7. Expansion des Universums

————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
7. Expansion des Universums
Heuristische Prinzipien
Hubble-Gesetz und Kinematik der Expansion
Dynamik der Expansion
Kosmologische Parameter heute
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Expansionskinematik
Skalenparameter R, Temperatur T , Rotverschiebung z, Abstand heute Do , Leuchtkraftabstand DL ,
Lichtlaufzeit ∆t
∆t
T
T
nst.
T R = ko
em
o
1
=
R
"
••
−R
D0 ≈ c ∆t +
Ro
•
/R
q
H
=
H
=
2
...............................................
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DL
#
(∆t)2
e
/R
z
Ho
1
=
z
2
−
m
R
•
−
z
.......................................................
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R /R
/T
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q
Do
HoDo =
•
Do
•
Do
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Rotverschiebung z, proper distance Do und Lichtlaufzeit ∆t
z
λ − λem
Ro
=
− 1; tem = to − ∆t
λem
R(tem )
=
Methode: Taylor-Entwicklung der Skalenfunktion R(t) um to , also kleine z, Do und ∆t
R(tem ) = R(to − ∆t)
≈
Ro
R(tem )
≈
z
≈
•
Ro − ∆t Ro +
(∆t)
2
2
••
Ro=
"
Ro 1 − ∆tHo −
(∆tHo )2
2
1 + ∆tHo +
qo + (∆tHo )
2
"
#
(∆t)2
1 + qo
2
Ho ∆t +
Ho +
(∆tHo )
2
2
»
früheres Ergebnis verwenden: Do ≈ c ∆t +
z
≈
Do
≈
(∆t)2
2
Ho
–
„
«
Ho Do
1 + qo Ho Do 2
+
c
2
c
«
„
1 + qo
cz
z
1−
Ho
2
2
(∆tHo )
qo
2
#
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Expansionskinematik
Skalenparameter R, Temperatur T , Rotverschiebung z, Abstand heute Do , Leuchtkraftabstand DL ,
Lichtlaufzeit ∆t
2
T
H
=
H
c
R
oD
o
+ 1
2
•
/R
=
2
+
qo H
c
=
q
H
z
••
H
z
≈
e
/R
Ro
−R
...............................................
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z
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.....................................
q
DL
Ho
m
1
≈
oD
o
2
−
=
z
(
D0 ≈ c ∆t +
1
z
R
•
−
t+
∆
o
#
o
.......................................................
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R /R
/T
(∆t)2
nst.
T R = ko
em
q o )(
2
1+
Ho
"
T
)
∆t
∆t
2
Do
HoDo =
•
Do
•
Do
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Expansionskinematik
Skalenparameter R, Temperatur T , Rotverschiebung z, Abstand heute Do , Leuchtkraftabstand DL ,
Lichtlaufzeit ∆t
∆t
2
T
H
=
R
•
/R
=
2
z
H
oD
o
+ 1
+
qo H
c
=
q
H
HoDL
qo − 1 HoDL
+
c
2
c
z ≈
••
H
z
2
...............................................
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q
D
L
c
−R
...............................................
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.....................................
≈
≈
z
≈
e
/R
Ro
o
#
2
DL
Ho
m
1
z
3(
∆
t) 2
2
H
oD
o
DL
2
−
=
(
D0 ≈ c ∆t +
1
z
R
•
−
t+
∆
o
∆
t+
#
o
.......................................................
..........
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.....................................
R /R
/T
(∆t)2
nst.
T R = ko
em
q o )(
2
1+
"
"
T
)
∆t
Ho
c
2
Do
1
o
D
o
H c
+
≈
Do
HoDo =
•
Do
•
Do
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Hubble-Diagramm: Rotverschiebung - Leuchtkraftabstand
DL ≈
cz
Ho
1+
1−qo
z
2
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Leuchtkraftabstand DL
Eine ferne Quelle (Leuchtkraft L) wird mit der Rotverschiebung z beobachtet.
z
=
λ − λem
λem
Die gemessene Energiestromdichte j wird folgendermaßen interpretiert:
j
=
L
2
4πDL
Die Allgemeine Relativitätstheorie liefert für nicht zu große z:
(
"
#
)
2
1
1
c
cz
2
2
1 + (1 − qo )z −
DL =
1 − qo − 3qo + a0 ±
z
+ ...
