Lösungen Blatt 8

Übungen zur Vorlesung Mathe III - Analysis“
”
Musterlösung
Hans-Christian von Bothmer, Henrik Bachmann
WiSe 2015/16
Blatt 8
Thema: Umkehrfunktionen und ihre Ableitungen
Präsenzaufgabe am 09.12.2015 und 10.12.2015
Aufgabe 1. Im Folgenden ist der Graph und die Wertetabelle einer auf dem Intervall [−2, 4]
definierten Funktion f gegeben.
x
f (x)
f 0 (x)
-2
-1
56 -47
-240 0
0 1 2 3
4
0 65 88 81 128
72 48 0 0 120
1. Bestimmen Sie die Bereiche, auf denen f eine Umkehrfunktion besitzt und geben Sie
deren Definitionsbereiche an.
2. Skizzieren Sie für jeden dieser Bereiche den Graphen der zugehörige Umkehrfunktion.
Aufgabe 2. Seien folgende Funktionen gegeben
f1 (x) = 2x3 + 3 , für alle x ∈ R ,
f2 (x) = x2 − 2x + 4 , für x ≥ 1 ,
f3 (x) = x2 − 6 , für x ≥ 0 .
1. Begründen Sie, dass es zu jeder diese Funktionen auf dem gesamten Definitionsbereich
Umkehrfunktionen g1 , g2 und g3 gibt und bestimmen Sie deren Definitionsbereiche.
2. Berechnen Sie die Werte der Ableitungen g10 (5) , g20 (4) und g30 (4) .
1
Lösung:
Aufgabe 1.
1. & 2. Es ist aus der Vorlesung bekannt, dass eine Funktion auf einem Bereich eine Umkehrfunktion besitzt, falls sie auf diesem streng monoton steigend oder fallend ist. Anhand
des Graphens der Funktion f sieht man, dass diese im Bereich D1 = [−2, −1] streng monoton fällt, im Bereich D2 = [−1, 2] streng monoton steigt, in D3 = [2, 3] streng monoton
fällt und im Bereich D4 = [3, 4] wieder streng monoton steigt. Mit h1 , . . . , h4 bezeichnen
wir jeweils die zugehörigen Umkehrfunktionen auf diesen Bereichen.
Um die Definitionsbereiche der Umkehrfunktionen hj zu bestimmen, müssen wir uns jeweils
überlegen, welche Werte die Funktion f auf den Rändern von Dj annimmt.
Da f (−2) = 56 und f (−1) = −47 ist somit der Definitionsbereich der Funktion h1 gegeben
durch [−47, 56] . Als Graphen erhalten wir
Mit f (−1) = −47 und f (2) = 88 erhalten wir als Definitionsbereich von h2 die Menge
[−47, 88] . Als Graphen erhalten wir
Analog ergibt sich mit f (2) = 88 und f (3) = 81 die Menge [81, 88] als Definitionsbereich
von h3 und wir bekommen den Graphen
2
Schlussendlich ist f (3) = 81 und f (4) = 128 und somit ist [81, 128] der Definitionsbereich
von h4 mit dem Graphen
Aufgabe 2.
1. Analog zu Aufgabe 1 müssen wir uns überlegen, wann die Funktionen fj monoton fallen
bzw. steigen. Wir berechnen daher zunächst die Ableitungen der Funktionen f1 , f2 und f3 :
f10 (x) = 6x2 ,
f20 (x) = 2x − 2 ,
f30 (x) = 2x .
Die Funktion f10 (x) ist für alle x ∈ R positiv und somit besitzt f1 auf dem gesamten Definitionsbereich eine Umkehrfunktion. Genauso ist f20 (x) für x ≥ 1 und f30 (x) für x ≥ 0
positiv und f2 und f3 besitzen ebenso auf ihrem gesamten Definitionsbereich Umkehrfunktionen. Um den Definitionsbereich dieser zu bestimmen müssen wir uns angucken welche
Werte die Funktionen f1 , f2 und f3 annehmen.
Die Funktion f1 ist eine monoton wachsende Funktion die für x → −∞ gegen −∞ und für
x → ∞ gegen ∞ geht. Somit ist der Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion die Menge R
aller reellen Zahlen .
Die Funktion f2 ist auf ihrem Definitionsbereich x ≥ 1 monoton steigent. Es ist f2 (1) = 3
und somit ist der Definitionsbereich von g2 gegeben durch [3, ∞) :
Die Funktion f3 ist auch auf ihrem Definitionsbereich x ≥ 0 monoton steigent und es ist
f3 (0) = −6 . Der Definitionsbereich von g3 ist somit [−6, ∞) .
3
2. Ist g die Umkehrfunktion zu f , so ist die Ableitung von g gegeben durch
g 0 (x) =
1
.
f 0 (g(x))
Um g10 (5) , g20 (4) und g30 (4) zu berechnen müssen wir daher zunächst die Werte g1 (5) ,
g2 (4) und g3 (4) bestimmen. Um g1 (5) zu berechnen müssen wir uns Überlegen, wann f1
den Wert 5 annimmt. Dies ist der Fall bei x = 1 , d.h. f (1) = 2 · 13 + 3 = 5 und somit ist
g1 (5) = 1 .
√
√
Analog erhalten wir, dass g2 (4) = 2 , da f2 (2) = 4 und g3 (4) = 10 , da f3 ( 10) = 4 .
Die Werte der Ableitungen sind somit gegeben durch
1
,
6
1
1
1
g20 (4) = 0
= 0
= ,
f2 (g2 (4))
f2 (2)
2
1
1
1
= 0 √
= √ .
g30 (4) = 0
f3 (g3 (4))
f3 ( 10)
2 10
g10 (5) =
1
f10 (g1 (5))
=
4
1
f10 (1)
=