Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik
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Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Probevorlesung im Habilitationsverfahren an der Friedrich-Schiller-Universität Jena Thomas Hinze Brandenburgische Technische Universität Cottbus Institut für Informatik, Informations- und Medientechnik [email protected] 11. Oktober 2012 Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Was ist eigentlich Zufall? Im Alltag: „Unabsichtlich passiert Unerklärliches.“ Zufälle gaben Denkanstöße und verhalfen zu Entdeckungen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Was ist eigentlich Zufall? Im Alltag: „Unabsichtlich passiert Unerklärliches.“ Zufälle gaben Denkanstöße und verhalfen zu Entdeckungen Bildquellen: wikipedia.org C. Kolumbus, 1492 "Amerika" Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Was ist eigentlich Zufall? Im Alltag: „Unabsichtlich passiert Unerklärliches.“ Zufälle gaben Denkanstöße und verhalfen zu Entdeckungen Bildquellen: wikipedia.org C. Kolumbus, 1492 "Amerika" A. Kekule, 1865 Benzolstruktur Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Was ist eigentlich Zufall? Im Alltag: „Unabsichtlich passiert Unerklärliches.“ Zufälle gaben Denkanstöße und verhalfen zu Entdeckungen Bildquellen: wikipedia.org C. Kolumbus, 1492 "Amerika" A. Kekule, 1865 Benzolstruktur Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik E. Fleming, 1928 Penicillin Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Was ist eigentlich Zufall? Im Alltag: „Unabsichtlich passiert Unerklärliches.“ Zufälle gaben Denkanstöße und verhalfen zu Entdeckungen Bildquellen: wikipedia.org C. Kolumbus, 1492 "Amerika" A. Kekule, 1865 Benzolstruktur E. Fleming, 1928 Penicillin Begriff Zufall • an Auftreten oder Ausbleiben von Ereignissen gekoppelt • einzelnes Ereignis oder Zusammentreffen mehrerer Ereignisse ohne kausale Erklärung Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Was ist eigentlich Zufall? Im Alltag: „Unabsichtlich passiert Unerklärliches.“ Zufälle gaben Denkanstöße und verhalfen zu Entdeckungen Bildquellen: wikipedia.org C. Kolumbus, 1492 "Amerika" A. Kekule, 1865 Benzolstruktur E. Fleming, 1928 Penicillin Begriff Zufall • an Auftreten oder Ausbleiben von Ereignissen gekoppelt • einzelnes Ereignis oder Zusammentreffen mehrerer Ereignisse ohne kausale Erklärung =⇒ Vier Arten des Zustandekommens von Zufall Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 1. Ein Ereignis geschieht objektiv ohne Ursache Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 1. Ein Ereignis geschieht objektiv ohne Ursache vermutlich bei Quantenphänomenen und radioaktivem Zerfall e e Zinn instabil e Antimon 131 50 Sn e Tellur 131 51 Sb Xenon Jod 131 52 Te 131 53 I γ Xenon 131m 54 Xe 131 54 Xe Halbwertszeit 40s Halbwertszeit 23min Halbwertszeit 25min Halbwertszeit 8 Tage Halbwertszeit 12 Tage ? ? ? ? ? stabil Zeit Zerfallskette von radioaktivem Zinn Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 1. Ein Ereignis geschieht objektiv ohne Ursache vermutlich bei Quantenphänomenen und radioaktivem Zerfall e e Zinn instabil e Antimon 131 50 Sn e Tellur 131 51 Sb Xenon Jod 131 52 Te 131 53 I γ Xenon 131m 54 Xe 131 54 Xe Halbwertszeit 40s Halbwertszeit 23min Halbwertszeit 25min Halbwertszeit 8 Tage Halbwertszeit 12 Tage ? ? ? ? ? stabil Zeit Zerfallskette von radioaktivem Zinn • Vorhersage der spontanen Zerfallszeitpunkte eines konkreten Isotops unmöglich • jedoch statistische Aussagen über viele Isotope möglich Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 2. Ein Ereignis geschieht ohne erkennbare Ursache Ein Teil der Ursache-Wirkungs-Kette ist unbekannt Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 2. Ein Ereignis geschieht ohne erkennbare Ursache Ein Teil der Ursache-Wirkungs-Kette ist unbekannt Beispiel Pflanzenwachstum Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 2. Ein Ereignis geschieht ohne erkennbare Ursache Ein Teil der Ursache-Wirkungs-Kette ist unbekannt Warum Verästelung gerade an der beobachteten Stelle? Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 2. Ein Ereignis geschieht ohne erkennbare Ursache Ein Teil der Ursache-Wirkungs-Kette ist unbekannt Warum Verästelung gerade an der beobachteten Stelle? • unzureichendes Wissen über Einflussfaktoren, die ein konkretes Ereignis bewirken • häufig wiederum statistische Aussagen über viele ähnliche Ereignisse möglich Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 3. Ein Ereignis mit bekannten Einflussfaktoren geschieht, aber man kann diese nicht genau genug messen oder steuern, so dass das Ergebnis nicht vorhersagbar ist Glücksspiel und deterministisches Chaos Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 3. Ein Ereignis mit bekannten Einflussfaktoren geschieht, aber man kann diese nicht genau genug messen oder steuern, so dass das Ergebnis nicht vorhersagbar ist Glücksspiel und deterministisches Chaos Bildquelle: wikipedia.org Würfel, Lotto, Roulette (links); Magnetpendel (rechts) Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 3. Ein Ereignis mit bekannten Einflussfaktoren geschieht, aber man kann diese nicht genau genug messen oder steuern, so dass das Ergebnis nicht vorhersagbar ist Glücksspiel und deterministisches Chaos Bildquelle: wikipedia.org Würfel, Lotto, Roulette (links); Magnetpendel (rechts) • entsprechende Systeme oft leicht konstruierbar • gern zur Erzeugung echter Zufallszahlen genutzt • statistische Aussagen möglich Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 4. Zwei Ereignisse stehen in keinem (bekannten) kausalen Zusammenhang Zusammenhang zwischen den Ereignissen erscheint zufällig Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 4. Zwei Ereignisse stehen in keinem (bekannten) kausalen Zusammenhang Zusammenhang zwischen den Ereignissen erscheint zufällig Bildquelle: wikipedia.org Schach Ereignisse: Weiss macht ersten Zug Weiss gewinnt Schachspiel mit unbekannten Spielern Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Woraus entsteht Zufall? 4. Zwei Ereignisse stehen in keinem (bekannten) kausalen Zusammenhang Zusammenhang zwischen den Ereignissen erscheint zufällig Bildquelle: wikipedia.org Schach Ereignisse: Weiss macht ersten Zug Weiss gewinnt Schachspiel mit unbekannten Spielern • kann in endlichen bzw. diskreten Systemen auftreten • statistische Aussagen möglich Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Wofür benötigt man Zufall in der Informatik? Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung und für Algorithmenkonstruktion Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Wofür benötigt man Zufall in der Informatik? Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung und für Algorithmenkonstruktion • Probabilistische Algorithmen und Heuristiken zufallsgesteuerte Durchlaufung eines Suchraums von Lösungskandidaten z.B. Monte-Carlo-Methoden, künstliche Evolution, Schwarmalgorithmen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Wofür benötigt man Zufall in der Informatik? Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung und für Algorithmenkonstruktion • Probabilistische Algorithmen und Heuristiken zufallsgesteuerte Durchlaufung eines Suchraums von Lösungskandidaten z.B. Monte-Carlo-Methoden, künstliche Evolution, Schwarmalgorithmen • Simulation und Computerspiele Generierung zufälliger Ereignisse entsprechend statistischer Vorgaben Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Wofür benötigt man Zufall in der Informatik? Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung und für Algorithmenkonstruktion • Probabilistische Algorithmen und Heuristiken zufallsgesteuerte Durchlaufung eines Suchraums von Lösungskandidaten z.B. Monte-Carlo-Methoden, künstliche Evolution, Schwarmalgorithmen • Simulation und Computerspiele Generierung zufälliger Ereignisse entsprechend statistischer Vorgaben • Kryptographie / Kryptoanalyse z.B. Schlüssel- und Parametererzeugung, Verschlüsselungsverfahren, Verfahren zur digitalen Signatur, Dummy Traffic, Angriffe auf kryptographische Verfahren Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Wofür benötigt man Zufall in der Informatik? Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung und für Algorithmenkonstruktion • Probabilistische Algorithmen und Heuristiken zufallsgesteuerte Durchlaufung eines Suchraums von Lösungskandidaten z.B. Monte-Carlo-Methoden, künstliche Evolution, Schwarmalgorithmen • Simulation und Computerspiele Generierung zufälliger Ereignisse entsprechend statistischer Vorgaben • Kryptographie / Kryptoanalyse z.B. Schlüssel- und Parametererzeugung, Verschlüsselungsverfahren, Verfahren zur digitalen Signatur, Dummy Traffic, Angriffe auf kryptographische Verfahren • Test Generierung von Testsätzen für Soft- und Hardware Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Wofür benötigt man Zufall in der Informatik? Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung und für Algorithmenkonstruktion • Probabilistische Algorithmen und Heuristiken zufallsgesteuerte Durchlaufung eines Suchraums von Lösungskandidaten z.B. Monte-Carlo-Methoden, künstliche Evolution, Schwarmalgorithmen • Simulation und Computerspiele Generierung zufälliger Ereignisse entsprechend statistischer Vorgaben • Kryptographie / Kryptoanalyse z.B. Schlüssel- und Parametererzeugung, Verschlüsselungsverfahren, Verfahren zur digitalen Signatur, Dummy Traffic, Angriffe auf kryptographische Verfahren • Test Generierung von Testsätzen für Soft- und Hardware • Algorithmische Informationstheorie theoretische Untersuchungen zu Informationsgehalt, Entropie und Komprimierbarkeit von Daten Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge • zufälliges Ereignis Ereignis, dessen Eintrittszeitpunkt oder Wirkung nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden kann =⇒ Zufall als Ausdruck von Unwissenheit Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge • zufälliges Ereignis Ereignis, dessen Eintrittszeitpunkt oder Wirkung nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden kann =⇒ Zufall als Ausdruck von Unwissenheit • Zufallsgröße meßbare / analysierbare Repräsentation der Gesamtheit aller zufälligen Ereignisse im betrachteten System besitzt einen definierten Wertebereich (Wertevorrat) Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge • zufälliges Ereignis Ereignis, dessen Eintrittszeitpunkt oder Wirkung nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden kann =⇒ Zufall als Ausdruck von Unwissenheit • Zufallsgröße meßbare / analysierbare Repräsentation der Gesamtheit aller zufälligen Ereignisse im betrachteten System besitzt einen definierten Wertebereich (Wertevorrat) • diskret: endlicher oder abzählbar unendlicher Wertevorrat Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge • zufälliges Ereignis Ereignis, dessen Eintrittszeitpunkt oder Wirkung nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden kann =⇒ Zufall als Ausdruck von Unwissenheit • Zufallsgröße meßbare / analysierbare Repräsentation der Gesamtheit aller zufälligen Ereignisse im betrachteten System besitzt einen definierten Wertebereich (Wertevorrat) • diskret: endlicher oder abzählbar unendlicher Wertevorrat • Zufallszahl Wert, den eine Zufallsgröße bei ihrer Bestimmung annimmt Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge • zufälliges Ereignis • • • • Ereignis, dessen Eintrittszeitpunkt oder Wirkung nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden kann =⇒ Zufall als Ausdruck von Unwissenheit Zufallsgröße meßbare / analysierbare Repräsentation der Gesamtheit aller zufälligen Ereignisse im betrachteten System besitzt einen definierten Wertebereich (Wertevorrat) diskret: endlicher oder abzählbar unendlicher Wertevorrat Zufallszahl Wert, den eine Zufallsgröße bei ihrer Bestimmung annimmt Zufallszahlenfolge Folge voneinander möglichst unabhängiger Zufallszahlen, die einer gegebenen statistischen Verteilung genügen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Definitionen aus der mathematischen Statistik • diskret gleichverteilte Zufallsgröße Eine diskrete Zufallsgröße X heißt gleichverteilt auf den Ereignissen (Zufallszahlen) a1 , . . . , an , wenn für i = 1, . . . , n gilt: Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Definitionen aus der mathematischen Statistik • diskret gleichverteilte Zufallsgröße Eine diskrete Zufallsgröße X heißt gleichverteilt auf den Ereignissen (Zufallszahlen) a1 , . . . , an , wenn für i = 1, . . . , n gilt: • Gleichwahrscheinlichkeit der Ereignisse: P(X = ai ) = Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik 1 n Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Definitionen aus der mathematischen Statistik • diskret gleichverteilte Zufallsgröße Eine diskrete Zufallsgröße X heißt gleichverteilt auf den Ereignissen (Zufallszahlen) a1 , . . . , an , wenn für i = 1, . . . , n gilt: • Gleichwahrscheinlichkeit der Ereignisse: P(X = ai ) = n P • Erwartungswert: EX = n1 ai 1 n i=1 Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Definitionen aus der mathematischen Statistik • diskret gleichverteilte Zufallsgröße Eine diskrete Zufallsgröße X heißt gleichverteilt auf den Ereignissen (Zufallszahlen) a1 , . . . , an , wenn für i = 1, . . . , n gilt: • Gleichwahrscheinlichkeit der Ereignisse: P(X = ai ) = n P • Erwartungswert: EX = n1 ai 1 n i=1 2 • Streuung: D X = 1 n n P (ai − EX )2 i=1 Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Definitionen aus der mathematischen Statistik • diskret gleichverteilte Zufallsgröße Eine diskrete Zufallsgröße X heißt gleichverteilt auf den Ereignissen (Zufallszahlen) a1 , . . . , an , wenn für i = 1, . . . , n gilt: • Gleichwahrscheinlichkeit der Ereignisse: P(X = ai ) = n P • Erwartungswert: EX = n1 ai 1 n i=1 2 • Streuung: D X = 1 n n P (ai − EX )2 i=1 • Korrelation Grad des linearen Zusammenhangs zwischen Zufallsgrößen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Definitionen aus der mathematischen Statistik • diskret gleichverteilte Zufallsgröße Eine diskrete Zufallsgröße X heißt gleichverteilt auf den Ereignissen (Zufallszahlen) a1 , . . . , an , wenn für i = 1, . . . , n gilt: • Gleichwahrscheinlichkeit der Ereignisse: P(X = ai ) = n P • Erwartungswert: EX = n1 ai 1 n i=1 2 • Streuung: D X = 1 n n P (ai − EX )2 i=1 • Korrelation Grad des linearen Zusammenhangs zwischen Zufallsgrößen • Korrelationskoeffizient zweier Zufallsgrößen X und Y : ρ(X , Y ) := E(X√·Y2)−EX2 ·EY D X ·D Y = 0 −→ X , Y unkorreliert Es gilt: ρ(X , Y ) = 6= 0 −→ X , Y korreliert Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Definitionen aus der mathematischen Statistik • diskret gleichverteilte Zufallsgröße Eine diskrete Zufallsgröße X heißt gleichverteilt auf den Ereignissen (Zufallszahlen) a1 , . . . , an , wenn für i = 1, . . . , n gilt: • Gleichwahrscheinlichkeit der Ereignisse: P(X = ai ) = n P • Erwartungswert: EX = n1 ai 1 n i=1 2 • Streuung: D X = 1 n n P (ai − EX )2 i=1 • Korrelation Grad des linearen Zusammenhangs zwischen Zufallsgrößen • Korrelationskoeffizient zweier Zufallsgrößen X und Y : ρ(X , Y ) := E(X√·Y2)−EX2 ·EY D X ·D Y = 0 −→ X , Y unkorreliert Es gilt: ρ(X , Y ) = 6= 0 −→ X , Y korreliert • Autokorrelation Korrelation einer Zufallsgröße X mit sich selbst (ρ(X , X )) Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Vereinbarungen und Forderungen in der Informatik −→ Verarbeitung der Zufallszahlen (ZZ) stets durch Computer −→ Erzeugung der ZZ entweder durch Computer oder extern Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Vereinbarungen und Forderungen in der Informatik −→ Verarbeitung der Zufallszahlen (ZZ) stets durch Computer −→ Erzeugung der ZZ entweder durch Computer oder extern • Grundanforderungen an Zufallszahlengeneratoren • Uniformität: Gleichvert. der ZZ in jeder erzeugten Folge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Vereinbarungen und Forderungen in der Informatik −→ Verarbeitung der Zufallszahlen (ZZ) stets durch Computer −→ Erzeugung der ZZ entweder durch Computer oder extern • Grundanforderungen an Zufallszahlengeneratoren • Uniformität: Gleichvert. der ZZ in jeder erzeugten Folge • Unabhängigkeit: keine Autokorrelation zwischen den erzeugten ZZ-Folgen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Vereinbarungen und Forderungen in der Informatik −→ Verarbeitung der Zufallszahlen (ZZ) stets durch Computer −→ Erzeugung der ZZ entweder durch Computer oder extern • Grundanforderungen an Zufallszahlengeneratoren • Uniformität: Gleichvert. der ZZ in jeder erzeugten Folge • Unabhängigkeit: keine Autokorrelation zwischen den erzeugten ZZ-Folgen • zusätzliche Wünsche/Erfordernisse • diskrete Zufallsgrößen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Vereinbarungen und Forderungen in der Informatik −→ Verarbeitung der Zufallszahlen (ZZ) stets durch Computer −→ Erzeugung der ZZ entweder durch Computer oder extern • Grundanforderungen an Zufallszahlengeneratoren • Uniformität: Gleichvert. der ZZ in jeder erzeugten Folge • Unabhängigkeit: keine Autokorrelation zwischen den erzeugten ZZ-Folgen • zusätzliche Wünsche/Erfordernisse • diskrete Zufallsgrößen • anwendungsabhängig: entweder Reproduzierbarkeit oder Irreproduzierbarkeit der ZZ-Folgen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Vereinbarungen und Forderungen in der Informatik −→ Verarbeitung der Zufallszahlen (ZZ) stets durch Computer −→ Erzeugung der ZZ entweder durch Computer oder extern • Grundanforderungen an Zufallszahlengeneratoren • Uniformität: Gleichvert. der ZZ in jeder erzeugten Folge • Unabhängigkeit: keine Autokorrelation zwischen den erzeugten ZZ-Folgen • zusätzliche Wünsche/Erfordernisse • diskrete Zufallsgrößen • anwendungsabhängig: entweder Reproduzierbarkeit oder Irreproduzierbarkeit der ZZ-Folgen • ZZ oft im Intervall [0, 1), {0, 1}, {0, ..., 9} Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Vereinbarungen und Forderungen in der Informatik −→ Verarbeitung der Zufallszahlen (ZZ) stets durch Computer −→ Erzeugung der ZZ entweder durch Computer oder extern • Grundanforderungen an Zufallszahlengeneratoren • Uniformität: Gleichvert. der ZZ in jeder erzeugten Folge • Unabhängigkeit: keine Autokorrelation zwischen den erzeugten ZZ-Folgen • zusätzliche Wünsche/Erfordernisse • diskrete Zufallsgrößen • anwendungsabhängig: entweder Reproduzierbarkeit oder Irreproduzierbarkeit der ZZ-Folgen • ZZ oft im Intervall [0, 1), {0, 1}, {0, ..., 9} • Schnelligkeit, Ergiebigkeit, Unvorhersagbarkeit des Generators Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Vereinbarungen und Forderungen in der Informatik −→ Verarbeitung der Zufallszahlen (ZZ) stets durch Computer −→ Erzeugung der ZZ entweder durch Computer oder extern • Grundanforderungen an Zufallszahlengeneratoren • Uniformität: Gleichvert. der ZZ in jeder erzeugten Folge • Unabhängigkeit: keine Autokorrelation zwischen den erzeugten ZZ-Folgen • zusätzliche Wünsche/Erfordernisse • diskrete Zufallsgrößen • anwendungsabhängig: entweder Reproduzierbarkeit oder Irreproduzierbarkeit der ZZ-Folgen • ZZ oft im Intervall [0, 1), {0, 1}, {0, ..., 9} • Schnelligkeit, Ergiebigkeit, Unvorhersagbarkeit des Generators • algorithmische Transformation Gleichverteilung −→ andere bekannte Verteilungen bei Bedarf Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Klassifikation der Prinzipien Zufallszahlen− generatoren Generatoren für echte Zufallszahlen Physikalische Generatoren Rauschgrößen− messung Laufzähler mit Stoppereignis Glücksspiele Pseudozufallszahlen− generatoren Tabellen− werke Rand Corporation Ziffernfolgen transzendenter Zahlen e, π Kongruenz− generatoren linear gemischt linear multiplikativ nichtlinear Linear rückgek. Schieberegister allgemein binär dual (Galois) x 2 mod n mehrfach rek. Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Rauschgrößenmessung • zeitquantisierte Erfassung einer zugrundeliegenden physikalischen Zufallsgröße und Transformation in Zufallszahlenfolge • Transformation z.B.: a(ti ) ≥ a(ti−1 ) a(ti ) < a(ti−1 ) −→ Ausgabe y (ti ) = 1 −→ Ausgabe y (ti ) = 0 physikalische Zufallsgröße a(t i ) Messzeitpunkte t 1 Zufallszahlenfolge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik t2 0 t3 1 t4 0 t5 0 t6 1 t7 0 t Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Rauschgrößenmessung • zeitquantisierte Erfassung einer zugrundeliegenden physikalischen Zufallsgröße und Transformation in Zufallszahlenfolge • Transformation z.B.: a(ti ) ≥ a(ti−1 ) a(ti ) < a(ti−1 ) a(t i ) physikalische Zufallsgröße Vorteile − gute statistische Eigenschaften − keine inhärente Reproduzierbarkeit −→ Ausgabe y (ti ) = 1 −→ Ausgabe y (ti ) = 0 Messzeitpunkte t 1 Zufallszahlenfolge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik t2 0 t3 1 t4 0 t5 0 t6 1 t7 0 t Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Rauschgrößenmessung • zeitquantisierte Erfassung einer zugrundeliegenden physikalischen Zufallsgröße und Transformation in Zufallszahlenfolge a(ti ) ≥ a(ti−1 ) a(ti ) < a(ti−1 ) Vorteile − gute statistische Eigenschaften − keine inhärente Reproduzierbarkeit Nachteile − Auswirkungen von Messfehlern − Verfügbarkeit und maximale Abtastrate abhängig von physikalischer Zufallsgröße Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik −→ Ausgabe y (ti ) = 1 −→ Ausgabe y (ti ) = 0 a(t i ) physikalische Zufallsgröße • Transformation z.B.: Messzeitpunkte t 1 Zufallszahlenfolge t2 0 t3 1 t4 0 t5 0 t6 1 t7 0 t Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Laufzähler mit Stoppereignis Zählerstand • Zähler modulo n, der in schneller Folge fortlaufend von 0 bis n − 1 zählt und jeweils bei Eintreten des zufälligen zählerunabhängigen Stoppereignisses sofort den aktuellen Zählerwert als Zufallszahl bereitstellt 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Stoppereignisse Zufallszahlenfolge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik t 5 1 Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Laufzähler mit Stoppereignis • Zähler modulo n, der in schneller Folge fortlaufend von 0 bis n − 1 zählt und jeweils bei Eintreten des zufälligen zählerunabhängigen Stoppereignisses sofort den aktuellen Zählerwert als Zufallszahl bereitstellt Zählerstand Vorteile − gute statistische Eigenschaften − keine inhärente Reproduzierbarkeit 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Stoppereignisse Zufallszahlenfolge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik t 5 1 Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Laufzähler mit Stoppereignis • Zähler modulo n, der in schneller Folge fortlaufend von 0 bis n − 1 zählt und jeweils bei Eintreten des zufälligen zählerunabhängigen Stoppereignisses sofort den aktuellen Zählerwert als Zufallszahl bereitstellt Nachteile − Organisation der Stoppereignisse − Stoppereignisse nicht zeitlich äquidistant − mehrfaches vollständiges Durchzählen zwischen aufeinanderfolgenden Stoppereignissen sicherzustellen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Zählerstand Vorteile − gute statistische Eigenschaften − keine inhärente Reproduzierbarkeit 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Stoppereignisse Zufallszahlenfolge t 5 1 Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Ziffernfolgen transzendenter Zahlen • Definition transzendente Zahlen Zahlen, die nicht algebraisch sind, d.h. die nicht als Nullstellen beliebiger Polynome an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 mit ai ∈ Q und i ∈ {0, . . . , n}, n ∈ N \ {0} vorkommen können. (z.B. e, π) 3,141 592 653 2,718 281 828 ... 589 793 238 ... Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Ziffernfolgen transzendenter Zahlen • Definition transzendente Zahlen Zahlen, die nicht algebraisch sind, d.h. die nicht als Nullstellen beliebiger Polynome an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 mit ai ∈ Q und i ∈ {0, . . . , n}, n ∈ N \ {0} vorkommen können. (z.B. e, π) • Prinzip − Berechnung und Tabellierung der gewünschten transzendenten Zahl auf hinreichend viele zuverlässige Nachkommastellen (z.B. mittels Spigotalgorithmen) − zufällige Auswahl einer Ziffernfolge, Nutzung als Zufallszahlenfolge und Kennzeichnung als bereits genutzt 3,141 592 653 2,718 281 828 ... 589 793 238 ... Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Ziffernfolgen transzendenter Zahlen • Definition transzendente Zahlen Zahlen, die nicht algebraisch sind, d.h. die nicht als Nullstellen beliebiger Polynome an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 mit ai ∈ Q und i ∈ {0, . . . , n}, n ∈ N \ {0} vorkommen können. (z.B. e, π) • Prinzip − Berechnung und Tabellierung der gewünschten transzendenten Zahl auf hinreichend viele zuverlässige Nachkommastellen (z.B. mittels Spigotalgorithmen) − zufällige Auswahl einer Ziffernfolge, Nutzung als Zufallszahlenfolge und Kennzeichnung als bereits genutzt Vorteile − leichte rechnergestützte Realisierbarkeit − leichte Vorabgenerierung für spätere Nutzung Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik 3,141 592 653 2,718 281 828 ... 589 793 238 ... Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Ziffernfolgen transzendenter Zahlen • Definition transzendente Zahlen Zahlen, die nicht algebraisch sind, d.h. die nicht als Nullstellen beliebiger Polynome an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 mit ai ∈ Q und i ∈ {0, . . . , n}, n ∈ N \ {0} vorkommen können. (z.B. e, π) • Prinzip − Berechnung und Tabellierung der gewünschten transzendenten Zahl auf hinreichend viele zuverlässige Nachkommastellen (z.B. mittels Spigotalgorithmen) − zufällige Auswahl einer Ziffernfolge, Nutzung als Zufallszahlenfolge und Kennzeichnung als bereits genutzt Vorteile − leichte rechnergestützte Realisierbarkeit − leichte Vorabgenerierung für spätere Nutzung 3,141 592 653 2,718 281 828 ... 