1 - Oskar Armbruster

Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
Praktikumsversuch:
Bestimmung der
Gravitationskonstanten
Verfasser:
Steinberger Roland
0757456
Jabornegg Claudia
0655299
Durchführungsdatum:
09.03.2009
1/11
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
1. Verwendete Gerätschaften und Hilfsmittel
Gravitationsdrehwaage nach Cavendish,
Stoppuhr, Maßband, Rollmeter;
2. Versuchsaufbau
Bleikugel 1
Masse m1: 1500 ± 5 g
Durchmesser: 64 mm
Bleikugel 2
Masse m2: 20 g
Durchmesser: 15 mm
Abstand d: 50 ± 1 mm
Abstand b zwischen
den Mittelpunkten der
großen und der
kleinen Kugel bei
Gehäuseberührung (im
Gleichgewicht): 47 mm
Die Drehwaage nach Cavendish dient zur Bestimmung der Gravitationskonstanten durch direkte Messung von Massenanziehungskräften.
Ein Torsionspendel mit einer Schwingungsdauer von etwa 10 min wird
durch eine Positionsänderung der äußeren Massen m1, die auf den
hantelförmigen Pendelkörper wirken, in seinem statischen Gleichgewicht
(Stellung I) gestört; es führt gedämpfte Schwingungen aus und schwingt
in eine neue Gleichgewichtslage (Stellung II) ein. Der Winkel zwischen
beiden Gleichgewichtslagen ist ein Maß für die wirksame
Gravitationskraft. Die Schwingung des Pendels, an dem ein Hohlspiegel
angebracht ist, wird durch eine Lichtmarke mit sichtbarem Licht direkt auf
einer mm-Skala angezeigt. Aus dem zeitlichen Verlauf der Schwingung,
der Masse m1 und der Geometrie der Anordnung ermittelt man die
Gravitationskonstante entweder nach der Endausschlagmethode oder
nach der Beschleunigungsmethode.
2/11
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
Endausschlagsmethode:
Durch die Gravitation wird das Drehpendel ausgelenkt und mit dem
ermittelten Endausschlag wird auf die Auslenkkraft rückgeschlossen.
Das, auf das Drehpendel wirkende Drehmoment entspricht: M  2  F  d
und das Pendel der Drehwaage schwingt sich dabei beim Winkel α/2 ein.
Somit lässt sich das Drehmoment auch so anschreiben:
M  D

2
, wobei D die Rückstellkonstante des Fadens ist.
Jetzt lässt sich der Winkel aus folgendem Zusammenhang bestimmen:
s
S

 tan   
d 2L
Um D zu ermitteln, muss die Differentialgleichung für die Bewegung des
Drehpendels gelöst werden:
I    D   mit   2  T 2  4 ²  I
T
D
Also ist D  4 ²  I
T²
Das Massenträgheitsmoment I ist aus dem Versuchsaufbau zu
berechnen:
I  2m2  d ² also folgt D 
8 ²  m2  d
T²
Setzt man nun in die anfängliche Formel M  D 
M  2  F  d ein, so erhält man:
M
2 ²  m 2  d ² S
m  m2  d
  2 F  d  2G  1
T²
L
b²
Somit lautet die Gleichung für G:
G
S   ²  b²  d
m1  T ²  L
3/11

2
diesen Ausdruck
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
Beschleunigungsmethode:
Gleich nach dem Umlegen der großen Kugeln werden die beiden
kleineren durch die Gravitation beschleunigt. Diese Beschleunigung wird
aus den Messwerten ermittelt und dann kann daraus die Gravitation
bestimmt werden:
a  b²
m1  m 2
G  0
b²
2m1
In der ersten Minute nach dem Umlegen erhält man a0.
Die Bewegungsgleichung wird umgeformt:
m 2  a 0  2G 
s(t )  s 0  v 0  (t  t 0 )  a 0  (t  t 0 )²
v(t )  v 0 
a0
 (t  t 0 )
2
Wird v(t) über (t-t0) in einem Diagramm dargestellt, so erhält man eine
Kurve mit der Steigung a0/2.
