"Mathematische Methoden 111" Differentialgleich ungen

Klausurblatt zur Vorlesung
"Mathematische
Methoden 111"
Differentialgleich
ungen
1. Betrachten Sie die Differentialgleichung
dy
(y' = dx)
y' = (1 + x)2(1 + v),
(a) Umschreiben in
y' - (1 + x)2y = (1 + X)2
zeigt, dass es sich um eine gewöhnliche (nur eine Art der Ableitung),
lineare Differentialgleichung handelt.
(b) Das Anfangswertproblem
Variablen" liefert
y(O)
=
1 besitzt
J ~l+y
=
Und damit
genau
eine Lösung.
inhomogen
"Trennung
der
J (1 + x )2dx
1
In(1 + y) = -3 (1 + x) 3 + C
(Im Prinzip muesste man unterscheiden zwischen 1 + y > 0 und 1 + y < 0, wegen
y(O) = 1 > 0 recht aber die Antwort oben). Damit bekommt man als allgemeine
Lösung
y(x) = eCel/3(1+x)3 - 1
Die Loesung für das Anfangswertproblem
y(x) =
lautet
2el/3(1+x)3_1/3
-
1
(c) Je nachdem welche Diffglg man betrachtet, handelt es sich um eine "exakte Differentialgleichung" oder nicht. Wichtig: exakte Diffglg:
FyY' + Fx
=
0
was genau erfüllt ist, wenn Fxy = Fyx. Mit
y' - (1 + x)2(1 + y) = fy' + g = 0
hat man so fx = 0, gy = (1 + X)2 also keine exakte Diffglg. Trennt man aber
bereits die einzelnen Terme, also betrachtet man die Diffglg
y'
1 + y - (1 + X)2 = 0
so sieht man fx = 0, gy = 0, also hat man eine exakte Diffglg. Im zweiten Fall
hat man also bereits einen integrierenden Faktor eingesetzt.
(d) Um die Diffglg auf die neuen Variablen u
=
y und z = (1 + X)2 umzustellen,
verwendet man y(x) = u(z(x)), d.h.
y'(x) = u'(z(x))z'(x) = u'(z)2(1 + x) = u'(z)2VZ
und damit bekommt man
,-VX (l+U)
2
u -
2. Betrachten
Sie ein zweidimensionales
f! = (
(fl
lineares Differentialgleichungssystem
~:
)' = A(t) ( ~: )
= ~)
(a) Das Besondere an den Lösungen dieses Gleichungssystems ist die Tatsache, dass
ich Linearkombinationen von Lösungen betrachten kann, die auch wieder Lösungen
sind. Insbesondere ist der Lösungsraum
L=
{ili' = A(t)i}
?
ein 2-dimensionaler Vektorraum.
(b) Ein Fundamentalsystem ist eine Basis dieses Vektorraums, d.h. es sind zwei linear unabhängige Lösungen, die folglich den gesamten Raum aufspannen. Das
kanonische Fundamentalsystem ist gegeben durch eine besondere Wahl der Anfangswerte: Yi(O)= ei, wobei ei der ite Einheitsvektor ist. Damit kann man die
Lösung eines Anfangswertproblem y(O) = Yo aufschreiben als y(x) = 2:iYi(x)(Yok
Betrachten Sie die beiden Fälle
Al
= (~ ~2)
bzw.
A2
=
(~ ~)
(c) Man kann in diesem Fall also durchaus die Eigenwerte formal bestimmen. Andererseits sollte man der ersten Matrix die Eigenwerte 2, -2 und die Eigenvektoren
(1,0) und (0,1) natürlich auch direkt ansehen. Damit hat man
YI (t)
= (1, 0) e2t ,
Y2(t) = (0, 1)e-2t
Die zweite Matrix ist genau von der Form eines Jordanblocks. Die Lösungen dafür
kann man auch wieder direkt hinschreiben.