589 793 238 ... Nachteile − keine gesicherten statistischen Eigenschaften, nur Annahmen − hoher Bekanntheitsgrad der Ziffernfolgen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Pseudozufallszahlengeneratoren Gewinnung der Zahlenfolgen durch deterministische Berechnung Zufall −→ Pseudozufall: Wegfall der generellen Unvorhersagbarkeit Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Pseudozufallszahlengeneratoren Gewinnung der Zahlenfolgen durch deterministische Berechnung Zufall −→ Pseudozufall: Wegfall der generellen Unvorhersagbarkeit • gemeinsames Prinzip ausgehend von einem gewählten Startwert und geeigneten Parameterbelegungen erfolgt Bestimmung der Pseudozufallszahlenfolge durch spezifische rekursive Berechnungsvorschrift Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Pseudozufallszahlengeneratoren Gewinnung der Zahlenfolgen durch deterministische Berechnung Zufall −→ Pseudozufall: Wegfall der generellen Unvorhersagbarkeit • gemeinsames Prinzip ausgehend von einem gewählten Startwert und geeigneten Parameterbelegungen erfolgt Bestimmung der Pseudozufallszahlenfolge durch spezifische rekursive Berechnungsvorschrift • Forderung für perfekten Pseudozufallszahlengenerator Es soll keinen effizienten (polynomiellen) Algorithmus geben, der eine Pseudozufallszahlenfolge ohne Kenntnis der Berechnungsvorschrift, des Startwertes und der Parameterbelegungen signifikant von einer echten Zufallszahlenfolge unterscheiden kann. Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Pseudozufallszahlengeneratoren Gewinnung der Zahlenfolgen durch deterministische Berechnung Zufall −→ Pseudozufall: Wegfall der generellen Unvorhersagbarkeit • gemeinsames Prinzip ausgehend von einem gewählten Startwert und geeigneten Parameterbelegungen erfolgt Bestimmung der Pseudozufallszahlenfolge durch spezifische rekursive Berechnungsvorschrift • Forderung für perfekten Pseudozufallszahlengenerator Es soll keinen effizienten (polynomiellen) Algorithmus geben, der eine Pseudozufallszahlenfolge ohne Kenntnis der Berechnungsvorschrift, des Startwertes und der Parameterbelegungen signifikant von einer echten Zufallszahlenfolge unterscheiden kann. • gemeinsame Eigenschaft − Periodizität: zyklische Wiederholung der Pseudozufallszahlenfolge (PZZ-Folge) nach endlicher Länge − Ziel: Maximierung der Periodenlänge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Multiplikativer Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: a, m ∈ N mit a ≥ 2, a < m, m > 1 z0 ∈ {1, . . . , m − 1} zi = (a · zi−1 ) mod m ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Multiplikativer Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: a, m ∈ N mit a ≥ 2, a < m, m > 1 z0 ∈ {1, . . . , m − 1} zi = (a · zi−1 ) mod m ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) • maximale Periodenlänge m unter folgenden Bedingungen (Kobayashi): • m = pk oder m = 2pk mit p ungerade Primzahl, k ∈ N \ {0} • am−1 ≡ 1 mod m • ggT(z0 , m) = 1 √ Minimierung der Autokorrelation: a ≈ m Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Multiplikativer Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: a, m ∈ N mit a ≥ 2, a < m, m > 1 z0 ∈ {1, . . . , m − 1} zi = (a · zi−1 ) mod m ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) • maximale Periodenlänge m unter folgenden Bedingungen (Kobayashi): • m = pk oder m = 2pk mit p ungerade Primzahl, k ∈ N \ {0} • am−1 ≡ 1 mod m • ggT(z0 , m) = 1 √ Minimierung der Autokorrelation: a ≈ m Vorteile − Schnelligkeit des Verfahrens und leichte Implementierbarkeit Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Multiplikativer Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: a, m ∈ N mit a ≥ 2, a < m, m > 1 z0 ∈ {1, . . . , m − 1} zi = (a · zi−1 ) mod m ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) • maximale Periodenlänge m unter folgenden Bedingungen (Kobayashi): • m = pk oder m = 2pk mit p ungerade Primzahl, k ∈ N \ {0} • am−1 ≡ 1 mod m • ggT(z0 , m) = 1 √ Minimierung der Autokorrelation: a ≈ m Vorteile − Schnelligkeit des Verfahrens und leichte Implementierbarkeit Nachteile − keine optimalen statistischen Eigenschaften, kleine Periodenlänge − leichte Vorhersagbarkeit der PZZ-Folge (nicht perfekt) Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Gemischt linearer Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: a, c, m ∈ N mit a < m, a ≥ 2, c < m, c > 0, m > 1 z0 ∈ {1, . . . , m − 1} zi = (a · zi−1 +c) mod m ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Gemischt linearer Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: a, c, m ∈ N mit a < m, a ≥ 2, c < m, c > 0, m > 1 z0 ∈ {1, . . . , m − 1} zi = (a · zi−1 +c) mod m ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) • maximale Periodenlänge m unter folgenden Bedingungen (Lehmer): • ggT(c, m) = 1 • a ≡ 1 mod q für jeden Elementarteiler q von m • a ≡ 1 mod 4 falls 4 Teiler von m ist q Minimierung der Autokorr. (Fishman/Greenb.): a ≈ m − Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik 6c (1 m − c ) m Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Gemischt linearer Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: a, c, m ∈ N mit a < m, a ≥ 2, c < m, c > 0, m > 1 z0 ∈ {1, . . . , m − 1} zi = (a · zi−1 +c) mod m ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) • maximale Periodenlänge m unter folgenden Bedingungen (Lehmer): • ggT(c, m) = 1 • a ≡ 1 mod q für jeden Elementarteiler q von m • a ≡ 1 mod 4 falls 4 Teiler von m ist q Minimierung der Autokorr. (Fishman/Greenb.): a ≈ m − 6c (1 m − c ) m Vorteile − Schnelligkeit des Verfahrens und leichte Implementierbarkeit Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Gemischt linearer Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: a, c, m ∈ N mit a < m, a ≥ 2, c < m, c > 0, m > 1 z0 ∈ {1, . . . , m − 1} zi = (a · zi−1 +c) mod m ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) • maximale Periodenlänge m unter folgenden Bedingungen (Lehmer): • ggT(c, m) = 1 • a ≡ 1 mod q für jeden Elementarteiler q von m • a ≡ 1 mod 4 falls 4 Teiler von m ist q Minimierung der Autokorr. (Fishman/Greenb.): a ≈ m − 6c (1 m − c ) m Vorteile − Schnelligkeit des Verfahrens und leichte Implementierbarkeit Nachteile − keine optimalen statistischen Eigenschaften, kleine Periodenlänge − leichte Vorhersagbarkeit der PZZ-Folge (nicht perfekt) Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Mehrfach rekursiver Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: r , m, a1 , . . . , ar ∈ N mit r ≥ 1, ai ∈ {0, . . . , m − 1}, m > 1 z1 , . . . , zr ∈ {0, . . . , m − 1} mit ∃j ∈ {1, . . . , r } . zj 6= 0 r P ak · zi−k mod m zi = k =1 PZZ-Folge: ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) Spezialfall: Fibonacci-Generator Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Mehrfach rekursiver Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: r , m, a1 , . . . , ar ∈ N mit r ≥ 1, ai ∈ {0, . . . , m − 1}, m > 1 z1 , . . . , zr ∈ {0, . . . , m − 1} mit ∃j ∈ {1, . . . , r } . zj 6= 0 r P ak · zi−k mod m zi = k =1 PZZ-Folge: ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) Spezialfall: Fibonacci-Generator • maximale Periodenlänge mr − 1 Belegungsvorschrift der Parameter für max. Periodenlänge ändert sich mit jedem Vorgabewert für r , keine geschl. Darst. Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Mehrfach rekursiver Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: r , m, a1 , . . . , ar ∈ N mit r ≥ 1, ai ∈ {0, . . . , m − 1}, m > 1 z1 , . . . , zr ∈ {0, . . . , m − 1} mit ∃j ∈ {1, . . . , r } . zj 6= 0 r P ak · zi−k mod m zi = k =1 PZZ-Folge: ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) Spezialfall: Fibonacci-Generator • maximale Periodenlänge mr − 1 Belegungsvorschrift der Parameter für max. Periodenlänge ändert sich mit jedem Vorgabewert für r , keine geschl. Darst. Vorteile − größere maximale Periodenlänge, schwierigere Vorhersagbarkeit − Schnelligkeit des Verfahrens und leichte Implementierbarkeit Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Mehrfach rekursiver Kongruenzgenerator • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: r , m, a1 , . . . , ar ∈ N mit r ≥ 1, ai ∈ {0, . . . , m − 1}, m > 1 z1 , . . . , zr ∈ {0, . . . , m − 1} mit ∃j ∈ {1, . . . , r } . zj 6= 0 r P ak · zi−k mod m zi = k =1 PZZ-Folge: ri = zi /m Es gilt: ri ∈ [0, 1) Spezialfall: Fibonacci-Generator • maximale Periodenlänge mr − 1 Belegungsvorschrift der Parameter für max. Periodenlänge ändert sich mit jedem Vorgabewert für r , keine geschl. Darst. Vorteile − größere maximale Periodenlänge, schwierigere Vorhersagbarkeit − Schnelligkeit des Verfahrens und leichte Implementierbarkeit Nachteile − keine optimalen statistischen Eigenschaften, nicht perfekt − hoher Aufwand zum Finden geeigneter Parameterbelegungen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests x 2 mod n Generator nach Blum/Shub • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: s, p, q ∈ N mit p, q prim, p ≈ q, p, q ≡ 3 mod 4, 0 < s < pq, ggT(s, pq) = 1 2 z0 = s mod (pq) 2 mod (pq) zi = zi−1 ri = zi mod 2 Es gilt: ri ∈ {0, 1} Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests x 2 mod n Generator nach Blum/Shub • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: s, p, q ∈ N mit p, q prim, p ≈ q, p, q ≡ 3 mod 4, 0 < s < pq, ggT(s, pq) = 1 2 z0 = s mod (pq) 2 mod (pq) zi = zi−1 ri = zi mod 2 Es gilt: ri ∈ {0, 1} • maximale Periodenlänge pq Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests x 2 mod n Generator nach Blum/Shub • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: s, p, q ∈ N mit p, q prim, p ≈ q, p, q ≡ 3 mod 4, 0 < s < pq, ggT(s, pq) = 1 2 z0 = s mod (pq) 2 mod (pq) zi = zi−1 ri = zi mod 2 Es gilt: ri ∈ {0, 1} • maximale Periodenlänge pq Vorteile − perfekter Pseudozufallszahlengenerator − leichte Implementierbarkeit − leichte Wahl geeigneter Parameterbelegungen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests x 2 mod n Generator nach Blum/Shub • Prinzip Parameter: Startwert: Rekursion: PZZ-Folge: s, p, q ∈ N mit p, q prim, p ≈ q, p, q ≡ 3 mod 4, 0 < s < pq, ggT(s, pq) = 1 2 z0 = s mod (pq) 2 mod (pq) zi = zi−1 ri = zi mod 2 Es gilt: ri ∈ {0, 1} • maximale Periodenlänge pq Vorteile − perfekter Pseudozufallszahlengenerator − leichte Implementierbarkeit − leichte Wahl geeigneter Parameterbelegungen Nachteile − nur ein Bit pro Rekursionsschritt −→ langsam − kleine Periodenlänge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Linear rückgekoppeltes Schieberegister • Prinzip − Schieberegister mit Bitfolge 6= 0r initialisiert Rückkopplungsfunktion f : {0,1}r zk−r {0,1} zk−r+1 zk−r+2 ... Parameter (Rückkopp− lungspolynom) zk−1 zk PZZ−Folge rk Schieberegister Initialbelegung entspricht Startwert Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Linear rückgekoppeltes Schieberegister • Prinzip − Schieberegister mit Bitfolge 6= 0r initialisiert − Bits schieben sich taktweise durch die Kaskade Rückkopplungsfunktion f : {0,1}r zk−r {0,1} zk−r+1 zk−r+2 ... Parameter (Rückkopp− lungspolynom) zk−1 zk PZZ−Folge rk Schieberegister Initialbelegung entspricht Startwert Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Linear rückgekoppeltes Schieberegister • Prinzip − Schieberegister mit Bitfolge 6= 0r initialisiert − Bits schieben sich taktweise durch die Kaskade − Bit der letzten Zelle als Pseudozufallsbit taktweise ausgegeben Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Rückkopplungsfunktion f : {0,1}r zk−r {0,1} zk−r+1 zk−r+2 ... Parameter (Rückkopp− lungspolynom) zk−1 zk PZZ−Folge rk Schieberegister Initialbelegung entspricht Startwert Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Linear rückgekoppeltes Schieberegister • Prinzip − Schieberegister mit Rückkopplungsfunktion Bitfolge 6= 0r f : {0,1}r {0,1} Parameter initialisiert (Rückkopp− lungspolynom) − Bits schieben sich taktweise durch zk−r zk−r+1 zk−r+2 ... zk−1 zk PZZ−Folge die Kaskade rk Schieberegister − Bit der letzten Zelle Initialbelegung entspricht Startwert als Pseudozufallsbit taktweise ausgegeben − Bit der ersten Zelle mittels Rückkopplungsfunktion berechnet Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Linear rückgekoppeltes Schieberegister • Prinzip − Schieberegister mit Rückkopplungsfunktion Bitfolge 6= 0r f : {0,1}r {0,1} Parameter initialisiert (Rückkopp− lungspolynom) − Bits schieben sich taktweise durch zk−r zk−r+1 zk−r+2 ... zk−1 zk PZZ−Folge die Kaskade rk Schieberegister − Bit der letzten Zelle Initialbelegung entspricht Startwert als Pseudozufallsbit taktweise ausgegeben − Bit der ersten Zelle mittels Rückkopplungsfunktion berechnet − Rückkopplungsfunktion und ihre Parameter bestimmen wesentlich die Qualität der PZZ-Folge Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Linear rückgekoppeltes Schieberegister • Prinzip − Schieberegister mit Rückkopplungsfunktion Bitfolge 6= 0r f : {0,1}r {0,1} Parameter initialisiert (Rückkopp− lungspolynom) − Bits schieben sich taktweise durch zk−r zk−r+1 zk−r+2 ... zk−1 zk PZZ−Folge die Kaskade rk Schieberegister − Bit der letzten Zelle Initialbelegung entspricht Startwert als Pseudozufallsbit taktweise ausgegeben − Bit der ersten Zelle mittels Rückkopplungsfunktion berechnet − Rückkopplungsfunktion und ihre Parameter bestimmen wesentlich die Qualität der PZZ-Folge • maximale Periodenlänge 2r − 1 Bit, unabhängig von der gewählten zulässigen Initialisierung Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Binäres linear rückgekoppeltes Schieberegister Prinzip − Rückkopplungsfkt. mit den Parametern bi ∈ {0, 1} mit i = 1, . . . , r behaftet & & br zk−r & br−1 zk−r+1 zk−r+2 ... & b2 br−2 ... & zk−1 zk b1 PZZ−Folge rk Schieberegister Initialbelegung entspricht Startwert Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Binäres linear rückgekoppeltes Schieberegister Prinzip − Rückkopplungsfkt. mit den Parametern bi ∈ {0, 1} mit & & & ... & & i = 1, . . . , r behaftet br br−1 br−2 b2 b1 − Parameter bi bilden Koeffizienten des zk−r zk−r+1 zk−r+2 ... zk−1 zk charakt. Polynoms Schieberegister Initialbelegung entspricht Startwert p : {0, 1} → {0, 1} p(x) = br x r −1 ⊕ . . . ⊕ b3 x 2 ⊕ b2 x ⊕ b1 Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik PZZ−Folge rk Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Binäres linear rückgekoppeltes Schieberegister Prinzip − Rückkopplungsfkt. mit den Parametern bi ∈ {0, 1} mit & & & ... & & i = 1, . . . , r behaftet br br−1 br−2 b2 b1 − Parameter bi bilden Koeffizienten des zk−r zk−r+1 zk−r+2 ... zk−1 zk charakt. Polynoms Schieberegister Initialbelegung entspricht Startwert p : {0, 1} → {0, 1} p(x) = br x r −1 ⊕ . . . ⊕ b3 x 2 ⊕ b2 x ⊕ b1 − zum Erreichen der maximalen Periodenlänge 2r − 1 muss charakteristisches Polynom irreduzibel sein Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik PZZ−Folge rk Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Binäres linear rückgekoppeltes Schieberegister Prinzip − Rückkopplungsfkt. mit den Parametern bi ∈ {0, 1} mit & & & ... & & i = 1, . . . , r behaftet br br−1 br−2 b2 b1 − Parameter bi bilden Koeffizienten des zk−r zk−r+1 zk−r+2 ... zk−1 zk charakt. Polynoms Schieberegister Initialbelegung entspricht Startwert p : {0, 1} → {0, 1} p(x) = br x r −1 ⊕ . . . ⊕ b3 x 2 ⊕ b2 x ⊕ b1 − zum Erreichen der maximalen Periodenlänge 2r − 1 muss charakteristisches Polynom irreduzibel sein PZZ−Folge rk Vorteile − leicht in Hardware implementierbar − sehr schnell, einfache Parameterwahl Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Binäres linear rückgekoppeltes Schieberegister Prinzip − Rückkopplungsfkt. mit den Parametern bi ∈ {0, 1} mit & & & ... & & i = 1, . . . , r behaftet br br−1 br−2 b2 b1 − Parameter bi bilden Koeffizienten des zk−r zk−r+1 zk−r+2 ... zk−1 zk charakt. Polynoms Schieberegister Initialbelegung entspricht Startwert p : {0, 1} → {0, 1} p(x) = br x r −1 ⊕ . . . ⊕ b3 x 2 ⊕ b2 x ⊕ b1 − zum Erreichen der maximalen Periodenlänge 2r − 1 muss charakteristisches Polynom irreduzibel sein PZZ−Folge rk Vorteile − leicht in Hardware implementierbar − sehr schnell, einfache Parameterwahl Nachteile − nicht perfekt Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Duales linear rückgekoppeltes Schieberegister Galois-Schieberegister Prinzip − entspricht dem binären linear rückgekoppelten Schieberegister ... br zk−r & ... ... b2 & zk−1 Schieberegister b1 zk & rk PZZ−Folge Initialbelegung entspricht Startwert Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Duales linear rückgekoppeltes Schieberegister Galois-Schieberegister Prinzip − entspricht dem binären linear rückgekoppelten Schieberegister − eine ⊕-Operation gespart ... br zk−r & ... ... b2 & zk−1 Schieberegister b1 zk & rk PZZ−Folge Initialbelegung entspricht Startwert Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Duales linear rückgekoppeltes Schieberegister Galois-Schieberegister ... Prinzip br b2 b1 & & − entspricht dem binären linear rückgekoppelten Schieberegister ... − eine ⊕-Operation gespart zk−r ... zk−1 zk − zum Erreichen der Schieberegister maximalen PeriodenInitialbelegung entspricht Startwert länge 2r − 1 muss charakteristisches Polynom irreduzibel sein Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik & rk PZZ−Folge Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Duales linear rückgekoppeltes Schieberegister Galois-Schieberegister ... Prinzip br b2 b1 & & & − entspricht dem binären linear rückgekoppelten Schieberegister ... rk − eine ⊕-Operation gespart zk−r ... zk−1 zk − zum Erreichen der PZZ−Folge Schieberegister maximalen PeriodenInitialbelegung entspricht Startwert länge 2r − 1 muss charakteristisches Polynom irreduzibel sein − Transformation duales ↔ binäres lin. rückgek. Schiebereg. möglich Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Duales linear rückgekoppeltes Schieberegister Galois-Schieberegister ... Prinzip br b2 b1 & & & − entspricht dem binären linear rückgekoppelten Schieberegister ... rk − eine ⊕-Operation gespart zk−r ... zk−1 zk − zum Erreichen der PZZ−Folge Schieberegister maximalen PeriodenInitialbelegung entspricht Startwert länge 2r − 1 muss charakteristisches Polynom irreduzibel sein − Transformation duales ↔ binäres lin. rückgek. Schiebereg. möglich Vorteile − leicht in Hardware implementierbar − sehr schnell, einfache Parameterwahl Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Duales linear rückgekoppeltes Schieberegister Galois-Schieberegister ... Prinzip br b2 b1 & & & − entspricht dem binären linear rückgekoppelten Schieberegister ... rk − eine ⊕-Operation gespart zk−r ... zk−1 zk − zum Erreichen der PZZ−Folge Schieberegister maximalen PeriodenInitialbelegung entspricht Startwert länge 2r − 1 muss charakteristisches Polynom irreduzibel sein − Transformation duales ↔ binäres lin. rückgek. Schiebereg. möglich Vorteile − leicht in Hardware implementierbar − sehr schnell, einfache Parameterwahl Nachteile − nicht perfekt Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests zur Bewertung der Prinzipien • basieren auf konkreten erzeugten (Pseudo)Zufallszahlenfolgen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests zur Bewertung der Prinzipien • basieren auf konkreten erzeugten (Pseudo)Zufallszahlenfolgen • Generatoren selbst nicht herangezogen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests zur Bewertung der Prinzipien • basieren auf konkreten erzeugten (Pseudo)Zufallszahlenfolgen • Generatoren selbst nicht herangezogen • Aufschluss darüber, „wie gut“ Unabhängigkeit und Uniformität eingehalten werden Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests zur Bewertung der Prinzipien • basieren auf konkreten erzeugten (Pseudo)Zufallszahlenfolgen • Generatoren selbst nicht herangezogen • Aufschluss darüber, „wie gut“ Unabhängigkeit und Uniformität eingehalten werden • Hypothese • Vorliegen Gleichverteilung • keine Autokorrelation auf definiertem Signifikanzniveau (z.B. 5%, 1% Fehlertoleranz) akzeptiert oder verworfen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests zur Bewertung der Prinzipien • basieren auf konkreten