3. Kurzbeschreibung
Die Bewegung der Drehwaage wurde 27 Minuten lang im
Minutenintervall erfasst, bevor die Kugeln umgelegt wurden. Der Grund
für die Messung in der Ruheschwingung ist, dass sich der
Versuchsaufbau zu Beginn des Experiments nie in vollständiger
Bewegungslosigkeit befindet. Die Zeit wurde mit einer Stoppuhr
gemessen und die Position des Lichtzeigers wurde an einem, im
Praktikumsraum stationär montierten, Lineal abgelesen.
Nach umlegen der Kugeln, direkt nach einem Ablesevorgang, wurde die
Position des Lichtzeigers alle 15 Sekunden ca. 5 Minuten lang erfasst.
Danach wurden die Messwerte wieder im Minutentakt notiert und dies so
lange bis die Schwingung einigermaßen abgeklungen ist (etwa 60
Minuten).
Zum Schluss wurde noch die Länge (L=6452 ± 2,5 mm)des Lichtzeigers
ermittelt (durch messen der horizontalen und vertikalen Distanzen und
dann durch Anwendung des Pythagoras).
4/11
Grundpraktikum SS 2009
t [min] s[cm]
0
58,5
1
57,7
2
57,6
3
58,1
4
58,7
5
59
6
58,7
7
57,9
8
56,5
9
54,9
10
53,5
11
52,4
12
51,7
13
51,4
14
51,5
15
51,7
16
52
17
52,2
18
52,1
19
51,7
20
51,3
21
50,7
22
50
23
49,3
24
48,9
25
48,7
26
48,8
27
49
Steinberger/Jabornegg
t [min] s[cm] t [min]
27,25 48,7
38
27,5
48
39
27,75 46,9
40
28
45,5
41
28,25 43,6
42
28,5
41,7
43
28,75 39,3
44
29
37
45
29,25 34,5
46
29,5
32
47
29,75 29,5
48
30
27
49
30,25 24,7
50
30,5
22,7
51
30,75 20,7
52
31
18,9
53
31,25 17,4
54
31,5
16,2
55
31,75 15,2
56
32
14,6
57
32,25 14,3
58
32,5
14,3
59
32,75 14,5
60
33
15
61
34
19,4
62
35
26,3
63
36
33
64
37
37,9
65
Gruppe: Montag/Primetzhofer
s[cm]
39,7
38
34
28,6
23,8
21
20,4
22,1
25,3
29
32
33,5
33,3
31,5
28,9
26,1
24
23
23,3
24,7
26,8
28,7
29,9
30,2
29,5
28,2
26,5
25,1
t [min] s[cm]
66
24,3
67
24,1
68
24,5
69
25,4
70
26,4
71
27,2
72
27,5
73
27,4
74
26,8
75
25,9
76
25,2
77
24,7
78
24,5
79
24,6
80
25,1
81
25,5
82
26
83
26,1
84
26,1
85
25,8
86
25,4
87
25
88
24,7
89
24,4
90
24,4
4. Auswertung
Anhand der aufgenommenen Werte wird nun die Gravitationskonstante
mit zwei verschiedenen Verfahren bestimmt. Das erste ist die so
genannte Endausschlagmethode, welche die Schwingungsdauer und
den Endausschlag S des Drehpendels zur Berechnung heranzieht.
Die zweite Methode, die Beschleunigungsmethode, verwendet die
Beschleunigung der drehbaren Kugeln zur Bestimmung der Konstanten.
Endausschlagmethode
Die Auslenkung s in Zentimetern wurde über der Zeit t in Minuten in
einem Excel-Diagramm graphisch dargestellt.
5/11
s[cm]
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
t[min]
60
70
80
90
100
Aus der Graphik kann man erkennen, dass die Kurve aus zwei
Teilbereichen besteht. Zu diesen beiden Bereichen wurden im folgenden
Diagramm jeweils die Einhüllenden gezeichnet und die jeweiligen
Nulllagen wurden durch halbieren der Abstände zwischen den
einhüllenden Kurven ermittelt. Die beiden Geraden, welche die Nulllage
darstellen, wurden auf den Umlegezeitpunkt (bei 27 Minuten) extrapoliert
und die zugehörigen Geradengleichungen bestimmt.