YI(t) = (1, 0)e2t,
Y2(t) = (t, 1)e2t
Alternativ rechnet man den Eigenvektor (1,0) aus und macht fuer die zweite
Lösung den Ansatz (a + bt, c + dt)e2t. Eventuell kommt man so auf eine zweite
Lösung, die einer Lin.Komb.
von YI und Y2 sind.
(d) Die Wronskydeterminante
Spaltenmatrix:
in einem der beiden Fälle ist die Determinante der
Ul1 (t ) , 11'2( t) )
(Ausrechnen trivial als 1 bzw. e4t.) Wichtig ist die Wronskydet. weil man damit
erfährt ob Lösungen linear unabhängig sind (# 0). Die Wronskydeterminante
ist eine Funktion (von t). Aber wir haben gezeigt: Ist die Wronskydeterminate
einmal # 0, so ist sie es immer.
3. Betrachten
Sie die folgende Differentialgleichung
(
~:
)'
(~ ~2 ) ( ~: ) + (
~
!1 )
exp (- t)
(' = d/dt)
(a) Es handelt sich um eine inhomogen lineare Differentialgleichung.
(b) Die Lösungen einer inhomogenen Differentialgleichung setzen sich zusammen aus
der speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung ("Partikularlösung")
und einer
beliebigen Lösung der dazu gehörenden homogenen Gleichung. Sei y* ein spezielle
Lösung, Y1, Y2 ein Fundamentalsystem
der homogenen Lösung, so ist
y(t) = y*(t) + C1Y1(t)+ C2Y2(t)
die allgemeine Lösung
(c) Man bestimmt eine spezielle Lösung dieser Differentialgleichung formal über die
"Variation der Konstanten" oder direkt durch Anwenden der Formel
il(t) = V(t)
Dabei ist V(t)
die Spaltenmatrix
v =
(
{t V-1 (t)f(t)dt
Jto
der Lösungen des homogenen
e2t
0
0
e-2t
) ,
V-1
Das Integral lässt sich trivial lösen, verwendet
schliesslich
y*(t)
= (
=
(
e-2t
0
0
e2t
man to
=
-00,
Systems.
)
so bekommt
man
=~ e-t)
(bei Wahl von to = 0 kommen noch Terme der Form (c1e2t,c2e-2t) dazu, die man
leicht als Lösungen des homogenen Problems identifiziert. Die allgemeine Lösung
ist damit
y*(t)
4. Betrachten
=
Sie die Differentialgleichung
c1e2t
le ++ c2e-2t
)
( ~t~~t
zweiter Ordnung
y" + 2y' + 5y = 0
(a) In diesem Fall wird das Anfangswertproblem
y(O) sowie der Ableitung y'(O) vorgibt.
bestimmt,
(b) Für die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung
sche Gleichung
indem man Werte von
lösen sie die charakteristi-
,\2 + 2,\ + 5 = 0
Die beiden Nullstellen sind dabei ,\ = -1 ::!::2i. Damit hat man zwei komplexe
Nullstellen und die allgemeine (reelle!!!) Lösung der Diffglg ist gerade gegeben
durch Real- und Imaginärteil von eAt, d.h.
y(t) = Cl cos(2t)e-t
Komplexe
5. Betrachten
/
Zahlen
+ C2sin(2t)e-t
Funktionentheorie
Sie die beiden komplexen Zahlen
Zl
= 1 + 2i,
Z2
=
V2ei1r /3
(a) Die erste Darstellung ist die kartesische, die zweite die Polarform.
graphische
Darstellung sollte kein Problem sein. Im zweiten Fall hat man eine Länge von V2
und einen Winkel von 7r/3 = 60° zur pos. reellen Achse.
