Folien Präsentation

Quaternionen oder der Gürteltrick von Dirac
Kristine Barro-Bergflödt
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Übersicht
Reelle Zahlen → Komplexe Zahlen → ????
Produktregel
Quaternionen - aua
Produktregel ’
Historische Einordnung
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Komplexe Zahlen in der Schule
Luca Pacioli (ca. 1445 - 1514)
x 3 + px = q
Scipione del Ferro (1515), Antonio Maria Fior, Tartaglia, Girolamo
Cardano (1545)
s
s
r r q 2 p 3
q 2 p 3
3 q
3 q
+
+
+
x0 =
+
−
2
2
3
2
2
3
Raffaele Bombelli (1526 - 1572) : x 3 = 15x + 4
q
√
√
3
2 + −121 = 2 + −1
denn 2 +
√
√
√ 3
−121 = 2 + 11 −1 = 2 + −1
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Komplexe Zahlen in der Schule
√
−1 =: i mit i 2 = −1
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
1
a
−b
= 2
+
i
a + bi
a + b 2 a2 + b 2
Wessel(1797), Gauss(1799),
Argand (1806)
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Komplexe Zahlen in der Schule
(a + bi)(x + yi) entspricht
a −b
b a
x
y
Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl a + bi ist geometrisch
gesehen eine Drehstreckung.
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Hamilton
William Rowan Hamilton (1805 - 1865)
Dublin
Wunderkind, Sprachbegabung
entdeckt 1822 Fehler in der Méchanique céleste“ von Laplace
”
1824 On caustics; Theory of systems of Rays
1827 Royal astronomer of Ireland“, Professur für Astronomie am
”
Trinity-College, entwickelt die geometrische Optik aus
Extremalprinzipien
1834/35 Übertragung der Extremalprinzipien auf die Mechanik
1837 Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a
Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the science of Pure
Time.
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Hamilton
a1 + a2 i ←→ (a1 , a2 )
(1, 0) primäre Einheit“, (0, 1) = i sekundäre Einheit“
”
”
Addition
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 )
Multiplikation (a1 , a2 )(b1 , b2 ) := (a1 b1 − a2 b2 , a1 b2 + a2 b1 )
Die Zahlenpaare bilden unter den definierten Operationen einen Körper.
√
In der Theorie der einfachen Zahlen ist das Symbol −1 absurd; in der Theorie
√
”
der Paare aber besitzt das gleiche Symbol −1 einen Sinn. Es steht für eine
mögliche Wurzel oder ein reales Paar, . . . “
C = R2 mit einer Multiplikation ma : z 7→ az
Drehstreckung
Die Multiplikation mit i = (0, 1) entspricht einer Drehung um 90◦
q
|(a1 , a2 )| := a12 + a22 Betrag, Norm
|(w , z)| = |w ||z|
Produktregel
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Triplets
Hamilton kündigt in seinem Essay von 1837 seine Suche nach Triplets“
”
an:
(a1 + a2 i + a3 j)(b1 + b2 i + b3 j) = (c1 + c2 i + c3 j)
(a12 + a22 + a32 )(b12 + b22 + b32 ) = (c12 + c22 + c32 )
möchte Triplets dividieren“ können
”
algebraische Beschreibung der Isometrien, insbesondere Drehungen,
im 3-D Raum ?
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Produktregel
C ist ein 2-dimensionaler reeller Vektorraum
mit einer Norm |z|
mit einem Skalarprodukt
hw , zi =
|w + z|2 − |w |2 − |z|2
2
einer in jeder Hinsicht verträglichen“ Multiplikation mit einem
”
Einselement e = (1, 0) und
|wz| = |w | · |z| oder hwz, wzi = hw , w ihz, zi Produktregel (P)
C ist eine sogenannte Kompositionsalgebra.
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Produktregel
Kompositionsalgebra A in einer höheren Dimension? Geht es in 3-D?
Imaginärraum“ von A?
”
Für welche v ∈
/ Re ist v 2 reell?
Der Schlüssel liegt in der Produktregel (P).
Was sind ihre Konsequenzen?