60
y1
s[cm]
50
40
S
y2
30
20
10
Umlegezeitpunkt t=27 min
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
t[min]
6/11
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
Zur Ermittlung der Einhüllenden wurden die Maximal- bzw. Minimalwerte
bei den Umkehrpunkten der Schwingung abgelesen und für diese Werte
wurden dann jeweils Trendlinien gezeichnet.
Die Punkte, welche den halben lotrechten Abstand jeweils zwischen der
oberen und unteren Einhüllenden angeben, wurden dadurch bestimmt,
indem die die Werte s an der oberen und unteren Einhüllenden
abgelesen wurden, dann von einander subtrahiert und danach halbiert
wurden. Für die daraus gefundenen Punkte wurden die
Regressionsgerade für den Abschnitt y1 und y2 bestimmt und diese
Geraden entsprechen dann den Nulllagengeraden.
Gleichungen der beiden Nulllagengeraden:
y1  0,4082  x  58,812
y2  0,0842  x  32,001
Setzt man in diesen Gleichungen für x den Umlegezeitpunkt ein und
subtrahiert y2 von y1 so erhält man ein S= 18,06 ± 2,3 cm.
Der Fehler von S ergibt sich aus der Gaußschen Fehlerfortpflanzung der
Differenz der Funktionen der Nulllagengeraden.
Zudem ist es erforderlich die Schwingungsdauer T aus dem Abstand der
Maxima bzw. Minima zu bestimmen. Hierbei wird über mehrere Perioden
gemittelt.
Abstand zwischen Maxima in min: 11,3 11,7 11,0 11,5 ;
Abstand zwischen Minima in min: 11,5 11,2 11,8 11,5 ;
Also ist die mittlere Periodendauer 11,44 ± 0,25 min
Aus dem Anhang der Versuchsanleitung erhält man folgende Formel zur
Bestimmung der Gravitationskonstanten:
G
 2  b2  d  S
m1  T 2  L
Durch einsetzen der Werte lautet das Ergebnis
m3
kg  s 2
Der Fehlerwert für G wurde unter Anwendung der Gaußschen
Fehlerfortpflanzung auf die Formel für G berechnet.
G= 4,32*10-11 ± 0,62*10-11
Der für G bestimmte Wert unterliegt aber einem systematischen Fehler,
weil auch jeweils eine der kleinen Kugeln von der entfernteren zweiten
großen Kugel angezogen wird (siehe nachfolgende Abb.).
7/11
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
Laut Anhang der Versuchsanleitung wird folgender Korrekturfaktor
verwendet:
b3

(b 2  4d 2 )  b 2  4d 2
Durch einsetzen der korrekten Werte erhält man ein β= 7,696% und
somit lautet das Ergebnis der Endausschlagmethode
G= 4,65*10
-11
± 0,67*10
-11
m3
kg  s 2
Beschleunigungsmethode
Gleich nach dem Umlegen der großen Kugeln erfahren die kleineren,
Kugeln eine Beschleunigung aufgrund der Gravitation zwischen Körpern.
Um die Anfangsbeschleunigung a0 zu bestimmen ist es notwendig die
Messwerte im Umfeld des Umlegezeitpunkts auszuwerten.
Dabei darf nicht vergessen werden, dass sich das Pendel bereits in
Bewegung befindet und so eine Anfangsgeschwindigkeit v0 ungleich Null
besitzt.
Der Zusammenhang zwischen der Auslenkung s und der
Anfangsgeschwindigkeit v0 sieht so aus:
Die Geschwindigkeit v stellt sich so dar:
Im nächsten Diagramm ist v(t) als Funktion von (t-t0) dargestellt, wobei t0
die Zeit und s0 die Auslenkung zum Umlegezeitpunkt sind, und die
Steigung dieser Geraden ist a0/2.
