) + R+ · (x − f (x)) mit
S n−1 zuordnet. Dann ist ϕ|S n−1 =id. zu 2.5.14.
60
KAPITEL 2. VEKTORBÜNDEL UND TENSOREN
Am Schluss dieses Abschnitts können wir uns davon überzeugen, dass die Projektion π : T M → M , die ja lokal auf jeder Karte wie eine Projektion U × Rn → U
aussieht, global keineswegs immer diese Gestalt hat.
Satz 2.5.16. Jedes Vektorfeld auf S 2m hat mindestens eine Nullstelle ( Igel kann
”
man nicht kämmen“). Insbesondere ist π : T S 2m → S 2m nicht π̃ : S 2m × R2m →
S 2m .
Beweis. Sei X ein nullstellenfreies Vektorfeld und h : [0, π] × S 2n → S 2n , (t, p) 7→
X
p · cos t + kXpp k sin t. Dann ist für eine Volumenform ω auf S 2n
Z
Z
Z
0 6=
ω =
h∗0 ω = −
h∗π ω ,
S 2n
S 2n
S 2n
im Widerspruch zu Korollar 2.4.5 oder auch zu
Z
Z
Z
Stokes
0=
h∗ |{z}
dω =
d(h∗ ω) =
(h∗0 ω − h∗π ω) .
2n
2n
2n
[0,π]×S
[0,π]×S
S
=0
Aufgaben
Übung 2.5.17. Beweisen Sie, dass jeder parakompakte Hausdorff-Raum M , der
lokal homöomorph zu einem Rn ist, wahlweise zweitabzählbar oder Lindelöf ist.
Übung* 2.5.18. Sei f : M → N eine glatte Abbildung und E → N ein Vektorbündel. Zeigen Sie mit Hilfe einer Zerlegung
global jeder
P der Eins, dass sich
Schnitt in f ∗ E als (lokal endliche) Summe
g` s` mit g` ∈ C ∞ (M, R), s` ∈
Γ(N, E) schreiben lässt. Wenn N kompakt ist, genügen endlich viele `.
Übung 2.5.19. Sei M m ⊂ Rm+1 eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Zeigen Sie Λm+1 T Rm+1 |M ∼
= N ⊗ Λm T M mit dem Normalenbündel N . Ein Normalenvektorfeld n an M ist ein Schnitt in N mit knk2Rm+1 ≡ 1. Folgern Sie, dass
M genau dann orientierbar ist, wenn M ein Normalenvektorfeld hat. Zeigen Sie,
dass es in diesem Fall genau zwei Normalenvektorfelder gibt, die der Wahl einer
Orientierung entsprechen.
Übung 2.5.20. 1) Beweisen Sie, dass der Torus T n = Rn /Zn orientierbar ist.
2) Zeigen Sie, dass P n R genau dann orientierbar ist, wenn n ungerade ist. Verwenden Sie dazu Übung 1.2.14 und die Antipoden-Abbildung a : S n → S n , u 7→
−u.
Übung 2.5.21. Sei M eine orientierte zusammenhängende
Mannigfaltigkeit und
R
ω eine Volumenform auf M . Für f ∈ Cc∞ (M, R+
0 ) mit M f · ω = 0 folgt f ≡ 0.
Übung 2.5.22. Sei ω ∈ A2 (R3 \ {0}) die Form
x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy
k(x, y, z)k3
R
Zeigen Sie dω = 0, berechnen Sie S 2 ω und folgern Sie [ω] 6= 0 in H 2 (S 2 ).
ω|(x,y,z) :=
http://www.springer.com/978-3-8348-1569-9