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Produktregel
hwz, wzi = hw , w ihz, zi
(P)
In (P) w durch w + u ersetzen und (P) verwenden:
h(w + u)z, (w + u)zi = hw + u, w + uihz, zi
hwz, wzi + huz, uzi + 2huz, wzi = (hw , w i + hu, ui + 2hw , ui)hz, zi
hw , w ihz, zi + hu, uihz, zi + 2huz, wzi = (hw , w i + hu, ui + 2hw , ui)hz, zi
huz, wzi = hu, w ihz, zi
(1)
huw , uzi = hw , zihu, ui
Mit demselben Trick in (1)
hwz, w 0 z 0 i = 2hw , w 0 ihz, z 0 i − hwz 0 , w 0 zi
(2)
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Produktregel
Mit
hwz, w 0 z 0 i = 2hw , w 0 ihz, z 0 i − hwz 0 , w 0 zi
hv 2 , ei = hvv , eei = 2hv , eihv , ei − hev , vei
hv 2 , ei = −hv , v i ⇐⇒ hv , ei = 0
Lemma
v 2 = −hv , v ie ⇐⇒ hv , ei = 0
Bemerkung: Allgemeiner gilt v 2 = 2hv , eiv − hv , v ie
Definition
Imaginärraum ImA := {v | v ∈
/ Re und v 2 = −hv , v ie}
Also A = Re ⊕ ImA
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Produktregel
Weitere Untersuchung des Imaginärraums:
Lemma
Für v und w ∈ ImA , v 6= 0, w 6= 0 ist
1) vw 6= 0 und 2) vw ⊥ v und vw ⊥ w .
Beweis
Mit (P) ist |vw | = |v ||w | =
6 0
Mit (1) ist hvw , v i = hv , v ihw , ei
Lemma
Für v und w ∈ ImA und v ⊥ w gilt:
1) vw ⊥ e und 2) vw = −wv
Beweis Mit Hilfe von (2) zeigt man
hvw , ti = hvw , tei = 2hv , tihw , ei − htw , vei = · · · = h−wv , ti
für alle t.
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Produktregel
Folgerung
Sind i und j zueinander senkrechte Einheitsvektoren im Imaginärraum
ImA, dann gilt:
1) auch ij ist ein Einheitsvektor in ImA, ij ⊥ i, ij ⊥ j
2) i 2 = j 2 = (ij)2 = −e
3) ij = −ji
Es braucht mindestens 3 Dimensionen für den Imaginärraum!
Das Kommutativgesetz kann nicht beibehalten werden!
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Hamilton
Quaternionen H von Hamilton am 16. Oktober 1843 entdeckt
And there dawned on me the notion that we must admit, in some sense,
”
a fourth dimension of space for the purpose of calculating with triplets.“
. . . the commutative character ist lost . . . .However it will be found that
”
another important property of the old multiplication is preserved, or
extended to the new, namely that which may be called the associative
character of the operation. . .“
Nor could I rest . . . to cut with a knife
”
an a stone of Brougham Bridge the
fundamental formula with the symbols
i, j, k
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1.“
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Hamilton
1843 (16. Oktober) Entdeckung der Quaternionen
1844 Hermann Grassmann (1809 - 1877) Ausdehnungslehre”
”
1845 erscheint bei Hamilton erstmals der Ausdruck Vektor“
”
1848 Lectures on Quaternions (publiziert 1853)
1856 Beginn der Arbeit an den Elements of Quaternions“,
”
Veröffentlichung posthum 1866
1857 Vorstellung eines Spiels, bei dem gezeigt werden sollte, dass der
Graph des Dodekaeders einen Hamilton-Kreis (geschlossener Pfad in
einem Graphen, der jeden Knoten genau einmal enthält) besitzt.