Da v ein negatives Vorzeichen hat, weil der Graph abfällt und so die
Messwerte geringer werden, wird der Betrag von v eingetragen.
8/11
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
Da aber nur die Positionen des Lichtzeigers abgelesen werden konnten,
muss auf die Bewegung der kleinen Kugeln rückgeschlossen werden
und zwar mit folgendem Zusammenhang:
s S

, wobei
d 2L
s: der Weg der kleinen Kugeln
In der Waage,
d: der Abstand der kleinen Kugeln
von der Achse,
S: der Weg des Lichtzeigers
Auf der Wand,
L: der Abstand der Wand vom
Spiegel der Waage
Somit wird s berechnet aus S, d, L und dieses s wird auch zur
Berechnung der Geschwindigkeit für das Diagramm verwendet.
Ab dem Zeitpunkt 28,75 min beginnt der Graph merklich von einer
Geraden abzuweichen und deshalb werden nachfolgende Werte nicht
mehr für die Berechnung der linearen Regression verwendet.
5,5
5
4,5
4
|v | [µm/s]
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
15
30
45
60
75
90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
(t-t 0 ) [s]
9/11
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
Die Gleichung der Ausgleichsgeraden ist y = (0,0332*x + 0,2914)*10-6.
m
Daraus erkennt man, dass die Steigung 3,05*10-8
beträgt.
s²
m
Somit ist a0/2= 3,32*10-8 ± 0,013*10-8
.
s²
Um die Gravitationskonstante zu berechen wird nachfolgende Formel
verwendet: G  a0  b ²
2  m1
also ist G= 4,9*10
-11
± 0,1*10
-11
m3
kg  s 2
Die Ungenauigkeit für G wurde unter Anwendung der Gaußschen
Fehlerfortpflanzung auf die obige Formel für G in Excel berechnet.
Genau wie bei der Endausschlagmethode ist wieder eine Korrektur um
den Faktor β= 7,696% nötig.
-11
G= 5,28*10
± 0,11*10
-11
m3
kg  s 2
5. Interpretation der Ergebnisse und Sonstiges
Der Literaturwert für die Gravitationskonstante ist
G  (6,67428  0,00067 ) *10
11
m3
kg  s 2
Die im Experiment bestimmten Werte weichen von diesem Wert um
einiges ab, nämlich bei der Endausschlagmethode liegt das Ergebnis um
30,3% darunter und bei der Beschleunigungsmethode wird der
Literaturwert um 20,9% unterboten.
Wenn man das Diagramm der Schwingung betrachtet, kann man
erkennen, dass die Ruheschwingung nicht sehr regelmäßig ist und
dadurch wird die Nulllagengerade der Einhüllenden im Abschnitt y1 der
Kurve nicht besonders genau und dies beeinflusst wesentlich das
Ergebnis der Endausschlagmethode.
10/11
Grundpraktikum SS 2009
Steinberger/Jabornegg
Gruppe: Montag/Primetzhofer
Weiters ist ein wesentlicher Faktor für die Abweichungen zum
Literaturwert die Ablesung der Messwerte. Erstens ist immer ein
gewisser Parallaxefehler vorhanden, da man nicht exakt im korrekten
Blickwinkel die Messwerte ablesen kann. Zweitens kann es auch sein,
dass die Werte zum festgesetzten Ablesezeitpunkt entweder etwas zu
früh oder zu spät abgelesen wurden.
Zudem ist der Faktor Mensch noch als Störgröße zu beachten, denn
durch die ständigen Bewegungen im Raum, auch nahes Vorbeigehen an
der Drehwaage, wurde die Messung sicherlich beeinflusst.
Mit den zugehörigen Messfehlern wird der Literaturwert der
Gravitationskonstante dennoch nicht erreicht und deshalb liegt die
Vermutung nahe, dass dieser Versuch einem gewissen systematischen
Fehler unterliegt/unterlag.
Alle Berechnungen wurden in Excel oder mit Hilfe eines
Taschenrechners durchgeführt. Die Diagramme wurden in Excel erstellt
und der Literaturwert für die Gravitationskonstante stammt von
Wikipedia.
11/11