Strömende Flüssigkeiten

Strömende Flüssigkeiten
Man zerlegt die Flüssigkeit in kleine Volumenelemente ΔV.
Die Bewegung der Massen Δm = ρ ΔV wird durch die Kräfte auf das
Volumenelement bestimmt und mit dem Aktionsprinzip berechnet.
r
r
F
=
ρ
g
dV
Gewichtskraft:
g
r
Kräfte durch Druckunterschiede: Fp = − grad p dV
F1 = p1 dy d z
F2 = − p2 dy d z
dx
x
Fx = F1 + F2 = −( p2 − p1 ) dy d z = −
∂p
∂p
d x dy d z = − dV
∂x
∂x
282
Bereiche höherer Dichte werden nach unten beschleunigt.
Besteht ein Druckunterschied zwischen links und rechts wird das
Volumenelement seitwärts beschleunigt (oben/unten, vorn/hinten ebenso).
Zusätzlich wirken Reibungskräfte zwischen Volumenelementen mit
unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
Gesamtkraft auf das Volumenelement die beschleunigt:
r r
r
r
F = Fg + Fp + FR
Beschreibung der Flüssigkeits-Bewegung durch Angabe der Geschwindigkeit
r
r r
u ( r , t ) = u ( x, y , z, t )
an jedem Ort zu jeder Zeit (Strömungsfeld).
r r
u (r , t )
r r
r r
Hängt u ( r , t ) = u ( r ) nicht explizit von der Zeit
ab, spricht man von einer stationären Strömung.
283
Beschleunigung eines Volumenelementes:
1. in stationärer Strömung:
r r
r
Das Volumenelement gelangt in der Zeit Δt von r nach r + u Δt
dort hat es ggf. eine andere Geschwindigkeit. → Beschleunigung
Beispiel Beschleunigung in x-Richtung bei Verschiebung in x-Richtung:
dux ∂ ux
=
ux
dt
∂x
∂x
Beispiel Beschleunigung in x-Richtung bei Verschiebung in y-Richtung:
dux ∂ux
=
uy
dt
∂y
∂y
Alle möglichen Verschiebungen zusammen ergeben:
∂ux
∂ux
dux ∂ ux
=
ux +
uy +
uz
dt
∂x
∂y
∂z
284
2. in zeitabhängiger Strömung:
Zusätzlich kann das Strömungsfeld noch explizit von der Zeit abhängen.
Allgemein gilt für die Beschleunigung in x-Richtung:
∂ux
∂ ux
dux ∂ ux ∂ ux
=
+
uy +
uz
ux +
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
Mit der Abkürzung (Nabla)
r ⎛∂
∂ ∂ ⎞
∇ = ⎜⎜ ,
,
⎟⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
ergibt sich
r
r
r r r
du ∂u
=
+ ( u ⋅ ∇) u
dt ∂t
Des Volumenelement wird bescheunigt, wenn die Geschwindigkeit am
selben Ort zunimmt oder wenn es in einen Bereich höherer Geschwindigkeit
verschoben wird.
285
Bewegungsgleichung für Flüssigkeit ohne Reibung:
(Euler-Gleichung)
Aktionsprinzip
r r
r
du
ρ dV
= Fg + Fp
{
dt
m {
r
a
Beschleunigung und Kräfte einsetzen:
L. Euler, 1755
r
r r r⎞
r
⎛ ∂u
ρ dV ⎜ + (u ⋅ ∇) u ⎟ = ρ dV g − grad p dV
⎠
⎝ ∂t
liefert:
r
r r r
r 1
∂u
+ (u ⋅ ∇) u = g − grad p
∂t
ρ
Euler-Gleichung
286
Um die Flüssigkeit vollständig zu beschreiben muss man für jeden Punkt
Geschwindigkeit und Dichte bzw. Druck angeben.
r r
u (r , t )
r
ρ (r , t )
Strömungsfeld = Vektorfeld
Dichteverteilung = skalares Feld
Zur Berechnung der zeitlichen Entwicklung der Strömung muss auch
eine Dgl. für die Dichte aufgestellt werden: Kontinuitätsgleichung
Zufluss/Abfluss-Bilanz für Volumenelement:
Zufluss
Abfluss
d m1
= ρ u x dy d z
dt
d m2
= − ρ u ' x dy d z
dt
dx
x
∂u x
∂u x
d m d m1 d m2
=
+
= − ρ (u ' x −u x ) dy d z = − ρ
d x dy d z = − ρ
dV
∂x
dt
dt
dt
∂x
287
Berücksichtigung der anderen Seiten liefert:
⎛ ∂u x ∂u y ∂uz ⎞
dm
+
+
= − ρ ⎜⎜
⎟⎟dV
∂z ⎠
∂y
dt
⎝ ∂x
dadurch ändert sich die Dichte in dem Volumenelement:
ρ=
dm
dV
⎛ ∂u x ∂u y ∂uz ⎞
dρ
+
+
= − ρ ⎜⎜
⎟⎟
∂z ⎠
∂y
dt
⎝ ∂x
Die Klammer bezeichnet man als Divergenz
= Quellstärke eines Vektorfeldes
r
dρ
= − ρ div u
dt
Kontinuitätsgleichung
Dichte im Volumenelement nimmt zu, wenn mehr zufließt als abfließt.