Ho
2
6
Ho2 R2
•
Ho
=
R
R
••
qo
=
−
R
Ho2 R
•••
ao
=
−
R
Ho3 R
Ho , qo und ao sind die kosmologischen Expansionsparameter.
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Hubble-Diagramm: Helligkeit-Rotverschiebung
Normobjekt = Supernova Ia
Normobjekt = gamma-ray burst (GRB)
1/2006: bis z=6.3
absolute / scheinbare Helligkeit M/m, Leuchtkraftabstand DL , Parsec pc, Hubble-Parameter Ho
L
)); DL ≈
m = M − 5(1 − log( D
pc
1−qo
m ≈ A + B log z(1 + 2 z)
cz
Ho
1+
1−qo
z
2
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
7.3 Dynamik der Expansion
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Skalenparameter R(t) und Expansion
Temperatur
T (t) ∼
1
R(t)
......................................................
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.................................................
←−
−→
Kinematik
•
H(t) =
R(t)
R(t)
Expansion
Teilchen
l
R(t)
Dynamik
Materie
leuchtend / dunkel
baryon. / nichtbary.
kalt / heiß
→
←
Vakuum
Λ
”dunkle Energie“
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Expansionsmodelle des Universums: Newton-Kosmologie
Ho = 65 kms−1 /Mpc
z. B. kritisches Universum
ρkrit
=
ρR3
=
•2
R
3
d(R 2 )
3
R2
3
2
=
=
− RB B
=
RB B
=
q=0
q = 1/2, kritisch
q > 1/2
3Ho2
8πG
ρkrit R3
0
alte Sterne !
8πG 2
R3
R ρkrit o3
3
R
3
3
Ho Ro2 dt
2
3
3
Ho Ro2 (t − tB B )
2
2
0 ⇒ tB B = to − Ho−1
3
↑
∗∗∗
−Ho−1
R(t) = Ro
3
2
Ho (t − to +
Anmerkung: Gleiche Lösung im Einstein-de-Sitter-Modell (k = 0, Ωm0 = 1, ΩΛ = 0).
2
3
Ho−1 )
32
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Newton-Kosmologie: Keine beschleunigte Expansion
nach Pearson Education, 2004
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Bestandteile der Energie unseres Universums
ηtot ≡ 1
←−
Materie
−→
0.27
ւ
ւ
0.73
ց
baryon.
0.04
Vakuum
cold dark
matter
0.23
ց
ց
Neutrinos
MikroWe
0.001
5 10−5
ց
leuchtend
dunkel
≤ 0.01
≥ 0.03
Mehr als 90% unbekannt !
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Expansionsmodelle des Universums: Friedmann-Gleichung
Strahlungsenergiedichte vernachlässigen:
η
c2
= ρm ;
ρm R3 = ρm0 R3
o;
2
3Ho
ρm0
Ωm0 =
; ρkrit =
ρkrit
8πG
kosmologisches Glied berücksichtigen:
ρΛ
Λ ; Ω
ρΛ =
Λ ≡ ρ
8πG
krit
jede Geometrie zulassen (k = +1, 0, -1):
Ωk0 = −
kc2
•
(Ro )2
Friedmann-Gleichung:
„
«
•2
8πG
Λ
2
ρm +
R
R −
3
8πG
12
0
•
„
«
Ωm0
R 2
R
A −
@
− ΩΛ
Ro Ho
R/Ro
Ro
t
Ωm0
R
≡ y;
− ΩΛ y 2
≡
x;
−
−1
Ro
y
Ho
dy
dx
2
2
=
−kc
=
Ωk0
≡
V (y)
+ V (y) = Ωk0
−1
nach E. L. Wright
Abbildungen für Ωk0 = 0, Ho = 65 kms
M pc
Ωm0
0
ΩΛ
1
0.25
0.75
0
0
1
0
2
0
⇐
————— Vorlesung ”ASTROPHYSIK UND KOSMOLOGIE“ an der TUCh im WS 2006/07 —————
Expansion: Anfangs gebremst - heute beschleunigt
http://www.solstation.com/index.html