erzeugten (Pseudo)Zufallszahlenfolgen • Generatoren selbst nicht herangezogen • Aufschluss darüber, „wie gut“ Unabhängigkeit und Uniformität eingehalten werden • Hypothese • Vorliegen Gleichverteilung • keine Autokorrelation auf definiertem Signifikanzniveau (z.B. 5%, 1% Fehlertoleranz) akzeptiert oder verworfen • Tests als Algorithmen der mathematischen Statistik notiert und angewendet Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests (Auswahl) • χ2 -Test (u.a. auf Gleichverteilung) • Standardverfahren der mathematischen Statistik • für lange PZZ-Folgen (≥ 50 Zahlen) empfohlen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests (Auswahl) • χ2 -Test (u.a. auf Gleichverteilung) • Standardverfahren der mathematischen Statistik • für lange PZZ-Folgen (≥ 50 Zahlen) empfohlen • Kolmogorov-Smirnov-Test (auf Gleichverteilung) • i.A. genauer als χ2 -Test, aber aufwendiger • auch für kurze PZZ-Folgen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests (Auswahl) • χ2 -Test (u.a. auf Gleichverteilung) • Standardverfahren der mathematischen Statistik • für lange PZZ-Folgen (≥ 50 Zahlen) empfohlen • Kolmogorov-Smirnov-Test (auf Gleichverteilung) • i.A. genauer als χ2 -Test, aber aufwendiger • auch für kurze PZZ-Folgen • Gap-Test (auf Autokorrelation) • Überprüfung der Intervallängen bis zum Wiedererscheinen der gleichen Zahl unter Anwendung des Kolmogorov-Smirnov-Tests Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests (Auswahl) • χ2 -Test (u.a. auf Gleichverteilung) • Standardverfahren der mathematischen Statistik • für lange PZZ-Folgen (≥ 50 Zahlen) empfohlen • Kolmogorov-Smirnov-Test (auf Gleichverteilung) • i.A. genauer als χ2 -Test, aber aufwendiger • auch für kurze PZZ-Folgen • Gap-Test (auf Autokorrelation) • Überprüfung der Intervallängen bis zum Wiedererscheinen der gleichen Zahl unter Anwendung des Kolmogorov-Smirnov-Tests • Poker-Test (auf Autokorrelation) • analysiert die Häufigkeit, mit der sich die Ziffern in der PZZ-Folge wiederholen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Statistische Tests (Auswahl) • χ2 -Test (u.a. auf Gleichverteilung) • Standardverfahren der mathematischen Statistik • für lange PZZ-Folgen (≥ 50 Zahlen) empfohlen • Kolmogorov-Smirnov-Test (auf Gleichverteilung) • i.A. genauer als χ2 -Test, aber aufwendiger • auch für kurze PZZ-Folgen • Gap-Test (auf Autokorrelation) • Überprüfung der Intervallängen bis zum Wiedererscheinen der gleichen Zahl unter Anwendung des Kolmogorov-Smirnov-Tests • Poker-Test (auf Autokorrelation) • analysiert die Häufigkeit, mit der sich die Ziffern in der PZZ-Folge wiederholen • Mustersuche (auf Autokorrelation) • graphische Darstellung und Auswertung der PZZ-Folge • Gibt es wiederkehrende regelmäßige Muster oder zyklische Variationen? Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Zusammenfassung Resümee • vorgestellte Prinzipien i.A. seit mehreren Jahrzehnten bekannt und im praktischen Einsatz bewährt • Prinzipien decken ein großes Spektrum nutzbarer und eigenständiger Strategien ab • Repertoire umfasst Prinzipien, die bevorzugt hardware- oder softwarebasiert implementiert werden können • Pseudozufallszahlengeneratoren, die üblicherweise in Programmiersprachen oder von Computer-Algebra-Systemen bereitgestellt werden, sind vorgestellt worden und spezialisieren sich durch ihre Parameterbelegungen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Zusammenfassung Resümee • vorgestellte Prinzipien i.A. seit mehreren Jahrzehnten bekannt und im praktischen Einsatz bewährt • Prinzipien decken ein großes Spektrum nutzbarer und eigenständiger Strategien ab • Repertoire umfasst Prinzipien, die bevorzugt hardware- oder softwarebasiert implementiert werden können • Pseudozufallszahlengeneratoren, die üblicherweise in Programmiersprachen oder von Computer-Algebra-Systemen bereitgestellt werden, sind vorgestellt worden und spezialisieren sich durch ihre Parameterbelegungen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Zusammenfassung Resümee • vorgestellte Prinzipien i.A. seit mehreren Jahrzehnten bekannt und im praktischen Einsatz bewährt • Prinzipien decken ein großes Spektrum nutzbarer und eigenständiger Strategien ab • Repertoire umfasst Prinzipien, die bevorzugt hardware- oder softwarebasiert implementiert werden können • Pseudozufallszahlengeneratoren, die üblicherweise in Programmiersprachen oder von Computer-Algebra-Systemen bereitgestellt werden, sind vorgestellt worden und spezialisieren sich durch ihre Parameterbelegungen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Zusammenfassung Resümee • vorgestellte Prinzipien i.A. seit mehreren Jahrzehnten bekannt und im praktischen Einsatz bewährt • Prinzipien decken ein großes Spektrum nutzbarer und eigenständiger Strategien ab • Repertoire umfasst Prinzipien, die bevorzugt hardware- oder softwarebasiert implementiert werden können • Pseudozufallszahlengeneratoren, die üblicherweise in Programmiersprachen oder von Computer-Algebra-Systemen bereitgestellt werden, sind vorgestellt worden und spezialisieren sich durch ihre Parameterbelegungen Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Zusammenfassung Resümee • vorgestellte Prinzipien i.A. seit mehreren Jahrzehnten bekannt und im praktischen Einsatz bewährt • Prinzipien decken ein großes Spektrum nutzbarer und eigenständiger Strategien ab • Repertoire umfasst Prinzipien, die bevorzugt hardware- oder softwarebasiert implementiert werden können • Pseudozufallszahlengeneratoren, die üblicherweise in Programmiersprachen oder von Computer-Algebra-Systemen bereitgestellt werden, sind vorgestellt worden und spezialisieren sich durch ihre Parameterbelegungen Weiterführende Arbeiten • Zufallsfunktionen (Orakel) • chaotische Systeme Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze Motivation Definitionen Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen Tests Ausgewählte Literatur L. Blum, M. Blum, M. Shub. A Simple Unpredictable Pseudo-Random Number Generator. SIAM J. on Computing 15(2):364–383, 1986 A. Grube. Moderne Erzeugung von Zufallszahlen. S.-Toeche-Mittler-Verlag Darmstadt, 1975 D. Knuth. The Art of Computer Programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley Ontario, 1998 N. Schmitz, F. Lehmann. Monte-Carlo-Methoden I. Verlag Anton Hain Meisenheim, 1976 B. Schneier. Applied Cryptography. John Wiley and Sons Inc. New York, 1994 R. Zielinski. Erzeugung von Zufallszahlen. Verlag Harri Deutsch Frankfurt/M., 1978 Prinzipien zur Erzeugung von Zufallszahlen in der Informatik Thomas Hinze