Dichte im Volumenelement nimmt ab, wenn mehr abfließt als zufließt.
288
Stationäre Strömungen in Rohren ohne Reibung
r
ρ ( r , t ) = const.
Flüssigkeit sei inkompressibel also
Der Massenstrom ist überall im Rohr gleich (analog zum elektr. Strom).
Gilt, weil es bei Inkompressibilität keine Quellen oder Senken gibt
r
div u = 0
Im Zeitelement dt tritt durch die Fläche A die gleich Masse dm, wie durch
die Fläche A'
A
r
u
A'
r
u'
dm
dx
= ρA
= ρ Au x = ρ A'u ' x
dt
dt
A' < A also muss u ' x > u x sein:
ux
A'
=
u' x A
289
Berechnung des Druckes bei solchen Strömungen:
Eulersche Gleichung war
r
r r r
r 1
∂u
+ (u ⋅ ∇) u = g − grad p
∂t
ρ
Keine Abhängigkeiten von t, y, z, da stationär, ohne Reibung und g = 0.
Ableitungen nach t, y, z sind Null.
⇒
∂ux
1 ∂p
ux = −
∂x
ρ ∂x
Integrieren:
∫ u du
x
x
=−
1
dp
∫
ρ
⇒
p + 12 ρ u 2 = const.
p ist der statische Druck,
1 2
1
ux = − p + const.
ρ
2
Bernoulli-Gleichung
1
2
ρ u2
heißt Staudruck
290
Versuch:
Der Druck wird mit Steigrohren gemessen.
Im Bereich großer Geschwindigkeit ist der
Druck kleiner (Bild a).
Mit Reibung (Bild b): Der Druck nimmt
zusätzlich kontinuierlich zum Abfluss hin ab.
Energiebetrachtung:
In dem Volumen ΔV ist die elastische Energie
Eelast = pΔV
gespeichert. Bei der Geschwindigkeit u hat ΔV die kinetische Energie:
Ekin = 12 ρ u 2 ΔV
Energieerhaltung liefert:
Eelast + Ekin = pΔV + 12 ρ u 2 ΔV = const.
291
Rohre mit Höhenunterschied:
Zu elastischer und kinetischer Energie kommt noch potentielle Energie:
E pot = ρ g h ΔV
Energieerhaltung liefert:
Eelast + Ekin + E pot = pΔV + 12 ρ u 2 ΔV + ρ g h ΔV = const.
also
p + 12 ρ u x2 + ρ g h = const.
292
Hydrodynamisches Paradoxon
Die schnelle Strömung zwischen den beiden Platten erzeugt Unterdruck:
Umgebungsdruck:
p + 0 = p0
Druck zwischen Scheiben:
p + 12 ρ u 2 = p0
p = p0 − 12 ρ u 2
Unterdruck:
− 12 ρ u 2
Die Scheibe schwebt, wenn:
1
2
ρ u2 A > m g
293
Dynamischer Auftrieb beim Fliegen:
Um einen Flugzeugflügel strömt die Luft entlang der Oberseite einen
längeren Weg als entlang der Unterseite.
u1
u2
Dadurch oben schnelleres Strömen.
Druck oben:
p1 = p0 − 12 ρ u12
Druck unten:
p2 = p0 − 12 ρ u22
u1 > u2
Die Druckdifferenz zwischen oben und unten erzeugt eine Kraft nach oben:
F ≈ 12 ρ (u12 − u22 ) A
Durch die Reibung an der Tragfläche ist der Prozess etwas komplizierter.
294
Reibung in Flüssigkeiten:
Zwei Platten mit einer Flüssigkeitsschicht dazwischen
werden gegeneinander verschoben.