1865 Tod nach einem schweren Gichtanfall in Dublin
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Quaternionen H
H 4-dimensionaler reeller euklidischer Vektorraum Re ⊕ ImH:
q = q0 e + q1 i + q2 j + q3 k = q0 + Im(q)
q =: (q0 , q)
|q|2 = hq, qi
hp, qi := p0 q0 + p1 q1 + p2 q2 + p3 q3
q := (q0 , −q) = 2hq, ei − q
H reelle assoziative Algebra mit Eins e:
iP
j
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −e, ij = −ji = k
kr
pq = (p0 q0 − p · q, p0 q + q0 p + p × q)
pq = (−p · q, p × q) wenn p0 = q0 = 0
q −1 =
q
q2
pq = q p ;
|pq| = |p||q|
(P)
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Andere Darstellungen
Darstellung von Quaternionen als
Elemente in C ⊕ Cic : q = z + wic , z, w ∈ C
als komplexe 2 × 2 Matrizen:
(q0 , q1 , q2 , q3 ) 7−→
q0 + q1 i −q2 − q3 i
w
=
z
q2 − q3 i q 0 − q1 i
−z
, w, z ∈ C
w
Dabei
(1, 0, 0, 0) 7−→
(0, 0, 1, 0) 7−→
1 0
i 0
=: E , (0, 1, 0, 0) 7−→
=: I
0 1
0 −i
0 −1
0
=: J, (0, 0, 0, 1) 7−→
1 0
−i
−i
0
=: K
(Cayley 1858)
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Quaternionen und SU(2)
S 3 = {q | |q| = 1} ist bezüglich der Quaternionenmultiplikation eine
Gruppe (wegen (P)).
w −z
SU(2) = {A =
| detA = 1}
z w
Satz
3
Die Abbildung S −→ SU(2), (q0 , q1 , q2 , q3 ) 7−→
q0 + q1 i
q2 − q3 i
−q2 − q3 i
q0 − q1 i
ist ein Gruppenisomorphismus und ein Homöomorphismus.
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Drehungen in C
Eine R - lineare Abbildung f : C −→ C heisst orthogonal, wenn
hf (w ), f (z)i = hw , zi.
Jede orthogonale Abbildung f : C −→ C ist längentreu: |f (z)| = |z|
f ist genau dann orthogonal, wenn
f (z) = cz oder f (z) = cz, c ∈ S 1 .
Die Abbildung
1
F : S −→ SO(2), a + ib 7−→
a −b
b a
ist ein Gruppenisomorphismus.
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Drehungen in H
Eine R - lineare Abbildung f : H −→ H heisst orthogonal, wenn
hf (p), f (q)i = hp, qi.
Jede orthogonale Abbildung f : H −→ H ist längentreu: |f (q)| = |q|
f ist genau dann orthogonal, wenn
f (q) = aqb a, b ∈ S 3
oder
f (q) = aqb, a, b ∈ S 3 .
Schreiben wir ρa,b : q 7−→ aqb, dann ist
ρa2 a1 ,b2 b1 (q) = (a2 a1 )q(b2 b1 ) = a2 (a1 qb1 )b2 = ρa2 ,b2 (ρa1 ,b1 (q))
F : S 3 × S 3 −→ SO(H), (a, b) 7−→ ρa,b
ein Gruppenhomorphismus.
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Drehungen in ImH
Frage
Gibt es Abbildungen ρa,b , die ImH auf sich selber abbilden?
aqb ∈ ImH genau dann, wenn (aqb)2 = −α2 e
(aqb)2 = aqbaqb
Wähle b = a : av baqb = aqaaqa = aq 2 a = q 2 ∈ Re für q ∈ ImH
Satz
ρa,a : q 7−→ aqa induziert eine eigentliche längentreue Abbildung
ImH −→ ImH, also eine Drehung R3 −→ R3
Fixgerade in ImH? Gibt es q mit ρa,a (q) = q und q ∈ ImH?
ja: q = a − a
Im(a) hat die Richtung der Drehachse.
Drehwinkel?
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Drehachse, Drehwinkel
Achsen i, j: Drehung um rechten Winkel um Achsen i, respektive j?
Nein! Drehung um 180◦ , dann tatsächlich auch ij = k
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Drehachse, Drehwinkel
Allgemeiner
Wirkung“ von a = a0 + a1 i auf u = u1 i + u2 j + u3 k ∈ ImH ?
