Addiert man das λ-fache einer Zeile zu einer anderen Zeile, so bleibt
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Vektoren und Matrizen 2 Vektoren und Matrizen Addiert man das -fache einer Zeile zu einer anderen Zeile, so bleibt die Determinate unverändert: a11 ··· .. . ai1 · · · .. . an1 · · · ··· a1n ai1 + aj1 ··· ain + ajn an1 ··· ann a11 a1n .. . ain .. . = ann .. . .. . .. . .. . an1 elementare Umformungen (vgl. Satz 2.8) auf Matrizen wirken. Sind die Zeilen von A linear abhängig, so ist 4 Für die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix gilt: . . . a1n . . . a2n .. . . . . .. . . . . 0 . . . 0 ann a11 a12 0 a22 det A = 0. = a11 · . . . · ann . Gleiches gilt für untere Dreiecksmatrizen. Bem.: Gute Möglichkeit, um mit Gauß-Algorithmus Determinante zu berechnen. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 ··· ··· a1n a2n ··· ann .. . 89 / 285 · .. . an1 ··· .. . + ... + ann n · .. . an1 ··· .. . ann G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 91 / 285 Vektoren und Matrizen Beweis: Satz 3.38 1. Die Vertauschung der beiden gleichen Zeilen ändert A nicht. Andererseits ändert sich durch sie das Vorzeichen von det A, d.h. det A = det A, also det A = 0. det A = det A> . 2. Wegen 1./2. des letzten Satzes a11 · · · a1n a11 · · · a1n a11 · · · a1n .. .. .. .. .. .. . . . . . . ai1 + aj1 · · · ain + ajn = ai1 · · · ain + · aj1 · · · ajn . .. .. .. .. .. .. . . . . . . an1 · · · ann an1 · · · ann an1 · · · ann Bei der Matrix im 2. Summand sind die i-te und j-te Zeile gleich, also ist der Summand 0 nach Aussage 1. 2 · (a21 , . . . , a2n ) + . . . n Mathematik für Chemiestudierende I Beweis: oh.D. Es gibt einen Weg, die Determinante einer (n ⇥ n)-Matrix durch n Determinanten bei ((n 1) ⇥ (n 1))-Matrizen zu berechnen: Sei A 2 Rn⇥n . Der Kofaktor Aij zum Platz (i,j) ist die Determinante der ((n 1) ⇥ (n 1))-Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus A hervorgeht, multipliziert mit ( 1)i+j . · (an1 , . . . , ann ). WS 2015/2016 Folge: Im Zusammenhang mit Determinanten gilt alles, was für Zeilen von Matrizen formuliert wurde, analog für Spalten. Beispiele: a) Addieren von einer Spalte kann zu anderer Spalte addiert werden, ohne dass sich die Determinante ändert. b) Determinante in jeder Spalte einer Matrix linear. c) Spaltenvertauschung führt zum Vorzeichenwechsel der Determinante. Definition 3.39 3. Wegen der L.A. lässt sich eine der Zeilen als Linearkombination der anderen darstellen. Wir dürfen annehmen, dies sei die 1. Zeile (andere Fälle analog). Also gibt es Zahlen 2 , . . . , n mit G. Skoruppa (TU Dortmund) 2 an1 ··· ann a21 · · · a2n 4. (Skizze) Sei ein aii = 0. Dann ist leicht einzusehen, dass die Zeilen i bis n, also auch alle Zeilen der Dreiecksmatrix l.a. sind. Daher ist ihre Determinante gleich 0, ebenso wie das Produkt a11 · . . . · ann . Sei kein aii = 0. Dann kann die Dreiecksmatrix alleine durch “Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen” auf Diagonalgestalt gebracht werden, wobei die ursprünglichen Diagonalelemente unverändert bleiben. Die Transformation ändert die Determinante nach 2. nicht. Die Determinante der Diagonalmatrix ist aber gleich a11 · . . . · ann (nutze Homogenität und det E = 1). Vektoren und Matrizen (a11 , . . . , a1n ) = = a21 ··· a2n a21 · · · a2n Die Matrizen, deren Determinanten auf der rechten Seite der Gleichung auftauchen, haben alle jeweils zwei gleiche Zeilen. Damit sind alle Determinanten in der Summe rechts gleich 0. Bem.: Hiermit und mit 2./3. des vorherigen Satzes weiss man nun genau, wie 3 a11 a21 .. . i 6= j , Nutzt man die Linearität der Determinante in der 1. Zeile, dann folgt also 90 / 285 G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 92 / 285