(b)
- _ 1- 2 ' Z, Z2
Zl
[r; -i1r/3
,
-
V2
Le
-
~Zl
- ~-~,
21
-
I
Zl
2 -
5
1
5
Z,
~ - ~
Z2
-
-i1r/3
fC)e
V2
, Zl
I
1
-
/;7 2 V5
u, Zl -
-
(c) Es gibt genau drei dritte Wurzeln der Form
ijZ2 = ij2ei1r /9 ei21rk/3,
Der Hauptzweig
6. Betrachten
k = 0,1,2
ist -ij'iei1r/9, die anderen Lösungen sind -ij'iei1r7/9und -ij'ie-i1r5/9i
Sie die beiden Funktionen
h (z) = z2
bzw.
h(z) = Izl2
(a) Eine auf einem Gebiet G analytischen Funktion ist dort komplex differentierbar!
(b) Das Cauchy-Riemann Kriterium Uz = Vy, Uy = -Vx kann verwendet werden, um
festzustellen ob eine Funktion j(z) = u(x, y) +iv(x, y) (mit z = x+iy) analytisch
ist. Für h bekommt man so
u
= X2
- y2,v
=
2xy,ux
= 2x = Vy,Uy =
-2y
=
-Vx
und für 12 bekommt man
u
=
X2
+ y2, V = 0, Ux = 2x #- 0 = Vy, Uy = 2y #- 0 = Vx
ausser bei z = o. h ist also auf ganz ce analytisch, 12 nur für z = O.
'
3 + 4z, argz
vz
Sowohl In z als auch
sind hingegen nicht auf
ganz <Canalytisch, da man jeweils einen Schlitz aus der komplexen Ebene herausnehmen muss, wo die Funktion unstetig sein muss, da man ansonsten Probleme
wegen der Nichteindeutigkeit
des Arguments von z hat. Am einfachsten wählt
man dazu die negativ geschlitzte Ebene.
(c) eZ ist auf ganz <C analytisch.
(d) Der sogenannte Hauptwert des Logarithmus Lnz bildet den Bereich <C\ {z :::;O}
auf den Streifen {z 11 - 7'1< Im(z) < 7r}ab.
7. Sei r( t) der "Viertelkreis"
r(t) = eit,
tE [0,7'1/2]
(a) Das Integral ist
1f/2
1,
zdz
(b) Sei r(t)
=
=
l0
r(th(t)dt =
l
1f/2..
e~tie~t=
0
eit, wie oben, aber tE
i
-:
22
. 1f/2
e2~t
l
[0,27'1]. Es handelt
Wegintegral
i
0
=
1
-
2 (
.
eZ7f
) = -1
-1
sich um ein geschlossenes
zdz?
Der Cauchysche Integralsatz sagt einem dann, dass das Interal Null sein muss. In
einfachsten Worten sagt der Satz: "Wenn der Weg r keine Singularitäten von j
umläuft, dann ist das Integral 1, jdz = O.
8. Betrachten Sie das Integral
+00 cos x
1-00
4
+ x 2dx
(a) Die Pole der Funktion
eiz
j(z)
= 4 + Z2
sind bei 4 + Z2 = 0, also bei z = ::!:2i.
(b) Das Residuum ist entweder der Koeffizient al der Laurentreihe
Wert des Integrals 1Iz-pl=Ej(z)dz geteilt durch 1/(27ri)
von
j,
oder der
(c) Das z = ::!:2i jeweils einfache Pole sind, kann man die Residuen von j = 9 / haus
dem Wert von g(p)/h'(p) an den Stellen p = ::!:2i bekommen. Man erhält so
e -2
Res2d = 4i '
e2
Re8-2i
=
-4i
(d) Der Wert des Integral oben kann durch den Residuensatz bestimmt
betrachtet
+00 cos x
eiz
2dx
=
Re
1-00 4 + x
1,+a 4 + z 2dz
werden. Man
wobei r entlang der reellen Achse, Ctder grosse Kreisbogen in der oberen Halbebene ist. Der Hilfsweg Ctist harmlos. Der Residuensatz sagt, dass der Wert des
Integrals gerade I:p 27TiRespj(z) ist, wobei die Summe über die Pole geht, die innerhalb des Integrationsweges liegen, in diesem Fall nur p = 2i. Damit bekommt
man
e-2
1-00
+00 4COSx
+ X2 dx
= Re27TiReS2d= 21f4
7T
= 2e2