Wegen Reibung in der Flüssigkeit benötigt man die Kraft:
F =η A
u2 − u1
Δx
=η A
u1
Δx
u2
du z
dx
η : Viskosität oder Zähigkeit, Einheit: [η] = N s / m2 = Pa s
η / mPa s
T=20°
T=0°
T=100°
Wasser
1.00
1.79
0.282
Benzol
0.65
Ethanol
1.20
Flüssigkeit
Glyzerin
Quecksilber
1480
12000
15
1.55
295
Reibungskräfte in einem Strömungsfeld:
Volumenelement ΔV erfährt links und rechts Reibungskräfte:
d uz
F1 = −η d y d z
dx
F2 = η d y d z
d uz
dx
uz
x
F2
F1
x +d x
Zusammen ergibt dies
x
Fz = F1 + F2
F2
Addieren und erweitern mit dx liefert:
Fz = η d x d y d z
d uz
dx
d uz
−
dx
x +d x
dx
x
F1
296b
Der Differenzenquotient ergibt gerade die zweite Ableitung von uz nach dx
d uz
dx
d uz
−
dx
x +d x
dx
x
=
∂ 2 uz
∂ x2
Also:
d 2 uz
Fz = η d x d y d z
d x2
Dies ist aber noch nicht die gesamte Kraftkomponente in z-Richtung,
da auch Geschwindigkeitsänderungen in y und z-Richtung ebenso beitragen.
Insgesamt ergibt sich für die z-Komponente der Reibungskraft:
⎛ ∂ 2 uz ∂ 2 uz ∂ 2 uz ⎞
+ 2 ⎟⎟
Fz = η dV ⎜⎜ 2 +
2
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
296
Die anderen Komponenten der Reibungskraft erhält men ebenso
⎛ ∂ 2 ux ∂ 2 ux ∂ 2 ux ⎞
⎟
+
Fx = η dV ⎜⎜ 2 +
2
2 ⎟
∂z ⎠
∂y
⎝ ∂x
⎛ ∂2 uy ∂2 uy ∂2 uy ⎞
⎟
Fy = η dV ⎜⎜ 2 +
+
2
2 ⎟
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
⎛ ∂ 2 uz ∂ 2 uz ∂ 2 uz ⎞
+ 2 ⎟⎟
Fz = η dV ⎜⎜ 2 +
2
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
Diese Formel lässt sich abgekürzt mit dem Laplaceoperator schreiben
∂2
∂2
∂2
Δ= 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
Die Reibungskraft lautet abgekürzt:
r
r
FR = η Δu dV
Achtung: Delta bedeutet hier den Laplaceoperator!
297
Navier-Stokes Gleichung
Differentialgleichung für die Bewegung einer viskosen Flüssigkeit:
r r
r
r
du
ρ dV
= Fg + Fp + FR
{
dt
m {
Aktionsprinzip
r
a
r
r r r⎞
r
r
⎛ ∂u
ρ dV ⎜ + (u ⋅ ∇) u ⎟ = ρ dV g − grad p dV + η Δu dV
⎝ ∂t
⎠
Wir teilen durch dV und erhalten die Navier-Stokes Gleichung
r
r
r
r r r
∂u
+ ρ (u ⋅ ∇) u = ρ g − grad p + η Δu
ρ
∂t
Analog zur Euler-Gleichung aber mit Reibung
298
Navier-Stokes Gleichung veranschaulicht an einer Menschenmenge
r
r
r
r r r
∂u
+ ρ (u ⋅ ∇) u = ρ g − grad p + η Δu
ρ
∂t
Ihre Geschwindigkeit ändert sich
weil Sie in einen Berech geschoben werden,
wo die Leute schneller laufen
weil es bergab geht
weil auf der einen Seite mehr gedrängelt wird
als auf der anderen Seite
weil Sie von den an Ihnen vorbeiströmenden
Leuten mitgerissen werden
r
∂u
ρ
∂t
r r r
ρ ( u ⋅ ∇) u
r
ρg
− grad p
r
η Δu
298b
Laminare Strömungen
p1
Laminare Strömung zwischen zwei Wänden:
Kraft auf die Stirnfläche eines Volumenelementes
aufgrund eines Druckunterschieds
oben
Fz ( z ) = p( z ) d x d y
unten
Fz ( z + d z ) = p( z + d z ) d x d y
uz
z
dp
⇒ d Fz = − d x d y
dz
dz
p2
Reibungskraft:
d 2 uz
d Fz = η dV Δ uz = η dV
d x2
0
d
x
Bei einer stationären Strömung sind beide Kräfte gleich
d 2 uz
1 dp
=−
2
dx
η dz
299
Lösen durch integrieren:
⇒
x dp
d uz
=−
+ c1
dx
η dz
x2 d p
⇒ uz = −
+ c1 x + c2
2η d z
Aus den Randbedingungen erhält man die Konstanten c1 und c2
uz (0) = 0 = c2
d2 dp
uz ( d ) = 0 = −
+ c1d
2η d z
⇒
d dp
c1 =
2η d z
Das Geschwindigkeitsprofil ist parabelförmig.