”
aua = aau1 i + au2 ja + au3 ka = u1 i + aau2 j + aau3 k
= u1 i + a2 (u2 j + u3 k) = u1 i + (cos θ + sin θi)2 (u2 + u3 i)j
= u1 i + (cos 2θ + sin 2θi)(u2 + u3 i)j
u 7−→ aua , wenn a = cos θ + sin θi 0 < θ < π, dann
Ri −→ Ri
i ist Richtung der Drehachse
Rj ⊕ Rk −→ Rj ⊕ Rk
Drehung um den Winkel 2θ
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Drehungen in ImH
Bezeichnung: ρ0a : ImH −→ ImH,
u 7−→ aua,
ρ0a mit a = cos θ + sin θv 0 < θ < π, v ∈ ImH und |v | = 1
ist eine Drehung in ImH = R3 um die Achse gegeben durch v und
Drehwinkel 2θ.
Die Abbildung
S 3 −→ SO(ImH), a 7−→ ρ0a
ist ein Gruppenhomorphismus mit dem Kern {±e}
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Gürteltrick
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Gürteltrick
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Matrixdarstellung
Euler-Rodrigues Parameterdarstellung
ρ0a : ImH −→ ImH, u 7→ aua , |a| = 1
hat bezüglich der Basis i, j, k die Matrixdarstellung
 2

a0 + a12 − a22 − a32 −2a0 a3 + 2a1 a2
2a0 a2 + 2a1 a3
 2a0 a3 + 2a1 a2
a02 − a12 + a22 − a32 −2a0 a1 + 2a2 a3 
2a0 a2 + 2a1 a3
2a0 a1 + 2a2 a3
a02 − a12 − a22 + a32
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u 7−→ aua
σa0 : ImH −→ ImH,
u 7−→ aua , a ∈ ImH
ist eine Spiegelung in ImH = R3 an der Ebene ⊥ a
denn
aaa = a2 a = −|a|2 a = −a und
aua = u, wenn u ⊥ a
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1, i, j, k, l . . .
If with your alchemy you can make three pounds of gold, why should you
”
stop here?“ (Graves an Hamilton am 26. Oktober 1843)
iP
j
kr
i, j, k, l, il, . . .
John Graves (1843), Arthur Cayley (1845) : Oktonionen O, Cayleyzahlen
Eigenschaften? Noch mehr Gold?
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Die Produktregel II
A : Kompositionsalgebra mit Eins e und Konjugation z := 2hz, ei − z.
Ist B eine n dimensionale Unteralgebra mit Eins und i ein Einheitsvektor
⊥ B , dann ist B ⊕ Bi eine Unteralgebra:
Lemma
Sind a, b, c, d ∈ B, dann ist in B ⊕ Bi
das Skalarprodukt: ha + bi, c + dii = ha, ci + hb, di
die Konjugation: a + bi = a − bi
das Produkt: (a + bi)(c + di) = (ac − db) + (bc + da)i
Beweis.
Dies ist eine Konsequenz nur der Produktregel!
Cayley-Dickson-Prozess: R −→ C −→ H −→ O
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Cayley-Dickson-Prozess
R −→ C −→ H −→ O −→ ???
Wann ist Z = Y + Yiz eine Kompositionsalgebra, wann gilt also für alle
a, b, c, d ∈ Y
|a + biz ||c + diz | = |(ac − db) + (bc + da)iz | ?
Wegen der Produktregel (P) in Y ist dies der Fall, wenn für alle
a, b, c, d ∈ Y
h(ac)b, di = ha(cb), di
das heisst (ab)c = a(bc) für alle a, b, c ∈ Y
Lemma
Z = Y + Yiz ist eine Kompositionsalgebra genau dann, wenn Y eine
assoziative Kompositionsalgebra ist.
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Cayley-Dickson-Prozess
R −→ C −→ H −→ O −→ ???
Ist O eine assoziative Kompositionsalgebra?
Wann ist Y = X + Xiy eine assoziative Kompositionsalgebra?
Wann ist zum Beispiel (ad)iy = a(diy )?
Wegen (a + biy )(c + diy ) = (ac − db) + (bc + da)iy ist a(diy ) = (da)iy
Es muss also (ad)iy = (da)iy sein, also ad = da für alle a, d ∈ X .