x2 − xd d p
uz = −
2η d z
300
Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren: Hagen-Poiseuille Gesetz
1 dp
Δ uz = −
η dz
Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten sieht anders aus:
p1
1 ∂ ⎛ ∂ uz ⎞
⎜⎜ r
⎟⎟ + Ableitunge
Δ uz =
n nach ϕ und z
1
4
4
2
443
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
=0
Es folgt:
L
1 ∂ ⎛ ∂ uz ⎞
1 dp
⎜⎜ r
⎟⎟ = −
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
η dz
z
r2 d p
∂ uz
⇒ r
=−
+ c1
2η d z
∂r
c1 = 0
weil
p2
∂ uz
∂r
=0
r =0
301
r2 d p
⇒ uz = −
+ c2
4η d z
Es folgt aus der Randbedingung u z ( R ) = 0 :
R2 − r2 d p
uz =
4η d z
Berechnung des Durchflusses durch ein Rohr mit Länge L:
R 2 − r 2 p1 − p2
V
= ∫ 2π r uz d r = ∫ 2π r
dr
4η
t 0
L
0
R
V 2π p1 − p2
=
t 4η
L
R
[
1
2
r R − r
2
V π p1 − p2 4
=
R
t 8η L
2
1
4
]
4 R
r =0
Hagen-Poiseuille Gesetz
302
Turbulente Strömungen
Reynoldssche Zahl:
Wir schreiben die Navier-Stokes-Gleichung
r
r r r
r
r
∂u
ρ
+ ρ (u ⋅ ∇) u = ρ g − grad p + η Δu
∂t
um und vernachlässigen die Schwerkraft:
r
r r r
1
∂u
η r
+ (u ⋅ ∇) u = − grad p + Δ u
∂t
ρ
ρ
Linearen Transformation von Zeit und Länge liefert dimensionslose DGL.
t = T t'
l = L l'
r r L
u = u'
T
L2
p = p' 2 ρ
T
(kleine Buchst. mit Strich dimensionslos, große Buchst. fest mit Dimension)
r
∂u ' r r r
ηT r
+ (u '⋅∇' ) u ' = − grad' p'+ 2 Δ'u '
ρL
∂t '
{
1
Re
dimensionslose Reynolds-Zahl
303
Mit neuer Zeit und Längenskala gemessene Strömungen sind ähnlich
zu den ursprünglichen Strömungen, wenn die Reynolds-Zahl gleich ist.
Anwendung: Strömungen um Schiffsmodelle in Zeitlupe betrachtet.
Interpretation der Reynolds-Zahl:
ρ L2 ρ U L
Re =
=
ηT
η
erweitern mit L2U liefert:
2 Ekin
ρ L3 U 2
Re =
=
2
η L U WReibung
Die Reynolds-Zahl bietet eine Kriterium um Strömungen einzustufen:
Kleine Reynolds-Zahl = starke Reibung → laminare Strömung
große Reynolds-Zahl = viel kinetische Energie → turbulente Strömung
304
Wirbel
In reibungsfreien Flüssigkeiten wird die Gesamtwirbelstärke erhalten
(Helmholtzsche Wirbelsätze). Entspricht dem Drehimpulserhaltungssatz.
Bildung von Wirbeln ist nur in Flüssigkeiten mit Reibung möglich.
Bevorzugte Bildung an Hindernissen im Strömungsfeld.
Wirbelbildung an umströmter Kugel. Reynoldszahl = 1000
Ablösen der Wirbel und Bildung einer Karman-Wirbelstraße
305
Wirbelstraße auf der Jupiteroberfläche
Reynolds-Kriterium für Wirbelbildung:
Starke Reibung → laminare Strömungen
Keine Reibung → Wirbelbildung unmöglich
Schwache Reibung → Wirbelbildung
→ Remin < Re < ∞
Bei Strömung in Rohren: Remin ≅ 2000
Weitere Beispiele zu Wirbelbildung durch numerische Lösung der Navier-Stokes Gleichung
306
Magnus-Effekt:
Durch Reibung an der Oberfläche eines rotierenden Zylinders ist die
Strömungsgeschwindigkeit an der einen Seite schneller als an der Anderen.
Geschwindigkeit oben:
vo = v + ω r
Geschwindigkeit unten:
vu = v − ω r
Nach Bernoulli ist also der statische Druck
unten größer als oben → Auftrieb
Δp = 12 ρ ( vo2 − vu2 )
Bei einem Zylinder der Länge l ist die Auftriebskraft von der Größenordnung:
F ≈ 12 ρ 2ω r v r l
vektoriell:
r
r r
F ≈ ρ l r 2v × ω
307