Lemma
Y = X + Xix ist eine assoziative Kompositionsalgebra genau dann, wenn
X eine kommutative, assoziative Kompositionsalgebra ist.
In O gilt kein Assoziativgesetz!
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Satz von Hurwitz
Lemma
X = W + Wix ist eine kommutative assoziative Kompositionsalgebra
genau dann, wenn W eine kommutative, assoziative Kompositionsalgebra
mit w = w , w ∈ W , ist.
Satz (Hurwitz, 1898)
R, C, H, O sind die einzigen Kompositionsalgebren.
Hurwitz beweist etwas mehr: Es gibt nur Quadratesätze“ für n = 1, 2, 4, 8
”
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Quadratesätze
Die Produktregel (P) in C in quadrierter Form ist der
Zwei-Quadrate-Satz
Für alle u, v , x, y ∈ R gilt (u 2 + v 2 )(x 2 + y 2 ) = (ux − vy )2 + (uy + vx)2
Sind zwei natürliche Zahlen Summen von je zwei Quadraten, so gilt dies
auch für ihr Produkt.
Drei-Quadratesatz?
3 = 12 + 12 + 12
21 = 42 + 22 + 12 aber 63 . . . (Legendre, 1830)
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Quadratesätze
Die Produktregel (P) in H ist der
Vier-Quadrate-Satz
(a12 + b12 + c12 + d12 )(a22 + b22 + c22 + d22 ) =
(a1 a2 − b1 b2 − c1 c2 − d1 d2 )2 + (a1 b2 + b1 a2 + c1 d2 − d1 c2 )2 + (a1 c2 −
b1 d2 + c1 a2 + d1 b2 )2 + (a1 d2 + b1 c2 − c1 b2 + d1 a2 )2 .
(Euler 1748)
Satz von Lagrange (1770)
Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen
darstellen.
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Divisionsalgebren
Satz (Zorn, 1930)
R, C, H, O sind die einzigen alternativen Divisionsalgebren.
Satz
Die Dimension einer endlich dimensionalen Divisionsalgebra ist 1, 2, 4,
oder 8.
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Historische Einordnung
1748 Euler: Vier-Quadratesatz, typische Rechengesetze für
Quaternionen
1776 Euler: Quomodocunque sphaera circa centrum suum
conuertatur, semper assignari potest diameter, cuius directio in situ
translato conueniat cum situ initiali.
1819 Gauss: nicht-publizierte Notiz Mutationen des Raumes“ mit
”
Quaternionenformeln
1840 Rodrigues: benützt für Rotationen quaternionische“ Parameter
”
1843 Hamilton: Entdeckung der Quaternionen
1843 Graves: Entdeckung der Oktonionen
1844 Hamilton und Cayley: Gestalt eigentlich orthogonaler
Abbildungen
1844 Grassmann (1809 - 1877) Ausdehnungslehre”
”
1845 Cayley: Oktonionen
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Historische Einordnung
M.O’ Brien 1852 (Ire, Trinity-College) antizipiert Gibbs’s
Vektoranalysis
1858 Cayley: Darstellung der Quaternionen durch komplexe 2 × 2
Matrizen, (Matrizenkalkül, der in 4-, 9-, 16-gliedrigen komplexen
Zahlen die Quaternionen als Spezialfall umfasst)
Hamilton: Begriff des Feldes, Vektoranalysis
1876 Clifford: Cliffordalgebren
Gibbs (1839 - 1903 Connecticut) Darstellung der Vektoranalysis mit
Vektoren des dreidimensionalen Raums
Heaviside (1850 - 1925, England) Einführung von Vektoren,
Vektoranalysis
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Historische Einordnung
1877 Frobenius: Die assoziativen endlichdimensionalen
Divisionsalgebren sind R, C, H.
1898 Hurwitz: Satz über Kompositionsalgebren
1958 J. Milnor, M. Kervaire: Divisionsalgebren haben Dimension 1, 2,
4, oder 8 (Beweis mit topologischen Methoden)
1985 K. Shoemake: Animating rotation with Quaternion Curves
A. Connes, J. Baez
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Danke!
iP
j
kr
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